Apendices RAO

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APÊNDICE A
Relações matemáticas
Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783), matemático e físico francês, foi abandonado, recém-nascido, 
por sua mãe, perto da igreja Saint Jean Le Rond, em Paris. Em 1741, publicou seu famoso Traité de 
dynamique (Tratado de dinâmica), o qual continha o método que ficou conhecido como princípio 
de d’Alembert. Ele foi o primeiro a usar equações diferenciais parciais para a solução de problemas de 
cordas vibratórias. Seu brilhantismo precoce resultou na indicação como secretaire perpetuel (secretário 
permanente) da Academia Francesa (French Academy), um cargo que lhe garantiu a posição do homem 
mais influente da ciência na França. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of 
mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.)
Damos a seguir algumas das relações de trigonometria, 
álgebra e cálculo diferencial que são freqüentemente usadas 
em análise de vibração. 
sen (� � �) = sen � cos � � cos � sen �
cos (� � �) = cos � cos � � sen � sen �
sen (� + �) sen (� – �) = sen2� – sen2� = cos2� – cos2�
cos (� + �) cos (� – �) = cos2� – sen2� = cos2� – sen2�
sen � sen � = 
1
2
 [cos (� – �) – cos (� + �)]
cos � cos � = 
1
2
 [cos (� – �) + cos (� + �)]
sen � cos � = 
1
2
 [sen (� + �) + sen (� – �)]
sen � + sen � = 2 sen @
�
2 H
+ �
 cos ¢ a 2- ≤b
sen � – sen � = 2 cos @
�
2 H
+ �
sen ¢ a 2- ≤b
cos � + cos � = 2 cos @
�
2 H
+ �
cos ¢ a 2- ≤b
cos � – cos � = –2 sen @
�
2 H
+ �
 sen ¢ a 2- ≤b
A sen � + B cos � = 
2
A2 + B2 cos (� – 	1)
 = 
2
A2 + B2 sen (� – 	2)
onde 	1 = tg–1 
A
B
, 	2 = tg–1
B
A
sen2� + cos2� = 1
cos 2� = 1 – 2 sen2 � = 2 cos2 � – 1 = cos2 � – sen2 �
Lei dos co-senos para triângulos: c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
� = 3,14159265 rad, 1 rad = 57, 29577951°, 
1° = 0,017453292 rad
e = 2,71828183
log ab = b log a, log10 x = 0,4343 loge x, loge x = 2,3026 log10 x
eix = cos x + i sen x
sen x = 2i
e -ix e–ix, cos ix = 2
e +ix e–ix
senh x = 1
2
 (ex – e–x), cosh x = 1
2
 (ex + e–x)
cosh2x – senh2x = 1
d
dx
d
dx
=(uv) u dv
dx
u
dv
dx
+ v
du
dx
d
dx
u
v
u
v2
=
1
v
-
du
dx
dv
dx
=
v
du
dx
- u
dv
dx
v2
¢ ≤
L
e dx =ax
1
2
e ax
L
u dx = du
dx
v u
L
dxv -
L
¢ ≤
L
dxv dx
Álgebra complexa: 
z = x + i y � A ei� com A = 
2
x2 + y 2 e � = tg–1 y
x
¢ ≤
Se z1 = x1 + i y1 e z2 = x2 + i y2,
z1 ��z2 = (x1 � x2) + i(y1 � y2)
z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y1 – x2y2)
400 Vibrações mecânicas
=
(x1x2 + y1y2) + i(x2y1 – x1y2)
2
x2 + y 22 2
z1
z2
Se z1 = A1 ei�1 e z2 = A2 ei�2,
z1 + z2 = A ei�
com A = [A12 + A22 – 2 A1 A2 cos (�1 – �2)]
1
2
e � = tg–1 
c
A1 �sen 1 A2 �sen 2+
d 
A1 �cos 1 A2 �sen 2+
z1z2 = A1A2 ei(�1+�2)
=
z1
z2
A1
A2
 = ei(�1+�2)
APÊNDICE B
Deflexão em vigas e placas 
Carl Gustov Jacob Jacobi (1804–1851), matemático alemão, foi educado na Universidade de Berlim 
(University of Berlin) e tornou-se professor pleno na Universidade de Konigsberg (University of 
Konigsberg) em 1832. O método que desenvolveu para determinar a auto-solução de matrizes reais simé-
tricas tornou-se conhecido como método de Jacobi. Ele deu significativas contribuições às áreas de fun-
ções elípticas, teoria dos números, equações diferenciais e mecânica e apresentou a definição dos jaco-
bianos na teoria dos determinantes. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of 
mathematics, 2. ed. Nova York: Dover Publications, 1948.)
a b
l
Viga fixa-fixa
P
x
y
x
a b c
Viga simplesmente apoiada com extremidade em balanço
P
y
l
x
l a
Viga simplesmente apoiada com carga em balanço
P
y
Viga fixa-fixa com deslocamento da extremidade
x
P
EI
y
l
a
l
Viga em balanço
P
x
y
Px2
6EI (3a - x); 0 � x � a
Pa2
6EI (3x - a); a � x � l
y(x) =
a b
l
Viga simplesmente apoiada
P
x
y
Pbx
6EIl (l
2
 - x2 - b2); 0 � x � a
Pa(l - x)
6EIl (2lx - x
2 - a2); a � x � l
y(x) =
Pb2x2
6EIl3 [3al 
�x(3a ��b)]; 0 ��x � a
Pa2(l 
�x)2
6EIl3 [3bl 
 �(l 
�x)(3b ��a)]; a ��x � l
y(x) �
Mesmo caso que o da viga simplesmente
apoiada para 0 ��x ��a�e a ��x ��l
Pa
6EIl
 (l2 
�a2)(x 
�l ); l ��x � l ��c
y(x) �
Pax
6EIl (x
2
 - l2); 0 � x � l
P(x - l )
6EIl [a(3x - l) - (x - l)
2]; l � x � l + a
y(x) =
P
12 EI
 (3 lx2 - 2 x3)y(x) =
402 Vibrações mecânicas
P
Placa circular simplesmente apoiada
r
P
Placa circular fixa
r
P
Placa quadrada simplesmente apoiada em todos os lados
a
a
Placa quadrada fixa em todos os lados
a
a
P
Pr2 (3 + v)
16 �D (1 + v)ycentro =
Et 3
12 (1 - v2)onde D , t = espessura da placa 
e v = coeficiente de Poisson
=
Pr2 
16 �Dycentro =
� P a2 
E t 3 ycentro = com � = 0,1267 para v = 0,3
� P a2 
E t 3 ycentro = com � = 0,0611 para v = 0,3
APÊNDICE C
Matrizes
Arthur Cayley (1821–1895), matemático, nascido na Inglaterra, foi professor de matemática na Universidade 
de Cambridge (Cambridge University). Sua maior obra, produzida com James Joseph Sylvester, foi o 
desenvolvimento da teoria de invariantes, que desempenhou papel crucial na teoria da relatividade. Ele 
deu importantes contribuições para a geometria n-dimensional e inventou e desenvolveu a teoria das 
matrizes. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. Nova York: 
Dover Publications, 1948.)
C.1 Definições
Matriz. Uma matriz é um arranjo retangular de números. 
Um arranjo com m linhas e n colunas entre colchetes é deno-
minado uma matriz m por n. Se [A] for uma matriz m � n, 
ela é representada como
 
