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APÊNDICE A Relações matemáticas Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783), matemático e físico francês, foi abandonado, recém-nascido, por sua mãe, perto da igreja Saint Jean Le Rond, em Paris. Em 1741, publicou seu famoso Traité de dynamique (Tratado de dinâmica), o qual continha o método que ficou conhecido como princípio de d’Alembert. Ele foi o primeiro a usar equações diferenciais parciais para a solução de problemas de cordas vibratórias. Seu brilhantismo precoce resultou na indicação como secretaire perpetuel (secretário permanente) da Academia Francesa (French Academy), um cargo que lhe garantiu a posição do homem mais influente da ciência na França. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.) Damos a seguir algumas das relações de trigonometria, álgebra e cálculo diferencial que são freqüentemente usadas em análise de vibração. sen (� � �) = sen � cos � � cos � sen � cos (� � �) = cos � cos � � sen � sen � sen (� + �) sen (� – �) = sen2� – sen2� = cos2� – cos2� cos (� + �) cos (� – �) = cos2� – sen2� = cos2� – sen2� sen � sen � = 1 2 [cos (� – �) – cos (� + �)] cos � cos � = 1 2 [cos (� – �) + cos (� + �)] sen � cos � = 1 2 [sen (� + �) + sen (� – �)] sen � + sen � = 2 sen @ � 2 H + � cos ¢ a 2- ≤b sen � – sen � = 2 cos @ � 2 H + � sen ¢ a 2- ≤b cos � + cos � = 2 cos @ � 2 H + � cos ¢ a 2- ≤b cos � – cos � = –2 sen @ � 2 H + � sen ¢ a 2- ≤b A sen � + B cos � = 2 A2 + B2 cos (� – 1) = 2 A2 + B2 sen (� – 2) onde 1 = tg–1 A B , 2 = tg–1 B A sen2� + cos2� = 1 cos 2� = 1 – 2 sen2 � = 2 cos2 � – 1 = cos2 � – sen2 � Lei dos co-senos para triângulos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C � = 3,14159265 rad, 1 rad = 57, 29577951°, 1° = 0,017453292 rad e = 2,71828183 log ab = b log a, log10 x = 0,4343 loge x, loge x = 2,3026 log10 x eix = cos x + i sen x sen x = 2i e -ix e–ix, cos ix = 2 e +ix e–ix senh x = 1 2 (ex – e–x), cosh x = 1 2 (ex + e–x) cosh2x – senh2x = 1 d dx d dx =(uv) u dv dx u dv dx + v du dx d dx u v u v2 = 1 v - du dx dv dx = v du dx - u dv dx v2 ¢ ≤ L e dx =ax 1 2 e ax L u dx = du dx v u L dxv - L ¢ ≤ L dxv dx Álgebra complexa: z = x + i y � A ei� com A = 2 x2 + y 2 e � = tg–1 y x ¢ ≤ Se z1 = x1 + i y1 e z2 = x2 + i y2, z1 ��z2 = (x1 � x2) + i(y1 � y2) z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y1 – x2y2) 400 Vibrações mecânicas = (x1x2 + y1y2) + i(x2y1 – x1y2) 2 x2 + y 22 2 z1 z2 Se z1 = A1 ei�1 e z2 = A2 ei�2, z1 + z2 = A ei� com A = [A12 + A22 – 2 A1 A2 cos (�1 – �2)] 1 2 e � = tg–1 c A1 �sen 1 A2 �sen 2+ d A1 �cos 1 A2 �sen 2+ z1z2 = A1A2 ei(�1+�2) = z1 z2 A1 A2 = ei(�1+�2) APÊNDICE B Deflexão em vigas e placas Carl Gustov Jacob Jacobi (1804–1851), matemático alemão, foi educado na Universidade de Berlim (University of Berlin) e tornou-se professor pleno na Universidade de Konigsberg (University of Konigsberg) em 1832. O método que desenvolveu para determinar a auto-solução de matrizes reais simé- tricas tornou-se conhecido como método de Jacobi. Ele deu significativas contribuições às áreas de fun- ções elípticas, teoria dos números, equações diferenciais e mecânica e apresentou a definição dos jaco- bianos na teoria dos determinantes. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.) a b l Viga fixa-fixa P x y x a b c Viga simplesmente apoiada com extremidade em balanço P y l x l a Viga simplesmente apoiada com carga em balanço P y Viga fixa-fixa com deslocamento da extremidade x P EI y l a l Viga em balanço P x y Px2 6EI (3a - x); 0 � x � a Pa2 6EI (3x - a); a � x � l y(x) = a b l Viga simplesmente apoiada P x y Pbx 6EIl (l 2 - x2 - b2); 0 � x � a Pa(l - x) 6EIl (2lx - x 2 - a2); a � x � l y(x) = Pb2x2 6EIl3 [3al �x(3a ��b)]; 0 ��x � a Pa2(l �x)2 6EIl3 [3bl �(l �x)(3b ��a)]; a ��x � l y(x) � Mesmo caso que o da viga simplesmente apoiada para 0 ��x ��a�e a ��x ��l Pa 6EIl (l2 �a2)(x �l ); l ��x � l ��c y(x) � Pax 6EIl (x 2 - l2); 0 � x � l P(x - l ) 6EIl [a(3x - l) - (x - l) 2]; l � x � l + a y(x) = P 12 EI (3 lx2 - 2 x3)y(x) = 402 Vibrações mecânicas P Placa circular simplesmente apoiada r P Placa circular fixa r P Placa quadrada simplesmente apoiada em todos os lados a a Placa quadrada fixa em todos os lados a a P Pr2 (3 + v) 16 �D (1 + v)ycentro = Et 3 12 (1 - v2)onde D , t = espessura da placa e v = coeficiente de Poisson = Pr2 16 �Dycentro = � P a2 E t 3 ycentro = com � = 0,1267 para v = 0,3 � P a2 E t 3 ycentro = com � = 0,0611 para v = 0,3 APÊNDICE C Matrizes Arthur Cayley (1821–1895), matemático, nascido na Inglaterra, foi professor de matemática na Universidade de Cambridge (Cambridge University). Sua maior obra, produzida com James Joseph Sylvester, foi o desenvolvimento da teoria de invariantes, que desempenhou papel crucial na teoria da relatividade. Ele deu importantes contribuições para a geometria n-dimensional e inventou e desenvolveu a teoria das matrizes. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.) C.1 Definições Matriz. Uma matriz é um arranjo retangular de números. Um arranjo com m linhas e n colunas entre colchetes é deno- minado uma matriz m por n. Se [A] for uma matriz m � n, ela é representada como [A] = [a ] = F a11 a12 a1n a12 a22 a2n# # # # # # # # # # # #am1 am2 amn Vij (C.1) onde os números aij são denominados os elementos da matriz. O primeiro índice i representa a linha e o segundo índice j especifica a coluna na qual o elemento aij aparece. Matriz quadrada. Quando o número de linhas (m) é igual ao número de colunas (n), a matriz é denominada matriz quadrada de ordem n. Matriz coluna. Uma matriz que consiste em apenas uma coluna — isto é, uma matriz m � 1 — é denominada matriz coluna ou, mais comumente, vetor coluna. Assim, se a: for um vetor coluna com m elementos, ele pode ser representado como a: = f a1 a2# # # am v (C.2) Matriz linha. Uma matriz que consiste em apenas uma linha — isto é, uma matriz 1 � n — é denominada matriz linha ou vetor linha. Se [b]; for um vetor linha, ele pode ser repre- sentado como [b] = [b1 b2 . . . bn] (C.3) Matriz diagonal. Uma matriz quadrada na qual todos os elementos são zero, exceto os que estão na diagonal princi- pal, é denominada matriz diagonal. Por exemplo, se [A] for uma matriz diagonal de ordem n, ela é dada por [A] = G a11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 00 a22 a33# # # # # # # # # # # # # # # ann W (C.4) Matriz identidade. Se todos os elementos de uma matriz dia- gonal tiverem valor 1, então a matriz é denominada matriz identidade ou matriz unidade e é normalmente representada por [I]. Matriz zero. Se todos os elementos de uma matriz forem zero, ela é denominada matriz zero ou matriz nula e é repre- sentada por [0]. Se [0] for de ordem 2 � 4, é dada por [0 ] = B0 0 0 00 0 0 0 R (C.5) Matriz simétrica. Se o elemento na i-ésima linha e j-ésima coluna for o mesmo que o na j-ésima linha e i-ésima coluna em uma matriz quadrada, ela é denominado matriz simétri- ca. Isso significa que, se [A] for uma matriz simétrica, temos aji = aij. Por exemplo, [A] = C 4 7 -1 - - 1 0 -3 3 7 5 S (C.6) é uma matriz simétricade ordem 3. Transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz [A] m � n é a matriz n � m obtida pela permuta das linhas e colunas de [A] e é representada por [A]T. Assim, se 404 Vibrações mecânicas [A] = B2 4 5 3 1 8 R (C.7) então [A]T é dada por [A T] = C 2 3 4 1 5 8 S (C.8) Observe que a transposta de uma matriz (vetor) coluna é uma matriz (vetor) linha e vice-versa. Traço. A soma dos elementos na diagonal principal de uma matriz quadrada [A] = [aij] é denominada traço de [A] e é dada por Traço [A] = a11 + a22 + P + ann (C.9) Determinante. Se [A] representar uma matriz quadrada de ordem n, então o determinante de [A] é representado por |[A]|. Desse modo, F a11 a12 a1n a12 a22 a2n# # # # # # # # # # # #a 1n a 2n ann V|[A]| = (C.10) O valor de um determinante pode ser encontrado median- te a obtenção dos menores e co-fatores do determinante. O menor do elemento aij do determinante |[A]| de ordem n é um determinante de ordem (n – 1) obtido pela eliminação da linha i e da coluna j do determinante original. O menor de aij é representado por Mij. O co-fator do elemento aij do determinante |[A]| de ordem n é o menor do elemento aij com a adição de um sinal positivo ou negativo; ele é definido como Co-fator de aij = �ij = (–1)i+j Mij (C.11) onde Mij é o menor de aij. Por exemplo, o co-fator do ele- mento a32 de det[A] = C a11 a12 a21 a22 a a13 a23a a31 a32 a33 S (C.12) é dado por C32 = (–1)5M32 �� � A11 A13 A21 A23 A A (C.13) O valor de um determinante de segunda ordem |[A]| é definido como det[A] = = a11a22 – a12a21Ba11 a13a21 a22 a a R (C.14) O valor de um determinante de n-ésima ordem |[A]| é definido como det[A] = a n j= �ij�ij para qualquer linha específica i ou det[A] = a n i= �ij�ij para qualquer coluna específica j (C.15) Por exemplo, se det[A] = |[A]| = 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 3 (C.16) então, selecionando a primeira coluna para expansão, obtemos det[A] = 2 2 5 6 8 9 2 – 4 2 2 3 8 9 2 + 7 2 2 35 6 2 = 2(45 – 48) – 4(18 – 24) + 7(12 – 15) = –3 (C.17) Propriedades de determinantes 1. O valor de um determinante não é afetado se as linhas (ou colunas) forem escritas como colunas (ou linhas) na mesma ordem. 