Solucionário Um curso de cálculo 5ed Vols. 1,2,3 e 4 Hamilton Guidorizzi
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Solucionário Um curso de cálculo 5ed Vols. 1,2,3 e 4 Hamilton Guidorizzi


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CAPÍTULO 1
Exercícios 1.2
2.n) Como x2 \ufffd 3 \ufffd 0 para todo x, o sinal de x(x2 \ufffd 3) é o mesmo que o de x; logo,
x(x2\ufffd 3) \ufffd 0 para x \ufffd 0; x(x2 \ufffd 3) \ufffd 0 para x \ufffd 0; x(x2 \ufffd 3) \ufffd 0 para x \ufffd 0.
3. n) Como x2 \ufffd 1 \ufffd 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por 
 
1
12x \ufffd e,
tendo em vista a compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação, obtém-se:
(2x \ufffd 1)(x2 \ufffd 1)\ufffd 0 ¤ 2x \ufffd 1 \ufffd 
 
0
1 2\ufffd x ¤ 2x \ufffd 1 \ufffd 0 ¤ x \ufffd 
1
2
.
4.
 
x a x a
x ax x ax a
ax a x
a x a
3 3
3 2 2 2
2 2
2 3
0
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
\ufffd \ufffd
8. a) ax2 \ufffd bx \ufffd c \ufffd a x b
a
x
c
a
a x
b
a
x
b
a
b
a
c
a
2 2
2
2
2
24 4
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffd \ufffdÊË
ˆ
¯
Ê
ËÁ
ˆ
˜¯ . Agora
é só observar que 
 
x
b
a
x
b
a
x
b
a
2
2
2
2
4 2
\ufffd \ufffd \ufffd \ufffdÊË
ˆ
¯ e 
\ufffd
\ufffd \ufffd \ufffd
\ufffdb
a
c
a a
2
2 24 4
.
14. Como x2 \ufffd 1 \ufffd 0 para todo x, multiplicando-se os dois membros por x2 \ufffd 1 e
lembrando da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação, tem-se:
5 3
12
x
x
\ufffd
\ufffd
 \ufffd 5 ¤ 5x \ufffd 3 \ufffd 5(x2 \ufffd 1)
15. Falsa. Para x \ufffd 2, a afirmação será verdadeira, pois, neste caso, teremos x \ufffd 2 \ufffd 0 e
pela compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação teremos:
x x
x
2 1
2
\ufffd \ufffd
\ufffd
\ufffd 3 ¤ x2 \ufffd x \ufffd 1 \ufffd 3(x \ufffd 2)
Para x \ufffd 2, teremos x \ufffd 2 \ufffd 0, e daí e pela compatibilidade mencionada anteriormente
 
x x
x
2 1
2
\ufffd \ufffd
\ufffd
\ufffd 3 ¤ x2 \ufffd x \ufffd 1 \ufffd 3(x \ufffd 2)
2
16. Sendo \ufffd 	 0 raiz de P(x) deveremos ter a0\ufffdn \ufffd a1\ufffdn \ufffd 1 \ufffd ... \ufffd an \ufffd 1\ufffd \ufffd an \ufffd 0.
Dividindo os dois membros por \ufffd, resulta: a0\ufffd
n \ufffd 1
 \ufffd a1\ufffd
n \ufffd 2
 \ufffd ... \ufffd an \ufffd 1 \ufffd \ufffd
 
an
\ufffd
.
Como o primeiro membro dessa igualdade é número inteiro, pois, por hipótese, \ufffd, a0, a1, ...,
an \ufffd 1 são inteiros, resulta que 
 
