BDQ completo de cálculo II

Prévia do material em texto

O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)=(sen2t) i + eln(2t)j + (cost)k 
 
 j - k 
 k 
 i - j + k 
 j 
 j + k 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407306038) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
Determine a velocidade do objeto no instante t = 1. 
 
 t2 i + 2 j 
 
 2t j 
 - 3t2 i + 2t j 
 3t2 i + 2t j 
 0 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407306023) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O vetor de posição de um objeto se movendo em um plano é dado por r(t) = t3 i + t2 j. 
 Determine a aceleração do objeto no instante t = 1. 
 
 6i+2j 
 6ti+j 
 ti+2j 
 6ti+2j 
 6ti -2j 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407305926) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então: ∫r(t)dt é: 
 
 2sent i - cost j + t2 k + C 
 sent i - t2 k + C 
 πsenti - cost j + t2 k + C 
 2senti + cost j - t2 k + C 
 -cost j + t2 k + C 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407306220) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a acelaração da curva r(t) = (cost,sent,t2), em t=π2, indicando a única resposta correta. 
 
 (0,0,0) 
 (0, 1,-2) 
 (0,-1,-1) 
 (0,0,2) 
 (0,-1,2) 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407306008) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Descreva a curva definida pela função vetorial: r(t) = 〈1+t,2+5t,-1+6t〉 
 
 x= t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1 -t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1 
 x=1+t ; y=2+5t, z=-1+6t 
 x=1+t ; y=2+5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
(cost)i - 3tj 
 (cost)i + 3tj 
 
(sent)i + t³j 
 
-(sent)i -3tj 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407185330) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 π 
 3π2 +1 
 π4+1 
 3π4+1 
 π2+1 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407305920) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + e-tj + (cost)k 
 
 i - j - k 
 i + j - k 
 j - k 
 i + j + k 
 - i + j - k 
 
 
 
 
 
 4a Questão (Ref.: 201407397287) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Seja ∫((cost)i + (4t3)j) dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (sent)i + t4j 
 
-(sent)i-3tj 
 (cost)i-(sent)j+3tk 
 (cost)i-3tj 
 
(cost)i+3tj 
 
 
 
 
 
 5a Questão (Ref.: 201407189043) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontre o vetor velocidade para o movimento circular r(t) = (cos 2t)i + (sen 2t)j 
 
 v(t)=sen(2t)i+cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i-2cos(2t)j 
 v(t)=-2sen(t)i+2cos(t)j 
 v(t)=-2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 v(t)=2sen(2t)i+2cos(2t)j 
 
 
 
 
 
 6a Questão (Ref.: 201407183807) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule o limite de: 
lim (x,y)--->(1,2) (x²y³ - x³y² + 3x + 2y) 
 
 
12 
 5 
 
- 11 
 
-12 
 11 
 
 
 
 
 
 7a Questão (Ref.: 201407306438) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Um objeto de massa m que se move em uma trajetória circular com velocidade angular 
constante w tem vetor posição dado por r(t) = acoswt i + asenwt j. Indique a única resposta 
correta que determina a acelaração em um tempo t qualquer. Observação: a > 0. 
 
 aw2coswt i + aw2senwtj 
 -aw2coswt i - awsenwtj 
 aw2coswt i - aw2senwtj 
 -w2coswt i - w2senwtj 
 -aw2coswt i - aw2senwt j 
 
 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201407305978) . Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Se r(t)= 2 cost i + sent j + 2t k, então a integral definida: ∫0π2r(t)dt é: 
 
 2i + j + (π2)k 
 i+j- π2 k 
 i - j - π24k 
 2i + j + π24k 
 2i - j + π24k 
O limite de uma função vetorial r(t) é definido tomando-se os limites de suas funções 
componentes. Assim, de acordo com o teorema acima, indique a única resposta correta para o 
limite da função: 
limt→0 r(t)= ( 1 + t3)i + te-tj + (sentt)k 
 
 
 j + k 
 i + j + k 
 i + k 
 i + j 
 
i + j - k 
 
 
 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407937633) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(13)x+133 
 
y=(23)x-133 
 y=-(23)x+133 
 
y=(23)x+103 
 y=(23)x+133 
 
 
 2a Questão (Ref.: 201407182645) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Encontrando Primitivas. 
Seja ∫((cost)i + 3t2)j dt, 
qual a resposta correta? 
 