2. Se todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) forem zero, o valor do determinante será zero. 3. Se duas linhas (ou duas colunas) quaisquer forem permu- tadas, o valor do determinante será multiplicado por –1. 4. Se todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) forem multiplicados pela mesma constante a, o valor do novo determinante será a vezes o valor do determinante original. 5. Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas colunas) de um determinante forem proporcionais, o valor do determinante será zero. Por exemplo, det[A] = = 03 4 7 – 8 2 5 – 4 –1 3 2 3 (C.18) Matriz adjunta. A matriz adjunta de uma matriz quadrada [A] = [aij] é definida como a matriz obtida pela substituição de cada elemento aij por seu co-fator �ij sendo em seguida transposta. Dessa forma, F �11 �12 �1n �12 �22 �2n# # # # # # # # # # # #�n1 �n2 �nn T VAdjunta [A] = F �11 �21 �n1 �12 �22 �n2# # # # # # # # # # # #�1n �2n �nn V= (C.19) Matriz inversa. A inversa de uma matriz quadrada [A] é representada por [A]–1 e é definida pela seguinte relação: [A]–1[A] = [A][A]–1 = [I] (C.20) Apêndice C – Matrizes 405 onde [A]–1[A], por exemplo, representa o produto da matriz [A]–1 por [A]. A matriz inversa de [A] pode ser determinada (ver Referência [A.1]): [A]–1 = adjunta [A] det[A] (C.21) quando det[A] não for igual a zero. Por exemplo, se [A] = C 2 2 3 4 5 6 7 8 9 S (C.22) seu determinante tem um valor det[A] = –3. O co-fator de a11 é �11 = (–1)2 = -32 2 (C.23) De maneira semelhante, podemos estabelecer outros co- fatores e determinar [A]–1 = =adjunta [A] det[A] 1 –3 C 3 - -6 3- - 6 3 0 3 -2 2 S = C 1 -2 1 -2 1 00 1 -2/3 2/3 S (C.24) Matriz singular. Uma matriz quadrada é denominada singu- lar se seu determinante for zero. C.2 Operações matriciais básicas Igualdade de matrizes. Duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem são iguais se, e somente se, aij = bij para todo i e j. Adição e subtração de matrizes. A soma de duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem é dada pela soma dos elementos correspondentes. Assim, se [C] = [A] + [B] = [B] + [A], temos cij = aij + bij para todo i e j. De maneira semelhante, a dife- rença entre duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem, [D], é dada por [D] = [A] – [B] com dij = aij – bij para todo i e j. Multiplicação de matrizes. O produto de duas matrizes [A] e [B] só é definido se eles forem conformáveis, isto é, se o número de colunas de [A] for igual ao número de linhas de [B]. Se [A] for de ordem m � n e [B] for de ordem n � p, então o produto [C] = [A][B] é de ordem m � p e é definido por [C] = [cij], com = a n k= �ikcij bkj (C.25) Isso significa que cij é a quantidade obtida pela multipli- cação da i-ésima linha de [A] e da j-ésima coluna de [B] e a soma desses produtos. Por exemplo, se [A e] = B 2 - 3 1 –5 6 4 R [B] = C 8 0 2 7 1 4 S (C.26) então [C] = [A][B] = = B 2 - 3 1 –5 6 4 R = B 18 37 -11–8 R B 2 � 8 + 3 � 2 + 4 � (–1)1 � 8 + (–5) � 2 + 6 � (–1) 2 � 0 + 3 � 7 + 4 � 4 1 � 0 + (–5) � 7 + 6 � 4R C 8 0 2 7 1 4 S (C.27) Se as matrizes forem conformáveis, o processo de multi- plicação de matrizes será associativo ([A][B])[C] = [A]([B][C]) (C.28) e distributivo. ([A] + [B])[C] = [A][C] + [B][C] (C.29) O produto [A][B] representa a pré-multiplicação de [B] por [A] ou a pós-multiplicação de [A] por [B]. Devemos observar que o produto [A][B] não é necessariamente igual a [B][A]. A transposta de um produto de matrizes pode ser deter- minada como o produto das transpostas das matrizes separa- das na ordem inversa. Assim, se [C] = [A][B], [C]T = ([A][B])T = [B]T[A]T (C.30) A inversa de um produto de matrizes pode ser determina- da pelo produto da inversa das matrizes separadas em ordem inversa. Assim, se [C] = [A][B], [C]–1 = ([A][B])–1 = [B]–1[A]–1 (C.31) R E F E R Ê N C I A B I B L I O G R Á F I C A C.1 Barnett, Matrix methods for engineers and scientists, Nova York: McGraw-Hill, 1982. APÊNDICE D Pares de transformadas de Laplace Pierre Simon Laplace (1749–1827), matemático francês, é lembrado por suas contribuições fundamen- tais à teoria da probabilidade, à física matemática e à mecânica celestial; o nome Laplace ocorre tanto na engenharia mecânica como na engenharia elétrica. As transformadas de Laplace são muito usadas em vibrações e na mecânica aplicada, e a equação de Laplace é aplicada extensivamente no estudo de campos elétricos e magnéticos. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.) Domínio de Laplace L � 0 f(t)e–st dtf (s) =– Domínio do tempo f(t) 1. fc1 (s) + c2g(s) c1 f(t) + c2g(t) 2. f ¢s a ≤ f(a � t)a 3. f (s)g(s) L t 0 f(t – T)g(T) dT L t 0 f(T)g(t – T) dT 4. (s) – a n j=1 (0) d fj–1 dt j–1 sn–jsn f (t)d f n dtn 5. (s)1 sn f ' t 0 ' t n 0 … f(U)dU�… dU 6. (s + a)f e–atf(t) 7. a s(s + a) 1 – e–at 8. s + a s2 1 + at 9. a 2 s2(s + a) at – (1 – e–at) 10. s(s + a) s + b b1 ¢- ab b a ≤ e-at r1 - 11. s + a2 2 a sen at 12. s + a2 2 s cos at Domínio de Laplace L � 0 f(t)e–st dtf (s) =– Domínio do tempo f(t) 13. s a2 ()s + a2 2 1 – cos at 14.* s + 2���s + �2 2 � � 1 1 �d e–��nt sen �dt 15.* s ��2[W�s ��W2 2n n s �d �n – e–��nt sen (�dt – 1) 16.* s ��2[W�s ��W2 2n n s ��2[W�sn �d �n e–��nt sen (�dt – 1) 17.* 2 n�� s + 2���s + �2 2n ns( ) 1 �d �n – e–��nt sen (�dt – 1) 18.* ns + ��� s + 2���s + �2 2n ns( ) e–��nt sen (�dt – 1) 19. 1 t � � 1 O Impulso unitário em t � 0 20. s e-as t 1 O a Função degrau unitário em t � a *v = vnd 21 - z2; � � 1 1 = cos –1�; � � 1 APÊNDICE E Unidades Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894), físico alemão e professor de física no Instituto Politécnico em Karlsruhe (Polytechnic Institute in Karlsruhe) e mais tarde na Universidade de Bonn (University of Bonn), conquistou fama por seus experimentos com ondas de rádio. As investigações que fez na área da elasticidade são uma parte relativamente pequena de suas realizações, mas de vital importância para os engenheiros. Seu trabalho na análise de corpos elásticos em contato é conhecido como “tensões hertzia- nas” e é muito importante para o projeto de mancais de esferas e de roletes. A unidade de freqüência de fenômenos periódicos medidos em ciclos por segundo é denominada Hertz em unidades SI. (Foto por cortesia de Applied Mechanics Reviews.) O sistema inglês de unidades está sendo substituído agora pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). O siste- ma SI é a versão moderna do sistema métrico de unidades. Seu nome em francês é Système International; daí a abrevia- tura SI. O sistema SI tem sete unidades básicas. Todas as outras unidades podem ser derivadas dessas sete [E.1–E.2]. As três unidades básicas que interessam para o estudo de vibrações são o metro para comprimento, o quilograma para a massa e o segundo para o tempo. Os prefixos comuns para os múltiplos e submúltiplos das unidades SI são dados na Tabela E.1. No