Geometria 6

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Geometría
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APRENDIZAJES ESPERADOS
UNIDAD 1
Entre todos los polígonos regulares de igual perímetro, encierran más área aquellos que tengan ma-yor número de lados. Por eso las abejas construyen sus celdillas con forma hexagonal, porque de esta manera, gastando la misma cantidad de cera para hacer las celdillas que con forma triangular o cuadrada, consiguen una mayor superficie.
De igual modo nosotros al tener un terreno, veremos la forma de optimizarlo para la construcción de nues-
tra casa, edificio o lo que hayamos proyectado para dicho terreno. Para ello es necesario contar con las 
herramientas básicas del cálculo de áreas, que nos permitirán optimizar el área de dicha superficie.
EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS 
PLANAS, FORMAS GEOMÉTRICAS 
Y MANERAS DE CALCULARLAS
UNIDAD 6
Comunicación matemática
•	 Identificar	los	elementos	asociados	a	un	polígono	regular	inscrito	en	una	circunferencia.
	•	 Reconocer	y	diferenciar	los	conceptos	de	superficie	y	área.
Resolución de problemas
• Calcula	 con	 los	 datos	 disponibles,	 los	 arcos,	 apotemas	 y/o	 lados	de	 los	 polígonos	 regulares	
inscritos	en	una	circunferencia.
• Formula	estrategias	de	resolución	en	diferentes	tipos	de	problemas	donde	se	calcule	el	área	de	
las	regiones	poligonales	en	general.
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Geometría
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1
Polígonos regulares
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	elementos	asociados	a	los	polígonos	regulares	inscritos	en	una	circunferencia.
•	 A	identificar	los	arcos	que	subtiende	una	cuerda	y	relacionarlo	con	los	lados	de	los	polígonos	
regulares	inscritos.
•	 A	 reconocer	 y	 aplicar	 las	 relaciones	de	 cálculo	de	 lados,	 apotemas	 y	 arcos	 en	 los	polígonos	
regulares.
E l	uso	de	los	polígonos	regulares	es	múltiple,	en	construcciones	hechas	por	el	hombre,	en	la	naturaleza	y	en	los	juegos	matemáticos.	
Por	ejemplo,	tenemos	al	Geomag	que	es	el	nombre	
comercial	de	un	juego	de	construcciones	magnéticas	
creado	en	el	año	1998.	Sus	elementos	principales	
son	barras	de	acero	recubiertas	de	plástico	y	con	
un	imán	en	cada	extremo	(27	mm	de	longitud	en	
total)	y	esferas	de	acero	niqueladas	de	12,7'mm	de	
diámetro	que	se	utilizan	para	unir	dos	o	más	barras.	
Con	estos	se	pueden	formar	estructuras	geométricas	
espaciales.
Imágenes	tomadas	de:	textodigital.com/P/GG/aagon.php
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GeometríaPoligonos regulares
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 ¿Qué	es	un	polígono	regular?
	 					
=
=
=
=
																	
=
= =
=
=
																	
=
=
=
=
=
=
•	 El	ángulo	central	de	un	polígono	regular
		 					 a=90º
=
=
O a =
=
														
O
a=60º
aº
60º
=
=
=
=
=
=
																
O
a= 360°
n
a
a
=
=
=
=
=
=
•	 El	circunradio	y	el	inradio
R:	circunradio
R
=
=
=
=
																									 r:	inradio
r
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Geometría
Unidad VI
Geometría 1
Conceptos básicos
Polígono regular
Es	aquel	polígono	que	es	equilátero	y	equiángulo	a	la	vez.
•	Centro	 	 	 	 	 :	O
•	Circunradio	 	 	 	 :	R
•	Ángulo	central		 	 	 :	 360°n =aº	("n":	número	de	lados)
•	Lado	del	polígono	regular	 :	ln
•	Apotema	 	 	 	 	 :	OH
Cálculo del lado de polígonos regulares más usuales
•		Triángulo equilátero •		Cuadrado
Federico Villarreal (1850 - 1923)
Es	uno	de	los	más	grandes	matemáticos	que	ha	tenido	el	Perú	y	sin	
duda	el	más	ilustre	del	siglo	XIX.	Nació	en	Túcume,	Lambayeque	y	se	
tituló	de	maestro	a	los	veinte	años.	En	1877,	logra	su	anhelo	de	estudiar	
matemáticas	superiores	en	la	Facultad	de	Ciencias	de	la	UNMSM.	En	
1881,	obtiene	el	grado	de	Doctor	con	el	calificativo	de	sobresaliente,	
siendo	el	primer	egresado	de	una	universidad	nacional.	En	la	guerra	
del	Pacífico,	peleó	en	el	Morro	de	Arica,	en	Chorrillos	y	en	San	Juan	
de	Miraflores.	A	los	31	años	ingresa	a	la	Escuela	de	Ingenieros	(UNI)	
y	se	gradúa	de	ingeniero	civil.	Fue	un	investigador	 incansable	 tanto	
en	Matemática	 como	 en	 Física.	 En	Geometría,	 son	 importantes	 sus	
trabajos	 en	 polígonos	 estrellados	 para	 quienes	 obtuvo	 una	 fórmula	
que	 da	 la	 suma	 de	 los	 ángulos	 interiores.	 Asimismo;	 trasladó	 esta	
inquietud	a	los	polígonos	no	convexos.
aº=mAC=120°
l3=R 3
OH=Apotema= R2
aº=mAB=90°
l4=R 2
OH=Apotema=R 22
O
H
aº aº
aº
CA
B
120º
l3
R R
O aº
aº
HR
A
B
F
E
C D
ln
O
H
aº aº
aº
D
C
A
B
aº
l4
R
R
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GeometríaPoligonos regulares
Cuadro resumen
Polígono
regular
Ángulo central o 
arco que subtiende
Lado del polígono 
regular: ln=F(R)
 Apotema del polígono 
regular: apn=r
Triángulo 120º l3=R 3 ap3=
R
2
Cuadrado 90º l4=R 2 ap4= 2
R 2
Pentágono 72º l5= R2 10	-	2 5 ap5=
R
4 ( 5+1)
Hexágono 60º l6=R ap6= 2
R 3
Octógono 45º l8=R 2	-	 2 ap8=
R
2
	 2+ 2
Decágono 36º l10=R 2
( 5 	-	1) ap10=
R
4 10+2 5
Dodecágono 30º l12=R 2	-	 3 ap12=
R
2
	 2+ 3
•		Hexágono •		Octógono
aº=mAB=60°
l6=R
OH=Apotema=R 32
aº=mAB=45°
l8=R 2	-	 2
OH=Apotema=R
2 2+ 2
O
Haº
aº
aºaº
CF
DE
A B
60º
l6
R R
O
H aº
aº
aº
aº
aº
D
CA
B
l8
R
R
45º
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Geometría
Unidad VI
Geometría 1
Graficando un triángulo equilátero, utilizando 
compás y regla
		1.	Dibujar	 una	 circunferencia	 y	 trazar	 un	 diá-
metro	cualquiera,	determinándose	los	puntos	
"A"	y	"B".
	
O
O	→ Centro
AB 	→ Diámetro
											cualquieraB
A
		2.	Utilizando	un	compás,	trazar	la	mediatriz	del	
radio	OB	intersectando	a	la	circunferencia	en	
los	puntos	"P"	y	"Q".
	
O
M	→ Punto	medio
									de	OB
PQ	→ Mediatriz
											de	OB
B
P
Q
A
O M
		3.	Al	unir	los	puntos	"A",	"P"	y	"Q"	se	determina	
un	triángulo	equilátero.
								
O
DAPQ	será	triángulo	
											equilátero
O	→ Circuncentro
OM	→ Apotema
B
P
Q
A
O M
		1.	Dibujar	 una	 circunferencia	 y	 trazar	 un	 diá-
metro	cualquiera,	determinándose	los	puntos	
"A"	y	"C".
	
O
O	→ Centro
AC 	→ Diámetro
											cualquiera
C
A
		2.	 Trazar	la	mediatriz	del	diámetro	AC	utilizando	
compás	y	regla	(dicha	mediatriz	pasará	por	el	cen-	
	 tro	"O")	determinándose	los	puntos	"B"	y	"D".
	
BD	→ Mediatriz
											de	AC
B
C
A
O
D
		3.	Al	unir	los	puntos	"A",	"B",	"C"	y	"D"	se	deter-
minará	un	cuadrado.
	
