MecA l4

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MECAˆNICA ANALI´TICA
Lista de Exerc´ıcios no 4 – (2004/2)
Corpos Rı´gidos
1. Calcule os momentos de ine´rcia I3 dos dois arranjos de quatro esferas com distribuic¸a˜o ho-
mogeˆnea de massa, duas delas pesadas (raio R e massa M) e duas leves (raio r e massa m),
como mostrado na Fig. 1. Imagine este esquema como um modelo para uma danc¸arina de bale´.
Compare as duas velocidades angulares para um J3 fixo e igual em ambos os casos.
2. Considere um corpo r´ıgido homogeˆneo de massa M , cujo contorno e´ definido por R(θ), em co-
ordenadas esfe´ricas. Ou seja, sua densidade e´ ρ(r, θ, ϕ) = ρ0 constante caso r < R(θ) (qualquer
valor de ϕ) e e´ ρ(r, θ, ϕ) = 0 caso r > R(θ). Calcule ρ0 e os momentos de ine´rcia para:
(a) R(θ) = R0(1 + α cos θ)
(b) R(θ) = R0[1+βY20(θ)], onde Y20(θ) =
√
5/16π(3 cos2 θ−1). Trata-se do harmoˆnico esfe´rico
de � = 2 e m = 0, mas aqui isto na˜o e´ importante.
Em ambos os casos esboce o contorno do corpo r´ıgido.
3. Considere um cubo com densidade de massa homogeˆnea, lado l e massa M que gira em torno
de um de seus ve´rtices V .
(a) Calcule o tensor de ine´rcia Ijk no sistema de coordenadas (ortogonal) alinhado com os lados
do cubo e que possui o ve´rtice V como origem.
(b) Diagonalize I. Mostre que os momentos de ine´rcia sa˜o
I1 =
1
6
Ml2, e I2 = I3 =
11
12
Ml2 .
(c) Mostre ainda que o eixo principal correspondente a I1 fica na diagonal do cubo (1, 1, 1)/
√
3
que passa por V . Quais sa˜o os demais eixos principais?
4. Considere o cubo do problema anterior girando com velocidade angular instantaˆnea ω = (Ω, 0, 0)
em torno de uma das arestas de ve´rtice V . Encontre o momento angular J e o aˆngulo entre J
e ω.
5. Um cilindro homogeˆneo circular de comprimento h, raio r e massa m rola sobre um plano
inclinado sob a influeˆncia do campo gravitacional terrestre.
(a) Construa a energia cine´tica do cilindro e encontre o momento de ine´rcia relevante para
descrever o movimento.
(b) Construa a func¸a˜o lagrangiana e resolva as equac¸o˜es de movimento.
6. Expresse a velocidade angular no referencial de laborato´rio ω em termos dos aˆngulos de Euler.
7. Considere a hamiltoniana do pia˜o sime´trico
H =
p2θ
2I1
+
(pφ − pψ cos θ)2
2I1 sen 2θ
+
p2ψ
2I3
+Mgl cos θ
b
a
a
b
a
a
/2 a/3
x
(1−x)
FIG. 1: Arranjos de massas: a e b sa˜o fixos e x e´ arbitra´rio.
e a transformac¸a˜o canoˆnica do tipo 3
F3(pφ, pθ, pψ; Φ,Θ,Ψ; t) ≡ −1
2
tp2ψ
(
1
I3
− 1
I1
)
− pψΨ− pθΘ− pφΦ .
(a) Expresse (Φ,Θ,Ψ, PΦ, PΘ, PΨ) em termos de (φ, θ, ψ, pφ, pθ, pψ). Interprete Ψ.
(b) Obtenha a “kamiltoniana”
H =
P 2Θ
2I1
+
P 2Φ − 2PΦPΨ cosΘ + P 2Ψ
2I1 sen 2Θ
+Mgl cosΘ .
Onde esta´ I3?
(c) Quais sa˜o as grandezas conservadas?
(d) Mostre que podemos obter uma equac¸a˜o equivalente para a varia´vel Θ introduzindo uma
nova varia´vel z ≡ cosΘ. Mostre que
PΘ = −I1 z˙√
1− z2
e
1
2
(
dz
dτ
)2
+ V (z), com V (z) = −1
2
[
(1− z2)(a0 − z) + 2a1a2z − a21 − a22
]
onde τ = t/T, T =
√
I1/2Mgl, a0 = K/MGl, a1 = TPΦ/I1 e a2 = TPψ/I1.
(e) Observando que V (z) e´ um polinoˆmio de terceiro grau, analise o movimento como fizemos
em aula para as varia´veis (φ, θ, ψ).
8. Um frisbee ou uma pizza podem ser idealizados como discos circulares de distribuic¸a˜o de massa
uniforme. Suponha que o disco e´ lancc¸ado com velocidade angular ligeiramente inclinada em
relac¸a˜o ao eixo de simetria. Enquanto gira, o plano disco balanc¸a.
(a) Mostre que na˜o ha´ nutac¸a˜o so´ precessa˜o.
(b) Mostre que a raza˜o entre as frequ¨eˆncias dos modos de “balanc¸amento” e rotac¸a˜o sa˜o con-
stantes.
(c) Mostre que se o eixo de rotac¸a˜o forma um pequeno aˆngulo com o eixo de simetria, a raza˜o
entre os modos de “balanc¸amento” e rotac¸a˜o e´ aproximadamente 2:1.