[A] = [a ] = F
a11 a12 a1n
a12 a22 a2n#
#
#
# # #
# # #
# # #am1 am2 amn
Vij
 (C.1)
onde os números aij são denominados os elementos da matriz. 
O primeiro índice i representa a linha e o segundo índice j 
especifica a coluna na qual o elemento aij aparece. 
Matriz quadrada. Quando o número de linhas (m) é igual ao 
número de colunas (n), a matriz é denominada matriz quadrada 
de ordem n.
Matriz coluna. Uma matriz que consiste em apenas uma 
coluna — isto é, uma matriz m � 1 — é denominada matriz 
coluna ou, mais comumente, vetor coluna. Assim, se a: for 
um vetor coluna com m elementos, ele pode ser representado 
como 
 
a: = f
a1
a2#
#
#
am
v
 (C.2)
Matriz linha. Uma matriz que consiste em apenas uma linha 
— isto é, uma matriz 1 � n — é denominada matriz linha 
ou vetor linha. Se [b]; for um vetor linha, ele pode ser repre-
sentado como 
 [b] = [b1 b2 . . . bn] (C.3)
Matriz diagonal. Uma matriz quadrada na qual todos os 
elementos são zero, exceto os que estão na diagonal princi-
pal, é denominada matriz diagonal. Por exemplo, se [A] for 
uma matriz diagonal de ordem n, ela é dada por 
 
