MecA l3

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MECAˆNICA ANALI´TICA
Lista de Exerc´ıcios no 3 – (2004/2)
Formalismo Hamiltoniano
1. A posic¸a˜o de apoio A de um peˆndulo vertical varia com o tempo de acordo com a expressa˜o
h(t) = a cos(ωt), onde h e´ a coordenada vertical desse ponto.
(a) Mostre que as equac¸o˜es de movimento da massa m podem ser obtidas da lagrangeana
L(φ, φ˙, t) =
m
2
(
2φ˙2 − 2
φ˙h˙ sen φ) +mg
 cosφ+ F (t)
onde F (t) = m(dh/dt)2/2 +mgh.
(b) Calcule o momento p associado a` coordenada φ.
(c) A partir da lagrangeana do item (a), obtenha a hamiltoniana
H(φ, p, t) =
(p+m
h˙ senφ)2
2m
2
−mg
 cosφ
(d) Mostre que uma forma alternativa para a Lagrangena do sistema e´
L′(φ, φ˙, t) =
m
2
2φ˙2 +m
(
g − d
2h
dt2
)
cosφ
e obtenha a func¸a˜o G(φ, t) tal que L− L′ = dG/dt.
(e) A partir de L′ obtenha uma nova hamiltoniana.
2. Verifique que a seguinte transformac¸a˜o de varia´veis e´ canoˆnica
Q = q e P = p+ q .
3. Mostre diretamente que para um sistema com um grau de liberdade a transformac¸a˜o
Q = arc tg
αq
p
, P =
αq2
2
(
1 +
p2
αq2
)
e´ canoˆnica, onde α e´ uma constante arbitra´ria de dimensa˜o adequada.
4. Mostre, pelo me´todo de sua prefereˆncia, que a transformac¸a˜o abaixo e´ canoˆnica
x =
1
α
(√
2P1 senQ1 + P2
)
, px =
α
2
(√
2P1 cosQ1 −Q2
)
y =
1
α
(√
2P1 cosQ1 +Q2
)
, py =
α
2
(√
2P1 senQ1 − P2
)
.
5. Considere a func¸a˜o geratriz F (q, Q) de uma transformac¸a˜o canoˆnica dada por
F (q, Q) =
mωq2
2
cotgQ .
Sendo h(q, p) a hamiltoniana
h(q, p) =
p2
2m
+
mω2q2
2
obtenha
(a) q e p em func¸a˜o de P e Q;
(b) a hamiltoniana H(Q,P );
(c) as equac¸o˜es de movimento nas duas representac¸o˜es canoˆnicas.
(d) Determine Q(t) e P (t) dadas as condic¸o˜es iniciais q(0) e p(0).
6. Considere a Lagrangeana
L(q1, q2, q˙1, q˙2, t) = T − U com T =
2∑
i,k=1
cikq˙iq˙j +
2∑
k=1
bkq˙k + a
Sob que condic¸o˜es podemos construir H(q, p, t) e quais sa˜o p1, p2 e H? Use as varia´veis d11 =
2c11, d12 = d21 = c12 + c21, d22 = 2c22, πi = pi − bi.
7. A dinaˆmica de uma part´ıcula de massa m e´ governada pela lagrangeana
L =
1
2
m(x˙2 + y˙2 + z˙2) +
ω
2
l3
onde l3 e´ a componente z do momento angular e ω e´ uma frequ¨eˆncia constante. Escreva
a lagrangeana em termos da varia´vel complexa w = x + iy, sua complexa conjugada w∗ e
z. Obtenha as equac¸o˜es de movimento e resolva-as. Encontre os momentos cinema´ticos e
canoˆnicos. Construa a func¸a˜o hamiltoniana e mostre que a part´ıcula possui apenas energia
cine´tica e que a u´ltima e´ conservada.
8. Uma part´ıcula carregada move-se sob a ac¸a˜o de um campo magne´tico B tal que A = (B×r)/2.
(a) Se vi sa˜o as componentes cartesianas da velocidade da part´ıcula, calcule
{vi, vj} i �= j = 1, 2, 3.
(b) Se pi for o momento canonicamente conjugado a xi, enta˜o, calcule
{xi, vj} {pi, vj}.
9. Mostre, para uma part´ıcula u´nica, que os colchetes de Poisson do momento angular L com:
(a) Um escalar u, func¸a˜o somente de r2, p2 e r · p, sa˜o
{u,L} = 0 .
(b) De forma similar, mostre que para F = ur+vp+wr×p onde u, v e w sa˜o func¸o˜es escalares
de tipo do item (a), enta˜o
{Fi, Lj} = −&ijkLk .
10. Mostre que o vetor de Laplace-Runge-Lenz, dado por
A = p× L− mkr
r
,
e´ uma uma constante de movimento, isto e´ dA/dt = 0, do problema de Kepler.