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Campos de Vetores sem Curvas
Algébricas Tangentes
Um Enfoque Computacional
S. C. Coutinho
UFRJ
Colo´quio 2005 – p. 1/44
DSASD
Campos de vetores
Um campo de vetores polinomial no plano C2 é uma
aplicação Φ : C2 → C2, onde
Φ(p) = (φ1(p), φ2(p)),
e φ1 e φ2 são polinômios nas variáveis x e y.
Colo´quio 2005 – p. 2/44
DSASD
Interpretação geométrica
Colo´quio 2005 – p. 3/44
DSASD
Interpretação geométrica
• Φ associa a cada p ∈ C2 um vetor do espaço
vetorial C2.
Colo´quio 2005 – p. 3/44
DSASD
Interpretação geométrica
• Φ associa a cada p ∈ C2 um vetor do espaço
vetorial C2.
• Vamos imaginar este vetor com centro em p.
Colo´quio 2005 – p. 3/44
DSASD
Interpretação geométrica
• Φ associa a cada p ∈ C2 um vetor do espaço
vetorial C2.
• Vamos imaginar este vetor com centro em p.
• // • // • //
•
��
?
?
?
?
?
?
? •
��
?
?
?
?
?
?
? •
��
?
?
?
?
?
?
?
Colo´quio 2005 – p. 3/44
DSASD
Curva algébrica
Uma curva algébrica C em C2 é o conjunto dos zeros
de um polinômio F ∈ C[x, y].
Colo´quio 2005 – p. 4/44
DSASD
Curva algébrica
Uma curva algébrica C em C2 é o conjunto dos zeros
de um polinômio F ∈ C[x, y].
Quer dizer,
C = {p ∈ C2 : F (p) = 0}.
Colo´quio 2005 – p. 4/44
DSASD
Curva algébrica
Uma curva algébrica C em C2 é o conjunto dos zeros
de um polinômio F ∈ C[x, y].
A geometria algébrica estuda curvas algébricas
Colo´quio 2005 – p. 4/44
DSASD
Curva algébrica
Uma curva algébrica C em C2 é o conjunto dos zeros
de um polinômio F ∈ C[x, y].
A geometria algébrica estuda os conjuntos soluções
de sistemas de equações polinomiais
Colo´quio 2005 – p. 4/44
DSASD
Curva algébrica
Uma curva algébrica C em C2 é o conjunto dos zeros
de um polinômio F ∈ C[x, y].
A geometria algébrica estuda os conjuntos soluções
de sistemas de equações polinomiais (não
necessariamente lineares!)
Colo´quio 2005 – p. 4/44
DSASD
Exemplos
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
• grafos de funções polinomiais;
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
• grafos de funções polinomiais;
• curvas elípticas (cúbicas).
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
• grafos de funções polinomiais;
• curvas elípticas (cúbicas).
CURVAS QUE NÃO SÃO ALGÉBRICAS:
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
• grafos de funções polinomiais;
• curvas elípticas (cúbicas).
CURVAS QUE NÃO SÃO ALGÉBRICAS:
• grafos do seno, co-seno, exponencial e logaritmo;
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
Exemplos
CURVAS ALGÉBRICAS:
• cônicas;
• grafos de funções polinomiais;
• curvas elípticas (cúbicas).
CURVAS QUE NÃO SÃO ALGÉBRICAS:
• grafos do seno, co-seno, exponencial e logaritmo;
• ciclóide.
Colo´quio 2005 – p. 5/44
DSASD
O problema
Colo´quio 2005 – p. 6/44
DSASD
O problema
Formulação geométrica:
Colo´quio 2005 – p. 6/44
DSASD
O problema
Formulação geométrica:
Dado um campo de vetores Φ de C2, existe
uma curva algébrica C ⊂ C2 tal que Φ(p) é
tangente a C em todos os pontos p ∈ C?
Colo´quio 2005 – p. 6/44
DSASD
O problema
Formulação geométrica:
Dado um campo de vetores Φ de C2, existe
uma curva algébrica C ⊂ C2 tal que Φ(p) é
tangente a C em todos os pontos p ∈ C?
Dizemos que uma curva com esta propriedade é uma
solução algébrica do campo Φ.
Colo´quio 2005 – p. 6/44
DSASD
Exemplo
O campo
Colo´quio 2005 – p. 7/44
DSASD
Exemplo
O campo e uma solução algébrica
Colo´quio 2005 – p. 7/44
DSASD
E eu com isso?...