[A] = G
a11
0 0
0
0
0
0 0
0
0
0
00
a22
a33#
#
#
# # #
# # #
# # #
# # # ann
W
 (C.4)
Matriz identidade. Se todos os elementos de uma matriz dia-
gonal tiverem valor 1, então a matriz é denominada matriz 
identidade ou matriz unidade e é normalmente representada 
por [I].
Matriz zero. Se todos os elementos de uma matriz forem 
zero, ela é denominada matriz zero ou matriz nula e é repre-
sentada por [0]. Se [0] for de ordem 2 � 4, é dada por 
 
[0 ] = B0 0 0 00 0 0 0 R
 (C.5)
Matriz simétrica. Se o elemento na i-ésima linha e j-ésima 
coluna for o mesmo que o na j-ésima linha e i-ésima coluna 
em uma matriz quadrada, ela é denominado matriz simétri-
ca. Isso significa que, se [A] for uma matriz simétrica, temos 
aji = aij. Por exemplo, 
 
[A] = C
4
7
-1
-
-
1 0
-3
3 7 5
S
 (C.6)
é uma matriz simétricade ordem 3.
Transposta de uma matriz. A transposta de uma matriz [A] 
m � n é a matriz n � m obtida pela permuta das linhas e 
colunas de [A] e é representada por [A]T. Assim, se 
404 Vibrações mecânicas
 
[A] = B2 4 5
3 1 8
R
 (C.7)
então [A]T é dada por
 
[A T] = C
2 3
4 1
5 8
S
 (C.8)
Observe que a transposta de uma matriz (vetor) coluna é 
uma matriz (vetor) linha e vice-versa.
Traço. A soma dos elementos na diagonal principal de uma 
matriz quadrada [A] = [aij] é denominada traço de [A] e é 
dada por
 Traço [A] = a11 + a22 + P + ann (C.9)
Determinante. Se [A] representar uma matriz quadrada de 
ordem n, então o determinante de [A] é representado por 
|[A]|. Desse modo, 
 F
a11 a12 a1n
a12 a22 a2n#
#
#
# # #
# # #
# # #a 1n a 2n ann
V|[A]| =
 (C.10)
O valor de um determinante pode ser encontrado median-
te a obtenção dos menores e co-fatores do determinante.
O menor do elemento aij do determinante |[A]| de ordem 
n é um determinante de ordem (n – 1) obtido pela eliminação 
da linha i e da coluna j do determinante original. O menor de 
aij é representado por Mij. 
O co-fator do elemento aij do determinante |[A]| de 
ordem n é o menor do elemento aij com a adição de um sinal 
positivo ou negativo; ele é definido como 
 Co-fator de aij = �ij = (–1)i+j Mij (C.11)
onde Mij é o menor de aij. Por exemplo, o co-fator do ele-
mento a32 de 
 
det[A] = C
a11 a12
a21 a22
a a13
a23a
a31 a32 a33
S
 (C.12)
é dado por
 
C32 = (–1)5M32 ��
 �
A11 A13
A21 A23
A
A 
 (C.13)
O valor de um determinante de segunda ordem |[A]| é 
definido como 
 
det[A] = = a11a22 – a12a21Ba11 a13a21 a22
a
a
R
 (C.14)
O valor de um determinante de n-ésima ordem |[A]| é 
definido como 
det[A] =
a
n
j=
 �ij�ij para qualquer linha específica i
ou
det[A] =
a
n
i=
 �ij�ij para qualquer coluna específica j (C.15)
Por exemplo, se
 