sistema SI, as unidades combinadas devem ser abreviadas com cuidado. Por exemplo, um torque de 4 N � 2 m deve ser declarado como 8 Nm ou 8 N.m sem um espaço ou um ponto entre N e m. Outro exemplo é 8 m � 5 s = 40 m.s ou 40 metros- segundos. Se for escrito como 40 ms, significa 40 milisse- gundos. Conversão de unidades Para converter as unidades de qualquer quantidade dada de um sistema para outro, usamos a equivalência de unida- des apresentada na Tabela E.2. Os exemplos a seguir ilus- tram o procedimento. TABELA E.1 Prefixos para múltiplos e submúltiplos de unidades SI Múltiplo Prefixo Símbolo Submúltiplo Prefixo Símbolo 10 deca da 10–1 deci d 102 hecto h 10–2 centi c 103 kilo k 10–3 mili m 106 mega M 10–6 micro � 109 giga G 10–9 nano n 1012 tera T 10–12 pico p 408 Vibrações mecânicas TABELA E.2 Conversão de unidades Quantidade Equivalência em SI Equivalência em unidades inglesas Massa 1 lbf – s2/ft (slug) = 14,5939 kg 1 kg = 2,204623 lbm = 32,174 lbm 1 lbm = 0,45359237 kg = 0,06852178 slug (lbf – s2/ft) Comprimento 1 in = 0,0254 m 1 m = 39,37008 in 1 ft = 0,3048 m = 3,28084 ft 1 milha = 5.280 ft = 1,609344 km 1 km = 3280,84 ft = 0,621371 milha Área 1 in2 = 0,00064516 m2 1 m2 = 1.550,0031 in2 1 ft2 = 0,0929030 m2 = 10,76391 ft2 Volume 1 in3 = 16,3871 � 10–6 m3 1 m3 = 61,0237 � 103 in3 1 ft3 = 28,3168 � 10–3 m3 = 35,3147 ft3 1 galão norte-americano = 3,7853 litros = 103 litros = 0,26418 galão norte-americano = 3,7853 � 10–3 m3 Força ou peso 1 lbf = 4,448222 N 1 N = 0,2248089 lbf Torque ou momento 1 lbf – in = 0,1129848 N.m 1 N · m = 8,850744 lbf – in 1 lbf – ft = 1,355818 N.m = 0,737562 lbf – ft Tensão, pressão ou módulo de elasticidade 1 lbf /in2 (psi) = 6894,757 Pa 1 Pa = 1,450377 � 10-4 lbf /in2 (psi) 1 lbf /ft2 = 47,88026 Pa = 208,8543 � 10–4 lbf /ft2 Densidade de massa 1 lbm/in3 = 27,6799 � 103 kg/m3 1 kg/m3 = 36,127 * 10–6 lbm/in3 1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3 = 62,428 � 10–3 lbm/ft3 E X E M P L O E . 1 Momento de inércia de massa: = * = (N por 1 lbf) (lbf .in.s2)(m por 1 in) Momento de inércia de massa em unidades SI Fator de multiplicação Momento de inércia de massa em unidades inglesas =K(kg � m2) (N � m � s2) (s2)N lbf � lbf m in. � in = (4,448222) (lbf .in.s2)(0,0254) = 0,1129848 (lbf .in.s2) E X E M P L O E . 2 Tensão: = * = = (Tensão em unidades SI) (Tensão em unidades inglesas) Fator de multiplicação = =K(Pa) (N/m2) (lbf /in2) (lbf /in2) (lbf /in2) (lbf /in2) N lbf (N por 1 Ibf) N Ibf � lbf = 6.894,757 1 m in � in 2 1 m in 2 (m por 1 in) 2 (4,448222) (0,0254)2 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S E.1 E. A. Mechtly, “The International System of Units”, 2a revisão, NASA SP-7012, 1973. E.2 C. Wandmacher, Metric Units in Engineering — Going SI. Nova York: Industrial Press, 1978. APÊNDICE F Introdução ao MATLAB Thomas Young (1773–1829), físico e médico britânico, introduziu o módulo de Young e o princípio da interferência da luz. Estudou medicina e recebeu o título de Doutor em Medicina em 1796. Foi nomeado Professor de Filosofia Natural no Instituto Real (Royal Institution) em 1801, porém renunciou ao cargo em 1803, porque suas aulas não agradavam aos freqüentadores populares. Começou a trabalhar como médico no Hospital St. George em Londres em 1811 e lá continuou até sua morte. Young deu muitas contribuições à mecânica. Ele foi o primeiro a usar os termos “energia” e “trabalho gasto” (isto é, traba- lho realizado) para as quantidades m�2 e Fx, respectivamente, onde m é a massa do corpo, � é sua velo- cidade, F é a força e x é a distância até onde F é movida e para afirmar que os dois termos são propor- cionais um ao outro. Ele definiu o termo módulo (que passou a ser conhecido como módulo de Young) como o peso que duplicaria o comprimento de uma barra de seção transversal unitária. MATLAB, derivado de MATrix LABoratory, é um pacote de programas que pode ser usado para a solução de uma variedade de problemas científicos e de engenharia, entre eles equações algébricas lineares, equações não linea- res, diferenciação e integração numérica, ajuste de curvas, equações diferenciais ordinárias e parciais, otimização e gráficos. O programa usa notação matricial extensivamen- te; na verdade, o único tipo de dado no MATLAB é uma matriz de valores complexos. Assim, o programa lida com matrizes escalares, matrizes vetoriais e matrizes com valo- res reais e inteiros como casos especiais de matrizes com- plexas. O programa pode ser usado para executar uma única declaração ou uma lista de declarações, denominada arquivo de escrita (scipt file). O MATLAB proporciona excelentes capacidades de construção de gráficos e progra- mação. Também pode ser usado para resolver muitos tipos de problemas simbolicamente. Cálculos simples podem ser executados mediante a digitação de uma instrução, quando o sinal de entrada aparece, semelhante à operação de uma calculadora. Os símbolos usados para as operações aritmé- ticas básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão e exponenciação são +, –, *, / e ^, respectivamente. Em qual- quer expressão, os cálculos são executados da esquerda para a direita, e a exponenciação tem a prioridade mais alta, seguida pela multiplicação e divisão (com prioridades iguais) e então pela adição e subtração (com prioridades iguais). O programa usa o símbolo log para representar o logaritmo natural (ln). O MATLAB usa precisão dupla durante os cálculos, mas imprime resultados na tela em formato mais curto. Esse característica pode ser mudada com a utilização do comando format. F.1 Variáveis Os nomes das variáveis no MATLAB devem começar com uma letra e podem ter um comprimento de até 31 carac- teres com qualquer combinação de letras, dígitos e índices. Letras maiúsculas eminúsculas são tratadas separadamente. Como dissemos antes, o MATLAB trata todas as variáveis como matrizes, embora as quantidades escalares não preci- sem ser apresentadas como arranjos. F.2 Arranjos e matrizes O nome de uma matriz deve começar com uma letra e pode ser seguido por qualquer combinação de letras ou dígi- tos. As letras podem ser maiúsculas ou minúsculas. Antes de realizar operações aritméticas como adição, subtração, mul- tiplicação e divisão de matrizes, as matrizes devem ser cria- das usando declarações como as seguintes: Vetor linha 7�A = [1 2 3] Um vetor linha é tratado como uma matriz 1 por n; seus elementos ficam entre colchetes e são separados por espaços ou vírgulas. Observe que a linha de comando de entrada na versão profissional do MATLAB é 7, ao passo que na ver- são para estudantes é EDU 7. Se não for acrescentado um ponto-e-vírgula no final da linha, o MATLAB apresenta os resultados da linha na tela. Vetor coluna [1 7 A = 2 ou A = [1; 2 ; 3] ou A = [1 2 3]�; 3] Um vetor coluna é tratado como uma matriz n por 1. Seus elementos podem ser digitados em linhas diferentes ou em uma única linha, usando um ponto-e-vírgula para separá- los ou em uma única, utilizando um vetor linha com um símbolo ’ (“linha”) no colchete da direita (para representar a transposta). Matriz Para definir a matriz [A] = C 1 2 3 4 5 6 7 8 6 S a seguinte especificação pode ser usada: 410 Vibrações mecânicas [1 2 3 7 A = 4 5 6 ou A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; 7 6 9 ] F.3 Arranjos com estrutura especial Em alguns casos, a estrutura especial de um arranjo é usada para especificá-lo de uma maneira mais simples. Por exemplo, A = 1:10 representa um vetor linha A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10] e A = 2 : 0,5 : 4 representa o vetor linha A = [2,5 3,0 3,5 4,0] F.4 Matrizes especiais Algumas das atrizes especiais são identificadas da seguinte maneira: 7 A = eye (3); implica uma matriz identidade de ordem 3, [A] = C 1 0 0 0 1 0 0 0 1 S 7 A = ones (3); implica uma matriz quadrada de ordem 3 com todos os elementos iguais a um, [A] = C 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 7 A = zeros (2, 3); implica uma matriz 2 � 3 com todos os elementos iguais a zero, B0 0 00 0 0R[A] = F.5 Operações com matrizes Para somar as matrizes [A] e [B] de modo a obter [C], usamos a declaração 7 C = A + B Para resolver um sistema de equações lineares [A]X = B: :, definimos a matriz A e o vetor B e usamos a seguinte decla- ração: 7 X = A\B F.6 Funções MATLAB O MATLAB tem um grande número de funções embuti- das, tais como as seguintes: Raiz quadrada de x: sqrt(x) Seno de x: sen(x) Logaritmo de x na base 10: log10(x) Função gama de x: gamma(x) Para gerar um novo vetor y que tenha 11 valores dados pela função y = e–2x cos x com x = 0,0, 0,1, P, 1,0, digitamos o seguinte: 7 x = [0: 0,1: 1]; 7 y = exp (–2*x).