Colo´quio 2005 – p. 8/44
DSASD
E eu com isso?...
G. DARBOUX (1878): método para achar integrais
primeiras a partir de soluções algébricas válido para
sistemas da forma u˙ = Φ(u), isto é
dx
dt
= φ1(x, y)
dy
dt
= φ2(x, y)
Colo´quio 2005 – p. 8/44
DSASD
E eu com isso?...
G. DARBOUX (1878): método para achar integrais
primeiras a partir de soluções algébricas válido para
sistemas da forma u˙ = Φ(u), isto é
dx
dt
= φ1(x, y)
dy
dt
= φ2(x, y)
Sistemas deste tipo surgem na modelagem de
problemas de física e biologia.
Colo´quio 2005 – p. 8/44
DSASD
Grau de um campo
Seja Φ = (φ1, φ2) um campo de vetores de C2.
Colo´quio 2005 – p. 9/44
DSASD
Grau de um campo
Seja Φ = (φ1, φ2) um campo de vetores de C2. Defina
m = m(Φ) = max{grau(φ1), grau(φ2)}.
Colo´quio 2005 – p. 9/44
DSASD
Grau de um campo
Seja Φ = (φ1, φ2) um campo de vetores de C2. Defina
m = m(Φ) = max{grau(φ1), grau(φ2)}.
Então,
grau(Φ) =
Colo´quio 2005 – p. 9/44
DSASD
Grau de um campo
Seja Φ = (φ1, φ2) um campo de vetores de C2. Defina
m = m(Φ) = max{grau(φ1), grau(φ2)}.
Então,
grau(Φ) =
{
m(Φ) se grau(yφ1 − xφ2) = m+ 1.
m(Φ)− 1 se grau(yφ1 − xφ2) ≤ m.
Colo´quio 2005 – p. 9/44
DSASD
A boa notícia
Darboux mostrou que se o campo tem grau 1 então
sempre existem soluções algébricas lineares.
Colo´quio 2005 – p. 10/44
DSASD
A boa notícia
Darboux mostrou que se o campo tem grau 1 então
sempre existem soluções algébricas lineares.
Para encontrá-las basta resolver um problema de
autovalores e autovetores.
Colo´quio 2005 – p. 10/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XIX
Colo´quio 2005 – p. 11/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XIX
H. Poincaré
Colo´quio 2005 – p. 11/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XIX
H. Poincaré P. Painlevé
Colo´quio 2005 – p. 11/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XX
Colo´quio 2005 – p. 12/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XX
• Trabalho de Darboux revivido por J.-P.
Jouanolou.
Colo´quio 2005 – p. 12/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XX
• Trabalho de Darboux revivido por J.-P.
Jouanolou.
• Reinterpretado na linguagem de A. Grothendieck.
Colo´quio 2005 – p. 12/44
DSASD
A herança de Darboux
SÉCULO XX
• Trabalho de Darboux revivido por J.-P.
Jouanolou.
• Reinterpretado na linguagem de A. Grothendieck.
Colo´quio 2005 – p. 12/44
DSASD
A má notícia
Colo´quio 2005 – p. 13/44
DSASD
A má notícia
Teorema (Jouanolou). Quase todo campo polinomial
Φ que satisfaz
grau(Φ) = m(Φ)− 1 ≥ 2,
na˜o admite soluc¸a˜o alge´brica.
Colo´quio 2005 – p. 13/44
DSASD
A má notícia
Teorema (Jouanolou). Quase todo campo polinomial
Φ que satisfaz
grau(Φ) = m(Φ)− 1 ≥ 2,
na˜o admite soluc¸a˜o alge´brica.
Portanto,
Colo´quio 2005 – p. 13/44
DSASD
A má notícia
Teorema (Jouanolou). Quase todo campo polinomial
Φ que satisfaz
grau(Φ) = m(Φ)− 1 ≥ 2,
na˜o admite soluc¸a˜o alge´brica.
Portanto, se grau(Φ) ≥ 2, o método de Darboux pode
não se aplicar a u˙ = Φ(u).
Colo´quio 2005 – p. 13/44
DSASD
Nem tão má!
Colo´quio 2005 – p. 14/44
DSASD
Nem tão má!
Por sorte,
Colo´quio 2005 – p. 14/44
DSASD
Nem tão má!
