Geometria 9

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APRENDIZAJES ESPERADOS
Después de haber estudiado la primera parte de Geometría del espacio, nos toca estudiar a los prismas, cilindros, pirámides, conos y esfera. En cada uno de estos capítulos encontraremos una lectura motivadora por separado. En la lectura de esta unidad quiero mostrarles las aplicaciones prácticas de estos sólidos.
Por ejemplo, no hace poco que se ha puesto de moda el uso del cilindro, para preparar el pollo al cilindro, 
lechón al cilindro, en fin diversos potajes al cilindro. Este cilindro es de un radio variable, encontraremos 
algunos de radio igual a 25 cm y de espesor 0,9 mm, pintado solo por fuera y tiene una chimenea con tapa 
para regular el paso del aire.
¿Podría Ud. indicar algún uso práctico del cilindro y el cono?
¿Sabe Ud. qué es la pirámide truncada?
LOS SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
MÁS USUALES
Comunicación matemática
•	 Identificar	los sólidos geométricos y diferenciar cada uno de ellos.
•	 Identificar	los	elementos	de	los	sólidos	geométricos	y	el	cálculo	que	se	da	entre	ellos.
Resolución de problemas
• Calcula con los datos disponibles, los valores de los elementos en los sólidos geométricos.
• Formula estrategias de resolución en diferentes tipos de problemas donde se calcule la relación 
entre los sólidos geométricos.
UNIDAD 9
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1
Conceptos básicos
En	la	naturaleza	no	es	difícil	hallar	 diversos	 cuerpos	 en	
forma	de	prisma.	Por	ejemplo,		
en	México,	podemos	encontrar	
uno	de	los	fenómenos	geológi-
cos	más	 hermosos	 de	 la	 natu-
raleza	 y	 que	 involucran	 a	 los	
prismas,	se	trata	de	los	Prismas	
Basálticos	 de	 Santa	 María	 Re-
gla,	 ubicados	 en	 el	 estado	 de	
Hidalgo,	relativamente	cerca	al	
Distrito	Federal.	Son	columnas	
de	basalto	con	un	promedio	de	
30	 metros	 de	 altura	 sobre	 los	
cuales	fluye	agua	de	cuatro	cas-
cadas	como	si	se	tratara	de	una	
fuente	gigante.	Reciben	esta	denominación	debido	a	la	forma	que	tienen	de	un	prisma	y	lo	de	basalto,	es	
por	el	tipo	de	roca	de	origen	volcánico,	rico	en	hierro	y	magnesio.
Prismas y cilindros
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tipos	de	prisma	y	sus	elementos,	así	como	las	del	cilindro.
•	 A	reconocer	y	aplicar	las	relaciones	de	cálculo	de	áreas	laterales,	totales	y	volumen	en	estos	sólidos.
•	 A	asociar	las	relaciones	de	cálculo	del	prisma	a	la	del	cilindro.
 Prismas Prisma recto
Observación: Si	las	bases	son	polígonos	regulares,	entonces	el	prisma	es	regular.
A'
A
B'
B
C'
C
Bases
ABC	y	 A'B'C'
Aristas laterales
AA',	BB',	CC'
Aristas básicas
AB,	BC,	AC
Caras laterales
ABB'A',	BB'C'C,	ACC'A'
Área lateral (AL)
AL=
Perímetro
de	la	base
×h
h:	Altura	del	prisma
Área total (AT)
AT=AL	+2ABase
Volumen (V)
V=ABase	×Altura
ABASE
ABASE
h
w
w
w
.s
er
tu
ri
st
a.
co
m
1
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Unidad IX
Geometría
Síntesis teórica
Cilindros
 Cilindro recto de revolución
g:	Generatriz
r:	Radio	de	las	bases
Observación
Paralelepípedo rectangular (rectoedro u ortoedro)
Área lateral (AL)
AL=2 gr
Área total (AT)
AT=AL	+2ABase
AT=2 r(g+r)
Volumen (V)
V=ABase	.	g
V= r2.	g
ABASE
g
G
en
er
at
ri
z
r
a b
c
D
A=2(ab+ac+bc)
D= a2+b2+c2
V=abc
CILINDRO
Sólido	generado	al	girar	un	rectángulo	alrededor	de	
uno	de	sus	lados.
PARALELEPÍPEDO
Es	un	prisma	cuyas	caras	opuestas	son	congruentes	y	
paralelas.
PRISMAS
Sólidos	con	dos	bases	congruentes	y	paralelas,	las	
caras	laterales	son	paralelogramos.
PRISMAS Y CILINDROS
a b
c
Base
Altura
Base
Cara
lateral
H
r
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GeometríaPrismas y cilindros
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Grafique	 un	 prisma	 pentagonal	 e	 indique	 el	
número	de	caras,	número	de	aristas	y	número	de	
vértices.
2.	 Graficar	un	prisma	triangular	regular,	cuya	área	
de	la	base	es	10	cm2	y	su	altura	mide	12	cm.	
Calcular	el	volumen	del	sólido.
3.	 Las	dimensiones	de	un	paralelepípedo	son:	4;	6	
y	3 3 	cm.	Calcular	su	volumen.
4.	 Un	 cilindro	 de	 revolución	 tiene	 6	 cm	 como	
diámetro	y	8	cm	como	generatriz.	Calcular	 el	
área	lateral	y	su	volumen.
5.	 El	radio	de	un	cilindro	circular	recto	es	de	8	cm	
y	su	generatriz	es	de	5	cm.	Realice	el	desarrollo	
lateral	de	este	sólido	y	calcule	la	longitud	de	su	
base.
6.	 El	 área	 lateral	 de	 un	 cilindro	 recto	 es	 de																			
90 	 cm2.	 Si	 el	 radio	 de	 la	 base	 es	 de	 5	 cm,	
calcular	su	capacidad.
7.	 El	 área	 de	 la	 base	 de	 un	 paralelepípedo	 es	
de		30	cm2	y	su	altura	es	de	9	cm.	Calcular	el	
volumen	del	sólido.