det[A] = |[A]| = 3
2 2 3
4 5 6
7 8 9
3
 
(C.16)
então, selecionando a primeira coluna para expansão, obtemos 
det[A] = 2 2 5 6
8 9
2
 – 4 2 2 3
8 9
2
 + 7 2 2 35 6 2 
 = 2(45 – 48) – 4(18 – 24) + 7(12 – 15) = –3 (C.17)
Propriedades de determinantes
1. O valor de um determinante não é afetado se as linhas (ou 
colunas) forem escritas como colunas (ou linhas) na 
mesma ordem. 
2. Se todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) 
forem zero, o valor do determinante será zero.
3. Se duas linhas (ou duas colunas) quaisquer forem permu-
tadas, o valor do determinante será multiplicado por –1.
4. Se todos os elementos de uma linha (ou uma coluna) forem 
multiplicados pela mesma constante a, o valor do novo 
determinante será a vezes o valor do determinante original.
5. Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou duas 
colunas) de um determinante forem proporcionais, o valor 
do determinante será zero. Por exemplo,
 
det[A] = = 03
4 7 – 8
2 5 – 4
–1 3 2
3
 
 (C.18)
Matriz adjunta. A matriz adjunta de uma matriz quadrada 
[A] = [aij] é definida como a matriz obtida pela substituição 
de cada elemento aij por seu co-fator �ij sendo em seguida 
transposta. Dessa forma, 
 
F
�11 �12 �1n
�12 �22 �2n#
#
#
# # #
# # #
# # #�n1 �n2 �nn
T
VAdjunta [A] =
F
�11 �21 �n1
�12 �22 �n2#
#
#
# # #
# # #
# # #�1n �2n �nn
V=
 (C.19)
Matriz inversa. A inversa de uma matriz quadrada [A] é 
representada por [A]–1 e é definida pela seguinte relação: 
 [A]–1[A] = [A][A]–1 = [I] (C.20)
 Apêndice C – Matrizes 405
onde [A]–1[A], por exemplo, representa o produto da matriz 
[A]–1 por [A]. A matriz inversa de [A] pode ser determinada 
(ver Referência [A.1]):
 
[A]–1 = adjunta [A]
det[A] (C.21)
quando det[A] não for igual a zero. Por exemplo, se
 
[A] = C
2 2 3
4 5 6
7 8 9
S
 (C.22)
seu determinante tem um valor det[A] = –3. O co-fator de a11 é 
 
�11 = (–1)2 = -32 2
 (C.23)
De maneira semelhante, podemos estabelecer outros co-
fatores e determinar 
 [A]–1 = =adjunta [A]
det[A]
1
–3 C
3
-
-6 3-
-
6 3 0
3 -2 2
S
= C
1 -2 1
-2 1 00
1 -2/3 2/3
S
 (C.24)
Matriz singular. Uma matriz quadrada é denominada singu-
lar se seu determinante for zero.
C.2 Operações matriciais básicas
Igualdade de matrizes. Duas matrizes [A] e [B] de mesma 
ordem são iguais se, e somente se, aij = bij para todo i e j.
Adição e subtração de matrizes. A soma de duas matrizes 
[A] e [B] de mesma ordem é dada pela soma dos elementos 
correspondentes. Assim, se [C] = [A] + [B] = [B] + [A], temos 
cij = aij + bij para todo i e j. De maneira semelhante, a dife-
rença entre duas matrizes [A] e [B] de mesma ordem, [D], é 
dada por [D] = [A] – [B] com dij = aij – bij para todo i e j.
Multiplicação de matrizes. O produto de duas matrizes [A] 
e [B] só é definido se eles forem conformáveis, isto é, se o 
número de colunas de [A] for igual ao número de linhas de 
[B]. Se [A] for de ordem m � n e [B] for de ordem n � p, 
então o produto [C] = [A][B] é de ordem m � p e é definido 
por [C] = [cij], com 
 