Por sorte, muitos dos campos de vetores associados a
equações diferenciais que surgem em aplicações têm
soluções algébricas.
Colo´quio 2005 – p. 14/44
DSASD
O exemplo de Jouanolou
O campo
Φ(x, y) = (1− xyn, xn − yn+1)
tem:
Colo´quio 2005 – p. 15/44
DSASD
O exemplo de Jouanolou
O campo
Φ(x, y) = (1− xyn, xn − yn+1)
tem:
• grau n;
Colo´quio 2005 – p. 15/44
DSASD
O exemplo de Jouanolou
O campo
Φ(x, y) = (1− xyn, xn − yn+1)
tem:
• grau n;
• nenhuma solução algébrica se n ≥ 2.
Colo´quio 2005 – p. 15/44
DSASDOutros exemplos?
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica são conhecidos.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica são conhecidos.
• A maioria são variações do exemplo de
Jouanolou.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica são conhecidos.
• A maioria são variações do exemplo de
Jouanolou.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica eram conhecidos.
• A maioria eram variações do exemplo de
Jouanolou.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica eram conhecidos.
• A maioria eram variações do exemplo de
Jouanolou.
IDÉIA:
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica eram conhecidos.
• A maioria eram variações do exemplo de
Jouanolou.
IDÉIA:
usar o computador para encontrar exemplos
de campos sem solução algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Outros exemplos?
• Poucos exemplos explícitos de campos sem
solução algébrica eram conhecidos.
• A maioria eram variações do exemplo de
Jouanolou.
IDÉIA:
usar o métodos de computação algébrica
para encontrar exemplos de campos sem
solução algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 16/44
DSASD
Porém...
Colo´quio 2005 – p. 17/44
DSASD
Porém...
...antes de prosseguir precisamos reformular o
problema de maneira algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 17/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Suponha que o campo de vetores Φ é tangente à curva
C de equação F = 0 no ponto p.
• Φ //
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Suponha que o campo de vetores Φ é tangente à curva
C de equação F = 0 no ponto p.
Mas,
• Φ //
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Suponha que o campo de vetores Φ é tangente à curva
C de equação F = 0 no ponto p.
Mas, a tangente à C em p é perpendicular ao
gradiente∇F (p).
______ •
∇F
OO
_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Suponha que o campo de vetores Φ é tangente à curva
C de equação F = 0 no ponto p.
Mas, a tangente à C em p é perpendicular ao
gradiente∇F (p).
Portanto,
______ •
∇F
OO
_ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Suponha que o campo de vetores Φ é tangente à curva
C de equação F = 0 no ponto p.
Mas, a tangente à C em p é perpendicular ao
gradiente∇F (p).
Portanto, ∇F (p) deve ser perpendicular a Φ(p).
______ • Φ //
∇F
OO
______
Colo´quio 2005 – p. 18/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Assim, se Φ é tangente a C em todos os pontos, então
(∇F · Φ)(p) = 0 para todo p ∈ C
Colo´quio 2005 – p. 19/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Assim, se Φ é tangente a C em todos os pontos, então
(∇F · Φ)(p) = 0 para todo p ∈ C
LEMBRETE: ∇F · Φ é um polinômio nas variáveis x
e y.
Colo´quio 2005 – p. 19/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Temos, então, que
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
p ∈ C.
Colo´quio 2005 – p. 20/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Temos, então, que
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
p ∈ C.
De modo equivalente,
Colo´quio 2005 – p. 20/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Temos, então, que
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
p ∈ C.
De modo equivalente,
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
em que F também se anula.
Colo´quio 2005 – p. 20/44
DSASD
Campos tangentes a curvas
Temos, então, que
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
p ∈ C.
De modo equivalente,
o polinômio ∇F · Φ se anula em todo ponto
em que F também se anula.
Pelo Teorema dos zeros de Hilbert
o polinômio ∇F · Φ é múltiplo de F .