8.	 El	 desarrollo	 lateral	 de	 un	 cilindro	 recto,	 es	
un	 rectángulo	 de	 6	 cm	 de	 altura	 y	 10	 cm	de	
diagonal.	Calcular	el	radio	de	dicho	cilindro.
Comunicación matemática
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	corres-
ponda:
	 •	 Un	prisma	cuadrangular	tiene	cuatro	
	 	 caras.	...................................................(__)
	 •	 Las	bases	de	un	cilindro	necesariamente
	 	 son	círculos.	........................................(__)
	 •	 Las	bases	de	un	prisma	siempre	son
	 	 paralelas.	.............................................(__)
2.	 Completar:
	 a)	 Prisma	recto
a
aa
b
V=
	
	 b)	 Cilindro	circular	recto
h
r
V=
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Un	paralelepípedo	y	dos	diagonales	del	
	 	 sólido.
	 •	 Un	prisma	pentagonal.
	 •	 Un	cilindro	recto	y	su	desarrollo	lateral.
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Geometría
Unidad IX
1
4.	 Relacionar	correctamente:
	 I.	 Prisma	triangular
	 II.	 Paralelepípedo
	 III.	 Cilindro	recto
	 a.	 La	altura	es	igual	a	la	generatriz
	 b.	 Tiene	cinco	caras
	 c.	 Todas	sus	caras	laterales	tienen	un	vértice		
	 	 común.
	 d.	 Las	caras	opuestas	son	congruentes	y
	 	 paralelas
Resolución de problemas
5.	 Se	 tiene	un	prisma	 triangular	 recto,	donde	 las	
aristas	básicas	miden	6;	8	y	10	cm.	Calcular	el	
área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
6.	 El	área	de	la	base	de	un	cilindro	circular	recto	es	
de	81 	cm2	y	su	generatriz	mide	6	cm.	Calcular	
el	área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
7.	 En	un	paralelepípedo	rectangular,	una	de	las	di-
mensiones	de	la	base	es	de	5	cm	y	la	diagonal	
de	dicha	base	es	de	13	cm.	Si	la	altura	del	sólido	
es	de	6	cm,	calcular	el	área	y	el	volumen	del	
sólido.
8.	 La	figura	muestra	a	un	cilindro	circular	recto	de	
8/ 	dm	de	radio	y	a	su	desarrollo	lateral.	Calcu-
lar	el	valor	de	"x".
r
				 x
9.	 El	desarrollo	de	un	cilindro	es	un	rectángulo	de	
base	 igual	 a	8	 cm.	Calcular	 el	 radio	del	 cilin-
dro.
10.	 En	un	prisma	recto,	la	base	es	un	triángulo	equi-
látero	de	2	dm	de	lado.	Si	la	arista	lateral	mide	
6'dm,	calcular	el	área	total	y	el	volumen	de	di-
cho	sólido.
11.	 La	base	de	un	prisma	triangular	regular	tiene	un	
lado	de	 6	 dm	de	 longitud	 y	 la	 altura	 es	 igual	
al	 semiperímetro	de	 la	base.	Calcular	 su	volu-
men.
12.	Calcular	 el	 área	 total	 del	 cilindro	 mostrado,	
sabiendo	que:	AB=15	y	BC=9.
A C
B
13.	 La	base	de	un	prisma	recto	de	12 	de	altura,	es	
un	 triángulo	 equilátero.	 ¿Cuánto	mide	 el	 lado	
de	este	triángulo,	si	el	área	lateral	del	prisma	es	
108	 2?
14.	 Se	tiene	un	prisma	triangular	cuyas	aristas	bási-
cas	miden	5;	6	y	7	cm.	Si	la	arista	lateral	mide	
10	cm,	calcular	el	volumen	del	sólido.
15.	 En	el	prisma	regular	mostrado,	el	inradio	de	la	
cara	laterales	de	4	cm.	Calcular	el	área	total.
16.	 La	base	de	un	prisma	recto	es	un	triángulo	rec-
tángulo,	cuyos	catetos	miden	4	y	8	dm.	Si	la	al-
tura	del	sólido	mide	10	dm,	calcular	el	volumen	
del	sólido	y	su	área	lateral.
17.	 Las	 dimensiones	 de	un	paralelepípedo	 rectan-
gular	son	de	3;	4	y	6	dm.	Calcular	el	valor	de	las	
aristas	de	un	cubo	que	tenga	la	misma	área	que	
la	del	paralelepípedo.
18.	 El	área	de	la	base	de	un	cilindro	de	revolución	
es	de	25 	dm2.	Si	la	altura	mide	6	dm,	calcular	
el	área	lateral	de	otro	cilindro	que	tenga	el	mis-
mo	radio,	pero	de	doble	volumen.
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GeometríaPrismas y cilindros
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
1.	 Si	 la	 altura	 de	 un	 prisma	 regular	 mide	 8 	 y	
el	 desarrollo	 de	 la	 superficie	 lateral	 es	 un	
rectángulo	cuya	diagonal	mide	10 ,	calcular	el	
volumen	del	prisma.
2.	 Un	cilindro	de	revolución	tiene	un	área	lateral	
de	160 	m2	y	el	área	de	 su	base	es	100 	m2.	
Calcular	el	volumen	del	sólido.
3.	 Se	tiene	un	paralelepípedo	rectangular	ABCD	-	
EFGH.	Si:	FH=25;	HG=7	y	AE=1,	calcular	su	
volumen.
4.	 Si	la	diagonal	de	un	rectángulo	es	el	doble	de	su	
ancho	y	el	largo	es	6 3 	cm,	entonces,	calcula	
el	volumen	que	se	genera	cuando	el	rectángulo	
gira	360º	sobre	su	lado	mayor.
5.	 Un	cilindro	 se	encuentra	 inscrito	en	un	cubo.	
La	diagonal	del	cubo	corta	a	la	superficie	lateral	
del	cilindro	en	los	puntos	"P"	y	"Q".	Calcular	el	
área	lateral	del	cilindro.