*cos(x). F.7 Números complexos O MATLAB considera álgebra de números complexos automaticamente. O símbolo i ou j pode ser usado para repre- sentar a parte imaginária sem necessidade de um asterisco entre i ou j e um número. Por exemplo, a = 1 – 3i é um núme- ro complexo com partes igual e imaginária iguais a 1 e –3, respectivamente. A magnitude de um ângulo de um número complexo pode ser determinada usando as declarações >> a = 1 – 3i; >> abs (a) ans = ... >> angle (a) ans = ... (in radians) F.8 Arquivos M O MATLAB pode ser usado em um modo interativo com a digitação de cada comando pelo teclado. Nesse modo, o MATLAB executa as operações como se fosse uma calculado- ra mais avançada. Todavia, há situações em que esse modo de operação é ineficiente. Por exemplo, se o mesmo conjun- to de comandos tiver de ser repetido várias vezes com valores diferentes dos parâmetros de entrada, desenvolver um progra- ma MATLAB será mais rápido e mais eficiente. Um programa MATLAB consiste em uma seqüência de instruções MATLAB escritas fora do MATLAB e então exe- cutadas no MATLAB como um único bloco de comandos. Esse programa é denominado arquivo de escrita (script file) ou arquivo M (M-file). É necessário dar um nome ao script file e o nome deve terminar com .m (um ponto (.) seguido pela letra m). Um arquivo M típico (denominado fibo.m) é dado a seguir: file “fibo.m” % m-file to compute Fibonacci numbers f=[1 1]; i=1; while f(i)+f(i+1)<1000 f(i+2)=f(i)+f(i+1); i=i+1; end Um arquivo M também pode ser usado para escrever sub-rotinas de funções. Por exemplo, a solução de uma equação quadrática Ax2 + Bx + C = 0 pode ser determinada com a utilização do seguinte programa: Apêndice F – Introdução ao MATLAB 411 % roots_quadra.m (Note: Line starting with % denotes a comment line) function [x1, x2] = roots_quadra(A, B, C) % det = determinant det = B^2 _ 4 * A * C; if (det < 0.0); x1 = (–B + j * sqrt(–det))/(2 * A); x2 = (–B – j * sqrt(–det))/(2 * A); disp(’Roots are complex conjugates’); elseif (abs(det) < 1e–8); % det = 0.0 x1 = –B / (2 * A); x2 = –B / (2 * A); disp(’Roots are identical’); else (det > 0); x1 = (–B + sqrt(det))/(2 * A); x2 = (–B – sqrt(det))/(2 * A); disp(’Roots are real and distinct’); end O programa roots_quadra.m pode ser usado para determinar as raízes de uma equação quadrática com A = 2, B = 2 e C = 1, por exemplo, da seguinte maneira: >> [x1,x2]=roots_quadra(2, 2, 1) Roots are complex conjugates x1 = –0.5000 + 0.5000i x2 = –0.5000 – 0.5000i F.9 Construção de gráficos Para produzir um gráfico em MATLAB, definimos um vetor de valores da variável independente x (arranjo x) e um vetor de valores da variável dependente y correspondentes aos valores de x (arranjo y). Então, o gráfico x-y pode ser construído usando o comando: plot (x,y) Como exemplo, os seguintes comandos podem ser utili- zados para construir o gráfico da função y = x2 + 1 na faixa 0 � x � 3: x = 0 : 0.2 : 3; y = x^2 + 1; plot (x,y); hold on x1 = [0 3]; y1 = [0 0]; plot (x1,y1); grid on hold off Observe que as duas primeiras linhas são usadas para gerar os arranjos x e y (usando incrementos de 0,2 para x); a terceira linha constrói o gráfico (utilizando linhas retas entre os pontos indicados); as seis linhas seguintes permitem a reapresentação gráfica dos eixos x e y juntamente com a montagem da grade (usando o comando grid on). F.10 Raízes de equações não lineares Para determinar as raízes de uma equação não linear, a função MATLAB fzero(y,x1) pode ser usada. Nesse caso, y define a função não linear e x1 representa a estima- tiva inicial (valor de partida) da raiz. As raízes de polinômios podem ser determinadas usando a função roots(p), onde p é um vetor linha dos coeficientes do polinômio em ordem descendente de potência da variável. >> f=’tan (x)–tanh (x)’ f = tan (x)–tanh (x) >> root=fzero(f,1.0) root = 1.5708 >> roots([1 0 0 0 0 0 –2]) ans = –1.1225 –0.5612 + 0.9721i –0.5612 – 0.9721i 0.5612 + 0.9721i 0.5612 – 0.9721i 1.1225 >> F.11 Solução de equações algébricas lineares Um conjunto de equações algébricas lineares simultâneas [A] x = b: : pode ser resolvido usando MATLAB de dois modos diferentes: determinar x : como [A]–1 b: ou determinar x : dire- tamente como indicado nos seguintes exemplos: >> A=[4 –3 2; 2 3 1; 5 4 7] A = 4 –3 2 2 3 1 5 4 7 >> b=[16; –1; 18] b = 16 –1 18 >> C=inv(A) C = 0.2099 0.3580 –0.1111 –0.1111 0.2222 0.0000 –0.0864 –0.3827 0.2222 >> x=C*b x = 1.0000 –2.0000 3.0000 >> x=A\b x = 1.0000 –2.0000 3.0000 >> F.12 Solução do problema de autovalor Um problema de autovalor algébrico é definido por [A]X: = X:, onde [A] é uma matriz quadrada de tamanho n � n, X : é um vetor coluna de tamanho n el é um escalar. Para qualquer matriz [A] dada, a solução pode ser determinada utilizando dois tipos de comandos. Usar o comando b = eig(A) dá os autovalores da matriz [A] como elementos do vetor b. Utilizar o comando [V,D] = eig(A) dá os autova- lores como elementos da diagonal da matriz [D] e os auto- valores como colunas correspondentes da matriz [V]. O exemplo a seguir ilustra o procedimento: >> A=[2 1 3 4; 1 –3 1 5; 3 1 6 –2; 4 5 –2 –1] A = 2 1 3 4 1 –3 1 5 3 1 6 –2 4 5 –2 –1 412 Vibrações mecânicas >> b=eig(A) b= 7.9329 5.6689 –1.5732 –8.0286 >> [V, d] = eig(A) V = 0.5601 0.3787 0.6880 0.2635 0.2116 0.3624 –0.6241 0.6590 0.7767 –0.5379 –0.2598 –0.1996 0.1954 0.6602 –0.2638 –0.6756 d = 7.9329 0 0 0 0 5.6689 0 0 0 0 –1.5732 0 0 0 0 –8.0286 >> F.13 Solução de equações diferenciais O MATLAB tem diversas funções ou resolvedores basea- dos na utilização de métodos de Runge-Kutta, que podem ser usados para a solução de um sistema de equações diferen- ciais ordinárias de primeira ordem. Observe que uma equa- ção diferencial ordinária de ordem n deve ser convertida em um sistema de n equações diferenciais ordinárias de primeira ordem antes de usar funções MATLAB. A função MATLAB ode23 implementa uma combinação de métodos de Runge- Kutta de segunda e terceira ordens, enquanto a função ode45 tem como base uma combinação de métodos de Runge-Kutta de quarta e quinta ordens. Para resolver um sistema de equa- ções diferenciais de primeira ordem y. = f(t, y) usando a função MATLAB ode23, o seguinte comando pode ser usado: >>[t,y] = ode(’dfunc’,tspan,y0) onde ‘dfunc’ é o nome da função m-file cuja entrada deve ser t e y e cuja saída deve ser um vetor coluna que repre- senta dy/dt, isto é, f(t,y). O número de linhas no vetor coluna deve ser igual ao número de equações de primeira ordem. O vetor tspan deve conter os valores inicial e final da variável independente t e, opcionalmente, quaisquer valores intermediários de t nos quais se queira a solução. O vetor y0 deve conter os valores iniciais de y(t). Observe que a função m-file deve ter dois argumentos de entrada t e y mesmo que a função f(t,y) não envolva t. Um procedimento semelhan- te pode ser usado com a função MATLAB ode45. Como exemplo, considere a solução da equação diferen- cial com c = 0,1 e k = 10,0. d2y dy dt2 + c + k y = 0dt ; y(0) = 0, dy(0) dt = 0 Essa equação pode ser escrita como um conjunto de duas equações diferenciais de primeira ordem mediante a introdu- ção de y1 = y e dy y2 = =dt dy1 dt como f1(t, y)dy = fdt : : : := =e f2(t, y) f y2 e –c y2 – k y1 f com 1 y (0): = e 0 f O seguinte programa MATLAB determina a solução das equações diferenciais citadas: % ProbappendixF.m tspan = [0: 0.05: 3]; y0 = [1; 0]; [t,y] = ode23 (’dfunc’, tspan, y0); [t y] plot (t, y(:,1)); xlabel (’t’); ylabel (’y(1) and y(2)’) gtext (’y(1)’); hold on plot (t,y (:,2)); gtext (’y(2)’); %dfunc.m function f = dfunc(t,y) f = zeros (2,1); f(1) = y(2); f(2) = –0.1 * y(2) – 10.0 * y(1); >> ProbappendixF ans = 0 1.0000 0 0.0500 0.9875 –0.4967 0.1000 0.9505 –0.9785 0.1500 0.8901 –1.4335 0.2000 0.8077 –1.8505 0.2500 0.7056 –2.2191 0.3000 0.5866 –2.5308 0.3500 0.4534 –2.7775 0.4000 0.3098 –2.9540 0.4500 0.1592 –3.0561 0.5000 0.0054 –3.0818 0.5500 –0.1477 –3.0308 . . . 