Colo´quio 2005 – p. 20/44
DSASD
Formulação algébrica
O campo Φ tem a curva C, de equação F = 0, como
solução algébrica se, e somente se existe um
polinômio g nas variáveis x e y tal que
gF = ∇F · Φ
Colo´quio 2005 – p. 21/44
DSASD
Formulação algébrica
O campo Φ tem a curva C, de equação F = 0, como
solução algébrica se, e somente se existe um
polinômio g nas variáveis x e y tal que
gF = φ1
∂F
∂x
+ φ2
∂F
∂y
Colo´quio 2005 – p. 21/44
DSASD
Formulação algébrica
O campo Φ tem a curva C, de equação F = 0, como
solução algébrica se, e somente se existe um
polinômio g nas variáveis x e y tal que
gF = φ1
∂F
∂x
+ φ2
∂F
∂y
LEMBRETE:
Colo´quio 2005 – p. 21/44
DSASD
Formulação algébrica
O campo Φ tem a curva C, de equação F = 0, como
solução algébrica se, e somente se existe um
polinômio g nas variáveis x e y tal que
gF = φ1
∂F
∂x
+ φ2
∂F
∂y
LEMBRETE: o grau de g não pode ser maior que
m(Φ)− 1
Colo´quio 2005 – p. 21/44
DSASD
E o computador, onde entra?
Colo´quio 2005 – p. 22/44
DSASD
Algoritmo 1
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica grau k.
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica grau k.
PROCEDIMENTO:
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica grau k.
PROCEDIMENTO:
1. Escreva polinômios f , de grau k, e g, de grau
m− 1, com coeficientes a determinar.
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica grau k.
PROCEDIMENTO:
1. Escreva polinômios f , de grau k, e g, de grau
m− 1, com coeficientes a determinar.
2. Da igualdade ∇f · Φ = gf obtenha um sistema
polinomial S nos coeficientes de f e g.
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Algoritmo 1
ENTRADA: um campo Φ e um inteiro k > 0.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica grau k.
PROCEDIMENTO:
1. Escreva polinômios f , de grau k, e g, de grau
m− 1, com coeficientes a determinar.
2. Da igualdade ∇f · Φ = gf obtenha um sistema
polinomial S nos coeficientes de f e g.
3. Verifique se este sistema tem ou não solução de
grau k.
Colo´quio 2005 – p. 23/44
DSASD
Contudo...
Colo´quio 2005 – p. 24/44
DSASD
Contudo...
...para provar que um dado campo de vetores não
admite solução algébrica preciso de uma cota superior
que limite o grau dessas possíveis soluções.
Colo´quio 2005 – p. 24/44
DSASD
Problema de Poincaré
Dado um campo Φ e uma solução algébrica F = 0 de
Φ ache uma cota superior para o grau de F a partir de
invariantes de Φ.
Colo´quio 2005 – p. 25/44
DSASD
Problema de Poincaré
Dado um campo Φ e uma solução algébrica F = 0 de
Φ ache uma cota superior para o grau de F a partir de
grau de Φ.
Colo´quio 2005 – p. 25/44
DSASD
Problema de Poincaré
Dado um campo Φ e uma solução algébrica F = 0 de
Φ ache uma cota superior para o grau de F a partir de
grau de Φ.
• As cotas baseadas só no grau requerem condições
extra sobre Φ.
Colo´quio 2005 – p. 25/44
DSASD
Problema de Poincaré
Dado um campo Φ e uma solução algébrica F = 0 de
Φ ache uma cota superior para o grau de F a partir de
grau de Φ.
• As cotas baseadas só no grau requerem condições
extra sobre Φ.• Algumas destas condições são fáceis de checar
por computador.
Colo´quio 2005 – p. 25/44
DSASD
Algoritmo 2
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
PROCEDIMENTO:
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
PROCEDIMENTO:
1. Verifique se as condições da cota escolhida valem
para Φ.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
PROCEDIMENTO:
1. Verifique se as condições da cota escolhida valem
para Φ.
2. Calcule o valor da cota r para Φ.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
PROCEDIMENTO:
1. Verifique se as condições da cota escolhida valem
para Φ.
2. Calcule o valor da cota r para Φ.
3. Aplique o Algoritmo 1 com k variando de 1 a r.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Algoritmo 2
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: Φ tem ou não tem solução algébrica.
PROCEDIMENTO:
1. Verifique se as condições da cota escolhida valem
para Φ.
2. Calcule o valor da cota r para Φ.
3. Aplique o Algoritmo 1 com k variando de 1 a r.
4. Se alguma solução algébrica for encontrada, páre
e diga tem; senão páre e diga não tem.
Colo´quio 2005 – p. 26/44
DSASD
Aplicações do algoritmo 2
Colo´quio 2005 – p. 27/44
DSASD
Aplicações do algoritmo 2
• Projeto de iniciação científica de Bruno F. M.