Aplicación cotidiana
19.	 La	piscina	de	Andrea	es	de	forma	ortoédrica	y	tiene	como	dimen-
siones:	 50	metros	 de	 largo,	 15	metros	 de	 ancho	 y	 2	metros	 de	
profundidad.	Para	llenar	esta	piscina,	Andrea	dispone	de	un	grifo	
que	arroja	un	caudal	de	50	litros	por	segundo.	¿Cuánto	tiempo	se	
necesita	para	llenar	la	piscina?
20.	Muchas	veces	hemos	escuchado	a	las	personas	mayores	hablar	de	la	cilindrada	
del	motor,	de	 la	 compresión,	 etc.	Partamos	por	 entender	que	un	pistón	 tiene	
forma	cilíndrica	y	por	ejemplo	un	pequeño	motor	tiene	2,5×2,25,	que	significa	
2,5	 pulgadas	 de	 diámetro	 por	 2,25	 pulgadas	 de	 carrera	 (es	 decir	 de	 alto)	 el	
desplazamiento	 o	 cilindrada	 se	 obtiene,	 calculando	 el	 volumen	 del	 cilindro	
correspondiente.
	 Después	de	estos	datos,	calcule	Ud.	la	cilindrada	de	un	motor	que	tiene	cuatro	
pistones	de	3'pulgadas	por	2	pulgadas.
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 Un	prisma	pentagonal	tiene	cinco
	 	 caras.	...................................................(__)
	 •	 Las	bases	de	un	cilindro	pueden	ser
	 	 elipses.	................................................(__)
	 •	 El	cubo	puede	considerarse	como	una
	 	 particularidad	de	un	paralelepípedo
	 	 rectangular.	.........................................(__)
2.	 Completar:
	 a)	 Cilindro	circular	recto
h
r
AL=
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Geometría
Unidad IX
1
	 b)	 Prisma	recto
a
aa
b
AL=
3.	 Relacionar	correctamente:
	 I.	 Cilindro	recto
	 II.	 Prisma	cuadrangular
	 III.	 Rectoedro
	 a.	 Todas	sus	caras	 laterales	 tienen	un	vértice	
común.
	 b.	 Las	caras	opuestas	son	congruentes	y	para-
lelas.
	 c.	 Tiene	cuatro	rectángulos	como	caras	latera-
les	y	dos	cuadriláteros	como	bases.
	 d.	 La	altura	es	igual	a	la	generatriz.
4.	 Se	 tiene	un	prisma	 triangular	 recto,	donde	 las	
aristas	básicas	miden	5;	2	y	 29	cm.	Calcular	el	
área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
5.	 El	área	de	la	base	de	un	cilindro	circular	recto	
es	de	121 	cm2	y	su	altura	es	de	5	cm.	Calcular	
el	área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
6.	 En	un	paralelepípedo	rectangular,	una	de	las	di-
mensiones	de	la	base	es	de	6	cm	y	la	diagonal	
de	dicha	base	es	de	10	cm.	Si	la	altura	del	sóli-
do	es	de	9	cm,	calcular	el	área	y	el	volumen	del	
sólido.
7.	 En	el	cilindro	circular	recto	que	se	muestra,	se	
cumple:	r=3	y	OM=5,	hallar	el	volumen.
M
O
r
8.	 En	un	cilindro	circular	recto,	su	generatriz	mide	
8	dm	y	el	radio	de	la	base	5	dm.	Calcular	el	área	
total	del	sólido.
9.	 Si	el	diámetro	de	un	cilindro	circular	recto	mide	
lo	mismo	que	la	altura	y	esta	mide	12'cm,	cal-
cular	el	área	total.
10.	 Si	las	longitudes	de	las	dimensiones	de	un	pa-
ralelepípedo	rectangular	están	en	la	relación	de	
1;	2	y	3	y	su	volumen	es	48 3,	calcular	el	área	
total.
11.	 El	desarrollo	lateral	de	un	prisma	hexagonal	re-
gular	es	un	cuadrado	de	perímetro	igual	a	48 .	
Calcular	el	área	lateral	del	prisma.
12.	 El	 rectángulo	mostrado	 se	 enrolla	 para	 formar	
un	cilindro	cuyo	volumen	es:
10
4
13.	 El	área	lateral	de	un	rectoedro	es	160	m2	y	su	
altura	mide	5	m.	El	perímetro	de	la	base	sería:
14.	 Se	 tiene	un	paralelepípedo	rectangular	ABCD-
EFGH.	Si:	AB=3 ,	AC=5 	y	AE=2 ,	hallar	su	
volumen.
15.	 En	un	paralelepípedo	rectangular,	 las	áreas	de	
tres	de	sus	caras	miden	48;	60	y	80'cm2.	Hallar	
el	volumen	del	sólido
16.	Calcular	el	volumen	del	prisma	regular,	sabien-
do	que	el	radio	de	la	semicircunferencia	inscrita	
en	la	cara	lateral	mide	4	cm	y	que	"T"	es	punto	
de	tangencia.
T
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GeometríaPrismas y cilindros
17.	 Si	"A"	es	el	área	lateral	de	un	cilindro	recto	y	su	
altura	mide	"H";	luego	su	volumen	será:
18.	Calcular	el	volumen	de	un	cilindro	de	revolu-
ción,	si	la	altura	mide	10	m	y	el	desarrollo	de	
la	superficie	lateral	del	cilindro	tiene	por	área	
100 	m2.
19.	 El	 área	 total	 de	 un	 cilindro	 circular	 recto	 es	
25,12'm2,	¿cuál	es	el	radio	de	la	base,	si	su	ge-
neratriz	es	el	triple	del	radio	de	la	base?	
	 ( =3,14)
20.	 La	figura	muestra	a	un	cilindro	recto	de	12	cm	
de	altura	y	donde	BO	 forma	53º	con	 la	base.	
Calcular	el	área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
O
O1B
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2
241240
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Geometría
Conceptos básicos
La Gran Pirámide de Ghiza,
situada en las afueras de
El Cairo, en Egipto.