=
a
n
k=
 �ikcij bkj
 (C.25)
Isso significa que cij é a quantidade obtida pela multipli-
cação da i-ésima linha de [A] e da j-ésima coluna de [B] e a 
soma desses produtos. Por exemplo, se
[A e] = B 2
-
3
1 –5 6
4 R [B] = C
8 0
2 7
1 4
S
 (C.26)
então
 [C] = [A][B] =
=
B 2
-
3
1 –5 6
4 R
= B 18 37
-11–8
R
B 2 � 8 + 3 � 2 + 4 � (–1)1 � 8 + (–5) � 2 + 6 � (–1)
2 � 0 + 3 � 7 + 4 � 4
1 � 0 + (–5) � 7 + 6 � 4R
C
8 0
2 7
1 4
S
 (C.27)
Se as matrizes forem conformáveis, o processo de multi-
plicação de matrizes será associativo
 ([A][B])[C] = [A]([B][C]) (C.28)
e distributivo.
 ([A] + [B])[C] = [A][C] + [B][C] (C.29) 
O produto [A][B] representa a pré-multiplicação de [B] por 
[A] ou a pós-multiplicação de [A] por [B]. Devemos observar 
que o produto [A][B] não é necessariamente igual a [B][A].
A transposta de um produto de matrizes pode ser deter-
minada como o produto das transpostas das matrizes separa-
das na ordem inversa. Assim, se [C] = [A][B],
 [C]T = ([A][B])T = [B]T[A]T (C.30)
A inversa de um produto de matrizes pode ser determina-
da pelo produto da inversa das matrizes separadas em ordem 
inversa. Assim, se [C] = [A][B],
 [C]–1 = ([A][B])–1 = [B]–1[A]–1 (C.31)
R E F E R Ê N C I A B I B L I O G R Á F I C A
C.1 Barnett, Matrix methods for engineers and scientists, Nova 
York: McGraw-Hill, 1982.
APÊNDICE D
Pares de transformadas de Laplace
Pierre Simon Laplace (1749–1827), matemático francês, é lembrado por suas contribuições fundamen-
tais à teoria da probabilidade, à física matemática e à mecânica celestial; o nome Laplace ocorre tanto na 
engenharia mecânica como na engenharia elétrica. As transformadas de Laplace são muito usadas em 
vibrações e na mecânica aplicada, e a equação de Laplace é aplicada extensivamente no estudo de campos 
elétricos e magnéticos. (Fotografia por cortesia de Dirk J. Struik, A concise history of mathematics, 2. ed. 
Nova York: Dover Publications, 1948.)
Domínio de Laplace
L
�
0
 f(t)e–st dtf (s) =–
Domínio do tempo
f(t)
 1. fc1 (s) + c2g(s) c1 f(t) + c2g(t)
 2. f ¢s
a
≤ f(a � t)a
 3. f (s)g(s)
L
t
0
f(t – T)g(T) dT 
L
t
0
f(T)g(t – T) dT
 4. (s) –
a
n
j=1
 (0)
d fj–1
dt j–1
sn–jsn f (t)d f
n
dtn
 5. (s)1
sn
f
'
t
0 '
t
n
0
…
 f(U)dU�… dU 
 6. (s + a)f e–atf(t)
 7. a
s(s + a) 1 – e–at
 8. s + a
s2
1 + at
 9. a
2
s2(s + a) at – (1 – e–at)
 10. 
s(s + a)
s + b
 b1 ¢- ab
b
a
≤ e-at r1 -
 11. 
s + a2 2
a sen at
 12. 
s + a2 2
s
cos at
Domínio de Laplace
L
�
0
 f(t)e–st dtf (s) =–
Domínio do tempo
f(t)
 13. 
s
a2
()s + a2 2
1 – cos at
14.* 
s + 2���s + �2 2
� �
1 1
�d
e–��nt sen �dt
 15.* 
s ��2[W�s ��W2 2n n
s
�d
�n
– e–��nt sen (�dt – 	1)
 16.* 
s ��2[W�s ��W2 2n n
s ��2[W�sn
�d
�n
 e–��nt sen (�dt – 	1)
 17.* 
2
n��
s + 2���s + �2 2n ns( )
1 
�d
�n
– e–��nt sen (�dt – 	1)
 18.* ns + ���
s + 2���s + �2 2n ns( )
 e–��nt sen (�dt – 	1)
 19. 1
t
�
�
1
O
Impulso unitário em t � 0
 20. 
s
e-as
t
1
O a
Função degrau unitário em t � a
*v = vnd 21 - z2; � � 1
	1 = cos
–1�; � � 1
APÊNDICE E
Unidades
Heinrich Rudolf Hertz (1857–1894), físico alemão e professor de física no Instituto Politécnico em 
Karlsruhe (Polytechnic Institute in Karlsruhe) e mais tarde na Universidade de Bonn (University of 
Bonn), conquistou fama por seus experimentos com ondas de rádio. As investigações que fez na área da 
elasticidade são uma parte relativamente pequena de suas realizações, mas de vital importância para os 
engenheiros. Seu trabalho na análise de corpos elásticos em contato é conhecido como “tensões hertzia-
nas” e é muito importante para o projeto de mancais de esferas e de roletes. A unidade de freqüência de 
fenômenos periódicos medidos em ciclos por segundo é denominada Hertz em unidades SI. (Foto por 
cortesia de Applied Mechanics Reviews.)
O sistema inglês de unidades está sendo substituído 
agora pelo Sistema Internacional de Unidades (SI). O siste-
ma SI é a versão moderna do sistema métrico de unidades. 
Seu nome em francês é Système International; daí a abrevia-
tura SI. O sistema SI tem sete unidades básicas. Todas as 
outras unidades podem ser derivadas dessas sete [E.1–E.2]. 
As três unidades básicas que interessam para o estudo de 
vibrações são o metro para comprimento, o quilograma para 
a massa e o segundo para o tempo. 
Os prefixos comuns para os múltiplos e submúltiplos 
das unidades SI são dados na Tabela E.1. No sistema SI, as 
unidades combinadas devem ser abreviadas com cuidado. 
Por exemplo, um torque de 4 N � 2 m deve ser declarado 
como 8 Nm ou 8 N.m sem um espaço ou um ponto entre N 
e m. Outro exemplo é 8 m � 5 s = 40 m.s ou 40 metros-
segundos. Se for escrito como 40 ms, significa 40 milisse-
gundos. 
Conversão de unidades
Para converter as unidades de qualquer quantidade dada 
de um sistema para outro, usamos a equivalência de unida-
des apresentada na Tabela E.2. Os exemplos a seguir ilus-
tram o procedimento. 
TABELA E.1 Prefixos para múltiplos e submúltiplos de unidades SI
Múltiplo Prefixo Símbolo Submúltiplo Prefixo Símbolo
10 deca da 10–1 deci d
102 hecto h 10–2 centi c
103 kilo k 10–3 mili m
106 mega M 10–6 micro �
109 giga G 10–9 nano n
1012 tera T 10–12 pico p
 