O
O	→ Circuncentro
B
C
A
O
D
Graficando un cuadrado, utilizando compás y 
regla
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GeometríaPoligonos regulares
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
No	es	necesario	memorizar	
las	fórmulas,	basta	con	
graficarlos	y	calcularlos	
por	triángulos	notables	y/o	
Pitágoras.
POLÍGONOS
REGULARES
Triángulo	equilátero,	subtiende	
un	arco	de	120°	y	la	longitud	
de	su	lado	es	R 3
Cuadrado,	subtiende	un	arco	
de	90º	y	la	longitud	de	su	lado	
es	R 2
Hexágono,	subtiende	un	arco	
de	60º	y	la	longitud	de	su	lado	
es	R.
Asociar	los	arcos
con	los	ladosCálculo	de	
apotemas
1.	 Calcule	 el	 valor	 del	 ángulo	 central	 de	 los	
siguientes	polígonos	regulares:
	 •			Hexágono	 	 	 											
	 •			Cuadrado	 	 	 						
	 •			Octógono
2.	 Grafique	 a	 un	 cuadrado	 inscrito	 en	 una	
circunferencia	 de	 6	 cm	 de	 radio	 y	 calcule	 su	
perímetro.
3.	 En	una	circunferencia	de	2	cm	de	radio,	inscriba	
un	triángulo	equilátero	y	calcule	su	perímetro.
4.	 Grafique	lo	que	se	indica:
	 •	 Un	 hexágono	 regular	 inscrito	 en	 una	
circunferencia	 e	 indique	 el	 valor	 del	 arco	
que	subtiende	uno	de	sus	lados.
	 •	 Un	 pentágono	 regular	 inscrito	 en	 una	
circunferencia	y	trace	su	apotema.
5.	 Indique	a	los	lados	de	qué	polígonos	regulares,	
le	corresponden	 las	medidas	de	 los	 siguientes	
arcos:
	 •	 Un	arco	que	mide	60°	→
	 •	 Un	arco	que	mide	120°	→
	 •	 Un	arco	que	mide	45°	→
6.	 En	una	circunferencia	se	encuentra	inscrito	un	
hexágono	regular	ABCDEF.	Calcular	la	medida	
del	arco	BD.
7.	 En	una	circunferencia	de	5	cm	de	radio	se	traza	
la	 cuerda	 AB	 que	 mide	 5 2	 cm.	 Calcule	 la	
medida	del	arco	AB.
8.	 En	una	circunferencia	se	traza	una	cuerda	que	
mide	6 3 	cm	y	que	subtiende	un	arco	de	120°.	
Calcule	la	longitud	de	la	circunferencia.
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Geometría
Unidad VI
Geometría 1
Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	luego	jus-
tifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 Todo	polígono	regular	puede	ser	inscrito
	 	 en	una	circunferencia.	.........................(__)
	 •	 El	apotema	de	un	polígono	regular	es
	 	 siempre	menor	al	lado	del	polígono
	 	 correspondiente.	..................................(__)
2.	 Completar:
	 La	 longitud	 del	 lado	 de	 un	 cuadrado	 inscri-
to	 en	 una	 circunferencia	 de	 radio	 "R"	 mide	
.......................
3.	 Completar	adecuadamente:
R
l6
l6=
R
l3
l3=
A
B
l8
mAB=
					
Resolución de problemas
4.	 Un	cuadrado	se	encuentra	 inscrito	en	una	cir-
cunferencia	de	14	cm	de	radio.	Calcular	el	perí-
metro	de	dicho	cuadrado.
5.	 El	diámetro	de	una	circunferencia	es	de	24	cm.	
Calcular	 el	 perímetro	 del	 triángulo	 equilátero	
inscrito	en	la	circunferencia.
6.	 La	longitud	de	una	circunferencia	es	de	8p cm.	
Calcular	el	perímetro	del	hexágono	regular	ins-
crito.
7.	 En	una	circunferencia	de	4	cm	de	radio,	se	tra-
zan	dos	cuerdas	AB	y	BC,	de	modo	que	los	ar-
cos	AB	y	AC	midan	90°	y	150°	respectivamen-
te.	Calcular	la	suma	de	las	longitudes	de	dichas	
cuerdas.
8.	 Sea	"P"	un	punto	exterior	a	una	circunferencia,	
desde	el	cual	se	trazan	las	secantes	PAB	y	PSQ,	
de	modo	que	 los	arcos	QB	y	BA	midan	140°	
y	40°	respectivamente.	Si	el	ángulo	BPQ	mide	
40°,	indicar	a	qué	polígonos	regulares	le	corres-
ponderían	las	cuerdas	SA	y	SQ.
9.	 En	una	circunferencia	se	trazan	las	cuerdas	AB	y	
BC	que	nos	representan	a	los	lados	del	triángulo	
equilátero	y	pentágono	regular	inscritos	respec-
tivamente.	Calcular	la	medida	del	arco	CA.
10.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 encuentran	
inscritos	 un	 hexágono	 regular	 y	 un	 triángulo	
regular.	Calcular	 la	 relación	de	sus	perímetros	
respectivamente.
11.	ABCD	 es	 un	 cuadrilátero	 inscrito	 en	 una	 cir-
cunferencia	de	radio	"R".	Si:	AB=R 3 ;	BC=R	
y	CD=R 2,	calcule	la	medida	del	arco	AD.
12.	 En	el	gráfico,	AB	y	EF	representan	al	triángulo	y	
al	pentágono	regular	inscritos	y	además	el	arco	
AEB	es	el	que	subtiende	el	 lado	del	 triángulo.	
Si	la	medida	del	arco	FB	es	de	22°,	calcule	el	
valor	de	"xº".
A
B
E F
xº
13.	 En	una	circunferencia	de	diámetro	AB	y	centro	
"O"	se	traza	la	cuerda	EF	de	modo	que	"F"	per-
tenece	al	arco	EB,	la	medida	del	arco	AE	es	de	
82º	y	la	medida	del	arco	FB	es	igual	a	53º.	Cal-
cule	el	valor	de	 la	cuerda	EF,	si	el	 radio	mide	
6'dm.
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GeometríaPoligonos regulares
Aplicación cotidiana
19.	Henry	miró	el	reloj	y	a	las	dos	de	la	mañana	cerró	el	libro	
desesperado.	Seguramente	lo	suspenderían	al	día	siguien-
te.	Cuanto	más	estudiaba	Geometría,	menos	la	compren-
día.	Había	fracasado	ya	dos	veces.	Con	seguridad	lo	echa-
rían	 de	 la	Universidad.	 Solo	 un	milagro	 podía	 salvarlo.	
¿Un	milagro?	 ¿Por	qué	no?	Siempre	 se	había	 interesado	
por	la	magia.	Había	encontrado	instrucciones	muy	senci-
llas	para	llamar	a	los	demonios	y	someterlos	a	su	voluntad.	
Nunca	había	probado.	Y	aquel	era	el	momento	o	nunca.	
Tomó	de	la	estantería	su	mejor	obra	de	magia	negra.	Era	
sencillo.	Ponerse	a	cubierto	en	un	pentágono.	Si	llega	el	
demonio,	no	podrá	hacer	nada	y	 se	obtendrá	 lo	que	 se	
desea.	El	triunfo	es	vuestro	!Despejó	el	piso	retirando	los	
muebles	contra	las	paredes.	Luego	dibujó	en	el	suelo,	con	
tiza,	el	pentágono	protector.	Por	fin	pronunció	los	encantamientos.
	 El	demonio	era	verdaderamente	horrible,	pero	Henry	se	armó	de	coraje.	 Siempre	he	sido	un	inútil	en	
Geometría 	comentó...	 ¡A	quién	se	lo	dices! 	replicó	el	demonio,	riéndose	burlonamente.	Y	cruzó,	
para	devorarse	a	Henry,	las	líneas	del	hexágono	que	aquel	idiota	había	dibujado	en	vez	del	pentágono.
	 •	 ¿Cuál	fue	el	error	de	Henry?
	 •	 Si	los	dos	polígonos	regulares	mencionados	estuvieran	inscritos	en	la	misma	circunferencia,	¿cuál	
sería	la	diferencia	de	los	arcos	que	subtienden	sus	lados?
14.	 En	una	circunferencia	se	trazan	las	cuerdas	AB	
y	EF,	de	modo	que	AB=l3,	EF=l10	y	la	medida	
del	arco	AE	es	igual	a	150º.	Calcular	el	ángulo	
que	forman	las	prolongaciones	de	AB	y	EF.
15.	Calcular	la	relación	de	los	perímetros	del	octó-
gono	y	decágono	regulares,	inscritos	en	la	mis-
ma	circunferencia.
16.	 En	una	 circunferencia,	 se	 encuentran	 inscritos	
un	triángulo	equilátero	y	un	octógono	regular.	
Si	 el	 perímetro	 del	 triángulo	 es	 de	 15 3 	 dm,	
calcule	el	perímetro	del	octógono.
17.	 En	una	circunferencia	se	trazan	las	cuerdas	AB	y	
PQ	que	miden	8	y	4 6 	dm.	Si	el	arco	AP	mide	
100º,	calcular	el	ángulo	que	forman	AB	y	PQ	
(El	radio	mide	4 2	dm).
18.	ABC	es	un	triángulo	acutángulo,	donde	m B=45º	
y	AC=8	dm.	Calcule	la	longitud	del	segmento	
que	une	los	pies	de	las	alturas	relativas	a	AB	y	
BC.
m
ar
co
s-
m
b.
bl
og
sp
ot
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20.	Al	alumno	Julio,	su	profesor	le	ha	dejado	un	trabajo	consistente	
en	construir	la	maqueta	de	una	noria,	para	lo	cual	su	profesor	
entre	otros	datos	le	dice:	"La	noria	estará	conformada	por	dos	
caras	exactamente	iguales	que	forman	cada	una	un	octógono	
regular.	Para	calcular	la	medida	de	los	lados	hay	que	tener	en	
cuenta	que	el	octógono	está	inscrito	en	una	circunferencia	de	
20	cm	de	radio.	Es	conveniente	realizar	una	plantilla	uniendo	
cuatro	folios	blancos	en	los	que	entre	dicha	circunferencia	...".
	 •	 Con	 lo	que	mencionó	el	profesor,	 ¿se	podrá	calcular	 la	
longitud	de	dicho	lado?,	y	de	ser	así,	¿cuál	es	dicho	valor?
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Geometría
Unidad VI
Geometría 1
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Calcular	el	perímetro	de	un	pentágono	regular	
cuya	diagonal	mide	2( 5+1)	cm.
2.	 Grafique	a	un	cuadrilátero	ABCD	inscrito	en	una	
circunferencia	de	radio	1	cm.	Si:	AD= 3 	cm	y	
los	segmentos	AB	y	DC	prolongados	forman	un	
ángulo	de	15º,	calcular	la	medida	de	la	cuerda	
BC.
3.	 Grafique	el	triángulo	acutángulo	ABC,	de	modo	
que	 la	m B=75º	y	AC=8 2+ 3 .	Calcular	 la	
longitud	del	segmento	que	une	los	pies	de	las	
alturas	trazadas	desde	los	vértices	"A"	y	"C".
4.	 Calcular	 el	 perímetro	 de	 un	 triángulo	 ABC	
(isósceles),	sabiendoque	la	base	BC	mide	2	cm	y	
la	m A=45º.
5.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 se	 sabe	 que:	 m A=18º,						
m C=27º	y	AC=6m.	Calcular	"EF",	si	AE 	y	CF 	
son	alturas.
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F).
	 •	 No	todos	los	polígonos	regulares	pueden
	 	 ser	inscritos	en	una	circunferencia.	......(__)
	 •	 El	apotema	de	un	polígono	regular	es
	 	 siempre	congruente	al	lado	del	polígono	
	 	 correspondiente.	..................................(__)
2.	 Completar:	La	longitud	del	lado	de	un	triángulo	
equilátero	 inscrito	 en	 una	 circunferencia	 de	
radio	"R"	mide	.....................
3.	 Completar	adecuadamente:
	
