Lista I

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadeˆmico do Agreste
Nu´cleo de Formac¸a˜o Docente
Geometria Anal´ıtica
1a Lista da III UNIDADE
1. Circunfereˆncia
A.1 Obtenha a equac¸a˜o e esboce o gra´fico da circunfereˆncia caracterizada por:
(i) Centro 퐶(−2, 1) e raio 푟 = 5;
(ii) Centro 퐶(1, 2) e raio 푟 =
√
3;
(iii) Passando pelos pontos 퐴(1, 2), 퐵(2, 1) e 퐶(−1, 1);
(iv) Circunscrito ao triaˆngulo de ve´rtices 퐴(7, 3), 퐵(1, 9) e 퐶(5, 7)
(v) Passa pelos pontos 퐴(1, 2) e 퐵(1,−2) e tem raio 푟 = 2;
(vi) Circunscrita no triaˆngulo formado pelas retas 푟1 : 푥 + 푦 = 8, 푟2 : 2푥 + 푦 = 14 e
푟3 : 3푥+ 푦 = 22.
B.1 Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia de raio 5, tangente a` reta 푟 : 3푥 + 4푦 = 16 no
ponto 퐴(4, 1).
C.1 Determine a equac¸a˜o da circunfereˆncia de centro 퐶(−2, 3) e tangente a` reta
푟 : 20푥− 21푦 = 42.
D.1 Mostre que as retas
푟1 : 푥− 푦 = 2 푒 푟2 : 푥+ 푦 = 2 (1)
sa˜o tangentes a circunfereˆncia 푥2 + 푦2 = 2.
E.1 Determine o centro e o raio da circunfereˆncia dada pela equac¸a˜o
(i) 푥2 + 푦2 − 4푥+ 6푦 = 0;
(ii) 푥2 + 푦2 + 3푥− 5푦 + 1 = 0;
Maria do Desterro
Realce
Maria do Desterro
Realce
Maria do Desterro
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Maria do Desterro
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(iii)
푥2
2
+
푦2
2
+ 2푥− 3푦 + 6 = 0;
(iv) 푥2 + 푦2 − 2
3
푥+ 2푦 − 8
9
= 0;
(v) 푥2 + 푦2 − 2휋푥+ 2휋푦 + 휋2 = 0.
2. Elipse
A.2 Determine a equac¸a˜o da elipse com centro (푝, 푞) e focos sobre uma reta paralela ao eixo
coordenado 푂푥, passando pelo centro.
B.2 Determine a equac¸a˜o da elipse caracterizada por:
(i) Ve´rtices em (4, 0) e (−4, 0) e focos (3, 0) e (−3, 0);
(ii) Ve´rtices em (0, 6) e (0,−6) e focos (0, 4) e (0,−4);
(iii) Focos (2, 0) e (−2, 0) e excentricidade igual a 푒 = 2
3
;
(iv) Centro 퐶(2,−1) e passa pelos pontos 퐴(−3,−1) e 퐵(2, 3).
C.2 Os focos de uma elipse sa˜o (3, 8) e (3, 2), e o comprimento do seu eixo transverso e´ 8.
Determine a equac¸a˜o da elipse, os seus ve´rtices e a sua excentricidade.
D.2 Identifique o lugar geome´trico dos pontos 푃 (푥, 푦) cuja soma das distaˆncias aos pontos
퐹1(4,−1) e 퐹2(4, 7) e´ igual a 12.
E.2 Determine a equac¸a˜o da elipse na forma canoˆnica, o seu centro, os ve´rtices, os seus focos
e a sua excentricidade, dada pela equac¸a˜o cartesiana:
(i) 푥2 + 4푦2 + 2푥− 12푦 + 6 = 0;
(ii) 25푥2 + 9푦2 − 225 = 0;
(iii) 4푥2 + 9푦2 − 40푥+ 36푦 + 100 = 0.
F.2 Uma elipse tem seu centro na origem e um de seus ve´rtices sobre a reta focal e´ (0, 7).
Se a elipse passa pelo ponto
(√
5,
14
3
)
, determine sua equac¸a˜o, seus ve´rtices, seus focos
e sua excentricidade. Fac¸a, tambe´m, um esboc¸o da elipse.