 (sent)i + t³j 
 
(cost)i - 3tj 
 
-(sent)i -3tj 
 
(cost)i + 3tj 
 
(cost)i - sentj + 3tk 
 
 
 
 
 
 3a Questão (Ref.: 201407937633) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Elimine o parâmetro tpara encontrar uma equação cartesiana da curva: x=3t-5 e y=2t+1 
 
 
y=(23)x-133 
 y=(23)x+103 
 y=(23)x+133 
 
y=-(23)x+133 
 
y=(13)x+133 
 
 
 
 8a Questão (Ref.: 201407185330) Fórum de Dúvidas (0) Saiba (0) 
 
Calcule a integral da função vetorial: 
[∫01dt1-t2]i+[∫01dt1+t2]j+[∫01dt]k 
 
 
 π 
 π4+1 
 3π2 +1 
 π2+1 
 3π4+1 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t), indicando a única resposta 
correta. 
 
 
 
(sent,-cost,2t) 
 
(-sent, cost,1) 
 
(sent,-cost,0) 
 
(sect,-cost,1) 
 
(sent,-cost,1) 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre o vetor aceleração da partícula de posição: 
r(t)= (et)i+29(e2t)j-2(et)k no instante t=ln3. 
 
 
 a(t)=3i+8j-6k 
 
a(t)=3i +89j-6k 
 a(t)=e3i +29e3j-2e3k 
 
a(t)=e3i +2e3j-4e3k 
 
a(t)=(e3)i+29(e3)j-2(e3)k 
 
 
 
00 
 
 
6. 
 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única 
resposta correta. 
 
 
 
(1-sent,sent,0) 
 
(1-cost,sent,0) 
 
(1-cost,sent,1) 
 
(1-cost,0,0) 
 
(1 +cost,sent,0) 
 
 
 
7. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
0 
 
2e 
 
e 
 
1 
 
3e 
 
 
 
8. 
 
 
Encontrando Derivadas. 
Qual é a resposta correta para a derivada de r(t)=(tcost)i + (tsent)j + tk? 
 
 
 
(cost - tsent)i + (sent + cost)j + 1 
 
(sent - tcost)i + (sentcost)j - k 
 
t(cost - sent)i - t(sent + cost)j + k 
 
(cost - tsent)i + (sent + tcost)j + k 
 
(tcost - sent)i + (sent - tcost)j + k 
 
 
1. 
 
 
Um competidor em sua asa-delta realiza uma espiral no ar cujo vetor posição r(t) 
= (3cos t) i + (3sen t)j + t2k. Esta trajetória faz lembrar a de uma hélice. Para o 
intervalo de tempo [0, 4Pi], encontre o módulo da velocidade da asa-delta no 
instante t = 0. 
 
 
 
9 
 
2 
 
3 
 
14 
 
1 
 
 
 
2. 
 
Calcule a velocidade da curva r(t) = (cost, sent, t2), indicando a únicaresposta correta. Considere a resposta em t=π4 
 
 
(-2,2,π4) 
 
(22,22,π2) 
 
(-22,- 22,-π4) 
 
(22,22,π4) 
 
(-22,22,π2) 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2j 
 
i/2 + j/2 
 
2i + 2j 
 
2i + j 
 
2i 
 
 
 
5. 
 
 
Sendo f(x,y,z)=e
xyz 
encontre a soma das derivadas parciais da função em relação a 
cada variável no ponto P(1,0,1). 
 
 
 
 
0 
 
2e 
 
3e 
 
e 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o vetor aceleração de uma partícula para o instante t = 1, onde 
sua posiçào é dada pelo vetor r(t) = (t +1)i + (t2 - 1)j + 2tk 
 
 
 
2i 
 
2i + j 
 
2i + 2j 
 
i/2 + j/2 
 
2j 
 
 
 
 
 
 
Calcule a velocidade de uma partícula com vetor de posição r(t) = (t2, et, tet). Indique 
a única resposta correta. 
 
 
 
(2t,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(1+t)et) 
 
(2t,et,(1 - t)et) 
 
(2,et,(1+t)et) 
 
(t,et,(2+t)et) 
 
 
 
2. 
 
Seja r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k o vetor posição de uma 
partícula que se move ao longo de uma curva lisa no 
plano. 
Considere as afirmações. Assinale (V) para as 
verdadeiras e (F) para as falsas: 
1) ( ) Quando uma partícula se move durante um 
intervalo de tempo I, as coordenadas da partícula 
são x(t),y(t),z(t). Os pontos P(x(t),y(t),z(t)) formam uma 
curva que é a trajetória da partícula. 
 2) ( ) A velocidade é a derivada da posição,isto é: 
 v(t) =r'(t) = dr(t)dt 
3) ( ) O módulo da velocidade ou a magnitude da 
velocidade é igual a 
 |v(t)|= (dx(t)dt)2+(dy(t)dt)2+(dz(t)dt)2. 
4) ( ) A aceleração é a derivada da velocidade, ou 
 
 
seja 
a(t) = v'(t)= dv(t)dt 
5) ( ) O vetor unitário ou versor v(t)|v(t)| é a direção 
do movimento no instante t. 
6) ( ) r(t)é lisa se for contínua e nunca 0. 
 