A
B
l4 mAB=
	 			
R
A C
B
l3=
l3
	 			
R
A Bl8
l8=
4.	 Un	 cuadrado	 se	 encuentra	 inscrito	 en	 una	 cir-
cunferencia	de	16	cm	de	diámetro.	Calcular	el	
perímetro	de	dicho	cuadrado.
5.	 La	longitud	de	una	circunferencia	es	de	16p.cm.	
Calcular	 el	 perímetro	 del	 triángulo	 equilátero	
inscrito	en	la	circunferencia.
6.	 La	 longitud	de	una	circunferencia	es	de	24p.cm.	
Calcular	el	perímetro	del	hexágono	regular	ins-
crito.
7.	 En	una	circunferencia	de	8	cm	de	radio,	se	trazan	
dos	cuerdas	AB	y	BC,	de	modo	que	los	arcos	AB	y	
AC	midan	60°	y	210°	respectivamente.	Calcular	
la	suma	de	las	longitudes	de	dichas	cuerdas.
8.	 Sea	"P"	un	punto	exterior	a	una	circunferencia,	
desde	 el	 cual	 se	 trazan	 las	 secantes	 PAB	 y	
PSQ,	 de	modo	 que	 los	 arcos	QB	 y	 BA	midan	
150°	y	48°	respectivamente.	Si	el	ángulo	BPQ	
mide	39°,	 indicar	a	qué	polígonos	regulares	 le	
corresponderían	las	cuerdas	SA	y	SQ.
9.	 En	una	circunferencia	se	trazan	las	cuerdas	AB	y	
BC	que	nos	representan	a	los	lados	del	hexágono	
y	octógono	regular	inscritos	en	la	circunferencia.	
Calcular	la	medida	del	arco	CA.
10.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 encuentran	
inscritos	un	cuadrado	y	un	hexágono	regular.	La	
razón	de	sus	perímetros	respectivamente	es:
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GeometríaPoligonos regulares
11.	AB	 y	 PQ	 representan	 los	 lados	 del	 triángulo	 y	
dodecágono	 regulares	 inscritos.	 Si	 el	 arco	 AP	
mide	 120º,	 calcular	 el	 ángulo	 que	 forman	 las	
cuerdas	AB	y	PQ.
A
B
P
Q
l3
l12
12.	 Un	 cuadrado	 se	 encuentra	 inscrito	 en	 una	 cir-
cunferencia	cuyo	radio	mide	4 2	cm.	Calcular	
el	 lado	del	octógono	regular	inscrito	en	el	cua-
drado.
13.	 En	una	circunferencia	de	radio	igual	a	8	dm,	se	
encuentra	 inscrito	 un	 dodecágono	 regular.	 La	
longitud	del	lado	de	dicho	polígono	es:
14.	 Calcular	 el	 perímetro	 del	 cuadrado	 inscrito	 en	
una	 circunferencia.	 Dicha	 circunferencia	 está	
circunscrita	a	un	triángulo	equilátero	de	9	cm	de	
lado.
15.	 En	 la	 figura	mostrada,	 se	 tiene	 que:	AB		 //	 CD,	
AB=l5	y	CD=l3.	Calcular	el	valor	de	"xº".
A B
D
xº
C
16.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 encuentran	
inscritos	un	cuadrado	y	un	dodecágono	regular.	
Si	 el	 perímetro	 del	 cuadrado	 es	 de	 40 2	 dm,	
calcule	el	perímetro	del	dodecágono.
17.	 En	un	triángulo	ABC	inscrito	en	una	circunferen-
cia,	 se	 tiene	 que:	AB=l3	 y	AC=l4.	 Calcular	 la	
medida	del	lado	BC,	si	la	medida	del	radio	de	la	
circunferencia	es	de	2	m.
18.	 En	el	gráfico,	se	muestran	a	dos	cuerdas	no	nece-
sariamente	paralelas,	que	representan	a	los	lados	
del	triángulo	y	decágono	regulares	inscritos.	Cal-
cular	el	valor	de	"xº".
x°
l3 l10
19.	 Un	 triángulo	 equilátero	 está	 inscrito	 en	 una	
circunferencia	de	radio	 6 	cm.	Calcular	el	lado	
del	 hexágono	 regular	 inscrito	 en	 el	 triángulo	
equilátero.
20.	 Si	la	medida	del	arco	AB	es	de	36º	y	R= 5 	dm,	
calcular	el	valor	de	la	cuerda	AB.
A
B
R
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2
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Geometría
E l	Papiro	de	Ahmes	es	un	documento	escrito	en	un	papiro	de	unos	seis	metros	de	longitud	y	33	cm	de	ancho,	en	un	buen	estado	de	conservación,	con	escritura	hierática	y	contenidos	matemáticos.	
También	se	le	conoce	con	el	nombre	de	Papiro	Rhind.	Su	contenido	
data	del	año	2000	al	1800	a.C.
Fue	escrito	por	el	escriba	Ala	aproximadamente	en	el	año	1650	a.C.,	a	
partir	de	escritos	de	doscientos	años	de	antigüedad,	según	reivindica	
Ahmes	 al	 principio	 del	 texto,	 aunque	 resulta	 imposible	 saber	 qué	
partes	del	papiro	corresponden	a	estos	textos	anteriores.
En	este	papiro,	se	encuentra	la	forma	de	cómo	los	antiguos	
egipcios	calculaban	el	área	de	un	triángulo.
Ejemplo	de	cálculo	de	un	triángulo	de	tierra.	Si	alguien	te	
dice:	un	triángulo	de	10	khet	sobre	su	mryt	y	de	4	khet	de	
base,	¿cuál	es	su	área?	Calcular	la	mitad	de	4,	que	es	2	para	
formar	un	rectángulo.	Multiplica	10	por	2.	Esta	es	su	área.
El	término	mryt	significa	probablemente	la	altura	o	el	lado.	
Sin	 embargo,	 la	 fórmula	 utilizada	 para	 calcular	 el	 área	
hace	 pensar	 en	 la	 interpretación	 en	 favor	 de	 la	 primera	
solución.	El	escriba	tomaba	la	mitad	de	la	base	del	triángulo	
y	calculaba	el	área	del	rectángulo	formado	por	ese	lado	y	la	
altura;	es	decir:
A= base
2
mryt
Equivalente	a	la	fórmula	general	utilizada	en	nuestros	días:	S= ah
2
•		¿Qué opinión te merece la lectura?
•		¿Es la fórmula básica del cálculo del área de un triángulo, válido hasta nuestros días?
Áreas de regiones
triangulares
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	elementos	que	intervienen	en	el	cálculo	de	las	áreas	de	regiones	triangulares.
•	 A	reconocer	y	aplicar	las	propiedades	del	cálculo	de	áreas	en	la	resolución	de	problemas.
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2
Unidad VI
Geometría 4to - III Bim.indd 149 31/10/2014 11:45:54 a.m.
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GeometríaÁreas de regiones triangulares
Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos lo siguiente:
•	 Región	poligonal
	 Región	triangular 	 						 Región	pentagonal 																 Región	heptagonal 																										
•	 ¿Qué	es	el	área?
	 Es	el	número	que	expresa	la	medida	de	la	superficie	(región	triangular,	región	cuadrangular,	etc.)	de	
una	figura	geométrica.
	 Área	=	10	m2	 														 Área	=	4 	cm2	 																 Acubo	=	12	cm
2	
•	 Seno	de	un	ángulo
b
c
Ángulos	notables:
sen30º=
sen37º=
sen45º=
sen53º=
sen60º=
etc...sena = ab
a
a
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GeometríaGeometría
Unidad VI
Conceptos básicos
2
Como	bien	es	sabido,	el	 tamaño	que	presenta	el	 terreno	de	 la	casa	que	habitamos,	 los	 terrenos	de	
cultivo	y	en	general	las	propiedades	particulares	y	del	estado,	provocaron	en	nuestros	antepasados,	el	
establecimiento	de	una	nueva	magnitud	denominada	área,	sin	cuya	definición	hubiera	sido	imposible	
reconocer	una	diferencia	entre	la	extensión	de	una	superficie	con	relación	a	otra.	No	bastaba	entonces	
saber	la	longitud	de	los	lados	de	una	figura,	pues	en	algunos	casos	el	tamaño	de	estas	coincidían,	más	
no	así	las	superficies	que	encerraban.	Desde	tiempos	remotos,	se	sabe	que	fue	a	partir	del	rectángulo	
que	se	logró	establecer	una	forma	de	medida	del	área	en	base	al	producto	de	sus	lados.	A	partir	de	ella,	
el	área	de	un	triángulo	resultó	ser	la	mitad	del	área	de	aquel.	De	este	modo	el	área	de	un	cuadrado,	
de	un	paralelogramo	y	en	general	de	un	polígono	de	"n"	lados,	podían	ser	medidos	en	base	a	los	dos	
primeros.
h
a
A= a	.	h2
h
b
A= b	.	h2
h
b
A= b	.	h2
ÁREA DE LA REGIÓN TRIANGULAR
A= a	.	b2 	.	senaº
Forma trigonométrica
aº
a
b
b
aº
sena= ha
h=a	sena
Demostración:
a
h
aº
h
a
A=b	.	a	sena2A=
b	.	h
2
Luego:
donde:	p= a+b+c
2
	