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Maria do Desterro
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Maria do Desterro
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3. Hipe´rbole
A.3 Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole de centro (푝, 푞) e focos sobre uma reta paralela ao
eixo coordenado 푂푦, passando pelo centro.
B.3 Encontre a equac¸a˜o, os elementos principais (focos, ve´rtices, excentricidade, centro, eixos
e ass´ıntotas) e esboce o gra´fico da hipe´rbole caracterizada por:
(i) Focos (5, 0) e (−5, 0) e diferenc¸a de raios focais igual a 6.
(ii) Ve´rtices (0, 3) e (0,−3) e um de seus focos e´ o ponto (0, 5).
C.3 O centro de uma hipe´rbole e´ a origem, sua reta focal e´ um dos eixos coordenados e uma
de suas ass´ıntotas e´ a reta 푟 : 2푥− 5푦 = 0. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole, supondo
que o ponto (4, 6) pertence a mesma.
D.3 Encontre a equac¸a˜o da hipe´rbole e das suas ass´ıntotas, conhecendo os focos 퐹1(−
√
13, 0),
퐹2(
√
13, 0) e a medida do eixo transverso e´ 6.
E.3 Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole na forma canoˆnica, o seu centro, seus ve´rtices, os seus
focos e suas ass´ıntotas, dada pela equac¸a˜o cartesiana:
(i) 9푥2 − 25푦2 − 225 = 0.
(ii) 푥2 − 2푦2 + 6푥+ 4푦 + 9 = 0.
F.3 Dizemos que uma hipe´rbole e´ equila´tera se o comprimento do eixo focal e´ igual ao
comprimento do eixo transverso, isto e´, 푎 = 푏. Determine a equac¸a˜o da hipe´rbole
equila´tera com focos nos pontos (−√8, 0) e (√8, 0).
G.3 Mostre que a excentricidade de qualquer hipe´rbole equila´tera e´
√
2.
H.3 Mostre que as ass´ıntotas de uma hipe´rbole na˜o a intersectam.
4. Para´bola
A.4 Determine a equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice 푉 (푝, 푞) e foco sobre uma reta paralela ao
eixo 푂푥.
B.4 Determine a equac¸a˜o da para´bola com ve´rtice 푉 na origem, cujo foco e´ o ponto
(i) 퐹 (3, 0).
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Maria do Desterro
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(ii) 퐹 (0,−2).
C.4 Uma para´bola com ve´rtice na 푉 na origem, cuja reta focal e´ o eixo 푂푦, passa pelo ponto
(4,−2). Determine sua equac¸a˜o, o foco e a equac¸a˜o da diretriz.
D.4 Determine os principais elementos da para´bola:
(i) 푥2 − 8푦 = 0.
(ii) 2푦2 + 5푥+ 8푦 − 7 = 0.
E.4 Uma circunfereˆncia com centro no ponto 퐶(4,−1) passa pelo foco da para´bola 푥2 =
−16푦. Mostre que a circunfereˆncia e´ tangente a diretriz da para´bola.
F.4 Determine a equac¸a˜o da para´bola de ve´rtice 푉 (3, 4) e foco 퐹 (3, 2). Determine, tambe´m,
a equac¸a˜o da sua diretriz.
G.4 Obtenha na para´bola 푦2 = 16푥 os pontos cujos raios focais medem 13 unidades.
Geral
A. Identifique e esboce as curvas abaixo. Determine todos os seus elmentos, conforme o caso
(focos, ve´rtices, centro, eixos, diretriz, excentricidade, ass´ıntotas):
(a)
푥2
5
+
푦2
2
= 1
(b) 5푦2 − 푥2 + 20 = 0
(c) 푥2 − 푦2 − 6푥− 2푦 = 28
(d)
(푥− 2)2
16
− (푦 − 2)
2
25
= 1
(e) 푦2 = −12푥
(f) 푥2 + 푦2 − 2푥+ 6푦 + 1 = 0
(g) 4푥2 + 4푦2 − 10 = 0
(h) 푥2 − 2푦 = 0
(i)
(푥+ 3)2
36
+
(푦 − 2)2
16
= 1
(j) 푦2 − 4푥+ 2푦 + 9 = 0
(k) 푥2 − 4푥− 5푦 − 11 = 0
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Maria do Desterro
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