2.7500 –0.6380 –1.8279 2.8000 –0.7207 –1.4788 2.8500 –0.7851 –1.0949 2.9000 –0.8296 –0.6858 2.9500 –0.8533 –0.2617 3.0000 –0.8556 0.1667 �3 �4 �2 �1 0 y( 1) e y (2 ) y(2) y(1) 1 2 3 0,5 1 1,5 t 2 2,5 30 Respostas a problemas selecionados William Rowan Hamilton (1805–1865), nascido na Irlanda, foi um matemático cujo brilhantismo nos clássicos, bem como na matemática durante seus anos de estudante universitário no Trinity College, inspirou algumas pessoas a declarar que ele era um ‘segundo Newton’. Foi eleito por unanimidade pro- fessor de astronomia no Trinity College ao terminar seus estudos universitários com 22 anos. No ano seguinte, ele publicou o clássico da ótica, ‘teoria de sistemas de raios’(‘A Theory of Systems of Rays’), no qual apresentou o ‘princípio de Hamilton’, um método usado na teoria da vibração para deduzir a equação de movimento de sistemas contínuos. Entre outras obras de sua autoria, Hamilton inventou a teoria dos quatérnions que resultou na sua eleição como primeiro membro estrangeiro da Academia Nacional de Ciências dos Estados Unidos (National Academy of Sciences of United States). (Cortesia de Applied Mechanics Reviews.) Capítulo 1 1.7 keq = k2 k3 k4 k5 + 2 k1 k3 k4 k5 + k1 k2 k4 k5 + 2 k1 k2 k3 k5 1k2 k3 k4 + k2 k3 k5 + 2 k1 k3 k4 + 2 k1 k3 k5 + k1 k2 k4 + k1 k2 k5 + 2 k1 k2 k32 1.10 (a) k = 37,08 � 107 N/m, (b) k = 12,36 � 107 N/m, (c) k = 4,12 � 107 N/m 1.12 keq = 3 k cos2 B 1.14 leq = 4t 1d + t2 D d 1.16 k = pgA2 v 1.19 F(x) = (32.000 x – 80) N 1.22 keq = 1 l aEs As + Ea Aab 1.24 (a) kteq = 5,54811 � 106 N.m/rad, (b) kteq = 5,59597 � 106 N.m/rad 1.26 (a) keq = 89,931 lb/in (b) keq = 3,0124 lb.in 1.28 kaxial = 16,681,896 lb/in; ktorção = 139,1652 lb.in/rad 1.30 meq = m1 a a b b 2 + m2 + J0a 1 b2 b 1.33 meq = mh + Jb l3 2 + Jc c l2 l3 rc d 2 1.35 (a) ceq = c1 + c2 + c3, (b) 1 ceq = 1 c1 + 1 c2 + 1 c3 , (c) ceq = c1 + c2a l2 l1 b 2 + c3a l3 l1 b 2 , (d) cteq = ct1 + ct2a n1 n2 b 2 + ct3a n1 n3 b 2 1.38 ct = pmD21l - h2 2d + pmD3 32h 1.41 c = 4.205,64 N.s/m 1.44 A = 4,4721, V = –26,5651° 1.46 z = 11,1803 e0,1798 i 1.49 X = 9,8082 mm, Y = 9,4918 mm, G = 39,2072° 1.53 x2(t) = 6,1966 sen (Wt + 83,7938°) 1.55 Não harmônica 1.58 X = 2,5 mm, W = 5,9092 rad/s, W + EW = 6,6572 rad/s 1.60 A = 0,5522 mm, x.máx = 52,04 mm/s 1.62 xrms = X/ 22 1.66 x1t2 = A p + A 2 sen vt - 2A p a q n= 2,4,6, Á cos nvt 1n2 - 12 1.68 x1t2 = 8A p2 a q 1-12 n -1 2 sen nvt n2 n= 1,3,5, Á 1.72 p1t2 = a0 2 + a q m=1 [am cos mWt + bm sen mWt] lb/in2 onde a0 = 50, a1 = 31,8309, a2 = 0, a3 = –10,6103, b1 = 31,8309, b2 = 31,8309, b3 = 10,6103 1.75 a0 = 19,92, a1 = –20,16, a2 = 3,31, a3 = 3,77; b1 = 23,52, b2 = 12,26, b3 = –0,41 1.88 a0 = –0,38, a1 = –0,62, a2 = 0,46, a3 = 0,41; b1 = –0,35, b2 = 0,92, b3 = –0,17 Capítulo 2 2.2 (a) 0,1715 s, (b) 0,2970 s 2.4 0,0993 s 2.6 (a) A = 0,03183 m, (c) x..máx = 0,31415 m/s2, (b) x.0 = 0,07779 m/s, (d) G0 = 51,0724° 2.8 Wn = 22,1472 rad/s 2.10 Wn = 4,8148 rad/s 2.13 Wn = [k/(4m)]1/2 2.15 (a) vn = A 4k M , (b) vn = A 4k m + M 2.17 vn = B g W a 3 E1 I1 l1 3 + 48 E2 I2 l2 3 b 2.19 k = 52,6381 N/m, m = 1/3 kg 414 Vibrações mecânicas 2.21 (a) vn = B k g cosec2 u W , (b) vn = A k g W 2.23 (a) vn = A k 2 m , (b) vn = B 8 m b2 c l2 - b2 4 d 2.26 (a) m x$ + a 1 a + 1 b b T x = 0, (b) vn = B T1a + b2 mab 2.28 T = 1656,3147 lb 2.30 (a) N = 81,914 rpm, (b) Wn = 37,5851 rad/s 2.32 vn = A 2g L 2.34 A = 0,9536 � 10–4 m2 2.37 Torção em relação ao eixo z 2.39 Wn = 2.578,9157 rad/s 2.42 m = B a v2 Wc - 2kgc Wg + Wav2 - 2kga b 2.44 mx.. + (k1 + k2) x = 0 2.47 am + J0 r2 b x $ + 16kx = 0 2.49 Wn = 359,6872 rad/s 2.51 x(t) = 0,1 cos 15,8114 t + 0,3162 sen 15,8114 t m 2.53 x0 = 0,007864 m; x . 0 = –0,013933 m/s 2.55 x.0 = 4 m/s 2.57 d = 0,1291 in, N = 29,58 2.59 Wn = 2 rad/s, l = 2,4525 m 2.61 Un = 1,4185 s 2.63 Wn = 13,4841 rad/s 2.65 Un = 0,04693 s 2.67 Wn = 17,7902 rad/s 2.69 vn = e 1k1 + k22 1R + a221,5mR2 f 1/2 2.71 13 ml 2 u $ + 1kt + k1a2 + k2l22u = 0 2.74 meff = 17 35 m 2.76 vn = A k 4m 2.79 45,1547 rad/s 2.81 vn = B r0g rwh 2.83 vn = B 16kr2 mr2 + J0 2.85 (a) 14.265,362, (b) 3,8296 2.87 xmáx = ax0 + x # 0 vn b e-1x # 0 /1x # 0 + vnx022 2.90 (a) cc = 1.000 N.s/m, (b) Wd = 8,6603 rad/s, (c) E = 3,6276 2.92 V = 0,09541° 2.94 [ = 0,013847 2.96 m = 500 kg, k = 27.066,403 N/m 2.99 vn = A 2k 3m 2.103 3 2 m x $ + c x# + 2 k x = 0 2.105 S0 = 2.682,8816 kg/m3 2.107 (a) J0 = 1,9436 � 10–4 N.m.s2, (b) Un = 1,8297s, (c) ct = 5,3887 � 10–4 N.m.s/rad, (d) kt = 2,2917 � 10–3 N.m/rad 2.108 (a) [ = 0,75, Wd = 6,6144 rad/s, (b) [ = 1,0, Wd = 0, (c) [ = 1,25 2.110 (a) 60,8368 J, (b) 124,6784 J 2.111 Coulomb, 5N, 14,1421 rad/s 2.113 5,8 mm 2.115 (a) 5 (b) 0,7025 s (c) 1,9620 cm 2.117 ceq = 4 mN pvX 2.120 1,40497 s 2.122 1,7022 s, 0,004 m 2.124 C = 0,03032, ceq = 0,04288 N.s/m, $W = 19,05 � 10–6 N.m 2.126 h = 0,583327 N/m Capítulo 3 3.2 5 s 3.4 (a) x(t) = 0,1 cos 20 t + t sen 20 t (b) x(t) = (0,5 + t) sen 20 t (c) x(t) = 0,1 cos 20 t + (0,5 + t) sen 20 t 3.6 (a) x(t) = 0,18 cos 20 t – 0,08 cos 30 t, (b) x(t) = 0,08 cos 20 t + 0,5 sen 20 t – 0,08 cos 30 t, (c) x(t) = 0,18 cos 20 t + 0,5 sen 20 t – 0,08 cos 30 t 3.8 9,1189 kg 3.11 X = ` mrl 3 N2 22,7973 Eba3 - 0,2357 rabl4 N2 ` 3.13 W = 743,7442 Hz 3.17 0,676 s 3.19 Vp(t) = 5 sen Wt com 5 = – 8,5718 � 10–4 rad e W = 104,72 rad/s 3.21 xp(t) = 0,06610 cos (10 t – 0,1325) m xtotal(t) = 0,0345 e–2 t cos (19,8997 t + 0,0267) + 0,0661 cos (10 t – 0,1325) m 3.23 xtotal1t2 = 0,2611 e-2 t cos 119,8997 t + 1,17782 + 0,25 cos 120 t - p 2 2 m xp1t2 = 0,25 cos 120 t - p 2 2 m 3.25 k = 6,6673 � 104 lb/in, c = 2,3983 lb.s/in 3.27 r = 4 1 - 2z2, Xmáx = dst 2z 4 1 - z2 Respostas a problemas selecionados 415 3.29 [ = 0,1180 3.32 (a) 64,16 rad/s, (b) 967,2 N.m 3.34 (a) [ = 0,25, (b) W1 = 22,2145 rad/s, W2 = 38,4766 rad/s 3.36 169,5294 � 10–6 m 3.38 k = 1,0070 � 105 N/m, c = 633,4038 N.s/m 3.42 0,3339 sen 25 t mm 3.44 X = 0,106 m, s = 246,73 km/h 3.46 c = (k – mW2)/W 3.48 V(t) = 0,01311 sen (10 t – 0,5779) rad 3.51 xp(t) = 110,9960 � 10–6 sen (314,16 t + 0,07072) m 3.54 0,4145 � 10–3 m, 1,0400 � 10–3 m 3.56 1,4195 N.m 3.58 [ = 0,1364 3.61 Força máxima = 26,68 lb 3.64 N = 0,1 3.67 (a) 10,2027 lb/in, (b) 40,8108 lb.in 3.70 (c) 1 e 4 mN pXk + 3 4k cv3 X2 f 3.73 (a) 1,0623 Hz, (b) 1,2646 m/s, (c) 5,557 � 10–4 m Capítulo 4 4.2 com r = v/vn e fn = tg-1 a 2znr 1 - n2r2 b x1t2 = F0 2k - 4F0 p2k a q n= 1,3, Á 1 n2 1 4 11 - r2n222 + 12znr22 cos 1n vt - fn2 4.6 .�T� � 0,0023873 � ; Q N�1 U V 318,3091 sen 5,8905 N cos N /T � 318,3091 �1 cos 5,8905 N� sen N /T N�392.700,0 1.096,6278 N2� rad 4.12 xp(t) = 6,6389 � 10–4 – 13,7821 � 10–4cos (10,472t – 0,0172) + 15,7965 � 10–4sen (10,472t – 0,0172) + P m 4.15 x1t2 = F0 k e1 + sen vn1t - t02 - sen vnt vnt0 f ; para t � t0 4.19 para t 7 p/v x1t2 = F0 2ka1 - v2 vn 2 b c2 - v2 vn 2 a1 - cos vnp v b d + F0 k c1 - cos vna t - p v b d 4.25 x(t) = 1,7689 sen 6,2832 (t – 0,018) – 0,8845 sen 6,283t – 0,8845 sen 6,2832 (t – 0,036)m; para t � 0,036 s 4.29 xp(t) = 0,002667 m 4.32 V(t) = 0,3094 e–t + 0,05717 sen 5,4127 t – 0,3094 cos 5,4127 t rad 4.35 x(t) = 0,04048 e–t + 0,01266 sen 3,198 t – 0,04048 cos 3,198 t m 4.37 x(t) = 0,5164 e–t sen 3,8729 t m 4.42 xm = F0 kvnt0 [11 - cos vnt022 + (Wnt0 – sen Wnt0)2]1/2; para t � t0 4.45 d = 0,6 in 4.48 k = 12.771,2870 lb/in 4.51 x1t2 = e F0 mvn 2 11 - cos vnt2; 0 … t … t0 F0 mvn 2 [cos vn1t - t02 - cos vnt]; t Ú t0 4.54 x# i1ti = p2 = e - 0,549289, Equação 14.682 - 0,551730, Equação 14.712 Capítulo 5 5.1 W1 = 3,6603 rad/s, W2 = 13,6603 rad/s 5.3 v1 = A k m , v2 = A 2k m 5.5 1,1 in2 5.6 W1 = 7,3892 rad/s, W2 = 58,2701 rad/s 5.7 v1,22 = 48 7 EI m1 m2 c1m1 + 8 m22 4 1m1 - 8 m222 + 25 m1 m2 d 5.9 v1 = 0,7654 A g l , v2 = 1,8478 A g l 5.12 W1 = 12,8817 rad/s, W2 = 30,5624 rad/s 5.15 x1(t) = 0,1046 sen 40,4225t + 0,2719 sen 58,0175t, x2(t) = 0,1429 sen 40,4225t – 0,09952 sen 58,0175t 5.17 v1 = 3,7495 B EI mh3 , v2 = 9,0524 B EI mh3 5.19 X ! 