p→ semiperímetro	del	 	
A= p(p	-	a)(p	-	b)(p	-	c)	
Fórmula de Herón
a
c
b
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GeometríaÁreas de regiones triangulares
Demostración:
30º
60º
2
h
l
l
h
30º
60º
l l
l
l=2h
3
Luego:	A= l .	h
2También:	h=
l
2
3
A= h
2 3
3
ÁREA EN FUNCIÓN DEL INRADIO
A=p	.	r
p	→ semiperímetro	del	 	
r
r r
r
Atotal=
ar
2 +
br
2 +
cr
2
Atotal=r	
a+b+c
2
Atotal=p	.	r
a b
c
Demostración:
Área=rAB	.	rBC
En el triángulo rectángulo
A
Cateto
A=
Ca
te
to
Cateto	.	Cateto
2
A
A=m	.	n
m n
rAB
B
A
A C
rBC
h
l l
l
A= l 
2	.	 3
4 =
h2	 3
3
Triángulo equilátero
A=2h
3
	.	 h
2
h=
l
2
3 	..... 1 Luego:	A= l .	h
2
A=
l .	
l
2
3
2
A= l 
2 3
4
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Geometría
Unidad VI
Geometría 2
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
ÁREA
DE LA
REGIÓN
TRIANGULAR
Fórmula
básica
Fórmula	en	función
de	sus	radios
Forma
trigonométrica
Propiedades	que
se	deducen
Fórmula
de	Herón
Casos
particulares
En todo tipo
de triángulo
Área	del	triángulo
	rectángulo
Área	del	triángulo
	equilátero
Propiedades	que
se	deducen
1.	 Grafique	un	triángulo	de	10	cm	de	base	y	traze	
la	altura	relativa	a	dicha	base,	que	mide	"2h"	cm.	
Si	el	área	de	esta	región	triangular	es	de	80	cm2,	
calcular	la	suma	de	la	base	y	la	altura	del	triángulo.
2.	 En	 un	 triángulo,	 la	 base	 y	 la	 altura	 relativa	
a	 ella	 se	 encuentran	 en	 la	 relación	 de	 2	 a	
1	 respectivamente.	 Si	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	es	de	49	cm2,	calcular	la	longitud	de	
dicha	altura.
3.	 Dos	lados	de	un	triángulo	miden	12	y	10	cm.	
Si	el	ángulo	que	forman	dichos	lados	es	de	45°,	
calcular	el	área	de	su	región.
4.	 Grafique	un	triángulo	de	48	cm	de	perímetro	y	
grafique	su	circunferencia	 inscrita	de	6	cm	de	
radio.	Calcule	el	área	de	la	región	triangular.
5.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	 de	 un	 triángulo	
equilátero	de	18	cm	de	perímetro.
Geometría 4to - III Bim.indd 153 31/10/2014 11:45:56 a.m.
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GeometríaÁreas de regiones triangulares
Conceptos básicosAprende más...
6.	 Un	rombo	está	conformado	por	dos	triángulos	
equiláteros.	Si	el	perímetro	del	cuadrilátero	es	
de	24'cm,	calcular	su	área.
7.	 Sea	"O"	el	centro	de	una	circunferencia	de	5	cm	
de	radio	y	AB	un	segmento	tangente	a	dicha	cir-
cunferencia.	Si	AB=12	cm,	calcule	el	área	de	la	
región	triangular	AOB.
8.	 ABCD	 es	 un	 cuadrilátero	 convexo,	 donde:										
m ABC=m ACD=90°,	 AB=3	 cm,	 BC=4	 cm	 y	
AD=13'cm.	Calcule	el	área	de	la	región	cuadrangular	
ABCD.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	área	de		la	región	de	un	triángulo	
equilátero	de	lado	"b"	es	igual
	 	 a	b
2 2
4
	.................................................(__)
	 •	 El	área	de	un	triángulo	es	igual	al	producto
	 	 de	su	semiperímetro	con	su	circunradio...(__)
	 •	 La	fórmula	de	Herón	para	calcular	áreas	
del	triángulo,	es	válido	solo	en	triángulos	
acutángulos.	........................................(__)
2.	 Completar	en	cada	caso	lo	que	se	pide	(A=área)
AABC=
A
c
aº
b
B
C
AABC=l l
lA
B
C
3.		 Graficar	lo	que	se	indica:
	 •	 Una	circunferencia	de	centro	"Q",	un	seg-
mento	BC	tangente	a	ella	y	sombree	la	su-
perficie	triangular	BQC.
	 •	 Al	triángulo	ABC	y	trace	la	mediatriz	de	AC.	
Sombree	la	superficie	cuadrangular	que	se	
determina.
	
	 •	 Una	circunferencia	de	centro	"Q",	los	seg-
mentos	AB	y	BC	tangentes	a	ella	y	sombree	
la	superficie	cuadrangular	ABCQ.
Resolución de problemas
4.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 altura	
BH.	 Sabiendo	 que:	 AB=6	 cm,	 AH=4	 cm	
y	 AC=10'cm,	 calcular	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	ABC.
5.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	a	su	altura	BH	y	al	
rectángulo	BHCD.	Si	 el	 área	de	 la	 región	 rec-
tangular	 BHCD	 es	 de	 48'cm2,	 HC=8'cm	 y	
AH=2'cm,	calcular	el	área	de	la	región	triangu-
lar	ABC.
6.	 El	 perímetro	 de	 un	 triángulo	 equilátero	 es	 de	
36'cm.	Calcular	el	área	de	su	región.
7.	 En	una	circunferencia	de	8p	cm	de	perímetro,	se	
encuentra	inscrito	un	hexágono	regular.	Calcular	
la	relación	entre	el	área	de	este	polígono	y	su	
perímetro	respectivamente.
8.	 Dos	 lados	 de	 un	 triángulo	miden	 8	 y	 10	 cm.	
Si	el	seno	del	ángulo	que	forman	dichos	lados	
mide	2/5,	calcular	el	área	de	su	región.
9.	 Grafique	a	un	cuadrado	ABCD	de	20'cm	de	pe-
rímetro	y	describa	una	circunferencia	con	cen-
tro	en	"B"	y	radio	igual	a	3'cm.	Trace	la	tangen-
te	AT	a	dicha	 circunferencia	 y	 calcule	 el	 área	
de	 la	 región	 triangular	ATD	 ("T"	 es	 interior	 al	
cuadrado).
10.	Grafique	el	triángulo	rectángulo	ABC	(B=90º)	e	
inscriba	la	circunferencia	de	centro	"Q"	y	cuyo	
radio	mida	4	dm.	Si	los	lados	AB	y	BC 	miden	16	
y	12	dm,	calcule	el	área	de	la	región	triangular	
AQC.
Geometría 4to - III Bim.indd 154 31/10/2014 11:45:56 a.m.
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Geometría
Unidad VI
Geometría 2
11.	Dos	lados	de	un	triángulo	miden	6 2	y	14'dm.	
Si	 el	 área	 de	 la	 región	 de	 este	 triángulo	 es	
42'dm2,	calcule	la	longitud	del	tercer	lado.
12.	 Calcular	 el	 área	 de	 un	 triángulo	 rectángulo,	
sabiendo	que	el	inradio	mide	3	m	y	el	circunradio	
mide	8,5	m.
13.	 Por	el	vértice	"B"	del	triángulo	equilátero	ABC,	
se	traza	BF	perpendicular	a	la	bisectriz	exterior	
del	ángulo	"C".	Hallar	el	área	de	la	región	trian-
gular	ABC,	si:	AF= 7	cm.
14.	 En	 un	 triángulo,	 las	 longitudes	 de	 sus	 lados	
miden	10;	12	y	14	dm.	Calcule	la	longitud	de	
su	inradio.
15.	 En	un	triángulo	ABC:	AB=13	cm,	BC=15	cm	
y	AC=14	cm.	Se	traza	una	semicircunferencia	
tangente	 a	 AB	 y	 a	 BC	 cuyo	 diámetro	 está	
contenido	 en	 AC.	 Hallar	 el	 radio	 de	 esta	
semicircunferencia.
16.	 La	circunferencia	inscrita	a	un	triángulo,	divide	
a	uno	de	los	lados	en	dos	segmentos	que	miden	
16	y	12	dm.	Si	el	área	de	la	región	triangular	es	
de	336	dm2,	calcular	el	valor	del	inradio.
17.	 En	un	triángulo	rectángulo,	los	exradios	relativos	
a	 los	 catetos	miden	 9,5	 y	 10	 dm.	Calcular	 el	
producto	de	los	catetos.
18.	 En	el	gráfico,	ABCD	es	un	cuadrado	y	"Q"	es	
punto	 de	 tangencia.	 Si	 la	 región	 sombreada	
tiene	 como	área	 los	3/8	del	 área	de	 la	 región	
del	cuadrado,	calcular	el	valor	de	"q°".
B
A
C
qº
Q
D
Aplicación cotidiana
19.	 En	 un	 aviso	 publicitario,	 se	 lee	 lo	 siguiente:	 "Se	
vende	 terreno	 en	 Cocachacra,	 carretera	 central,	
ideal	para	casa	de	campo,	el	terreno	tiene	la	forma	
de	un	cuadrilátero	conformado	por	dos	triángulos	
equiláteros	 que	 hacen	 un	 área	 de	 200'm2	 y	 está	
valorizado	en	$32'000".
	 •	 ¿Cuál	es	la	longitud	del	lado	de	este	terreno?
	 •	 ¿Cuál	es	el	precio	por	m2	de	dicho	terreno?
20.	 En	una	de	las	casas	de	Julio,	su	arquitecto	diseñó	
en	el	segundo	piso	una	estructura	conformada	por	
rectángulos,	cuadrados	y	triángulos.	A	la	hora	de	
revestirlo	de	cierto	material	necesita	saber	el	área	
de	 estas	 figuras.	 Si	 dos	de	 los	 triángulos	mostra-
dos	son	isósceles	cuyos	lados	congruentes	miden	
1,8'm	y	sus	bases	miden	1	y	1,2	m	respectivamen-
te,	calcular:
	 •	 El	área	de	estos	triángulos
	 •	 Si	el	m2	del	material	que	va	a	revestir	esta	estruc-
tura	cuesta	$6	el	m2,	¿cuánto	gastará	en	material	
solo	para	estos	dos	triángulos?
Geometría 4to - IIIBim.indd 155 31/10/2014 11:45:56 a.m.
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GeometríaÁreas de regiones triangulares
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos¡Tú puedes!
1.	 En	 un	 triángulo	 ABC,	 las	medianas	 AM ,	 BN 	
y	CL 	miden	15;	12	y	18	m	respectivamente.	
Calcular	el	área	de	la	región	triangular	ABC.
2.	 La	figura	muestra	a	un	triángulo	rectángulo	con	
dos	 semicircunferencias,	 donde	 su	 tangente	
común	AB 	mide	8	dm.	Calcular	el	área	de	la	
región	triangular	PQS.
	