Ribeiro.
Colo´quio 2005 – p. 27/44
DSASD
Aplicações do algoritmo 2
• Projeto de iniciação científica de Bruno F. M.
Ribeiro.
• Publicado em Experimental Mathematics em
2001.
Colo´quio 2005 – p. 27/44
DSASD
Aplicações do algoritmo 2
• Projeto de iniciação científica de Bruno F. M.
Ribeiro.
• Publicado em Experimental Mathematics em
2001.
Novos exemplos de campos sem solução algébrica, da
forma
φ1 = 2x
3
1 + 3x
2
1x2 + ax
2
2 + 1
φ2 = 2x
2
1x2 + 3x1x
2
2 + bx
2
1 + 1,
onde 1 ≤ a, b ≤ 10.
Colo´quio 2005 – p. 27/44
DSASD
Parar ou não parar?
Colo´quio 2005 – p. 28/44
DSASD
Parar ou não parar?
O algoritmo 2 é tão lento que o computador não chega
ao fim dos cálculos se o campo tiver grau maior ou
igual a 3.
Colo´quio 2005 – p. 28/44
DSASD
Parar ou não parar?
O algoritmo 2 é tão lento que o computador não chega
ao fim dos cálculos se o campo tiver grau maior ou
igual a 3.
A saída é mudar de filosofia.
Colo´quio 2005 – p. 28/44
DSASD
Uma nova esperança
Colo´quio 2005 – p. 29/44
DSASD
Uma nova esperança
• Inspirada nos testes de primalidade.
Colo´quio 2005 – p. 29/44
DSASD
Uma nova esperança
• Inspirada nos testes de primalidade.
• Os testes de primalidade mais rápidos não são
determinísticos.
Colo´quio 2005 – p. 29/44
DSASD
Uma nova esperança
• Inspirada nos testes de primalidade.
• Os testes de primalidade mais rápidos não são
determinísticos.
• Se estes testes respondem sim, podemos estar
certos que o número testado é primo.
Colo´quio 2005 – p. 29/44
DSASD
Uma nova esperança
• Inspirada nos testes de primalidade.
• Os testes de primalidade mais rápidos não são
determinísticos.
• Se estes testes respondem sim, podemos estar
certos que o número testado é primo.
• Porém, tais testes também podem responder “não
sei”.
Colo´quio 2005 – p. 29/44
DSASD
Um novo algoritmo
Desenvolvido e implementado como parte do projeto
de iniciação científica de Luis Menasché Schechter.
Colo´quio 2005 – p. 30/44
DSASD
Singularidades
Uma singularidade de Φ = (φ1, φ2) é um ponto
p ∈ C2 onde Φ se anula; isto é
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Colo´quio 2005 – p. 31/44
DSASD
Singularidades
Uma singularidade de Φ = (φ1, φ2) é um ponto
p ∈ C2 onde Φ se anula; isto é
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Teorema (Darboux). Um campo Φ de grau
n = m(Φ)− 1 tem, no ma´ximo n2 + n+ 1
singularidades.
Colo´quio 2005 – p. 31/44
DSASD
O teorema
Colo´quio 2005 – p. 32/44
DSASD
O teorema
Seja Φ um campo de vetores de grau
m(Φ)− 1 = n ≥ 2 com coeficientes racionais, e
suponha que
(φ1, φ2) ∩Q[x] = (g0).
Colo´quio 2005 – p. 32/44
DSASD
O teorema
Seja Φ um campo de vetores de grau
m(Φ)− 1 = n ≥ 2 com coeficientes racionais, e
suponha que
(φ1, φ2) ∩Q[x] = (g0).
Se g0 é irredutível sobre Q e tem grau n2 + n+ 1,
então Φ não admite nenhuma solução algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 32/44
DSASD
O que g0 representa?
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Como g0 ∈ (φ1, φ2), segue-se que
g0 = h1φ1 + h2φ2.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Portanto,
g0 = h1φ1 + h2φ2.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Portanto,
g0(p) = h1(p)φ1(p) + h2(p)φ2(p)
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Portanto,
g0(p) = h1(p)φ1(p) + h2(p)φ2(p) = 0.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Suponha que p = (x0, y0) é singularidade de Φ.
Então,
φ1(p) = φ2(p) = 0.
Portanto,
g0(x0) = h1(p)φ1(p) + h2(p)φ2(p) = 0.