112 = e 1,0 2,3029 f , X ! 122 = e 1,0 -1,3028 f 5.21 x2102 = r1 x1102 = x1102 13 - 1 , x # 2102 = r1 x # 1102 = x # 1102 13 - 1 5.25 x11t2 = 0,5 cos 2 t + 0,5 cos 112 t; x21t2 = 0,5 cos 2 t - 0,5 cos 112 t 5.28 v1 = 0,51762kt/J0, v2 = 1,93192kt/J0 416 Vibrações mecânicas 5.31 v1 = 0,381972kt/J0, v2 = 2,618032kt/J0 5.33 Equação de freqüência: + 1W1 l1 W2 l2 + W2 l2 k l12 + W1 l1 k l222 = 0 v4 1m1 m2 l1 2 l2 2 2 - v2 em2 l22 1W1 l1 + kl122 + m1 l12 1W2 l2 + k l222 f 5.35 v1,2 2 = c 1J0k + mkt2 41J0k + mkt22 - 41J0 - me22mkkt 2m1J0 - me22 s 5.38 1.000 x.. + 40.000 x + 15.000 V = 900 sen 8,7267t + 1.100 sen (8,7267 t – 1,5708) 810 V .. + 15.000 x + 67.500 V = 1.650 sen (8,7267 t – 1,5708) – 900 sen 8,7267 t 5.41 (a) cm 0 0 J0 d e x $ u $ f + c 3k kl/6 kl/6 17kl2/36 d e x u f = e F1t2 l F1t2/3 f onde J0 = ml2/12 e F(t) = F0 sen Wt. (b) Acoplamento estático 5.45 (a) W1 = 12,2474 rad/s, W2 = 38,7298 rad/s 5.48 xj(t) = XjeiWt com X1 = 1 – 40,0042 – 0,01919 i2 � 10–4 in, X2 = (0,9221 + 0,2948 i) � 10–4 in 5.49 k2 = m2W2 5.50 x�1t2 = k�F� 1-m��v� + k�+ k�2 1-m��v� + k� 2-k�� �VHQ�vt 5.52 x1(t) = (17,2915 F0 cos Wt + 6,9444 F0 sen Wt)10–4 x2(t) = (17,3165 F0 cos Wt + 6,9684 F0 sen Wt)10–4 5.54 x1(t) = 0,009773 sen 4 Q t m, x2(t) = 0,016148 sen 4Q t m 5.56 x21t2 = 1 160 - 1 40 cos 10t + 1 120 cos 1013t2u1t2 5.58 v1 = 0, v2 = A 4k 3m 5.59 b1c2 – c1b2 = 0 5.61 onde a = u1 - u2a $ + a kt J1 + kt J2 b a = 0 5.63 v1 = 0, v2 = B 6 k 1m + M2 mM 5.66 k Ú mg 2l Capítulo 6 6.1 C m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 S c x $ 1 x $ 2 x $ 3 s + k C 7 -1 -5 -1 2 -1 -5 -1 7 S c x1 x2 x3 s = c F11t2 F21t2 F31t2 s 6.3 + k 25 C 6 -10 29 34 -15 6 -15 25 -10 S c x1 x2 x3 s = c F31t2 F11t2 F21t2 s m 3 C 1 0 2 2 0 1 0 15 0 S c x $ 1 x $ 2 x $ 3 s + c 25 C 6 -10 4 9 -15 6 -15 25 -10 S c x # 1 x # 2 x # 3 s 6.5 I6 u $ 4 + kt3 1u4 - u3 n4 n5 2 = 0 aI4 + I5 n4 2 n5 2 b u $ 3 + kt2 1u3 - u2 n2 n3 2 + kt3 n4 n5 1u3 n4 n5 - u42 = 0 aI2 + I3 n2 2 n3 2 b u $ 2 + kt1 1u2 - u12 + kt2 n2 n3 1u2 n2 n3 - u32 = 0 I1 u $ 1 + kt1 1u1 - u22 = M1 cos vt 6.7 k C 7 -1 -5 -1 2 -1 -5 -1 7 S 6.9 k 25 C 34 -15 6 -15 25 -10 6 -10 29 S 6.11 G kt1 -kt1 -kt1 kt1 + kt2 a n2 n3 b 2 -kt2 a n2 n3 b 0 0 -kt2 a n2 n3 b kt2 + kt3 a n4 n5 b 2 -kt3 a n4 n5 b -kt3 a n4 n5 b kt3 W Respostas a problemas selecionados 417 6.13 D k1 + k2 k1 k2 1 k1 r 1 k1 r 1 k1 r 2 T 6.15 D 2 3k - 1 3 kl - 1 3 kl 2 3 kl2 T 6.17 c m 0 0 4ml2 d 6.19 [k] = C 1k1 + k22 -k2 0 -k2 1k2 + k32 -k3 0 -k3 1k3 + k42 S 6.21 [a] = l 3 EI C 9/64 1/6 13/192 1/6 1/3 1/6 13/192 1/6 9/64 S 6.25 2 k 6.27 C m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 S 6.29 m 3 C 2 0 1 0 150 1 0 2 S 6.31 I� � � � � I� + I��an�n� b � � � � � I� + I��an�n� b � � � � � I� 6.34 2 mx.. + kx = 0, l V .. + g V = 0 6.36 m1 x .. 1 + (k1 + k2)x1 – k2 x2 = 0 m2 x .. 2 – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = 0 m3 x .. 3 – k3 x2 + (k3 + k4) x3 = 0 6.39 m1 x .. 1 + 7 k x1 – k x2 – 5 k x3 = F1 (t) m2 x .. 2 – k x1 + 2 k x2 – k x3 = F2(t) m3 x .. 3 – 5 k x1 – k x2 + 7 k x3 = F3(t) 6.42 m x $ 3 - 8 3 k x1 + 2 3 k x2 + 5 k x3 = F31t2 - J0 9 r2 x $ 1 + a3 m + J0 9 r2 b x $ 2 - 8 9 k x1 + 2 9 k x2 + 2 3 k x3 = F21t2 aM + J0 9 r2 b x $ 1 - J0 9 r2 x $ 2 + 41 9 k x1 - 8 9 k x2 - 8 3 k x3 = F11t2 6.44 v1 = 0,445041k/m, v2 = 1,24711k/m, v3 = 1,80251k/m 6.47 v1 = 0,5333991k/m, v2 = 1,1227331k/m, v3 = 1,6698171k/m 6.50 M1 = 2,21398, M2 = 4,16929, M3 = 10,6168 6.53 v1 = 0,6447981g/l, v2 = 1,5146981g/l, v3 = 2,5079771g/l 6.56 v1 = 0,562587 A P ml , v2 = 0,915797 A P ml , v3 = 1,584767 A P ml 6.59 [X] = 1 2 c 1 1 0 -1 1 12/3 1 1 18/3 S 6.62 v1 = 0,7653 A k m , v2 = 1,8478 A k m , v3 = 3,4641 A k m 6.64 v1 = 0, v2 = 0,7521581k/m, v3 = 1,3295081k/m 6.66 + 0,8838 cos 1,1976 A k m t f x31t2 = x10 e0,5 cos 0,4821 A k m t - 0,3838 cos A k m t 6.68 - 0,1372 cos 1,5848 A P lm t f x31t2 = x20e0,1987 cos 0,5626 A P lm t - 0,06157 cos 0,9158 A P lm t 6.71 x11t2 = x # 0e t 3 + A m 4 k sen A k m t + A m 108 k sen A 3k m t f 6.73 x21t2 = 1 2 ccos 2 t + 1 2 sen 2 t - cos 112 t + 1 112 sen 112 t d x11t2 = 1 2 ccos 2 t + 1 2 sen 2 t + cos 112 t - 1 112 sen 112 t d 6.75 (a) v1 = 0,44497 2kt/J0, v2 = 1,24700 2kt/J0, v3 = 1,80194 2kt/J0 418 Vibrações mecânicas (b) u ! 1t2 = c - 0,0000025 0,0005190 - 0,0505115 s cos 100 t radianos 6.77 x!1t2 = c 5,93225 10,28431 12,58863 s F0 k cos vt 6.80 x!1t2 = μ ∂ 0,03944 11 - cos 18,3013 t2 + 0,01057 11 - cos 68,3015 t2 0,05387 11 - cos 18,3013 t2 - 0,00387 11 - cos 68,3015 t2 6.83 x3(t) = 0,0256357 cos(Wt + 0,58740)m Capítulo 7 7.1 (a) v1 M 2,6917 B EI ml3 , (b) v1 M 2,7994 B EI ml3 7.3 3,5987 B EI ml3 7.5 0,30151k/m 7.7 0,40821k/m 7.9 1,0954 A T lm 7.13 W1 = 0, W2 � 6,2220 rad/s, W3 � 25,7156 rad/s 7.16 v1 = 1k/m 7.18 W1 = 0,3104, W2 = 0,4472, W3 = 0,6869 onde vi = 1/2li 7.21 com vi = v ' i A GJ lJ0 v1 ' = 0,765366, v2 ' = 1,414213, v3 ' = 1,847759 7.24 W1 = 0,2583, W2 = 3,0, W3 = 7,7417 7.27 [U]-1 = C 0,44721359 0,083045475 - 0,12379687 0 0,41522738 1,1760702 0 0 1,7950547 S 7.45 W1 = 5,8694, W2 = 85,5832, W3 = 293,5470 7.47 W1 = 0,2430, W2 = 0,5728, W3 = 7,1842 Capítulo 8 8.1 28,2843 m/s 8.3 W3 = 9.000 Hz, ambos com 9,54% de aumento 8.6 (a) 0,1248 � 106 N, (b) 3,12 � 106 N 8.8 w1x, t2 = 8 al p3c a n= 1,3,5,Á 1-12 n - 1 2 1 n3 sen n px l sen n pct l 8.11 - 13 9h 32 p2 sen 4 px l + 13 9h 50 p2 sen 5px l wax, l c b = - 13 9h 2p2 sen px l + 13 9h 8p2 sen 2 px l 8.15 tg vl c = A E v c1k - M v22 A2 E2 v2 - M v2 k c2 8.18 tg vl1 c1 tg vl2 c2 = A1E1c2 A2E2c1 8.21 vn = np l A G r ; n = 1, 2, 3, Á 8.23 vn = 12n + 12p 2 B G rl2 ; n = 0, 1, 2, Á 8.26 5.030,59 rad/s 8.29 cos Cl cosh Cl = –1 8.32 tg Cl – tgh Cl = 0 8.34 20,2328 N.m 8.37 cos Cl cosh Cl = 1 e tg Cl – tgh Cl = 0 8.39 v L 1120 a EI0 rA0 l 4 b 1/2 8.44 sen vt e cos b x + cosh b x + tg bl 2 sen b x - tgh bl 2 senh b x - 2 f w1x, t2 = F0 2 r Ac2 8.47 onde qn1t2 = M0 r A l vn 2 dWn dx ` x= l 11 - cos vn t2 w1x, t2 = a q n= 1 Wn1x2 qn1t2 8.50 vmn2 = gnP r , onde Jm(HnR) = 0; m = 0, 1, 2, P ; n = 1, 2, P 8.54 w1x, y, t2 = w # 0 v12 sen px a sen 2py b sen v12t 8.57 22,4499 B EI r A l4 8.59 v = 15,4510 B EI r A l4 8.61 7,7460 B EI0 r A0 l 4 8.64 2,4146 B EA0 m0 l 2 8.66 W � 13.867,3328 rad/s 8.68 (a) 1,73205 B E rl2 , (b) 1,57669 B E rl2 , 5,67280 B E rl2 8.71 v1 = 3,142 B P rl2 , v2 = 10,12 B P rl2 Capítulo 9 9.1 Aproximadamente 46,78 km/h 9.3 mcrc = 3.354,6361 g.mm, Vc = –25,5525° 9.5 m4 = 0,99 oz, V4 = –35° 9.8 1,6762 oz, B = 75,6261° CW 9.11 Elimine 0,1336 lb a 10,8377° CCW no plano B e 0,2063 lb a 1,3957° CCW no plano C em raios de 4 in. Respostas a problemas selecionados 419 9.14 (a) R ! A = -28,4021j ! - 3,5436 k ! , R ! B = 13,7552 j ! + 4,7749 k ! , (b) mL = 10,44 g, VL = 7,11410 9.17 (a) 0,005124 m, (b) 0,06074 m, (c) 0,008457 m 9.20 (a) 0,5497 � 108 N/m2 (b) 6,4698 � 108 N/m2 (c) 0,9012 � 108 N/m2 9.22 Fxp = 0, Fxs = 3.269,4495 lb, Mzp = Mzs = 0 9.25 O motor está totalmente balanceado em termos de força e momento. 