BA
P
Q
S
3.	 En	un	triángulo	rectángulo	ABC,	la	circunferencia	
inscrita	determina	sobre	los	catetos	AB	y	BC	los	
puntos	"E"	y	"F"	respectivamente.	Si:	AE=8	cm	y	
FC=10	cm,	calcular	el	área	de	la	región	triangular	
ABC.
4.	 El	 inradio	 de	 un	 triángulo	 mide	 4	 cm	 y	 la	
circunferencia	inscrita	determina	sobre	uno	de	
los	 lados,	 segmentos	 cuyas	 longitudes	 miden	
6	 y	 8	 cm.	 Calcular	 el	 área	 de	 dicha	 región	
triangular.
5.	 Los	 lados	 de	 un	 triángulo	 miden	 "a",	 "b"	 y	
"c"	 cm.	 Calcular	 el	 producto	 del	 inradio	 y	 el	
circunradio	del	triángulo.
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 según	
corresponda:
	 •	 El	área	de	un	triángulo	es	igual	al
	 	 producto	de	su	perímetro	con	su
	 	 inradio.	..............................................(___)
	 •	 La	forma	trigonométrica	de	calcular
	 	 el	área	de	un	triángulo,	es	aplicable
	 	 solo	en	los	triángulos	acutángulos.	.....(___)
	 •	 El	área	de	la	región	de	un	triángulo
	 	 equilátero	de	lado	"a"	es	igual
	 	 a	a
2 5
4 .	..............................................(___)
2.	 Completar	en	cada	caso	lo	que	se	pide	(A=área).	
A
c
B
a
Cb
AABC=			p(					)(					)(					)
B
a
C
b
A
AABC=
3.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC	 y	 trace	 la	 altura	
BH.	 Sabiendo	 que:	 AB=8.cm,	 AH=2.cm	 y	
AC=12.cm,	calcular	el	área	de	la	región	trian-
gular	ABC.
4.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 a	 su	 altura	 BH	 y	
al	 rectángulo	 BHCD.	 Si	 el	 área	 de	 	 la	 región	
rectangular	 BHCD	 es	 de	 80.cm2,	 HC=8'cm	
y	 AH=4.cm,	 calcular	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	ABC.
5.	 El	 perímetro	 de	 un	 triángulo	 equilátero	 es	 de	
24.cm.	Calcular	el	área	de	su	región.
6.	 En	una	circunferencia	de	16p	cm	de	perímetro,	
se	 encuentra	 inscrito	 un	 hexágono	 regular.	
Calcular	 la	 relación	 entre	 el	 área	 de	 este	
polígono	y	su	perímetro	respectivamente.
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Geometría
Unidad VI
Geometría 2
7.	 Dos	 lados	de	un	 triángulo	miden	12	y	16.cm.	
Si	el	seno	del	ángulo	que	forman	dichos	lados	
mide	3/8,	calcular	el	área	de	su	región.
8.	 Grafique	 a	 un	 cuadrado	 ABCD	 de	 20.cm	 de	
perímetro	 y	 describa	 una	 circunferencia	 con	
centro	 en	 "B"	 y	 radio	 igual	 a	 4.cm.	 Trace	 la	
tangente	AF	a	dicha	circunferencia	y	calcule	el	
área	de	la	región	triangular	AFD	("F"	es	interior	
al	cuadrado).
9.	 En	un	triángulo,	la	base	y	la	altura	relativa	a	ella	
están	en	relación	de	2	a	1	respectivamente.	Si	
el	 área	 de	 su	 región	 triangular	 es	 de	 25	 dm2,	
calcular	la	longitud	de	su	altura.
10.	 En	un	triángulo	rectángulo,	la	hipotenusa	y	un	
cateto	se	encuentran	en	la	relación	de	13	a	12.	
Si	el	área	de	esta	región	triangular	es	de	30	dm2,	
calcular	el	perímetro	de	dicho	triángulo.
11.	 Los	lados	de	un	triángulo	miden	13;	14	y	15.dm.	
Calcule	el	área	de	su	región.
12.	Dos	 lados	de	un	 triángulo	miden	6 2	y	8	dm	
y	 además	 el	 ángulo	 que	 forman	 es	 de	 45°.	
Calcule	 el	 lado	 del	 cuadrado	 que	 tenga	 igual	
área	a	la	del	triángulo	dado.
13.	 Si	ABCD	es	un	cuadrado	de	24	dm	de	perímetro,	
calcular	el	área	de	la	región	sombreada.	("A"	y	
"D"	son	centros).
F
A
B C
D
14.	 En	la	figura,	ABC	es	un	triángulo	equilátero.	Si:	
BC=12	cm,	AQ=QC	y	PB=2	cm,	calcular	el	
área	de	la	región	sombreada.
P
A
B
Q C
15.	 La	 circunferencia	 inscrita	 en	 un	 triángulo	 rec-
tángulo,	 determina	 sobre	 la	 hipotenusa	 dos	
segmentos	que	miden	4	y	6	dm.	Calcular	el	área	
de	dicho	triángulo	rectángulo.
16.	Calcular	 el	 área	 de	 un	 dodecágono	 regular	
inscrito	 en	 una	 circunferencia	 de	 6	 dm	 de	
radio.
17.	 Los	lados	de	un	triángulo	miden	13;	14	y	15.dm.	
Calcular	el	valor	del	inradio.
18.	 Si	AE	y	FC 	miden	6	y	10	dm,	calcular	el	área	de	
la	región	triangular	ABC.
O
A
B
E
F
C
19.	 En	un	triángulo	rectángulo	ABC,	el	ángulo	recto	
es	"C".	Por	"D"	punto	medio	de	AB	se	levanta	
una	 perpendicular	 que	 corta	 al	 cateto	 BC	 en	
"E".	 Si:	AB=40	dm	y	AC=24	dm,	 calcular	 el	
área	de	la	región	cuadrangular	ADEC.
20.	 En	un	cuadrante	AOB	(AO=OB=5	m)	sobre	el	
arco	AB	 se	 ubica	 el	 punto	 "P"	 y	 desde	 dicho	
punto	 se	 traza	 PQ' 'AO,	 tal	 que	 PQ=3	 m.	
Calcular	el	área	de	la	región	triangular	QPB.
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3
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Áreas de regiones 
cuadrangulares
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tipos	de	cuadriláteros	y	los	elementos	que	intervienen	en	el	cálculo	de	sus	res-
pectivas	áreas.
•	 A	reconocer,	diferenciar	y	aplicar	las	propiedades	del	cálculo	de	áreas,	en	la	resolución	de	pro-
blemas.
www.fuerzaycontrol.com
Todos	conocemos	a	los	trapecios	como	aquellos	cua-driláteros	que	tienen	un	par	de	lados	paralelos	llama-dos	bases,	 donde	 el	 área	de	 su	 región	 es	 igual	 a	 la	
semisuma	de	las	bases	por	su	altura.
En	 la	 práctica,	 tenemos	 terrenos	 en	 forma	 de	 trapecio	 y	
construcciones	en	dicha	forma,	etc.	Pero	también	se	usa	el	
nombre	de	esta	figura	en	contextos	que	no	necesariamente	
se	ajustan	a	su	forma	geométrica,	tal	es	el	caso	del	trapecio	
muscular	en	medicina.
Este	 denominado	 "trapecio"	 es	 un	 músculo	 en	 forma	 de	
abanico	que	se	fija	en	un	área	muy	pequeña	(la	escápula)	y	
se	proyecta	hacia	un	amplio	número	de	huesos.
Sus	haces	musculares	van	a	tener	direcciones	
muy	diferentes	en	 la	parte	más	elevada	 res-
pecto	a	 la	más	baja,	y	eso	se	 refleja	en	sus	
funciones.
Como	ustedes	podrán	observar	y	leerán,	este	
trapecio	tiene	muchas	funciones	pero	no	es	
exactamente	un	trapecio	tal	y	como	
lo	conocemos.
•	 Se acuerda usted, ¿cómo 
se calcula el área de un tra-
pecio?
•	 El trapecio muscular, ¿a qué 
cuadrilátero se asemeja?
b
a
h
3
Geometría 4to - III Bim.indd 158 31/10/2014 11:45:58 a.m.
Unidad VI
Geometría
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Saberes previos
Antes de entrar al tema, recordemos que:
	 •	 Trapezoide
	 	 	 Cuadriláteros	que	no	tienen	lados	paralelos
	 •	 Trapecios
	 	