 
 
1) (V) 2)(V) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4)(V) 5) 
(V) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (F) 4)(V) 5) 
(F) 6) (V) 
 
1) (V) 2)(F) 3) (V) 4) (V) 5) 
(V) 6) (F) 
 
1) (V) 2)(V) 3) (F) 4)) 
(V) 5)(V) 6) (F) 
 
 
 
3. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação 
cartesiana para a equação polar r=42cosΘ-senΘ 
 
 
 
y = x - 4 
 
y = x 
 
y = x + 1 
 
y = 2x - 4 
 
y = x + 6 
 
 
 
4. 
 
 
Determine o versor tangente à curva de função 
vetorial r(t)=(2sent)i+(2cost)j+(tgt)k no ponto t=π4. 
 
 
 (12)i -(12)j+(22)k 
 
 (25)i+(25)j+(255)k 
 (2)i -(2)j+(2))k 
 (22)i -(22)j+(22)k 
 
(105)i -(105)j+(255)k 
 
 
 
5. 
 
 
Marque dentre as opções a que representa uma equação cartesiana para a 
equação polar r2 = 4r cosΘ 
 
 
 
(x - 2)2 + y2 = 10 
 
(x - 2)2 + (y + 4)2 = 4 
 
(x - 2)2 + y2 = 4 
 
(x - 4)2 + y2 = 2 
 
(x + 2)2 + y2 = 4 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂x 
 
 
 
2sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
2cos(x - 3y) 
 
2sen(x - 3y) 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a equação do plano tangente à superfície 
 z=f(x,y)=3.x.y²-10x² no ponto P(1,2,2). 
 
 
 
z=8x-
12y+18 
 
z=8x - 10y -
30 
 
z=-
8x+12y -
14 
 
 z=-
8x+10y-
10 
 
z=-8x+12y-
18 
 
Supondo que r(t)é o vetor posição de uma partícula que se 
move a longo de uma curva então,em qualquer instante t , 
pode-se afirmar: 
 I) O vetor velocidade da partícula, tangente à curva, é dado 
por:v(t)=dr(t)dt 
 II) A aceleração é a derivada segunda da velocidade em 
relação ao tempo. 
 III) O versor v(t)|v(t)|dá a direção do movimento no 
instante t. 
IV) A velocidade de uma partícula pode ser expressa como 
o produto do módulo de sua velocidade pela sua direção. 
Estão corretas apenas as afirmações: 
 
 
 
II,III e IV 
 
I,II e IV 
 
I,II,III e IV 
 
I,II e III 
 
I,III e IV 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função f(x, y) = sen2(x - 3y). Encontre ∂f∂y 
 
 
 
-6sen(x + 3y)cos(x + 3y) 
 
-6sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
-6sen(x - 3y) 
 
sen(x - 3y)cos(x - 3y) 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x,y,z)=x-y2+z2 . Encontre ∂f∂x , ∂f∂y e ∂f∂z 
 
 
 
∂f∂x=x , ∂f∂y=yy2+z2 e ∂f∂z=zy2+z2 
 ∂f∂x=1 , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 ∂f∂x=xy , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
∂f∂x=y2+z , ∂f∂y=-yy2+z2 e ∂f∂z=-zy2+z2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encontre a curvatura para r(t)=(lnsect)i+tj para -π2<t<π2 
 
 
 
sen t 
 
ln t + sen t 
 
tg t 
 
ln t 
 
cos t 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a curvatura para a curva r(t) = (cos t + t sen t)i + (sen t - t cos t)j para t > 0 
 
 
sen t 
 
1/t + sen t 
 
cos t 
 
1/t 
 
1/t + sen t + cos t 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre um vetor normal a curva r(t) = (cos t + t sen t)i +(sen t - t cos t)j 
+ 3k 
 
 
 
(-sen t)i - (cos t)j 
 
(-sen t)i + (cos t)j + k 
 
(-sen t)i + (cos t)j - k 
 
(-sen t)i + (cos t)j 
 
(-sen t - cos t)i + (cos t)j 
 
 
 
4. 
 