9.27 0,2385 mm 9.30 (a) W � 95,4927 rpm (b) W � 276,7803 rpm 9.32 k = 152.243,1865 N/m 9.35 79,7808 rad/s – 1.419.8481 rad/s 9.37 Est = 0,02733 m 9.40 k = 1.332,6646 lb/ft 9.43 (a) X = 11,4188 � 10–3 m (b) FT = 44,8069 N 9.45 98,996% 9.47 (a) 2.775,66 lb, (b) 40.145,81 lb 9.49 49.752,86 N/m 9.52 N = 0,3403; m2 = 102,09 kg, k2 = 2,519 MN/m; X2 = –0,1959 mm 9.54 (a) 487,379 lb (b) 61 = 469,65 rpm, 62 = 766,47 rpm 9.56 Para D/d = 4/3, d = 0,5732 in, D = 0,7643 in 9.59 0,9764 … v v2 … 1,05125 9.61 m2 = 10 kg, k2 = 0,19986 MN/m 9.63 165,6315 lb/in Capítulo 10 10.2 18,3777 Hz 10.4 3,6935 Hz 10.6 0,53% 10.9 35,2635 Hz 10.12 73,16% 10.14 k = 33623,85 N/m, c = 50,55 N.s/m 10.16 m = 19,41 g, k = 7.622,8 N/m 10.19 111,20 rad/s – 2.780,02 rad/s 10.21 r � 1 10.23 [ = 0,1111 10.26 Gaiola (51,93 Hz), Pista interna (1.078,97 Hz), Pista externa (830,88 Hz), Esfera (193,31 Hz) 10.29 1,8 10.30 2,9630 10.32 [ = 0,2 Capítulo 11 11.2 d 4x dt4 ` i = xi - 4xi- 1 + 6xi- 2 - 4xi- 3 + xi- 4 1¢t24 11.4 x(t = 5) = –1 com $t = 1 e – 0,9733 com $t = 0,5 11.6 x10 = – 0,0843078, x15 = 0,00849639 11.9 x(t = 0,1) = 0,131173, x(t = 0,4) = – 0,0215287, x(t = 0,8) = – 0,0676142 11.14 Com $t = 0,07854, x1 = x e x2 = x . , x1(t = 0,2356) = 0,100111, x2(t = 0,2356) = 0,401132, x1(t = 1,5708) = 1,040726, x2 = (t = 1,5708) = – 0,378066 11.20 t 0,25 0,07813 1,1860 1,25 2,3360 3,25 2,3370- 0,6363 - 0,2832 x2x1 11.23 v1 = 3,06147 B E rl2 , v2 = 5,65685 B E rl2 , v3 = 7,39103 B E rl2 11.26 v1 = 17,9274 B EI rAl4 , v2 = 39,1918 B EI rAl4 , v3 = 57,1193 B EI rAl4 11.38 Com $t = 0,24216267, t 0,2422 0,01776 0,1335 2,4216 0,7330 1,8020 4,1168 0,1059 0,8573 x2x1 A Absorvedor, 327, 329 de choque, 72 de vibração otimamente sintonizado, 330 dinâmico de vibração, 327, 329 Aceleração de base, 153 Acelerógrafos de movimento forte, 154 Acelerograma, 154 Acelerômetro, 346, 349 Acoplamento de coordenadas, 186-187 de inércia, 188 dinâmico, 188 elástico, 187 estático, 187 Adição de matrizes, 405 Admitância, 158 Aerofólio, 122 Álgebra de números complexos, 23, 389 Alimentadores de caçamba vibratória, 48 Ambiente sujeito a choque, 156 Amortecedor a êmbolo (pistão-cilindro), 19 de Stockbridge, 121 Amortecedores, 18 associação, 19 construção, 18 placas planas,19 pistão-cilindro, 19 complexo, 118 constante, 74 de Coulomb, 18, 74, 76, 115 de velocidade ao quadrado, 118 estacionário, 312 externo, 312 interno, 312 por histerese, 18, 77, 117 constante, 78 proporcional, 233 quadrático, 118 restringido por camada, 319 rotativo, 312 sólido, 18 viscoso, 18, 66, 71 energia dissipada, 70 Coulomb, 18, 74, 115 atrito seco, 18, 74 energia dissipada, 70 por histerese, 18, 77, 117 introdução, 318 material, 18 outros tipos, 118 quadrático, 118 sólido, 18 viscoso, 18, 66 Amortecimento, 17-18 Amperímetro de bobina móvel, 133 Amplitude, 25, 221 Analisador de, 355-356 de espectro, 355 de faixa de oitava, 355 FFT, 358 heteródino, 356 Análise, 9 de estabilidade, 119, 192-193, 235, 314 dinâmica, 119 de sinal, 354 harmônica, 26 modal, 229, 230-231, 357 experimental, 357 no domínio da freqüência, 28, 367 do tempo, 28 numérica de Fourier, 30 Ângulo de fase, 25, 105, 221 Aritmética complexa, 310 Associação de amortecedores, 19 de massas, 15 de molas, 12 Atuador de mola, 131 Auto-excitação, 119, 192, 235 Automóvel, 189 Autovalor, eigenvalue, 221 problema, 221 solução, 222 Autovalores repetidos, 225 B Balanceamento, 308 dinâmico, 309 em dois planos, 309 em um plano, 308 estático, 308 motores alternativos, 315 máquinas rotativas, 308 Barra que suporta uma massa, 279 sujeita a força inicial, 279 Batimentos, 25, 104 freqüência, 104 período, 104 Bernoulli, 3, 178 Bigorna de martelo de forjar, 71 C Cabo, 272 Caçamba de um caminhão de bombeiros, 59 Caixa d’água, 57, 65 Cálculo numérico, 30 Canhão, 73 Capacidade de específico, 71 Carga de choque, 156 de explosão, 150 de pulso, 149 Cayley, 403 Centro de percussão, 62 Cepstro, 367 Chladni, 3 Choque de pulso, 156 Ciclo, 25 Ciclo (laço) de histerese, 18, 77 Círculo de Nyquist, 362 Coeficiente de amplitude, 102, 106 de atrito, 74, 76 de cisalhamento, 289 de Timoshenko, 289 de influência, 210 de flexibilidade, 213 de inércia, 216 de rigidez, 211 de participação modal, 230 de perda, 71 Co-fator, 404 Compactador vibratório, 48 Conceitos básicos, 6 Condição forçante geral, 140, 147 Condicionador de sinal, 357 Condições Índice remissivo Índice remissivo 421 barra, 277 corda, 272-273 de estabilidade, 63 de contorno, 273, 277, 281, 283, 290, 292, 381, 382 forçantes irregulares, 160 iniciais, 181-182, 273, 277, 281, 283, 292 membrana, 292 viga, 283 vigas, 284 Conservação da energia, 53 Constante de amortecimento crítico, 66 elástica, 11 torcional, 13 Controle ativo de vibração, 326 Controle de freqüências naturais, 318 Controle de vibração, 318 Conversão de unidades, 407 Coordenadas generalizadas, 7, 179, 187, 217-218 naturais, 188 principais, 179, 186-187, 188, 230 Corda, 272, 275 Corpo humano, 307 Coulomb, 3, 101 Critério de Routh-Hurwitz, 193, 236, 314 Curtose, 367 Curva da banheira, 365 D D’Alembert, 389 Decibel, 26, 355 Decomposição de Choleski, 263 de matriz, 263 de uma matriz, 263 Decremento logarítmico, 68-69 Deflexão estática, 53, 102 placas, 401 vigas, 401 Deformação por cisalhamento, 289 Delta de Kronecker, 220 Densidade espectral de potência, 360 cruzada, 360 Desbalanceamento, 113 Deslocamento virtual, 52 Determinante, 404 Diagnóstico, 364 Diagrama de Bode, 362 espectral, 28 Diferença de fase, 26 Distorção de fase, 351 Duplo impacto, 147 E Eixo de hélice, 13 Eixos, 254 rotativos, 312 Elemento de inércia, 15 Elementos de amortecimento, 17-18 de massa, 15 de mola, 11 elásticos, 11 Emissão de vórtice, 121 Energia cinética, 217 de deformação, esforço de deformação, 217 dissipada, 70 potencial, 21 Ensaio (teste) de impacto de Charpy, 97 dinâmico, 356 Equação característica, 180, 221, 274 freqüência, 180, 222, 274 de onda, 273 Equações de Lagrange, 218 de movimento, 220 diferenciais acopladas, 178 governantes, 10 Erro de deslocamento de fase, 351 Espaço de estado, 57 Espectro de freqüência, 28, 367 de projeto, 155 de resposta a terremoto, 154 de resposta, 151 de excitação de base, 152 de terremoto, 154 de pulso senoidal, 151 Estroboscópio, 353 Estrutura, 212 de ponte, 79 de um edifício, 51, 146, 154 Euler, 3, 305 Excitação de base, 111, 142, 147, 152 Excitador, 353-354 eletrodinâmico, 353-354 Excitadores mecânicos, 353 Exemplos de MATLAB análise de Fourier, 33 modal, 239 balanceamento em dois planos, 333 batimentos, 33 círculo de Nyquist, 369 Coulomb, 81 equação do acelerômetro, 370 excitação da base, 125 freqüência natural e período, 79-80 freqüências de ressonâncias de absorvedor de vibração, 331-332 geração do polinômio característico, 239 método da diferença central, 390 de Houbolt, 391 de iteração matricial, 264 de Jacobi, 264 de Runge-Kutta de quarta ordem, 390 problema de autovalor, 193 geral de autovalor, 360 raízes de equações não-lineares, 296 de uma equação polinomial, 238 de uma equação quártica, 193, 196 resposta a um impulso, 165 a uma força arbitrária, 165-166 a uma força periódica, 165 à vibração livre, 80, 194 com sistema viscosamente amortecido, 126 de freqüência de um sistema, 194 de tempo de vagões ferroviários, 194 de um sistema não amortecido, 124 forçada com Coulomb, 125 forçada de uma viga, 295 forçada de um sistema, 195 total à excitação de base, 163 série de Fourier, 32 sistema com um grau de liberdade, 389 sistema com vários graus de liberdade, 389 sistema com viscoso, 81 solução de problema de autovalor, 236, 263 de uma equação de freqüência, 296 transmissibilidade, 331 vibração forçada, 237 de um sistema de amortecimento, 238 livre, 237 Expansão cálculo numérico, 30-32 complexa, 27 de série de Fourier complexa, 27 em série de Taylor, 378 por série de Fourier, 26 Expansões de meia-faixa, 29 Extensômetro, 345 F Fator de amortecimento, 66 de amplificação, 102, 106 de modal, 233 de perda, 319 de qualidade, 108 Q, 108 Fenômeno de Gibbs, 27 Figura de Lissajous, 45 Filtro, 355 passa-faixa, 355 Força axial, 287 degrau, 148, 325 generalizada, 217-218 linear, 150 não periódica, 144-145 periódica, 143 geral, 140 irregular, 143 422 Vibrações mecânicas transmitida, 111 à fundação, 320 à massa, 321 Forma de deflexão em operação, 356 Formas de onda, 366 modais, 251 quadráticas positivas definidas, 217 Fórmula de Dunkerley, 251 de recorrência, 377 Fourier, 3, 140 Freqüência circular, 23 de oscilação, 25 de vibração amortecida, 67 fundamental, 253, 274 natural, 25, 180, 222, 251, 274 mais alta, 259 Freqüências naturais intermediárias, 259 Fresadora, fresa, 281-282 máquina de fresar, 21 Função autocorrelação, 360 coerência, 360 de dissipação de Rayleigh, 233 delta de Dirac, 145 densidade de probabilidade, 366 ímpar, 29 par, 28 resposta ao impulso, 146 transferência, 158 Funções harmônicas, 23 Fundação flexível, 323 parcialmente flexível, 324 rígida, 320 Furadeira, 217 radial, 208 G Galileu (Galileo Galilei), 1, 2 Galope, 120 Grade de ponto, 376 Grau de