base	menor
a)
Escaleno
Isósceles
Rectángulobase	mayor
a a
	 	
b b
mediana
Mediana=B+b2 x=
B	-	b
2
x
b)
B B
	 •	 Paralelogramos
	 	
Rectángulo
Cuadrado
Rombo
Romboide
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GeometríaÁreas de regiones cuadrangulares
Conceptos básicos
b
a
ha
hb
A=b	.	hb
A=a	.	ha
A=a	.	b A=	l 2=d2
2
EN EL PARALELOGRAMO
EN EL TRAPECIO
EN UN CUADRILÁTERO INSCRITO EN UN CUADRILÁTERO CONVEXO
Semiperímetro:	p=
a+b+c+d
2
"B"	y	"b":	bases
Rectángulo Cuadrado Rombo
a
b
l
l
d
A
B
C
D
A= (AC).(BD)
2
b
B
M N h M
B
A D
C
H
a
c
BC	//	AD
M	 punto	medio	de	AB
MH	 	CD
 A=a	.	c
A=(B+b)
2
	.	h=MN	.	h
A=AC .BD
2
	.	sen
A= (p	-	a)(p	-	b)(p	-	c)(p	-	d)
a
b
d
c
A
B
C
D
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Geometría
Unidad VI
Geometría 3
ConceptosbásicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
EN	EL	TRAPECIO
Semisuma	de	las	bases
por	su	altura
ÁREAS
DE LOS
CUADRILÁTEROS
TRAPEZOIDE
Semiproducto	de	las	
diagonales	multiplicado	por	
el	seno	del	ángulo
que	forman
Semiproducto	de	sus	
diagonales	multiplicado	por	
el	seno	del	ángulo
EN	EL	PARALELOGRAMO
Producto	de	su	base
con	la	altura
Cuadrilátero convexo
Cuadrilátero no convexo
1.	 La	base	de	un	rectángulo	es	el	doble	de	su	altura.	
Si	el	área	de	su	región	es	de	72	cm2,	calcular	la	
suma	de	la	base	y	la	altura.
2.	 En	un	romboide,	la	base	mide	10	cm	y	la	altura	
relativa	a	ella	mide	8,1	cm.	Si	este	cuadrilátero	
es	 equivalente	 a	 un	 cuadrado,	 calcule	 la	
longitud	del	lado	de	dicho	cuadrado.
3.	 Grafique	al	paralelogramo	ABCD,	de	modo	que:	
BD=6	cm	y	m BDA=30º.	Trace	la	altura	BH	
("H"	∈	AD),	y	calcule	el	área	del	paralelogramo,	
sabiendo	además	que:	AH=2 3 	cm.
4.	 Grafique	 al	 trapecio	 rectángulo	 ABCD,	 cuyas	
bases	BC	y	AD	midan	4	y	10	cm	respectivamente.	
Si	 el	 lado	 oblicuo	CD	mide	 8	 cm,	 calcule	 el	
área	de	dicho	trapecio.
5.	 Grafique	un	 rombo,	donde	 la	diagonal	menor	
mida	 10	 cm	 y	 la	 diagonal	mayor	 excede	 a	 la	
diagonal	menor	 en	 6	 cm.	 Calcule	 el	 área	 del	
rombo.
6.	 El	lado	de	un	rombo	mide	20	cm	y	una	de	sus	
diagonales	mide	24	cm.	Calcule	el	área	de	su	
región.
7.	 En	 un	 cuadrilátero,	 dos	 de	 sus	 diagonales	
miden	6	y	18	cm.	Si	el	ángulo	que	forman	estas	
diagonales	 es	 de	 60º,	 calcular	 el	 área	 de	 su	
región.
8.	 En	 una	 circunferencia	 de	 5	 cm	 de	 radio,	 se	
encuentra	 inscrito	 un	 rectángulo	 de	 8	 cm	 de	
base.	Calcular	el	área	de	dicho	cuadrilátero.
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GeometríaÁreas de regiones cuadrangulares
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	área	de	un	rombo	se	calcula	como	el	
producto	de	un	lado	con	su	altura.	.......(__)
	 •	 El	área	de	un	trapezoide	se	calcula	
	 	 como	el	semiproducto	de	sus	diagonales,	
multiplicado	por	el	coseno	del	ángulo	
	 	 que	forman	dichas	diagonales.	.............(__)
	 •	 El	área	de	un	trapecio	es	igual	al	producto	
de	su	mediana	con	uno	de	sus	lados.	...(__)
 
2.	 Completar	en	cada	caso	lo	que	se	pide	(A=área).
	 a)		Trapecio																																		
h
AABCD=
M
B
A
C
D
N
	 b)		Cuadrado
AABCD=
R
C
D
B
A
3.		 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	 trapezoide	 y	 sombree	 el	 cuadrilátero	
que	se	forma	al	unir	los	puntos	medios	de	
sus	lados.
	 •	 Un	romboide	ABCD	y	un	punto	"M"	en	BC.	
Sombree	la	superficie	del	triángulo	AMD.
	 •	 Un	 rectángulo	 ABCD	 de	 centro	 "O"	 y	
el	 rombo	 OCFD.	 Sombree	 el	 área	 del	
pentágono	ABCFD	que	se	determina.
Resolución de problemas
4.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	trace	la	altura	BH	y	
grafique	al	trapecio	rectángulo	BHCF,	de	modo	
que	AB	y	BF	sean	congruentes.	Sabiendo	que:	
AB=6	cm,	AH=4	cm	y	AC=14	cm,	calcular	el	
área	de	la	región	trapecial	BHCF.
5.	 Grafique	al	paralelogramo	ABCD	y	trace	la	altura	
BH	relativa	a	AD.	Si:	HA=	5	cm	y	HD=7,cm,	
calcule	el	valor	de	"AB",	sabiendo	que	el	área	de	
la	región	paralelográmica	ABCD	es	de	72'cm2.
6.	 Grafique	 al	 triángulo	 ABC,	 ubique	 "Q"	 punto	
medio	 de	 BC	 y	 luego	 grafique	 al	 cuadrado	
PQRC	cuya	área	sea	de	64	cm2.	Calcule	el	área	
de	 la	 región	 triangular	ABC,	 sabiendo	además	
que	AC=20	cm.
7.	 ABCD	es	un	trapecio,	cuya	base	menor	es	BC.	
Inscriba	el	cuadrado	PBCQ	de	32	cm2	de	área	
y	 calcule	 el	 área	 de	 dicho	 trapecio,	 sabiendo	
además	que:	AB=8	cm	y	m D=45º.
8.	 Grafique	 a	 la	 semicircunferencia	 de	 diámetro	
AB,	de	centro	"O"	y	radio	igual	a	12	cm.	Trace	
la	cuerda	PQ	paralela	al	diámetro	AB	de	modo	
que	el	arco	QB	mida	30º.	Calcule	el	área	de	la	
región	cuadrangular	APQB.
9.	 El	 perímetro	 de	 un	 rombo	 es	 de	 40	 cm	 y	 la	
diagonal	menor	mide	12	cm.	Calcular	 el	 área	
de	dicho	rombo.
10.	ABCD	 es	 un	 trapecio	 rectángulo	 donde:	
m A=m B=90º,	 BC=6	 dm,	 AB=12	 dm	 y	
CD=13	dm.	Calcular	el	área	de	la	región	que	
encierra	dicho	trapecio.
11.	 Sea	ABDE	un	cuadrado	de	6	dm	de	lado	y	BCD	
un	 triángulo	 equilátero	 interior	 al	 cuadrado.	
Calcule	 el	 área	 de	 la	 región	 pentagonal	
ABCDE.
12.	Con	 dos	 triángulos	 rectángulos	 isósceles	 y	
un	 cuadrado	 se	 puede	 formar	 un	 trapecio	
isósceles.	Si	el	área	de	la	región	de	este	trapecio	
es	de	32'cm2,	hallar	el	perímetro	del	cuadrado	
central.
13.	 Se	tiene	un	rombo	de	40	dm	de	perímetro,	en	el	
cual	se	encuentra	inscrito	una	circunferencia	de	
9,6	dm	de	diámetro.	Hallar	el	área	de	la	región	
del	rombo.
14.	 Se	tiene	dos	segmentos	de	8	y	10	cm,	que	los	
ubicaremos	como	diagonales	de	un	cuadrilátero.	
Para	que	el	área	de	la	región	de	este	cuadrilátero	
sea	 la	 mayor	 posible,	 ¿qué	 ángulo	 deberán	
formar	dichos	segmentos?
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Geometría
Unidad VI
Geometría 3
Conceptos básicos¡Tú puedes!
15.	 Si	 el	 perímetro	 de	un	 cuadrado	disminuye	 en	
4'cm,	 el	 área	 disminuye	 en	13	 cm2.	Hallar	 el	
área	de	la	región	del	cuadrado	original.
16.	 En	la	figura,	ABCD	es	un	cuadrado	de	6	dm	de	
lado.	Calcular	el	área	de	la	región	sombreada.
B C
A D
17.	 Se	tiene	un	triángulo	ABC,	en	el	cual	se	inscribe	
una	semicircunferencia	cuyo	diámetro	MN	está	
contenido	en	AC	y	es	tangente	a	los	otros	dos	
lados.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	MBN,	 si:	
AB=13	m,	BC=15	m	y	AC=14	m.
18.	 En	el	gráfico:	AB=AM=MD=4	dm.	Calcule	el	
área	de	la	región	sombreada.
B N C
A DM
H
Aplicación cotidiana
19.	Calcula	el	número	de	árboles	que	pueden	plantarse	en	un	terreno	
rectangular	de	32	m	de	largo	y	30'm	de	ancho,	si	cada	planta	ne-
cesita	para	desarrollarse	4	m2.
20.	 La	figura	nos	muestra	un	esquema	de	la	fachada	de	un	edificio.	Calcula	
la	cantidad	de	pintura	necesaria	para	pintar	dicha	fachada,	sabiendo	que	
se	gastan	0,5	kg	de	pintura	por	m2.
1.	 Se	 tiene	 un	 triángulo	 rectángulo	 ABC																									
(m B=90º)	tal	que	sobre	la	hipotenusa	se	toma	
un	punto	"P"	y	se	traza	PM	perpendicular	a	AB	
y	PN	perpendicular	a	BC .	Hallar	el	área	de	la	
región	 triangular	 ANP,	 si	 el	 área	 de	 la	 región	
triangular	PMC	es	3	m2.
2.	 En	 un	 cuadrante	 AOB	 (AO=OB=R),	 se	 traza	
una	 circunferencia	 tangente	 a	 OB	 y	 a	 la	
prolongación	de	AO	 de	 centro	 "O1".	Calcular	
el	 área	 de	 la	 región	 triangular	 AO1O,	 si:																								
m ABO1=90º.
3.	 Calcular	el	área	de	la	región	sombreada,	si	las	
tangentes	comunes	miden	6	y	9	dm.
	