 
 Considere w=f(x,y,z) uma função de três variáveis que tem 
derivadas parciais contínuas ∂w∂x , ∂w∂y e ∂w∂z em algum 
intervalo e x,ye z são funções de outra variável t 
Então dwdt=∂w∂x⋅dxdt+∂w∂y⋅dydt+∂w∂z⋅dzdt. 
Diz - se que dwdt é a derivada total de w com relação 
a t e representa a taxa de variação de w à medida 
que t varia. 
Supondo w=x2 -3y2 +5z2 onde x=et, y=e-t, z= e2t, 
calcule dwdt sendo t= 0 
 
 
 
8 
 
12 
 
20 
 
10 
 
18 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=lnxyz em P(1,2,2) na direção do vetor v=i+j -k. 
 
 
 
 
32 
 33 
 
22 
 
3 
 
23 
 
 
 
6. 
 
 
Sendo x=cos(wt), qual é o resultado da 
soma: d2xdt2+w2x? 
 
 
 -wsen(wt) 
 
w2sen(wt)cos(wt) 
 
w2 
 
cos2(wt) 
 0 
 
 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função f(x,y,z) 
em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no intervalo [2 , 5] e 
z varia no intervalo [3 , 4]. 
 
 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 1 ) / 24 
 
203 * ( 3*x^(1/2) - 2 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 8 
 
203 * ( 2*x^(1/2) - 3 ) / 24 
 
( 203 * x^(1/2) ) / 6 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 4] , y varia no 
intervalo [1 , 2] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
 
35/2 
 
7 
 
35/4 
 
35/3 
 
35/6 
 
 
 
3. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(1/2) * y^(3) ) / z^(2). Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, ye z, onde x varia no intervalo [4 , 9] , y varia no 
intervalo [0 , 1] e z varia no intervalo [1 , 2]. 
 
 
 
12/7 
 
12/19 
 
12/5 
 
19/12 
 
19/4 
 
 
 
4. 
 
 
Seja f(x,y,z) = ( x^(2) * y^(1/3) ) / z. Calcular o valor da integral tripla da função 
f(x,y,z) em relação às variáveis x, y e z onde x varia no intervalo [1 , 3] , y varia no 
intervalo [8 , 27] e z varia no intervalo [1 , e]. 
 
 
 
455/4 
 
845/2 
 
455/2 
 
845/3 
 
455/3 
 
 
 
5. 
 
 
Deseja-se pintar a estrutura externa lateral de um monumento em forma de um 
paraboloide que pode ser descrita pela equação z=x2 + y2, situada na região do espaço 
de coordenadas cartesianas(x, y, z) dada pela condição z≤9 . Os eixos coordenados estão 
dimensionados em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de 
área da superfície a ser pintada. 
 A quantidade de tinta, em litros, necessária para pintar a superfície lateral do 
monumento é dada pela integral dupla 
 
 
 
6∫0π2∫-33(1+4r2)rdrdθ= 
 
 4∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 
 4∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
6∫03∫09-x2(x2+y2)dxdy 
 
6∫0π2∫03(1+4r2)rdrdθ= 
 
 
 
6. 
 
 
Seja a integral dupla ∫∫De(y2)dA, 
onde D={(x,y)|0≤y≤1,0≤x≤y}. O valor dessa integral é 
dada por: 
 
 
 
 
e-1 
 e2 
 
e 
 12(e-1) 
 
0 
 
 
 
7. 
 
 
 
 
 
 
9/2 u.v 
 
16/3 u.v 
 
10 u.v 
 
18 u.v 
 
24/5 u.v 
 
 
 
8. 
 
 
Determine a integral ∫π2π∫0π(senx+cosy)dxdy 
 
 
0 
 
π+senx 
 
cos(2π)-sen(π) 
 
2π 
 
π 
 
 
Determine a integral ∫01∫02∫01-zdydxdz 
 
 
1-z 
 
2-2z 
 
0 
 
2 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
Calcular ∫c fds em que r é a hélice definida por 
r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π] e F o campo vetorial definido por F(x,y,z)=(x,y,z). 
 
 
 2π3 
 
2π 
 
π2 
 
3π2 
 2π2 
 
 
 
2. 
 
 
Seja f:R3→R definida por f(x,y,z) = x + 3y2 + 
z e c o segmento de reta que une (0,0,0) e (1,1,1). 
Calcular ∫c fds. Utilize a parametrização deste 
segmento : r(t)=(t,t,t), t∈[0,1] . 
 
 
 23 
 
3 
 
32 
 
33 
 
22 
 
 
 
3. 
 