liberdade, 6 Guindaste, 14 H Hamilton, 413 Harmônicas, 28 Hertz, 407 História da vibração, 1 Hooke, 2 I Igualdade de matrizes, 405 Impedância generalizada, 158 mecânica, 109 Importância da vibração, 5 Impulso, 145 Impulso-momento, 325 Índice de transmissão, 321 Índices, 366 Inércia de rotação, 289 Instabilidade, 119-120, 122 Instrumentação, 368 Instrumento com uma palheta, 354 com várias palhetas ou tacômetro, 352 sísmico, 348 Instrumentos de medição de freqüência, 352 Integral de convolução, 145de Duhamel, 147 Isolador, 324 Isolamento, 322 contra choque, 325 eficiência, 322 J Jacobi, 401 K Kirchhoff, 4, 344 L Lagrange, 3, 207 Laplace, 406 Largura de banda, 108 LVDT, 347 M Manômetro, 64 Manutenção, 364 após avaria, 364 de máquinas, 364 preventiva, 364 prognóstica por monitoração contínua, 364 Máquina compactadora, 148, 150, 159 Máquinas rotativas, 308 Marca de fase, 309 Marcas de referência, 308 Martelo de forjar, 10, 71, 231 Massa equivalente de uma mola, 65 Massas associação, 15 de translação, 15 equivalentes, 16 rotacionais, 16 Materiais viscoelásticos, 319 MATLAB, 409 introdução, 409 arquivos M, 410 Matriz adjunta, 404 de amortecimento, 179, 209, 233 de coluna, 403 de flexibilidade, 214 de impedância, 190 de linha, 403 de massa, 179, 209 generalizada, 217 de rigidez, 179, 209 diagonal, 403 dinâmica, 222 identidade, 403 inversa, 404 modal, 224 positiva definida, 217 quadrada, 403 simétrica, 403 singular, 405 triangular, 263 triangular superior, 263 unitária, 403 zero, 403 Matrizes, 403 de rotação, 261 Mecanismo de recuo, 73 Scotch Yoke, 22 Medição de vibração, 344 Membrana, 291 retangular, 292 Método de deflação de matriz, 259 da diferença central, 377, 379 da diferença finita, 376, 378-380 da energia, 63 de Holzer, 256, 257 de Houbolt, 384-385 de iteração matricial, 258 de Jacobi, 261 de Newmark, 388 de Rayleigh, 63, 252, 292 de Rayleigh-Ritz, 294 de Runge-Kutta, 378, 384 da superposição, 275 de superposição de modos, 275 de Wilson, 387 explícito de integração, 377 Métodos condicionalmente estáveis, 377 de integração, 376 estatísticos, 366 implícitos, 386 numéricos, 160, 37 Minor, 1039 Modelagem matemática (modelo matemático), 9, 10 Modo de corpo rígido, 227 de vibração, 274 fundamental, 274 natural, 178 normal, 178, 274, 283 principal, 178 zero, 227 Molas em paralelo, 12 em série, 12 Monitoração (prognóstica) das condições de uma máquina, 364, 365 de máquinas, 364 Índice remissivo 423 Monocórdio, 2 Motocicleta, 10, 11 Movimento adição, 24 definições, 24 de regime permanente, 190 desliza-emperra, 120 freqüência natural, 25 harmônico, 21, 54 simples, 21 periódico, 21 período de oscilação, 25 relativo, 111-112 representação por números complexos, 22 representação por vetor girante, 23 representação vetorial, 22 terminologia, 24 Multiplicação de matrizes, 405 N Newmark, 376 Newton, 2, 50 Nós, 274 Núcleo, 158 Número de Reynolds, 121 de Strouhal, 121 O Oitava, 26, 355 Operações matriciais, 405 Operador laplaciano, 292 Órbitas, 366 Ortogonalidade, 224, 278 de funções normais, 278, 284 de modos normais, 224, 278 Ortonormalização, 224 Oscilador harmônico, 54 P Pares de transformadas de Laplace, 406 Partes elementares, 6 Pêndulo composto, 61 de torção, 61 simples, 6 triplo, 218 Período, 25 de batimento, 104 de oscilação, 25 Pitágoras, 2, 3 Plano de fase, 57, 69 Ponte de Wheatstone, 346 Ponto de malha, 376 Pontos de meia-potência, 108 Programas em C++ Program1.cpp, 34 Program2.cpp, 82 Program3.cpp, 127 Program4.cpp, 166 Program5.cpp, 167 Program6.cpp, 196 Program7.cpp, 240 Program8.cpp, 240 Program9.cpp, 265 Program10.cpp, 265 Program11.cpp, 265 Program12.cpp, 296 Program13.cpp, 334 Program14.cpp, 392 Program15.cpp, 393 Program16.cpp, 393 Primeira freqüência, 221 Princípio da conservação da energia, 52 de D’Alembert, 52 de Rayleigh, 252 dos deslocamentos virtuais, 52 Problema-padrão do autovalor, 222, 262 Processador de sinal digital, 358 Processo de linearização, 11 vibratório de acabamento, 7 Programas em Fortran FORIER.F, 34 FREVIB.F, 82 HARESP.F, 127 NONEQN.F, 297 PERIOD.F, 167 PROGRAM1.F, 34 PROGRAM2.F, 82 PROGRAM3.F, 127 PROGRAM4.F, 167 PROGRAM5.F, 168 PROGRAM7.F, 240-241 PROGRAM8.F, 241 PROGRAM9.F, 266 PROGRAM10.F, 266 PROGRAM11.F, 266 PROGRAM12.F, 297 PROGRAM13.F, 358 PROGRAM14.F, 393 PROGRAM15.F, 393 PROGRAM16.F, 393 QUART.F, 198 Programas MATLAB Program1.m, 33 Program2.m, 81 Program3.m, 126 Program4.m, 165 Program5.m, 165 Program6.m, 196 Program7.m, 239 Program8.m, 239 Program9.m, 264 Program10.m, 264 Program11.m, 264 Program12.m, 296 Program13.m, 333 Program14.m, 390 Program15.m, 390 Program16.m, 391 Pseudo-espectro, 152 Pseudovelocidade, 152 Q Quefrência, 367 Quociente de Rayleigh, 253, 293 R Rahmônicas, 367 Rayleigh, 4, 251 Razão de freqüências, 106 Redução de vibração, 307-308 Relações matemáticas, 389 Resposta a impulso, 145 de um sistema amortecido, 66, 105, 232- 233 devido a impacto, 58, 146 em freqüência, 109 complexa, 109 harmônica, 101 total, 103-104, 107 transitória, 101 Ressonância, 8 Rigidez complexa, 77, 118 da mola, 11 Rolete de came, 17 Rosca de avanço em uma máquina- ferramenta, 120 Rotor de turbina, 311 S Segunda lei de Newton para equações de movimento, 51, 208 Sensor, 345 Sensores de velocidade, 347 Seqüências de Sturm, 263 Sinal aleatório, 359 Sintonia ótima, 330 Sismógrafo, 3 Sismômetro, 349 Sistema com dois graus de liberdade 8, 178 com um grau de liberdade 7, 50 com viscoso, 233 criticamente amortecido, 67 de parâmetros concentrados, 8 de polias, 59-60, 76 de suspensão, 13 de translação, 51 sistema torcional, 184 subamortecido, 67 superamortecido, 68 torcional, 60, 71, 76,184, 219, 256 vibração forçada, 190 vibração livre, 180 Sistemas com vários graus de liberdade, 207, 363, 379, 384 contínuos, 7, 8, 272, 380 degenerados, 191, 226 discretos, 7, 8 distribuídos, 8, 272 424 Vibrações mecânicas irrestritos, 191, 226 semidefinidos, 191, 227, 256 Solução de uma onda em propagação, 275 Subtração de matrizes, 405 Suporte de máquina-ferramenta, 20 T Tacômetro, 354 Frahm, 352 Fullarton, 352 Tambor de içamento, 14 Teorema da expansão, 226 da reciprocidade de Maxwell, 211 Teoria de Bernoulli, 222 de Euler-Bernoulli, 284 da viga de Timoshenko, 289 da viga fina, 282 da viga grossa, 289 Terremoto, 154 Teste modal, 357 Timoshenko, 4, 272 Torno, 187 Traço, 404 Trailer-pêndulo composto, 210 Transdutor, 345 de velocidade, 350 eletrodinâmico, 347 LVDT, 347 piezelétrico, 346-347 resistência variável, 345 Transdutores de resistência variável, 345 Transformadas de Laplace, 157-158, 192 Transmissibilidade, 110-111 de deslocamento, 111 de força, 111 Transposta, 403 Tremulação, 120 Rodopio (Whirling) de eixos rotativos, 312 Trocador de calor de carcaça e tubos, 48 Turbina hidráulica Francis, 114 U Unidades, 407 V Valor (RMS), 359 médio, 359 ao quadrado, 359 Valores característicos, 54 Válvula hidráulica, 141, 144 Variância, 359 Velocidades críticas, 313 Vetor de coluna, 403 de força, 180, 209 de linha, 403 Vetores deslocamento, 180, 209 giratórios, 24 modais, 181 Vetorial complexa, representação, 109-110 Vibração aborrecimento causado por, 7 absorvedor, 327, 329 amortecida, 8, 9, 363 análise, 4 classificação, 8 conceitos básicos, 6 controle, 305, 318 corda, 272 critério de severidade, 364 critérios, 305 deformação por cisalhamento, 289 de membrana, 292 determinística, 9 de viga, 282-283, 382 excitador, 353 força axial, 287 forçada, 8, 115, 117, 286 fundamentos, 1 história da, 1 importância, 5 induzida por escoamento, 120 inércia de rotação, 289 isolador, 320 isolamento, 320 lateral de vigas, 282 limites, 306 linear, 9 literatura, 35 livre, 8, 50, 60, 66, 228 longitudinal de uma barra, 276, 380-381 medição, 344 monitoração, 366 não-amortecida, 7-9 não-determinística, 9 não-linear, 9 neutralizador,327 nomograma, 305 origens da, 1 redução, 307 sensor, 345, 348 tabela, 47 torcional, 280 transversal, 272 Vibrômetro, 349 Viga cônica, 293, 294 Vigas e eixos, 254 Vórtices de Karman, 121 W Y Young, 409 Z Zunido dos cabos (ou das linhas de transmissão), 120
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