B
P Q
S
8	m
10	m
4	
m
2	
m
4	
m
Geometría 4to - III Bim.indd 163 31/10/2014 11:46:00 a.m.
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GeometríaÁreas de regiones cuadrangulares
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Completar	 en	 cada	 caso	 lo	 que	 se	 pide	
(A=área)
	 a)	 Paralelogramo
A=
ah
H
	 b)	 Trapezoide
A=
a
B
A
C
D
	 c)	 Rombo
A=
B
A C
D
2.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	 rombo	 ABCD	 y	 el	 punto	 medio	 "M"	
de	BC.	Sombree	la	superficie	del	triángulo	
AMD.
	 •	 Un	 rectángulo	 ABCD	 de	 centro	 "O"	 y	 el	
rombo	OCFD.	Sombree	la	superficie	exterior	
al	rombo,	pero	interior	al	rectángulo
	 •	 Una	 semicircunferencia	de	diámetro	AB	 e	
inscriba	al	trapecio	APQB.	Sombree	el	área	
de	la	región	triangular	AQB.
3.	 Grafique	al	triángulo	ABC,	trace	la	altura	BH	y	
grafique	al	trapecio	rectángulo	BHCF,	de	modo	
que	AB	y	BFsean	congruentes.	Sabiendo	que:	
AB=10	cm,	AH=6	cm	y	AC=20	cm,	calcular	
el	área	de	la	región	trapecial	BHCF.
4.	 Grafique	al	paralelogramo	ABCD	y	trace	la	altura	
BH	relativa	a	AD.	Si:	HA=4	cm	y	HD=6'cm,	
calcule	el	valor	de	"AB",	sabiendo	que	el	área	de	
la	región	paralelográmica	ABCD	es	de	80'cm2.
5.	 Grafique	 al	 triángulo	 PQR,	 ubique	 "A"	 punto	
medio	 de	 QR	 y	 luego	 grafique	 al	 cuadrado	
ABRC	cuya	área	sea	de	81'cm2.	Calcule	el	área	
de	 la	 región	 triangular	PQR,	sabiendo	además	
que	PR=20	cm.
6.	 ABCD	es	un	trapecio	cuya	base	menor	es	BC.	
Inscriba	el	cuadrado	PBCQ	de	64	cm2	de	área	
y	 calcule	 el	 área	 de	 dicho	 trapecio,	 sabiendo	
además	que:	AB=10	cm	y	m D=45º.
7.	 Grafique	 a	 la	 semicircunferencia	 de	 diámetro	
AB,	de	centro	"O"	y	radio	igual	a	8	cm.	Trace	
la	cuerda	PQ	paralela	al	diámetro	AB	de	modo	
que	el	arco	QB	mida	60º.	Calcule	el	área	de	la	
región	cuadrangular	APQB.
8.	 El	 perímetro	 de	 un	 rombo	 es	 de	 60	 cm	 y	 la	
diagonal	mayor	mide	24	 cm.	Calcular	 el	 área	
de	dicho	rombo.
9.	 Si	ABCD	es	un	trapecio	rectángulo,	tal	que:	m
A=m B=90º,	AB=6	dm,	BC=4	dm	y	CD=10	
dm.	Calcule	el	área	que	encierra	dicho	trapecio.
10.	Hallar	el	área	de	 la	 región	de	un	cuadrado,	si	
sus	diagonales	suman	16	dm.
11.	Dos	lados	de	un	romboide	miden	10	y	12	dm.	
Si	 el	 ángulo	 que	 forman	mide	 53º,	 calcule	 el	
área	de	su	región.
12.	 La	 base	 de	 un	 rectángulo	 es	 de	 30	 dm	 y	 la	
4.	 Se	 tiene	 tres	 circunferencias	 de	 centros	 "A",	
"B"	 y	 "C",	 tangentes	 exteriormente	dos	 a	dos.	
Calcule	el	área	de	la	región	triangular	ABC,	si	el	
producto	de	sus	radios	es	8	m3	y	la	suma	de	sus	
radios	es	6	m.
5.	 En	un	triángulo	rectángulo	BAC,	recto	en	"A",	
se	 construye	 un	 cuadrado	 exterior	 BCDE.	
Luego	 se	 trazan	 DM	 y	 EF	 perpendiculares	 a	
la	 prolongación	de	AB.	Calcular	 el	 área	de	 la	
región	triangular	ADF,	si:	BM=3	m	y	FM=8	m.
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Geometría
Unidad VI
Geometría 3
diagonal	mide	34	dm.	Calcular	el	área	de	dicha	
región	rectangular.
13.	 En	un	cuadrilátero	convexo,	una	diagonal	es	el	
doble	de	la	otra	y	ambas	son	perpendiculares.	
Si	 el	 área	 de	 este	 cuadrilátero	 es	 de	 25	 dm2,	
calcule	la	diagonal	mayor.
14.	Grafique	al	cuadrado	ABDE	y	exteriormente	el	
triángulo	equilátero	BCD.	Calcule	el	área	de	la	
región	pentagonal	ABCDE,	si	AE 	mide	"b"	cm.
15.	 Si	ABCD	es	un	trapecio,	donde:	BC	//	AD,
	 AB=10 2 	 dm,	 BC=6	 dm,	 AD=24	 dm	 y	
m A=45º,	calcule	el	área	que	encierra	dicho	
trapecio.
16.	 En	un	cuadrilátero	convexo,	una	diagonal	es	el	
doble	de	la	otra	y	forman	un	ángulo	de	45º.	Si	
el	área	de	esta	región	es	de	8 2	dm2,	calcular	la	
suma	de	las	diagonales.
17.	 El	perímetro	y	las	diagonales	de	un	rombo	suman	
34	m.	Además	el	lado	es	a	la	diagonal	menor,	
como	 5	 es	 a	 6.	Halla	 el	 área	 que	 encierra	 el	
rombo.
18.	Calcular	el	área	de	un	rombo,	en	el	cual	la	suma	
de	las	diagonales	es	de	70	dm	y	el	inradio	mide	
12	dm.
19.	 En	 la	 figura,	ABCD	es	 un	 cuadrado	 y	CDE	es	
un	 triángulo	 equilátero.	Calcular	 el	 área	de	 la	
región	sombreada,	si	el	área	 triangular	BCE	es	
de	9	dm2.
A D
E
B C
20.	Calcular	 el	 área	 que	 encierra	 un	 triángulo	
rectángulo,	 donde	 un	 ángulo	 mide	 15º	 y	 en	
el	 cual	 se	 ha	 inscrito	 un	 cuadrado	 de	 área	
"A".	Además	uno	de	 sus	 lados	descansa	en	 la	
hipotenusa	de	dicho	triángulo.
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4
Síntesis teórica
Repaso
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	 reconocer	 los	 elementos	 asociados	 a	 un	 polígono	 regular	 y	 relacionarlos	 con	 las	 fórmulas	
enseñadas.
•	 A	 aplicar	 las	 relaciones	 para	 el	 cálculo	 de	 áreas	 de	 regiones	 poligonales,	 en	 la	 resolución	 de	
problemas	matemáticos.
ÁREA	DE	REGIONES	CUADRANGULARES	
•	Paralelogramos	(rectángulo,	cuadrado,	rombo),
			trapecios
•	Área	de	todo	cuadrilátero	en	función	de	sus	diagonales.
A D
E
B C
ÁREA	DE	REGIONES	TRIANGULARES	
•	Fórmula	básica,	forma	trigonométrica,	fórmula	de			
			Herón	y	área	en	función	de	sus	radios.
•	Casos	particulares,	triángulo	equilátero	y	rectángulo.
F
A
B C
D
POLÍGONOS	REGULARES	
•	Elementos	asociados
•	Cálculo	de	lados	y	apotemas
A
B
R
EL TAMAÑO DE LAS FIGURAS 
PLANAS,
FORMAS GEOMÉTRICAS
Y MANERAS DE CALCULARLAS
4
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Unidad VI
Geometría
Conceptos básicos Aprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 luego	
justifique	y/o	ejemplifique	su	respuesta.
	 •	 El	área	de	todo	trapecio	es	igual	al	
	 	 producto	de	la	mediana	con	su	
	 	 altura.	..................................................(__)
	 •	 El	área	de	la	región	de	un	rombo	es	
	 	 igual	al	producto	de	uno	de	sus	lados	
	 	 con	la	altura.	.......................................(__)
	 •	 La	medida	del	arco	que	subtiende	el	
	 	 lado	de	un	decágono	regular	inscrito	
	 	 es	de	30º.	............................................(__)
 