Colo´quio 2005 – p. 33/44
DSASD
O que g0 representa?
Portanto, a abscissa de cada singularidade de Φ é raiz
de g0, e vice-versa.
Colo´quio 2005 – p. 34/44
DSASD
O que g0 representa?
Portanto, a abscissa de cada singularidade de Φ é raiz
de g0, e vice-versa.
Mas g0 é irredutível sobre Q e tem grau n2 + n+ 1.
Colo´quio 2005 – p. 34/44
DSASD
O que g0 representa?
Portanto, a abscissa de cada singularidade de Φ é raiz
de g0, e vice-versa.
Mas g0 é irredutível sobre Q e tem grau n2 + n+ 1.
Logo, Φ tem n2 + n+ 1 singularidades, todas
distintas.
Colo´quio 2005 – p. 34/44
DSASD
Demonstração do teorema
Colo´quio 2005 – p. 35/44
DSASD
Demonstração do teorema
Suponha que Φ é um campo com coeficientes
racionais que admite solução algébrica.
Colo´quio 2005 – p. 35/44
DSASD
Demonstração do teorema
Suponha que Φ é um campo com coeficientes
racionais que admite solução algébrica.
Pontos a lembrar:
Colo´quio 2005 – p. 35/44
DSASD
Demonstração do teorema
Suponha que Φ é um campo com coeficientes
racionais que admite solução algébrica.
Pontos a lembrar:
• Φ admite solução algébrica F com coeficientes
racionais.
Colo´quio 2005 – p. 35/44
DSASD
Demonstração do teorema
Suponha que Φ é um campo com coeficientes
racionais que admite solução algébrica.
Pontos a lembrar:
• Φ admite solução algébrica F com coeficientes
racionais.
• Toda solução algébrica de Φ passa por pelo
menos uma de suas singularidades.
Colo´quio 2005 – p. 35/44
DSASD
Também preciso:
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜esuma soluc¸a˜o alge´brica na˜o pode conter
todas as singularidades do campo.
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜es fa´ceis de verificar uma soluc¸a˜o alge´brica
na˜o pode conter todas as singularidades do campo.
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜es fa´ceis de verificar uma soluc¸a˜o alge´brica
na˜o pode conter todas as singularidades do campo.
Para usar isto preciso provar:
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜es fa´ceis de verificar uma soluc¸a˜o alge´brica
na˜o pode conter todas as singularidades do campo.
Para usar isto preciso provar:
• Toda solução algébrica de Φ passa por todas as
suas singularidades.
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜es fa´ceis de verificar uma soluc¸a˜o alge´brica
na˜o pode conter todas as singularidades do campo.
Para usar isto preciso provar:
• Toda solução algébrica de Φ passa por todas as
suas singularidades.
• O campo Φ satisfaz as condições desejadas.
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Também preciso:
Teorema (Cerveau-Lins Neto(1991)). Sob certas
condic¸o˜es fa´ceis de verificar uma soluc¸a˜o alge´brica
na˜o pode conter todas as singularidades do campo.
Para usar isto preciso provar:
• Toda solução algébrica de Φ passa por todas as
suas singularidades.
• O campo Φ satisfaz as condições desejadas (deixa
prá lá!).
Colo´quio 2005 – p. 36/44
DSASD
Demonstração do teorema
Como F contém uma singularidade de Φ:
(φ1, φ2, F ) 6= Q[x, y]
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
(φ1, φ2) ⊂ (φ1, φ2, F ) 6= Q[x, y]
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
Intersectando com Q[x]:
(φ1, φ2) ∩Q[x] ⊂ (φ1, φ2, F ) ∩Q[x] 6= Q[x].
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
(φ1, φ2) ∩Q[x] ⊂ (φ1, φ2, F ) ∩Q[x] 6= Q[x].
‖
(g0)
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
(φ1, φ2) ∩Q[x] ⊂ (φ1, φ2, F ) ∩Q[x] 6= Q[x].
‖
(g0)
Mas g0 é irredutível,
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
(φ1, φ2) ∩Q[x] ⊂ (φ1, φ2, F ) ∩Q[x] 6= Q[x].