 
Integre a função f(x,y,z) = x - 3y2 + z sobre o segmento de reta C que une a 
origem ao ponto (1,1,1). Considere a parametrização r(t) = ti + tj + tk, onde t 
pertence ao intervalo [0,1]. Portanto, a integral de f sobre C é: 
 
 
 
0 
 
2 
 
1 
 
4 
 
3 
 
 
 
4. 
 
 
Integre f(x, y, z) = x - 3.y2 + z sobre o segmento de 
reta C que une a origem (0,0,0) ao ponto (1,1,1) 
passando primeiro por (1,1,0). Dado a parametrização 
r(t) = ti + tj + tk, 0 ≤ t ≤ 1. 
 
 
 
1 
 
2 
 
0 
 
4 
 
3 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Seja F(x,y,z) = x^(2) + 2y + 3z. Calcular a integral da função F(x,y,z) sobre a curva C 
definida por r(x,y,z) = -2t (i) + 3t (j) + t (k), onde t varia no intervalo [0 , 1] 
 
 
 
4 
 
2 * (14)^(1/2) 
 
14 * (2)^(1/2) 
 
4 * (2)^(1/2) 
 
4 * (14)^(1/2) 
 
 
 
8. 
 
 
Considere f:R3→R definida por f(x,y,z) = x2 + y2 + z2. 
Considere ainda a hélice definida por r(t)=(sent,cost,t), 
t∈[0,2π]. Calcule ∫c fds. 
 
 
 
2π+8π33 
 2.(π+π33) 
 
3.(2π+8π33) 
 
2.(π+8π3) 
 2.(2π+8π33) 
 
 
Considere a função f(x,y)= y.lnx + x.ey . 
Identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F): 
1) ( ) A derivada da função f(x,y) em P(1,0) na direção do 
vetor v = i-j é nula. 
2) ( ) A função f(x,y) aumenta mais rapidamente na direção do 
vetor u= i + j. 
3) ( ) Existe uma direção na qual a taxa de variação da função 
é 2. 
4) ( ) A taxa de variação da função é 21/2 
5) ( ) A reta tangente à curva f(x,y) no 
ponto P(1,0) é y=x-1. 
 
 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (F) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (F) 2) (V) 3) (V) 4) (V) 5) (F) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (V) 
 
1) (V) 2) (V) 3) (F) 4) (V) 5) (F) 
 
 
 
2. 
 
Considere uma função de três variáveis z=f(x,y,z). 
Seja z=sen(xy)+xseny . 
 Encontre∂z∂uquando u=0 ; v=1 ; x=u2 +v2 e y=u.v. 
 
 
 
 
 2 
 
 -
1 
 
 -
2 
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. 
 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição 
de temperatura em uma região do espaço. Uma 
partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar 
rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) 
precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a 
partícula B deve tomar. 
 
 
 (2, 3, 5) 
 (0, -1, 0) 
 (0, -20, 10) 
 (-4, -6, -10) 
 (0, -2, 0) 
 
 
 
2. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( 3 * x^(2) * y^(3) ) (i) + ( 4 * y * z^(3) ) (j) + ( 5 * 
y^(2) * z ) (k). Calcular o divergente da função F(x,y,z). 
 
 
 
6*x^(2)*y^(2) + 12*y*z^(2) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 5*y^(2) + 4*z^(3) + 
 
9*x^(2)*y^(2) + 10*y*z + 12*y*z^(2) 
 
6*x^(2)*y^(2) + 4*z^(3) + 10*y*z 
 
6*x*y^(3) + 12*y*z^(2) + 5*y^(2) 
 
 
 
3. 
 
 
Considere a função F(x,y,z) = ( x^(3) * y^(1/2) ) / z. Calcular o gradiente da função 
F(x,y,z) 
 
 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) / (2 * z) (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ 
z^(2) (j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / (2 * z^(2)) (k) 
 
( 3* x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) / (2 * y^(1/2) * z ) 
) (j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ z^(2) 
(j) - ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( 3 * x^(2) * y^(1/2) ) / z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 *z) 
(j) + ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
( x^(2) * y^(1/2) ) /z (i) + ( x^(3) * y^(1/2) )/ (2 * z ) (j) 
+ ( x^(3) * y^(1/2) ) / z^(2) (k) 
 
 
 
 
4. 
 