La	Necrópolis	de	Gizeh,	es	un	extraordinario	con-junto	funerario	que	data	de	la	dinastía	IV	(2'600	
-	 2'480	 a.C.).	 Aquí,	 encontramos	 la	 pirámide	más	
grande	y	antigua	a	la	vez	del	conjunto,	ella	es	la	que	
forja	la	tumba	del	faraón	Keops	(2'580'a.C).	
Para	 tal	construcción,	 fueron	 trasladados	desde	 le-
janas	canteras,	dos	millones	y	medio	de	bloques	de	
piedra,	 con	un	peso	medio	de	2,5	 toneladas	cada	
uno.	Con	una	superficie	de	48'000	m2,	posee	una	
base	cuadrada	y	cada	lado	de	la	misma	mide	233'm	
y	su	altura	alcanzó	en	aquellos	tiempos	146	m,	sin	
embargo,	hoy	con	el	paso	de	 los	años	y	debido	a	
diferentes	factores,	su	altura	oscila	en	los	138	m.
Pirámide - Cono - Esfera
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	identificar	los	tipos	de	pirámides	y	sus	elementos,	así	como	en	el	cono.
•	 A	 reconocer	 y	 aplicar	 las	 relaciones	de	 cálculo	de	 áreas	 laterales,	 totales	 y	 volumen	en	 las	
pirámides		y	conos.
•	 A	reconocer	y	aplicar	las	relaciones	de	cálculo	de	área	y	volumen	en	una	esfera.
PIRÁMIDE
V=
AB	•	h
3
Base
h
Vértice	o	cúspide
Arista	lateral
Arista	básica
bl
og
.g
en
te
pr
ev
is
iv
a.
co
m
.v
e
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GeometríaPirámide - Cono - Esfera
PIRÁMIDE REGULAR
CONO CIRCULAR RECTO DE REVOLUCIÓN
DESARROLLO LATERAL DEL CONOV=1
3
ABase	.	hVolumen	(V)
O:	Vértice
h:	Altura
OM:	Ap=Apotema	de
	 	 			la	pirámide
O
O1
B
A D
M
C
Ap
h
Área	lateral	(AL)
AL=pBase	.	Ap
p semiperímetro
Área	total	(AT)
AT=AL+ABase
g gh h
Vértice
Generatriz	(g)
Altura	(h)
r
r
V=1
3
 .	r2	.	hVolumen	(V)
Área	lateral	(AL) AL= r	.	g
Área	total	(AT) AT= r	.	(g+r)
g g
h
O r
g
h
r
g
g 2 r
b
El	ángulo	"bº"	resulta
en	radianes.
b=2 rg
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Geometría
Unidad IX
2
ESFERA
HUSO Y CUÑA ESFÉRICA
CASQUETE ESFÉRICO
(Zona esférica de una base)
A=4 R2
V=4
3
 R32R
R
Círculo	menor
Círculo	mayor
o	máximo
R
R
HUSO
R
R
AH=
	.	 	.	R2
90º
CUÑA
R
R
VC=
	.	 	.	R3
270º
AC=2 	R	.	h
R
h
Geometría 4to - IV Bim.indd 243 31/10/2014 11:51:10 a.m.
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GeometríaPirámide - Cono - Esfera
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
Síntesis teórica
CONO
Sólido	generado	por	un	triángulo	rectángulo,	al	girar	
una	vuelta	alrededor	de	uno	de	sus	catetos.
ESFERA
Sólido	generado	por	un	semicírculo,	al	girar	una	vuelta	
alrededor	de	su	diámetro.
PIRÁMIDE
La	base	es	un	polígono	cualquiera	y	las	caras	laterales	
son	triángulos	con	un	vértice	común.
PIRÁMIDE - CONO - ESFERA
1.	 La	 base	 de	 una	 pirámide	 tiene	 como	 área														
24	cm2	y	su	altura	es	6	cm.	Calcular	su	volumen.
2.	 Un	cono	circular	 recto	 tiene	como	área	de	su	
base	 12	 cm2	 y	 su	 altura	 es	 4	 cm.	Calcular	 su	
volumen.
3.	 El	diámetro	de	una	esfera	es	de	6	cm.	Calcular	
su	área	y	su	volumen.
4.	 Un	cuadrado	de	4	cm	de	lado	es	la	base	de	una	
pirámide	 regular.	 Si	 la	 altura	 del	 sólido	 es	 de	
2	cm,	calcular	 la	 longitud	de	su	apotema	y	 la	
arista	lateral.
5.	 Un	cono	circular	recto	tiene	como	radio	6	cm	
y	su	altura	es	8	cm.	Calcular	 la	 longitud	de	la	
generatriz	y	su	área	lateral.
6.	 En	una	pirámide	regular,	su	base	es	un	triángulo	
de	6	cm	de	lado	y	la	altura	del	sólido	es	el	doble	
de	la	altura	de	la	base.	Calcular	su	volumen.
h
r
g
Geometría 4to - IV Bim.indd 244 31/10/2014 11:51:11 a.m.
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Geometría
Unidad IX
2
Conceptos básicosAprende más...
Comunicación matemática
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 Una	pirámide	cuadrangular,	tiene	cuatro
	 	 caras	en	total.	......................................(__)
	 •	 El	cono	recto	se	genera	al	hacer	girar	a
	 	 un	rectángulo,	alrededor	de	uno	de
	 	 sus	lados.	.............................................(__)
	 •	 En	una	esfera,	el	radio	de	un	círculo
	 	 máximo	es	mayor	al	radio	de	la
	 	 esfera.	..................................................(__)
2.	 Relacionar	correctamente,	sabiendo	que	"r",	"g"	
y	"h"	son	el	radio,	la	generatriz	y	la	altura	de	un	
cono	respectivamente	y	además	"R"	es	el	radio	
de	una	esfera.
	 I.	 Área	lateral	 	 	 a.			4 	r2
	 II.	 Área	de	la	esfera		 b.			 	rg
	 III.	 Volumen	del	cono	 c.			4 	R2
	 	 	 	 	 	 	 d.			 	r2h/3
3.	 Graficar	lo	que	se	le	indica:
	 •	 Una	 pirámide	 pentagonal	 y	 sombree	 una	
de	las	caras	laterales.