Resolución de problemas
2.	 Si	los	lados	de	un	triángulo	miden	5;	6	y	7	cm,	
calcule	el	valor	de	su	inradio.
3.	 Un	 hexágono	 regular	 se	 encuentra	 inscrito	
en	 una	 circunferencia	 de	 16	 cm	de	 diámetro.	
Calcular	el	área	de	dicho	polígono.
4.	 En	 la	 figura	 mostrada,	 l3	 y	 l6	 representan	 los	
lados	de	un	triángulo	equilátero	y	un	hexágono	
regular	 inscritos	en	una	misma	circunferencia.	
Calcular	m APC.
A
P
C
B
l3
l6
5.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 inscribe	 un	
cuadrado	y	un	triángulo	equilátero.	Calcular	la	
relación	de	sus	lados	respectivamente.
6.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 inscribe	 un	
triángulo	equilátero	y	un	hexágono	regular.	Cal-
cular	la	relación	entre	sus	apotemas	respectiva-
mente.
7.	 Calcular	la	relación	entre	el	inradio	y	el	circun-
radio	de	un	hexágono	regular	respectivamente.
8.	 Calcular	el	área	de	un	triángulo	equilátero	cuyo	
apotema	mide	2	m.
9.	 Calcular	el	área	de	un	hexágono	 regular	cuyo	
circunradio	mide	10	m.
10.	Grafique	 al	 cuadrilátero	 convexo	 ABCD	 de	
modo	 que:	 m B=m ACD=90º,	 AB=6	 dm,	
BC=8	dm	y	CD=10	dm.	Calcule	el	área	de	la	
región	cuadrangular	ABCD.
11.	 La	base	de	un	triángulo	y	la	altura	relativa	a	ella,	
se	encuentran	en	la	relación	de	4	a	3	respectiva-
mente.	Si	el	área	de	esta	región	triangular	es	de	
54	dm2,	calcule	la	longitud	de	su	altura.
12.	 Los	lados	de	un	triángulo	miden	9;	10	y	11	dm.	
Calcule	el	área	de	su	región.
13.	Dos	lados	de	un	triángulo	miden	8	y	10	dm.	Si	
el	 ángulo	 que	 forman	 estos	 lados	mide	 135º,	
calcule	el	área	de	su	región.
14.	 En	una	circunferencia	de	diámetro	AB=20	m,	
se	traza	la	cuerda	AC	que	mide	12	m.	Calcular	
el	área	de	la	región	triangular	ABC.
15.	Calcular	 el	 área	 de	 un	 rectángulo,	 donde	 un	
lado	mide	16	m	y	el	radio	de	la	circunferencia	
circunscrita	mide	10	m.
16.	Calcular	 el	 área	 de	 un	 trapecio	 isósceles,	 si	
la	 mediana	 mide	 12'm	 y	 una	 diagonal	 mide	
13'm.
17.	 En	 un	 romboide,	 la	 base	 mide	 10	 dm	 y	 la	
altura	relativa	a	ella	4	dm.	Se	tiene	un	trapecio	
equivalente	a	este	romboide,	cuyas	bases	miden	
2	y	6	dm.	Luego,	la	altura	del	trapecio	mide:
18.	Grafique	 al	 trapecio	 ABCD,	 cuya	 base	menor	
BC	mida	4	dm	y	la	base	mayor	AD	mida	20	dm.	
Si	además:	AB=10 2 	dm	y	m A=45º,	calcular	
el	área	que	encierra	dicho	trapecio.
19.	 En	 un	 trapezoide	 ABCD,	 sus	 diagonales	 son	
perpendiculares	y	miden	8	y	8 3 	dm.	Calcule	
el	área	de	la	región	trapezoidal.
20.	Grafique	 una	 circunferencia	 de	 centro	 "O"	 y	
ubique	un	punto	exterior	"A".	Trace	las	tangentes	
AT	y	AB,	luegola	secante	ACD,	de	modo	que	la	
medida	del	arco	DTC	sea	igual	a	la	medida	del	
arco	BD.	Si:	AT=4	dm	y	AC=2	dm,	calcular	el	
área	de	la	región	triangular	ABC.
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Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Repaso
1.	 Indicar	 si	 es	 verdadero	 (V)	 o	 falso	 (F),	 según	
corresponda	y	justifique	su	respuesta:
	 •	 El	área	de	todo	paralelogramo	es	igual	al
	 	 producto	de	un	lado	con	cualquiera	de
	 	 sus	alturas.	...........................................(__)
	 •	 El	área	de	la	región	de	un	rombo,	es	igual
	 	 al	producto	de	sus	diagonales.	.............(__)
	 •	 La	medida	del	arco	que	subtiende	el	lado
	 	 de	un	dodecágono	regular	inscrito
	 	 es	de	36º.	............................................(__)
2.	 Si	los	lados	de	un	triángulo	miden	8;	10	y	6'cm,	
calcule	el	valor	de	su	inradio.
3.	 Un	 hexágono	 regular	 se	 encuentra	 inscrito	
en	 una	 circunferencia	 de	 8p	 cm	 de	 longitud.	
Calcular	el	área	de	dicho	polígono.
4.	 En	 la	 figura	 mostrada,	 l3	 y	 l4	 representan	 los	
lados	de	un	triángulo	equilátero	y	un	cuadrado	
inscritos	en	una	misma	circunferencia.	Calcular	
m ABC.
A
P
C
B
l3
l4
5.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	 región	 de	 un	 triángulo	
rectángulo,	de	50	m	de	hipotenusa	y	10	m	de	
inradio.
6.	 La	 altura	 de	 un	 trapecio	 es	 el	 doble	 de	 su	
mediana.	 Si	 el	 área	 de	 dicho	 trapecio	 es	 de	
72'cm2,	calcular	la	longitud	de	la	altura.
7.	 Dos	lados	de	un	romboide	miden	12	y	14	cm.	Si	
la	medida	del	ángulo	que	forman	dichos	lados	
es	de	45º,	calcular	el	área	de	su	región.
8.	 En	una	circunferencia	de	10	cm	de	diámetro	se	
encuentra	inscrito	un	rectángulo	cuya	base	mide	
8	cm.	Calcular	el	área	de	dicho	rectángulo.
9.	 Un	 pentágono	 regular	 ABCDE	 se	 encuentra	
inscrito	en	una	circunferencia.	Calcular	el	valor	
del	 menor	 ángulo	 que	 forman	 las	 diagonales	
AD	y	CE.
10.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 encuentran	
inscritos	un	hexágono	regular	y	un	cuadrado.	Si	
la	suma	de	sus	perímetros	es	de	12(3+2 2 )	cm,	
calcular	la	longitud	de	la	circunferencia.
11.	 En	 un	 triángulo	 rectángulo,	 la	 distancia	 del	
ortocentro	al	circuncentro	es	de	7	cm.	Si	la	altura	
relativa	a	la	hipotenusa	mide	5	cm,	calcular	el	
área	de	la	región	triangular.
12.	 Las	 diagonales	 de	 un	 trapezoide	 miden	 12	
y	 10'cm.	 Si	 el	 ángulo	 que	 forman	 es	 de	 60º,	
calcular	el	área	de	su	región.
13.	 Los	 lados	 de	 un	 triángulo	 se	 encuentran	 en	
progresión	aritmética	de	razón	1	y	su	área	es	de	
6 6 	m2.	Calcular	la	altura	trazada	hacia	el	lado	
intermedio.
14.	 Se	 tiene	un	cuadrado	ABCD,	de	 lado	"a"	y	se	
toma	el	punto	"P"	en	BC.	Hallar	"BP",	si	se	sabe	
que:	AAPD=AP
2	-	PD2.
15.	 En	 una	 misma	 circunferencia	 se	 encuentran	
inscritos	 un	 octógono	 regular	 y	 un	 hexágono	
regular.	Calcular	 la	 relación	de	sus	perímetros	
respectivamente.
16.	Grafique	a	un	rectángulo	ABCD	de	centro	"O"	
y	el	rombo	OCFD.	Calcule	la	relación	de	áreas	
del	rombo	y	del	rectángulo	respectivamente.
17.	 Se	 tiene	 un	 rectángulo	 ABCD,	 en	 el	 cual	 la	
distancia	 de	 "D"	 a	 la	 diagonal	AC	mide	4	m.	
La	 distancia	 de	 "B"	 a	 la	 prolongación	 de	 la	
perpendicular	 trazada	 desde	 "D"	 a	 AC	 mide	
6'm.	Hallar	el	área	del	rectángulo.
18.	Hallar	 el	 área	 de	 la	 región	 de	 un	 trapecio	 de	
lados	no	paralelos:	13	y	15	m	y	de	bases:	6	y	
20'm.
19.	Hallar	el	área	de	la	región	de	un	triángulo	ABC,	
en	el	cual:	AB=7	m,	AC=20	m	y	el	circunradio	
mide	12,5	m.
20.	 En	un	triángulo	ABC:	m A=2m C,	AB=4	m	y	
BC=6	m.	Hallar	el	área	de	la	región	triangular	
ABC.
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