 
Considere T(x,y,z) = 20 - x2 - y2 - z2 uma distribuição 
de temperatura em uma região do espaço. Uma 
partícula A localizada em A(2,3,5) precisa esquentar 
rapidamente. Outra partícula B situada em B(0,-1,0) 
precisa resfriar-se o mais rápido possível. Marque a 
alternativa que indica a direção e o sentido que a 
partícula A deve tomar. 
 
 
 (0, -2, 0) 
 (-4, -6, -10) 
 (1,2,3) 
 (20, -10, -30) 
 (4, 3, 0) 
 
 
 
5. 
 
 
 Encontre a área da região R limitada pela parábola y=x2 e pela 
reta y=x+2 utilizando integral dupla. . 
 
 
 
92u.a. 
 
12 u.a. 
 
32u.a. 
 
52 u.a. 
 
72 u.a. 
 
 
 
 
5. 
 
 
Determine o plano tangente à superfície esférica 
 x2 + 3y2+ z2=22 no ponto P(1,2,3). 
 
 
 
 x+6y+3z=22 
 
3x+6y+3z=22 
 
3x+4y+3z=20 
 
2x+12y+3z=44 
 x+12y+3z=20 
 
 
 
 
 
 
 
 
nverta a ordem da integral, esboce a região de integração se achar necessário e calcule 
a integral ∫0π∫xπsenyydydx 
 
 
 
2 
 
e + 1 
 
10 
 
1 
 
5 
 
 
 
2. 
 
 
Calcule ∫14∫0x32eyxdydx 
 
 
 
e-1 
 
 7e-7 
 
7e 
 
7 
 
e7 
 
 
 
3. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x 
+ 2 
 
 
 
1/2 
 
5/6 
 
9/2 
 
3 
 
1 
 
 
 
4. 
 
 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de integração 
 
 
e 
 
e+2 
 
3 
 
22 
 
 
 
5. 
 
 
Encontre a derivada parcial para a função f(x,y,z)=e-(x2+y2+z2) 
 
 
∂f∂x=-2xe-(x2+y2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2) 
 
∂f∂x=xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=ze-(x2+y2+z2) 
 
∂f∂x=-2xe-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=-2ye-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=-2ze-(x2+y2+z2) 
 
∂f∂x=-e-(x2+y2+z2) e ∂f∂y=e-(x2+y2+z2) e ∂f∂z=e-(x2+y2+z2) 
 
∂f∂x=-2xe e ∂f∂y=-2ye e ∂f∂z=-2ze 
 
 
 
6. 
 
 
Encontre ∂f∂x e ∂f∂y para a função f(x,y)=x+yxy-1 
 
 
 
 
∂f∂x=-y2-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x2-
1(xy-1)2 
 
∂f∂x=-y2+1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy+1) 
 
∂f∂x=-y2-1(xy-1) e ∂f∂y=-x2-1(xy-1) 
 
∂f∂x=-y-1(xy-1)2 e ∂f∂y=-x-1(xy-1)2 
 
∂f∂x=-y3(xy-1)2 e ∂f∂y=-x3(xy-1)2 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule ∫03∫02(4-y2)dydx 
 
 
 
2 
 
20 
 
16 
 
1 
 
10 
 
 
 
8. 
 
 
Transforme para o sistema de coordenadas polares a 
integral ∫-11∫01-x2dydx(1+x2+y2)2. Em seguida, calcule o 
seu valor. 
 
 
 
π 
 
π4 
 
 
π5 
 
π3 
 
π2 
 
 
 
 
Resolva a integral ∫01∫y1x2exydxdy invertando a ordem de integração 
 
 
 
e-22 
 
2e+22 
 
e-24 
 
2e-22 
 
2e+24 
 
 
 
2. 
 
 
Encontre a área dda região R limitada pela parábola y = x2 e pela reta y = x 
+ 2 
 
 
 
1/2 
 
5/6 
 
9/2 
 
3 
 
1 
 
 
 
3. 
 
 
Resolva a integral ∫02ln3∫y2ln3ex2dxdy invertendo a ordem de 
integração 
 
 
 
2 
 
e+2 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função 
vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 
 
14 
 
28 
 
21 
 
7 
 
49 
 
 
 
2. 
 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
encontre o comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -
(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 
 49u.c. 
 28u.c. 
 14u.c. 
 7u.c. 
 21u.c. 
 
 
 
3. 
 
 
 Apresente a expressão do operador divergente do campo 
vetorial: 
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k 
 
 
 
divV→=ey-excosy +2z 
 
divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k 
 
divV→=eyi-excosyj +2zsenyk 
 divV→=ex-ey+2zseny 
 
divV→=ex-ey+2z 
 
 
 
4. 
 