	 •	 Una	esfera	inscrita	en	un	cubo.
	 •	 Un	 prisma	 triangular	 regular	 y	 un	 cono	
inscrito	en	dicho	prisma.
Resolución de problemas
4.	 Una	pirámide	cuadrangular	regular,	tiene	como	
arista	 básica	 10	 cm	 y	 como	 apotema	 13	 cm.	
Calcular	el	área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
5.	 La	generatriz	de	un	cono	recto	es	de	3 5	cm	y	
el	diámetro	de	la	base	es	de	6	cm.	Calcular	el	
área	lateral	y	el	volumen	del	sólido.
6.	 Graficar	una	esfera,	donde	el	número	que	ex-
presa	su	volumen	es	el	doble	del	número	que	
expresa	su	área.	Calcular	el	valor	del	radio.
7.	 Sean	 "r"	 y	 "R"	 los	 radios	 de	 una	 semiesfera	 y	
una	esfera	que	tienen	el	mismo	volumen.	Cal-
cular:	r/R.
8.	 Una	pirámide	regular,	tiene	como	arista	básica	
6'cm	y	como	altura	9	cm.	Esta	pirámide	es	cor-
tada	mediante	un	plano	paralelo	a	la	base	y	que	
dista	6	cm	de	dicha	base.	Calcular	el	perímetro	
de	la	sección	que	se	determina.
9.	 Un	cono	recto	de	5	cm	de	radio,	es	cortado	me-
diante	un	plano	paralelo	a	su	base,	determinan-
do	una	 sección	de	2	cm	de	 radio.	Calcular	 la	
relación	de	 las	áreas	 laterales	del	cono	menor	
determinado	y	del	cono	inicial.
10.	Una	esfera	es	 cortada	mediante	un	plano	que	
dista	3	cm	de	su	centro	y	determina	un	círculo	
de	8	cm	de	diámetro.	Calcular	 la	 longitud	del	
radio	de	la	esfera.
11.	Un	 cono	 recto	 de	 6	 cm	 de	 altura,	 es	 cortado	
mediante	un	plano	paralelo	a	su	base	que	dista	
2'cm	de	su	vértice.	Calcular	la	relación	de	volú-
menes	del	cono	menor	y	del	cono	original.
12.	 El	radio	de	la	base	de	un	cono	mide	4	dm	y	la	
altura	mide	3	dm.	Calcular	el	valor	de	su	área	
total	y	el	ángulo	que	se	determina	en	el	desarro-
llo	lateral.
13.	Hallar	el	apotema	de	una	pirámide	cuadrangu-
lar	regular,	si	la	altura	mide	15	cm	y	el	volumen	
1	280	cm3.
7.	 Un	cono	circular	recto	tiene	como	área	lateral	
2 	 13 	 cm2.	 Si	 el	 radio	 de	 la	 base	 es	 2	 cm,	
calcular	el	volumen	del	cono.
8.	 La	arista	de	un	cubo	es	 43 	cm,	calcular	el	radio	
de	una	esfera	que	tenga	el	mismo	volumen	del	
cubo.
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GeometríaPirámide - Cono - Esfera
Conceptos básicos ¡Tú puedes!
14.	Hallar	la	razón	entre	el	área	lateral	y	el	volumen	
del	cono	recto,	si:	r=4	cm.
r 60º
15.	 En	un	cono	de	revolución,	el	radio	mide	4	dm	y	
la	generatriz	mide	8	dm.	Calcular	el	área	lateral	
de	un	cilindro	que	 tenga	 la	misma	altura	y	el	
doble	del	radio	del	cono.
16.	 En	una	pirámide	triangular	regular,	el	producto	
del	apotema	con	la	arista	básica	es	8	m2,	hallar	
el	área	lateral	de	dicha	pirámide.
17.	 En	el	cono,	la	medida	del	ángulo	AOB=90º	y	
el	radio	de	la	base	es	 2	cm.	Hallar	su	volumen	
(AB	es	diámetro	de	la	base).
A B
O
2
18.	 En	un	cilindro	circular	recto,	se	encuentra	ins-
crita	una	esfera.	Si	el	área	lateral	del	cilindro	es	
100 	cm2,	calcular	el	área	de	la	esfera.
1.	 Se	tiene	un	cubo	de	2	dm	de	arista	y	una	esfera	
inscrita	en	él.	En	su	vértice	"A"	del	cubo	y	a	una	
distancia	 "x"	de	él,	 se	 señalan	 los	puntos	 "P",	
"Q"	y	"R"	en	las	aristas	que	confluyen	en	"A".	
Determinar	el	volumen	de	la	pirámide	APQR,	si	
el	plano	PQR	es	tangente	a	la	esfera.
2.	 Dada	 una	 pirámide	 hexagonal,	 la	 arista	 de	 la	
base	es	"b".	Si	la	arista	lateral	mide	"3b",	hallar	
la	 distancia	 del	 pie	 de	 la	 altura	 a	 una	 arista	
lateral.
3.	 En	 un	 cono	 de	 revolución,	 se	 inscriben	 dos	
esferas	de	radios	2	y	6	dm.	Calcular	el	volumen	
del	cono.
4.	 Se	construye	un	cono	circular	recto	de	10	dm	
de	altura	y	se	le	inscribe	una	esfera	de	8	dm	de	
diámetro.	¿Cuál	es	el	volumen	del	cono?
Aplicación cotidiana
19.	Un	recipiente	sin	tapa	tiene	la	forma	de	una	pirámide	regular	invertida,	donde	su	altura	mide	3	pies	y	
su	base	es	un	hexágono	inscrito	en	una	circunferencia	de	diámetro	igual	a	2	pies.	Se	desea	pintar	100	
de	estos	recipientes	por	dentro	y	por	fuera,	para	lo	cual	se	utilizará	pintura,	donde	con	un	galón	se	
puede	pintar	470	pies	cuadrados.	Determine	la	cantidad	de	galones	de	esa	pintura	que	se	necesitarán	
para	pintar	los	100	recipientes.