‖
(g0)
Mas g0 é irredutível, logo
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
Colo´quio 2005 – p. 37/44
DSASD
Demonstração do teorema
Já vimos que
(φ1, φ2) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todos os zeros de φ1 = φ2 = 0
são raízes de g0, e vice-versa.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Já vimos que
(φ1, φ2) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todas as singularidades de Φ
são raízes de g0, e vice-versa.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Pela mesma razão,
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
são raízes de g0, e vice-versa.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Pela mesma razão,
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todos os zeros de φ1 = φ2 = F = 0
são raízes de g0, e vice-versa.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Pela mesma razão,
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todos os zeros de φ1 = φ2 = F = 0
são raízes de g0, e vice-versa.
Logo, F contém todos os zeros de φ1 = φ2 = 0.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Pela mesma razão,
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todos os zeros de φ1 = φ2 = F = 0
são raízes de g0, e vice-versa.
Logo, F contém todas as singularidades de Φ.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Demonstração do teorema
Pela mesma razão,
(φ1, φ2, F ) ∩Q[x] = (g0)
quer dizer que as abscissas de
todos os zeros de φ1 = φ2 = F = 0
são raízes de g0, e vice-versa.
Logo, F contém todas as singularidades de Φ.
C.Q.D.
Colo´quio 2005 – p. 38/44
DSASD
Algoritmo 3
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
PROCEDIMENTO:
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
PROCEDIMENTO:
1. Calcule o gerador g0 do ideal (φ1, φ2) ∩Q[x].
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
PROCEDIMENTO:
1. Calcule o gerador g0 do ideal (φ1, φ2) ∩Q[x].
2. Verifique se g0 é irredutível e de grau n2 + n+ 1.
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
PROCEDIMENTO:
1. Calcule o gerador g0 do ideal (φ1, φ2) ∩Q[x].
2. Verifique se g0 é irredutível e de grau n2 + n+ 1.
3. Se a resposta for sim: não há solução algébrica;
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Algoritmo 3
ENTRADA: um campo Φ de grau n = m(Φ)− 1.
SAÍDA: não há solução algébrica ou “não sei”.
PROCEDIMENTO:
1. Calcule o gerador g0 do ideal (φ1, φ2) ∩Q[x].
2. Verifique se g0 é irredutível e de grau n2 + n+ 1.
3. Se a resposta for sim: não há solução algébrica;
Se a resposta for não: algoritmo inconclusivo.
Colo´quio 2005 – p. 39/44
DSASD
Como calcular g0?
Colo´quio 2005 – p. 40/44
DSASD
Como calcular g0?
Escreva
φ1 = as(x)y
s + · · ·+ a1(x)y + a0(x)
φ2 = bt(x)y
t + · · ·+ b1(x)y + b0(x).
Colo´quio 2005 – p. 40/44
DSASD
Como calcular g0?
Escreva
φ1 = as(x)y
s + · · ·+ a1(x)y + a0(x)
φ2 = bt(x)y
t + · · ·+ b1(x)y + b0(x).
Note que os coeficientes ai e bj são polinômios em x.
Colo´quio 2005 – p. 40/44
DSASD
Matriz S de Sylvester


as as−1 · · · a1 a0 · · · 0 0
0 as as−1 · · · a1 a0 · · · 0
.
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0 · · · 0 as as−1 · · · a1 a0
bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0 0
0 bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0
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0 · · · 0 bt bt−1 · · · b1 b0


Colo´quio 2005 – p. 41/44
DSASD
Matriz S de Sylvester


as as−1 · · · a1 a0 · · · 0 0
0 as as−1 · · · a1 a0 · · · 0
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0 · · · 0 as as−1 · · · a1 a0
bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0 0
0 bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0
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0 · · · 0 bt bt−1 · · · b1 b0


⌉
t linhas
⌋
Colo´quio 2005 – p. 41/44
DSASD
Matriz S de Sylvester


as as−1 · · · a1 a0 · · · 0 0
0 as as−1 · · · a1 a0 · · · 0
.
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0 · · · 0 as as−1 · · · a1 a0
bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0 0
0 bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0
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0 · · · 0 bt bt−1 · · · b1 b0


⌉
t linhas
⌋
⌉
s linhas
⌋
Colo´quio 2005 – p. 41/44
DSASD
Matriz Sde Sylvester


as as−1 · · · a1 a0 · · · 0 0
0 as as−1 · · · a1 a0 · · · 0
.