an
\ufffd
 é um número inteiro, logo, \ufffd é divisor de an.
17. a) Como os coeficientes do polinômio x3 \ufffd 2x2 \ufffd x \ufffd 4 são números inteiros, o
número inteiro \ufffd terá chance de ser raiz da equação se \ufffd for divisor do termo independente
\ufffd4. Os divisores de \ufffd4 são: 1, \ufffd1, 2, \ufffd2, 4 e \ufffd4. Para verificar se algum destes números
é raiz, o único jeito é substituí-lo na equação. Por substituição na equação verifica-se, então,
que 1 é raiz e que os demais não são raízes. Conclusão: 1 é a única raiz inteira da equação.
18. Tendo em vista a sugestão, P(x) \ufffd (x \ufffd \ufffd)Q(x) \ufffd R, onde Q(x) é um polinômio de
grau n \ufffd 1 e R um número. Substituindo x por \ufffd, resulta P(\ufffd) \ufffd R. Se \ufffd for raiz,
teremos P(\ufffd) \ufffd 0 e, portanto, R \ufffd 0, o que significa que P(x) é divisível por (x \ufffd \ufffd).
Reciprocamente, se P(x) for divisível por (x \ufffd \ufffd), teremos R \ufffd 0 e, portanto, P(\ufffd) \ufffd 0,
ou seja, \ufffd é raiz de P(x).
19. a) Primeiro vamos verificar se P(x) \ufffd x3 \ufffd 2x2 \ufffd x \ufffd 2 admite raízes inteiras. Os
candidatos a raízes inteiras são os divisores \ufffd1, 1, \ufffd2 e 2 do termo independente \ufffd2.
Substituindo em P(x), verifica-se que \ufffd1, 1, e \ufffd2 são raízes. Segue que P(x) é divisível
por (x \ufffd (\ufffd1)) \ufffd (x \ufffd 1). Dividindo obtém-se P(x) \ufffd (x \ufffd 1) (x2 \ufffd x \ufffd 2). Sendo 1 raiz
de P(x), mas não raiz de x \ufffd 1, resulta que 1 é raiz do quociente x2 \ufffd x \ufffd 2, logo, tal
quociente é divisível por x \ufffd 1; efetuando-se a divisão obtém-se
x
2
 \ufffd x \ufffd 2 \ufffd (x \ufffd 1)(x \ufffd 2). Segue P(x) \ufffd (x \ufffd 1)(x \ufffd 1)(x \ufffd 2) que é a forma
fatorada do polinômio dado.
20. a) 1.º Processo. x3 \ufffd 1 é divisível por x \ufffd 1, pois 1 é raiz de x3 \ufffd 1; efetuando-se a
divisão, obtém-se x3 \ufffd 1 \ufffd (x \ufffd 1)(x2 \ufffd x \ufffd 1). Segue que a inequação é equivalente a
(x \ufffd 1)(x2 \ufffd x \ufffd 1) \ufffd 0. Como x2 \ufffd x \ufffd 1 \ufffd 0 para todo x, tal inequação é equivalente
a x \ufffd 1 \ufffd 0 e, portanto, equivalente a x \ufffd 1 que é a solução da inequação.
2.º Processo. Tendo em vista a equivalência \u201cx \ufffd y ¤ x3 \ufffd y3 quaisquer que sejam x e
y\u201d (veja Exercício 22), segue que x3 \ufffd1 \ufffd 0 ¤ x3 \ufffd 13 ¤ x \ufffd 1.
21. Falsa. Pois, \ufffd 5 \ufffd \ufffd 3 Þ (\ufffd 5)2 \ufffd (\ufffd3)2. Observação. É verdadeira a seguinte
afirmação: quaisquer que sejam x \ufffd 0 e y \ufffd 0, tem-se x \ufffd y ¤ x2 \ufffd y2. De fato, de x \ufffd 0
e y \ufffd 0 segue x \ufffd y \ufffd 0; pela compatibilidade da relação de ordem com a adição (veja
propriedade OA, no livro-texto, página 3), x \ufffd y ¤ x \ufffd y \ufffd y \ufffd y ¤ x \ufffd y \ufffd 0.
De x \ufffd y \ufffd 0 e pela compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação (veja
propriedade OM, no livro-texto, página 3), tem-se
x \ufffd y \ufffd 0 ¤ (x \ufffd y)(x \ufffd y) \ufffd 0 (x \ufffd y) ¤ x2 \ufffd y2 \ufffd 0 ¤ x2 \ufffd y2.
22. Já sabemos que x3 \ufffd y3 \ufffd (x \ufffd y)(x2 \ufffd xy \ufffd y2). Temos, também, se x \ufffd 0 e y \ufffd 0
(ou x \ufffd 0 e y \ufffd 0), então x2 \ufffd xy \ufffd y2 \ufffd 0. Faremos a prova considerando três casos.
1.º Caso. Neste primeiro caso, faremos a prova supondo x \ufffd 0 e y \ufffd 0. Temos:
x \ufffd y ¤ x \ufffd y \ufffd 0. Como x2 \ufffd xy \ufffd y2 \ufffd 0, multiplicando-se os dois membros de x \ufffd y \ufffd 0
por x2 \ufffd xy \ufffd y2 e lembrando da compatibilidade da relação de ordem com a multiplicação,
3
resulta (x \ufffd y)(x2 \ufffd xy \ufffd y2) \ufffd 0 (x2 \ufffd xy \ufffd y2), que é equivalente a x3 \ufffd y3 \ufffd 0, que
por sua vez é equivalente a x3 \ufffd y3. Portanto, admitindo x \ufffd 0 e y \ufffd 0, teremos
x \ufffd y ¤ x3 \ufffd y3.
2.º Caso. Neste segundo caso suporemos x \ufffd 0 e y \ufffd 0. Sendo x \ufffd 0 e y \ufffd 0 teremos,
também, x2 \ufffd xy \ufffd y2 \ufffd 0. Agora é só repetir o raciocínio do 1.º caso.
3.º Caso. Neste 3.º caso suporemos x \ufffd 0 e y \ufffd 0. Sendo x \ufffd 0 teremos, também, x3 \ufffd 0
e reciprocamente. Por outro lado, sendo y \ufffd 0, teremos, também, y3 \ufffd 0 e
reciprocamente. Portanto, supondo x \ufffd 0 e y \ufffd 0, teremos, x \ufffd y ¤ x3 \ufffd y3.
23. a) Sabemos que 0 \ufffd 0 \ufffd 0 (A3). Daí, x 
 (0 \ufffd 0) \ufffd x 
 0. Pela distributividade da
multiplicação em relação à adição, x 
 0 \ufffd x 
 0 \ufffd x 
 0. Pela lei do cancelamento,
x 
 0 \ufffd 0. (Observe que a lei do cancelamento depende apenas da propriedade associativa
e da existência de oposto. Veja Exemplo 2, livro-texto, página 5.)
b) x \ufffd (\ufffd x) \ufffd 0; [x \ufffd (\ufffd x)] 
 y \ufffd 0 
 y. Pela propriedade distributiva e tendo em vista
(a), resulta xy \ufffd (\ufffd x)y \ufffd 0. Somando a ambos os membros o oposto de xy, obtemos
(\ufffd x)y \ufffd \ufffd xy. De forma análoga, prova-se que x(\ufffd y) \ufffd \ufffdxy. Vamos, agora, à prova de
que (\ufffd x)(\ufffd y) \ufffd xy. Temos, [x \ufffd (\ufffd x)][y \ufffd (\ufffd y)] \ufffd 0. Pela propriedade distributiva,
xy \ufffd x(\ufffd y) \ufffd (\ufffd x)y \ufffd (\ufffd x)(\ufffd y) \ufffd 0. De x(\ufffd y) \ufffd \ufffd xy e (\ufffd x)y \ufffd \ufffdxy
e lembrando que xy \ufffd (\ufffd xy) \ufffd 0 resulta \ufffd xy \ufffd (\ufffd x)(\ufffd y) \ufffd 0. Somando xy aos dois
membros, obtemos (\ufffd x)(\ufffd y) \ufffd xy.
c) Seja x um real qualquer. Pela (O4), x \ufffd 0 ou x \ufffd 0. Supondo x \ufffd 0 e somando o
oposto de x aos dois membros, resulta 0 \ufffd \ufffd x; pela (OM), 0 
 (\ufffd x) \ufffd (\ufffd x)(\ufffd x) e,
portanto, 0 \ufffd x 
 x, ou seja, 0 \ufffd x2. Assim, se x \ufffd 0, teremos x2 \ufffd 0. Supondo, agora, x \ufffd 0
e lembrando, novamente, de (OM) teremos x 
 x \ufffd x 
 0 e, portanto, x2 \ufffd 0. Dessa
maneira fica provado que, para todo x real, tem-se x2 \ufffd 0.
d) Como 12 \ufffd 1 
 1 \ufffd 1 e 1 	 0 (M3), tendo em vista (c), resulta 1 \ufffd 0.
e) Para x 	 0, x 
 x\ufffd1 \ufffd 1 (M4) e, portanto, teremos também x\ufffd1 	 0. Assim, para
x 	 0, x\ufffd1 
 x\ufffd1 \ufffd 0. Supondo, agora, x \ufffd 0 e multiplicando-se ambos os membros
da última desigualdade por x, obtemos x 
(x\ufffd1 
 x\ufffd1) \ufffd x 
 0; pela (M1),
x 
 (x\ufffd1 
 x\ufffd1) \ufffd (x 
 x\ufffd1) 
 x\ufffd1, e lembrando que x 
 x\ufffd1 \ufffd 1, resulta x\ufffd1 \ufffd 0. Assim,
se x \ufffd 0 teremos, também, x\ufffd1 \ufffd 0. Supondo, agora, x\ufffd1 \ufffd 0 teremos x 	 0 e, portanto,
x
2
 \ufffd 0; multiplicando-se os dois membros por x\ufffd1 e lembrando de (OM), teremos
x
\ufffd1
 