20.	Un	globo	esférico	contiene	originalmente	32 /3'cm3	de	
aire.	Luego	de	inflarlo	más,	se	halla	que	su	diámetro	ha	crecido	
2	cm.	Determine	el	volumen	de	aire	que	se	incrementó.
					
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Geometría
Unidad IX
2
Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 La	esfera	se	genera	al	hacer	girar	a	un
	 	 semicírculo	180º	alrededor	de	su
	 	 diámetro.	.............................................(__)
	 •	 En	un	cono	circular	recto,	la	generatriz
	 	 puede	ser	menor	a	la	altura.	.................(__)
2.	 Relacionar	correctamente,	sabiendo	que	"r",	"g"	
y	"h"	son	el	radio,	la	generatriz	y	la	altura	de	un	
cono	respectivamente	y	además	"R"	es	el	radio	
de	una	esfera.
	 I.	 Área	total	 	 	 					a.			 	r2h/3
	 II.	 Volumen	de	la	esfera	 					b.			 	rg+ 	r2
	 III.	 Volumen	del	cono	 					c.			4 	R3/3
	 	 	 	 	 	 	 					d.			4 	R2
3.	 Una	pirámide	cuadrangular	regular,	tiene	como	
arista	 básica	 12	 cm	 y	 como	 apotema	 10	 cm.	
Calcular	el	área	total	y	el	volumen	del	sólido.
4.	 La	generatriz	de	un	cono	recto	es	de	2 10	cm	
y	el	diámetro	de	la	base	es	de	4	cm.	Calcular	el	
área	total	y	el	volumen	del	sólido.
5.	 Graficar	 una	 esfera	 donde	 el	 número	 que	 ex-
presa	 su	volumen	es	el	 triple	del	número	que	
expresa	su	área.	Calcular	su	volumen.
6.	 Sean	 "r"	 y	 "R"	 los	 radios	 de	una	 semiesfera	 y	
una	esfera	cuya	relación	de	volúmenes	es	de	1	
a	16.	Calcular:	r/R.
7.	 Una	pirámide	regular	 tiene	como	arista	básica	
6'cm	y	como	altura	12	cm.	Esta	pirámide	es	cor-
tada	mediante	un	plano	paralelo	a	la	base	y	que	
dista	 3	 cm	 del	 vértice.	 Calcular	 el	 área	 de	 la	
sección	que	determina	dicho	plano.
8.	 Un	 cono	 recto	 de	 6	 cm	 de	 radio,	 es	 cortado	
mediante	un	plano	paralelo	a	su	base,	determi-
nando	una	sección	de	3	cm	de	radio.	Calcular	
la	relación	de	volúmenes	del	cono	menor	deter-
minado	y	del	cono	inicial.
9.	 Una	esfera	es	cortada	mediante	un	plano	que	
dista	5	cm	de	su	centro	y	determina	un	círculo	
de	 144	 cm2	 de	 área.	 Calcular	 la	 longitud	 del	
radio	de	la	esfera.
10.	Del	gráfico,	hallar	el	área	total	del	cono.
10
74º
11.	 En	un	cono	recto	de	revolución,	el	punto	medio	
de	una	generatriz	dista	de	la	base	6	dm.	Si	el	ra-
dio	es	de	4	dm,	calcular	la	capacidad	de	dicho	
cono.
12.	Hallar	el	volumen	que	se	genera	al	rotar	360º,	
la	región	sombreada,	sobre	la	recta	"L".
B
L
A C
10
37º 45º
13.	Calcular	el	radio	de	una	esfera	equivalente	a	un	
cubo	de	arista	4	cm.
14.	Calcular	el	área	generada	al	rotar	360º	el	arco	
AB	sobre	AO.
B
A
O
4u
4u
15.	 La	arista	de	una	pirámide	cuadrangular	regular	
mide	12 	y	el	volumen	del	sólido	es	de	384 3.	
Calcular	el	área	total	de	dicha	pirámide.
16.	Calcular	el	volumen	generado	al	rotar	360º	so-
bre	 ,	la	región	sombreada.
L
3
5
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GeometríaPirámide - Cono - Esfera
17.	Calcular	 el	 área	 de	 la	 superficie	 esférica,	 si:	
MN=7 ,	("T"	y	"P"	son	puntos	de	tangencia).
37º
M
N
P
T
18.	 Se	tiene	una	pirámide	regular	de	base	cuadrada	
y	 volumen	 igual	 a	 270	 dm3.	 Si	 la	 arista	mide	
9'dm,	calcular	la	altura	del	sólido.
19.	 En	la	figura	se	muestra	el	desarrollo	de	un	cono	
recto.	Calcular	el	volumen	del	cono.
8
8
20.	 La	generatriz	de	un	cono	mide	12	dm	y	la	super-
ficie	lateral	desarrollada	forma	un	semicírculo.	
Calcular	el	volumen	de	dicho	cono.
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Geometría 3
Síntesis teórica
Repaso
En este capítulo aprenderemos:
•	 A	reconocer	los	elementos	asociados	a	los	prismas,	pirámides,	cilindros,	conos	y	esferas.
•	 A	aplicar	las	relaciones	para	el	cálculo	de	longitudes,	áreas	y	volúmenes	en	los	diferentes	sólidos	
mencionados	anteriormente.
ESFERA
PIRÁMIDES	y	CONOS
PRISMAS	y	CILINDROS
LOS SÓLIDOS
GEOMÉTRICOS
MÁS USUALES
h
r
g
Base
Altura
Base
Cara
lateral
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GeometríaRepaso
Conceptos básicosAprende más...
Conceptos básicosAplica lo comprendido
10 x
 5
50
1.	 Una	 recta	 pasa	 por	 los	 puntos	 A(3;	 5)	 y																				
B(-	1;	-	8).	Calcular	la	ecuación	de	dicha	recta.