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0 · · · 0 as as−1 · · · a1 a0
bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0 0
0 bt bt−1 · · · b1 b0 · · · 0
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0 · · · 0 bt bt−1 · · · b1 b0


⌉
t linhas
⌋
⌉
s linhas
⌋
Trata-se de uma matriz (s+ t)× (s+ t)
Colo´quio 2005 – p. 41/44
DSASD
A resultante
Chamamos de resultante R de φ1 e φ2 ao determinante
de S.
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Chamamos de resultante R de φ1 e φ2 ao determinante
de S. Isto é R = det(S).
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
R = Aφ1 +Bφ2,
onde A e B são polinômios em x e y.
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
R = Aφ1 +Bφ2,
onde A e B são polinômios em x e y.
Como R é um polinômio apenas na variável x,
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
R = Aφ1 +Bφ2,
onde A e B são polinômios em x e y.
Como R é um polinômio apenas na variável x, que é
irredutível,
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
R = Aφ1 +Bφ2,
onde A e B são polinômios em x e y.
Como R é um polinômio apenas na variável x, que é
irredutível, então
(φ1, φ2) ∩Q[x, y] = (R).
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
A resultante
Propriedade da resultante:
R = Aφ1 +Bφ2,
onde A e B são polinômios em x e y.
Como R é um polinômio apenas na variável x, que é
irredutível, então
(φ1, φ2) ∩Q[x, y] = (R).
Logo, podemos tomar g0 = R
Colo´quio 2005 – p. 42/44
DSASD
Eficiência do algoritmo
Polinômios densos (50 campos por grau)
Grau de Φ Tempo de Execução
2 2ms
6 47ms
8 234ms
10 750ms
14 6s
16 15s
18 37s
20 1min e 12s
Colo´quio 2005 – p. 43/44
DSASD
Eficiência do algoritmo
Polinômios esparsos (50 campos por percentual)
Coeficientes nulos Retornam “não sei”
0% 0%
20% 10%
30% 30%
50% 60%
70% 84%
80% 96%
90% 99%
Colo´quio 2005 – p. 43/44
DSASD
Projeto Folia
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
As folheações holomorfas são generalizações dos
campos de vetores polinomiais.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
As folheações holomorfas são generalizações dos
campos de vetores polinomiais.
O contexto correto para desenvolver tudo o que
fizemos aqui é a teoria das folheações holomorfas.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
• Resolução de folheações do plano projetivo.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
• Resolução de folheações do plano projetivo.
• Soluções algébricas de formas de Jacobi.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
• Resolução de folheações do plano projetivo.
• Soluções algébricas de formas de Jacobi.
• Algoritmo modular para o cálculo de soluções
algébricas
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
• Resolução de folheações do plano projetivo.
• Soluções algébricas de formas de Jacobi.
• Algoritmo modular para o cálculo de soluções
algébricas
Todas as linhas são desenvolvidas por alunos de
iniciação científica da UFRJ.
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
Projeto Folia
Objetivo:
desenvolver algoritmos para a teoria de
folheações holomorfas.
Linhas de pesquisa em andamento:
• Resolução de folheações do plano projetivo.
• Soluções algébricas de formas de Jacobi.
• Algoritmo modular para o cálculo de soluções
algébricas
URL do projeto:
www.dcc.ufrj.br/˜collier/folia.html
Colo´quio 2005 – p. 44/44
DSASD
	Campos de vetores
	Interpretac c~ao geom'etrica
	Interpretac c~ao geom'etrica
	Interpretac c~ao geom'etrica
	Interpretac c~ao geom'etrica
	Curva alg'ebrica
	Curva alg'ebrica
	Curva alg'ebrica
	Curva alg'ebrica
	Curva alg'ebrica
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	Exemplos
	O problema
	O problema
	O problema
	O problema
	Exemplo
	Exemplo
	E eu com isso?...
	E eu com isso?...
	E eu com isso?...
	Grau de um campo
	Grau de um campo
	Grau de um campo
	Grau de um campo
	A boa not'{i }cia
	A boa not'{i }cia
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A heranc ca de Darboux
	A m'a not'{i }cia
	A m'a not'{i }cia
	A m'a not'{i }cia
	A m'a not'{i }cia
	Nem t~ao m' a!
	Nem t~ao m' a!
	Nem t~ao m' a!
	O exemplo de Jouanolou
	O exemplo de Jouanolou
	O exemplo de Jouanolou
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Outros exemplos?
	Por'em...
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	Algoritmo 3
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