Calcule o módulo do operador rotacional do campo 
 
 
vetorial 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k no 
ponto P(0,0,1). 
 
 
2 
 
5 
 
2 
 
3 
 
3 
 
 
 
5. 
 
 
A derivada direcional permite calcular a taxa de 
variação de uma função fem um ponto P na direção de 
um versor u; é igual ao produto escalar do vetor 
gradiente de f (∇f) e o versor u. 
 Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na 
direção do vetor v=i+2j+2k. 
 
 
 
3 
 2 
 
13 
 
12 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Calcule a integral de linha ∫C (xy+2y-z)ds ao longo da 
curva r(t)=2ti+tj+(2-2t)k sendo 0≤t≤1. 
 
 
 
0 
 
4 
 
2 
 
3 
 
1 
 
 
 
7. 
 
 
Calcule a integral ∫02π∫01∫r2-r2dzrdrdΘ em coordenada cilíndrica 
 
 
 
4π(2-1) 
 4π 
 4π(2-1)3 
 
14π2-113 
 
2-1 
 
 
 
8. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo 
C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
 
0 
 14 
 
15 
 12 
 
13 
 
 
Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
 
 
campos 1, 4 e 5 
 
campos 1, 2 e 6 
 
campos 3, 4 e 6 
 
campos 3, 4, 5 e 6 
 
campos 3, 4 e 5 
 
 
 
2. 
 
 
Mude a integral cartesiana para uma integral polar equivalente e calcule a integral polar 
de ∫-11∫01-x2dydx 
 
 
 
1/2 
 
π2 
 
π 
 
π2+3 
 
3 
 
 
 
3. 
 
 
Quando uma curva r(t)=g(t)i+h(t)j+l(t)k , a≤t≤b passa pelo 
domínio de uma função f(x,y,z) no espaço, os valores de f ao 
longo da curva são dados pela função composta f(g(t),h(t),l(t)). 
Quando integramos essa função composta em relação ao 
comprimento de arco de t=a a t=b, calcula-se a integral de 
linha de f(x,y,z) ao longo da curva. 
Portanto ∫C f(x,y,z)ds=∫ab f(g(t),h(t),l(t))dt onde ds=|v(t
)|dt 
Calcule a integral de linha ∫C (x2+ y2 +z2) onde C é a hélice 
circular dada por r(t)=(sent)i+(cost)j+tK 0≤t≤1. . 
 
 
 
 
233 
 
1 
 
2 
 
324 
 
423 
 
 
 
4. 
 
 
Encontre o volume da região D limitada pelas superfícies z = x2 + 3y2 e z = 8 - x2 - y2 
 
 
π2 
 
82 
 
8π3 
 
2 
 
8π2 
 
 
 
5. 
 
 
Calcular o operador divergente aplicado ao campo 
vetorial V(X,Y,Z)=(xcosy)i+(xyz)j+(exz2)k no 
ponto (0,π4,22). 
 
 
 
 
 322 
 12 
 
32 
 
332 
 
22 
 
 
 
6. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva 
C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
0 
 
2 
 
1 
 
3 
 
4 
 
 
 
7. 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a 
 
 
curva C: a fronteira de0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
1 
 
-10 
 
-2 
 
2 
 
0 
 
 
 
8. 
 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
 
1,2,5 
 
1,3,4 
 
1,2,3 
 
1,2,4 
 
1,3,5 
 
1. 
 
 
Calcular a integral de linha ∫C (x-y+z-
2)ds onde C é o segmento de reta 
do ponto P(0,1,1) até o ponto Q(1,0,1). 
 
 
 
 3 
 1 
 -2 
 3 
 2 
 
 
 
2. 
 
 
Seja a função w = ln (2x + 3y), encontre ∂2w∂y∂x 
 
 
-6(2x+3y)2 
 
-62x+3y 
 
-6(2x+3y)3 
 
(2x+3y)2 
 
-6x-y(2x+3y)2 
 
 
 
3. 
 
 
Quais dos campos abaixo são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
 
 
campos 1, 2 e 6 
 
campos 1, 2 e 4 
 
campos 1, 2 e 5 
 
campos 1, 3 e 6 
 
campos 2, 3 e 6 
 
 
 
4. 
 
 
Calcule a integral ∫02π∫01∫r2-r2dzrdrdΘ em coordenada cilíndrica 
 
 
 4π(2-1)3 
 
4π(2-1) 
 
14π2-113 
 4π 
 
2-1 
 
 
 
5. 
 
 
Usando o Teorema de Green calcular ∮C(y2+y)dx+(x2+2x)dysendo 
C o triângulo limitado por x=0; y=0 e y=1-x. 
 