2.	 Una	 recta	 L1,	 pasa	 por	 los	 puntos	 P(1;	 0)	 y								
Q(6;	 4).	Calcular	 la	 ecuación	 de	 otra	 recta	 L2	
que	 es	 perpendicular	 a	 L1	 y	 que	 pasa	 por	 el	
punto	(-	5;	1).
3.	 Los	vértices	de	un	triángulo	ABC	tienen	como	
coordenadas	 A(2;	 8),	 B(-	 6;	 -	 2)	 y	 C(6;	 -	 4).	
Calcular	 las	 coordenadas	 del	 baricentro	 y	 el	
área	de	dicho	triángulo.
4.	 El	volumen	de	un	cubo	es	64	m3.	Calcular	el	
volumen	 de	 un	 tetraedro	 regular	 cuya	 arista	
mide	igual	que	la	del	cubo.
5.	 Calcular	el	volumen	de	una	esfera	circunscrita	a	
un	cubo	cuya	diagonal	mide	6 3 	m.
6.	 Hallar	el	volumen	de	una	pirámide	cuadrangular	
regular,	 cuya	 arista	 básica	 mide	 10	 m	 y	 la	
apotema	de	la	pirámide	mide	13	m.
7.	 El	volumen	de	un	cilindro	recto	es	de	36 	m3.	
Calcular	 el	 volumen	 del	 prisma	 hexagonal	
regular,	inscrito	en	dicho	cilindro.
8.	 Calcular	 el	 volumen	 de	 un	 octaedro	 regular,	
cuya	 diagonal	 es	 igual	 a	 la	 diagonal	 de	 un	
paralelepípedo	 rectangular	 cuyas	 dimensiones	
son	3;	4	y	5	m.
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 El	cono	recto	de	revolución,	es	generado	
	 	 por	la	rotación	de	un	rectángulo	al	girar	
	 	 alrededor	de	uno	de	sus	lados.	............(__)
	 •	 El	área	de	una	esfera	de	diámetro	"d"	es
	 	 igual	a	8 	d2.	.......................................(__)
	 •	 Una	pirámide	hexagonal	tiene	siete	
	 	 caras.	..................................................(__)
2.	 Una	esfera	de	4	cm	de	radio,	es	cortada	median-
te	un	plano	que	pasa	por	su	centro.	Calcular	el	
área	de	una	de	las	partes	que	se	determina.
3.	 La	 diagonal	 de	 un	 paralelepípedo	 rectangular	
es	5 2	m.	Sabiendo	que	sus	dimensiones	están	
en	progresión	aritmética	de	razón	1	m,	hallar	el	
volumen	del	sólido.
4.	 ¿Cuál	es	la	distancia	entre	los	puntos	P(-	1;	4)	y	
Q(5;	-	4)?
5.	 Calcular	la	pendiente	de	la	recta:
	 L:	4x	-	2y+1=0
6.	 Calcular	la	pendiente	de	la	recta:
L:	3x+5y	-	1=0
7.	 Del	gráfico,	hallar	"x+y"
y
x
A(-	4;	4)
(0;	-	3)
P(x;	y)
8.	 En	un	cubo	se	inscribe	una	esfera	de	radio	"r".	
El	volumen	del	cubo	será:
9.	 Una	esfera	se	encuentra	inscrita	en	un	cilindro	
recto.	Luego,	 la	 relación	de	 los	volúmenes	de	
estos	sólidos	es:
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Geometría
Unidad IX
3
Conceptos básicos¡Tú puedes!
10.	 La	figura	muestra	a	un	tetraedro	regular	y	a	un	
hexaedro	regular.	Si	sus	aristas	están	en	la	rela-
ción	de	2	a	3,	calcular	la	relación	de	sus	áreas.
11.	 En	el	problema	anterior,	la	relación	de	volúme-
nes	de	los	sólidos	es:
12.	Un	cilindro	recto	está	inscrito	en	un	prisma	cua-
drangular	regular	de	10	m	de	altura.	Calcular	el	
volumen	del	cilindro,	si	la	diagonal	de	la	base	
del	prisma	mide	12 2	m.
13.	Calcular	el	volumen	de	un	cono	circular	recto,	
cuya	generatriz	mide	18 	y	su	área	total	es	igual	
a	la	de	un	círculo	de	12 	de	radio.
14.	 Si	 la	 distancia	de	un	 vértice	 a	 la	 diagonal	 del	
cubo	mide	 6 	cm,	hallar	su	volumen.
15.	 Se	 tiene	 una	 pirámide	 regular	 cuadrangular,	
cuyo	apotema	es	 igual	al	 lado	de	la	base	y	su	
área	lateral	es	de	128	m2.	Calcular	la	altura	de	
la	pirámide.
16.	Hallar	el	volumen	de	una	esfera	inscrita	en	un	
cono	recto,	en	el	cual	el	 radio	de	la	base	y	 la	
altura	miden	6	y	8	cm	respectivamente.
17.	 La	relación	de	áreas	de	una	esfera	inscrita	y	otra	
circunscrita	a	un	cubo	es:
18.	 Se	tieneun	cono	circunscrito	a	dos	esferas	cu-
yos	radios	miden	1	y	3 .	¿Cuál	es	el	volumen	
del	cono?
19.	Una	 empresa	 necesita	 enlatar	 productos	 para	
exportación	y	los	requerimientos	exigidos	son:	
que	el	envase	debe	ser	cilíndrico,	con	una	ca-
pacidad	de	400	cm3	y	un	diámetro	de	longitud	
igual	a	15	cm.	Si	se	desea	colocar	una	etiqueta	
adhesiva	que	recubra	la	superficie	lateral	exter-
na,	¿cuánto	material	deberá	utilizarse	en	la	ela-
boración	de	1	000	latas?
20.	 Se	nos	ha	entregado	una	orden	de	trabajo	para	
producir	1	000	cojinetes	de	bronce,	cuyas	espe-
cificaciones	son:	5	cm	de	radio	exterior,	4	cm	
de	 radio	 interior	 y	 3	 cm	de	 largo.	Además	 se	
sabe	que	en	el	proceso	de	fundición	del	bron-
ce	 se	 tiene	 una	 pérdida	 del	 10%	del	material	
fundente.	 ¿Qué	 cantidad	de	bronce	 (cm3)	 hay	
que	considerar	en	la	fundición	para	obtener	el	
número	de	cojinetes	que	se	nos	ha	solicitado?