 x2 \ufffd x\ufffd1 
 0, ou seja, (x\ufffd1 
 x) 
 x \ufffd 0 e portanto, x \ufffd 0. Fica provado assim que
x \ufffd 0 é equivalente a x\ufffd1 \ufffd 0.
f) Supondo xy \ufffd 0 vamos provar que x \ufffd 0 ou y \ufffd 0. Se x 	 0 teremos, também, x\ufffd1 	 0;
multiplicando-se os dois membros de xy \ufffd 0 por x\ufffd1 vem x\ufffd1 
 (xy) \ufffd x\ufffd1 
 0 e daí
(x\ufffd1 
 x) 
 y \ufffd 0; lembrando que x 
 x\ufffd1 \ufffd 1, resulta y \ufffd 0. Se tivermos y 	 0,
raciocinando de forma análoga, conclui-se que x \ufffd 0. Fica provado então que
xy \ufffd 0 Þ x \ufffd 0 ou y \ufffd 0. A recíproca é imediata.
g) x2 \ufffd y2 ¤ x2 \ufffd y2 \ufffd 0 ¤ (x \ufffd y)(x \ufffd y) \ufffd 0 ¤ x \ufffd y \ufffd 0 ou x \ufffd y \ufffd 0 ¤ x \ufffd y
ou x \ufffd \ufffd y
4
h) x2 \ufffd y2 ¤ (x \ufffd y)(x \ufffd y) \ufffd 0 ¤ x \ufffd y \ufffd 0 ou x \ufffd y \ufffd 0; da hipótese x \ufffd 0 e y \ufffd 0
segue que x \ufffd y \ufffd 0 só ocorrerá se