 
 
 
15 
 12 
 13 
 
0 
 
14 
 
 
 
6. 
 
 
 Encontre o comprimento da curva dada pela função 
vetorial r(t)=6t3i-2t3j-3t3k, considerando 1≤t≤2. 
 
 
 
14 
 
49 
 
7 
 
28 
 
21 
 
 
 
7. 
 
Sabendo-se que o comprimento de uma curva 
lisa r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k, a≤t≤b é dada pela fórmula 
 L = ∫ab((dxdt)2+(dydt)2+(dzdt)2)dt = ∫ab|v(t)|dt , 
 
 
encontreo comprimento da curva r(t)=(3t3)i -(2t3)j -
(6t3)k , 1≤t≤2. 
 
 7u.c. 
 21u.c. 
 28u.c. 
 49u.c. 
 14u.c. 
 
 
 
8. 
 
 
Calcule o módulo do operador rotacional do campo 
vetorial 
 V→=(ex+z.cosy)i+(x2.z-ey)j+(x.y2+z2seny)k no 
ponto P(0,0,1). 
 
 
 
2 
 
2 
 
3 
 
5 
 
3 
 
 
A derivada direcional permite calcular a taxa de variação de 
uma função fem um ponto P na direção de um versor u; é igual 
ao produto escalar do vetor gradiente de f (∇f) e o versor u. 
 Encontre a derivada direcional da 
função f(x,y,z)=cos(xy)+eyz+lnxz em P(1,0,12) na direção do 
vetor v=i+2j+2k. 
 
 
 
13 
 1 
 
3 
 2 
 
12 
 
 
 
2. 
 
 
 Apresente a expressão do operador divergente do campo 
vetorial: 
 V→ = (ex+z.cosy)i+(x2.z -ey) j+(x.y2+z2seny)k 
 
 
 
divV→=(eysenx)i-(excosy)j+(2zsenx)k 
 divV→=ey-excosy +2z 
 
divV→=eyi-excosyj +2zsenyk 
 divV→=ex-ey+2z 
 divV→=ex-ey+2zseny 
 
 
 
3. 
 
 
Calcule a integral de linha ∫C (xy+2y-z)ds ao longo da 
curva r(t)=2ti+tj+(2-2t)k sendo 0≤t≤1. 
 
 
 
4 
 
2 
 
3 
 
1 
 
0 
 
 
 
4. 
 
A equação de Laplace tridimensional é : 
 ∂²f∂x²+∂²f∂y²+∂²f∂z²=0 
 As funções que satisfazem à equação de Laplace são ditas funções 
harmônicas. 
 Considere as funções: 
 1) f(x,y,z)=x²+y²-2z² 
2)f(x,y,z) = sen2x+cos2 -2z² 
 
 
3) f(x,y,z)=2sen²xy+2cos²xy-2z² 
4) f(x,y,z)=xy+xz+yz 
5) f(x,y,z)=ln(xy)-x/y+xy-xyz² 
 Identifique as funções harmônicas: 
 
 
1,2,5 
 
1,3,4 
 
1,3,5 
 
1,2,3 
 
1,2,4 
 
 
 
5. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(y2dx+x2dy) onde a curva 
C: o triângulo limitado por x = 0, x + y =1 e y = 0 
 
 
 
3 
 
0 
 
2 
 
4 
 
1 
 
 
 
6. 
 
 
Quais dos campos abaixo não são conservativos? 
1. F=yzi+xzj+xyk 
2. F=(ysenz)i+(xsenz)j+(xycosz)k 
3. F=yi+(x+z)j-yk 
4. F=-yi+xj 
5. F=(z+y)i+zj+(y+x)k 
6. F=(excosy)i -(exseny)j+zk 
 
 
 
campos 1, 4 e 5 
 
campos 3, 4, 5 e 6 
 
campos 3, 4 e 5 
 
campos 3, 4 e 6 
 
campos 1, 2 e 6 
 
 
 
7. 
 
 
Aplique o teorema de Green para calcular a integral ∮C(3ydx+2xdy) onde a 
curva C: a fronteira de0≤x≤π,0≤y≤senx 
 
 
 
1 
 
-2 
 
-10 
 
2 
 
0 
 
 
 
8. 
 
 
Calcular o operador divergente aplicado ao campo 
vetorial V(X,Y,Z)=(xcosy)i+(xyz)j+(exz2)k no 
ponto (0,π4,22). 
 
 
 
 
 
12 
 332 
 
32 
 
22 
 322