1.	 Si	 los	 vértices	 de	 un	 triángulo	 son:	 A(1;1),									
B(-	 1;	 5)	 y	 C(5;	 3),	 calcular	 la	 longitud	 de	 la	
mediana	relativa	al	lado	AB.
2.	 En	el	 triángulo	anterior,	determine	 la	 longitud	
de	la	mediana	relativa	al	lado	AC.
3.	 Del	 gráfico,	 calcular	 el	 área	 de	 la	 región	
sombreada:
A(-	2;	0)
C(3;	-	8)
B(7;	-	2)
y
x
Geometría 4to - IV Bim.indd 251 31/10/2014 11:51:13 a.m.
Repaso
252
TRILCE
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Conceptos básicosPractica en casa
18:10:45
1.	 Indicar	si	es	verdadero	(V)	o	falso	(F),	según	co-
rresponda:
	 •	 En	un	paralelepípedo,	el	cuadrado	de	su	
diagonal	es	igual	a	la	suma	de	los	cuadra-
dos	de	sus	tres	dimensiones.	................(__)
	 •	 El	área	de	una	esfera	de	diámetro	"d"
	 	 es	igual	a	4 	d2.	....................................(__)
	 •	 El	cono	recto	de	revolución,	es	generado	
por	la	rotación	de	un	triángulo	rectángulo	
al	girar	alrededor	de	uno	
	 	 de	sus	catetos.	......................................(__)
2.	 ¿Cuántas	 losetas	cuadradas	de	20	cm	de	 lado,	
se	necesitan	para	recubrir	las	caras	de	una	pis-
cina	 que	 tiene	 la	 forma	 de	 un	 paralelepípedo	
rectangular	de	10	m	de	largo	por	6	m	de	ancho	
y	3	m	de	profundidad?
3.	 Calcular	el	área	total	de	un	paralelepípedo	rec-
tangular	cuya	diagonal	mide	50	cm	y	 la	suma	
de	sus	tres	dimensiones	es	82	cm.
4.	 La	generatriz	y	la	longitud	de	la	base	de	un	ci-
lindro	recto	miden	6	cm	cada	una.	Hallar	el	vo-
lumen	de	dicho	cilindro.
5.	 Halle	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 que	 pasa	 por	
A(1;	2)	y	B(3;	5).
6.	 ¿Cuál	es	la	distancia	entre	los	puntos	P(-	1;	2)	y	
Q(2;	-	2)?
7.	 Hallar	la	ecuación	de	la	recta	que	pasa	por	los	
puntos	P(1;	2)	y	Q(3;	-	2).
8.	 El	número	que	expresa	el	volumen	de	una	esfe-
ra	es	igual	a	dos	veces	el	número	que	expresa	su	
área.	Luego	el	volumen	de	la	esfera	es:
9.	 ¿En	qué	relación	se	encuentran	los	volúmenes	
de	un	cilindro	recto	y	un	cono	recto	inscrito	en	
el	cilindro?
10.	Calcular	 el	 área	 total	 de	 un	 cono	 recto,	 si	 su	
generatriz	mide	26	m	y	su	altura	24	m.
11.	Calcular	 la	ecuación	de	la	recta,	que	pasa	por	
(1;	1)	y	sea	perpendicular	a	la	recta:
L1:	3x+2y	-	1=0
12.	Hallar	 la	 ecuación	 de	 la	 recta	 que	 pasa	 por	
P(3;	2)	y	sea	paralela	a	la	recta	L1:	x+2y+1=0
13.	 Si	dos	vértices	opuestos	de	un	cuadrado	son	
A(1;	 3)	 y	 C(7;	 9),	 calcular	 el	 perímetro	 del	
cuadrado.
14.	 Se	tiene	un	prisma	cuadrangular	regular,	de	al-
tura	 igual	a	 la	diagonal	de	 su	base.	Si	 su	área	
lateral	es	64 2	m,	hallar	su	volumen.
15.	Calcular	el	apotema	de	una	pirámide	cuadran-
gular	 regular	 de	 384	 cm3	 de	 volumen	 y	 cuya	
altura	mide	8	cm.
16.	 Se	tiene	una	pirámide	regular	hexagonal,	cuyo	
perímetro	de	la	base	es	36	cm	y	su	altura	mide	
igual	a	la	diagonal	de	su	base.	Calcular	el	volu-
men	del	sólido.
17.	Calcular	 el	 área	 de	 la	 esfera	 circunscrita	 a	 un	
cubo,	si	el	área	de	la	esfera	inscrita	es	60 2.
18.	 Se	tiene	un	prisma	triangular	regular	de	8	cm	de	
altura.	 Si	 el	 radio	de	 la	 circunferencia	 inscrita	
en	 su	 base	mide	 2	 cm,	 hallar	 el	 volumen	del	
prisma.
19.	 La	generatriz	y	el	diámetro	de	la	base	de	un	ci-
lindro	recto	son	congruentes.	Si	su	área	lateral	
es	de	16 	dm2,	hallar	su	volumen.
20.	Hallar	el	volumen	del	sólido	que	se	genera	al	
girar	360º,	la	región	de	un	triángulo	rectángulo,	
alrededor	de	un	cateto	que	mide	12	m,	sabien-
do	que	su	hipotenusa	mide	15	cm.
4.	 Se	tiene	un	triángulo	ABC,	cuyos	vértices	son:	
A(3;	-	5),	B(-	7;	13)	y	C(0;	9).	Calcular	el	área	del	
triángulo	formado	por	los	puntos	medios	de	los	
lados	del	triángulo	ABC.
5.	 Si	el	punto	medio	del	segmento	cuyos	extremos	
son:	A(m+n;	9)	y	B(-	5;	m	-	n)	es	M(5;	3),	calcular	
"m/n".
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