408 Vibrações mecânicas
TABELA E.2 Conversão de unidades
Quantidade Equivalência em SI Equivalência em unidades inglesas
Massa 1 lbf – s2/ft (slug) = 14,5939 kg 1 kg = 2,204623 lbm 
 = 32,174 lbm
1 lbm = 0,45359237 kg = 0,06852178 slug 
 (lbf – s2/ft)
Comprimento 1 in = 0,0254 m 1 m = 39,37008 in 
1 ft = 0,3048 m = 3,28084 ft
1 milha = 5.280 ft = 1,609344 km 1 km = 3280,84 ft = 0,621371 milha 
Área 1 in2 = 0,00064516 m2 1 m2 = 1.550,0031 in2 
1 ft2 = 0,0929030 m2 = 10,76391 ft2 
Volume 1 in3 = 16,3871 � 10–6 m3 1 m3 = 61,0237 � 103 in3
1 ft3 = 28,3168 � 10–3 m3 = 35,3147 ft3 
1 galão norte-americano = 3,7853 litros = 103 litros = 0,26418 galão norte-americano
= 3,7853 � 10–3 m3
Força ou peso 1 lbf = 4,448222 N 1 N = 0,2248089 lbf 
Torque ou momento 1 lbf – in = 0,1129848 N.m 1 N · m = 8,850744 lbf – in 
1 lbf – ft = 1,355818 N.m = 0,737562 lbf – ft 
Tensão, pressão ou 
módulo de elasticidade
1 lbf /in2 (psi) = 6894,757 Pa 1 Pa = 1,450377 � 10-4 lbf /in2 (psi) 
1 lbf /ft2 = 47,88026 Pa = 208,8543 � 10–4 lbf /ft2 
Densidade de massa 1 lbm/in3 = 27,6799 � 103 kg/m3 1 kg/m3 = 36,127 * 10–6 lbm/in3 
1 lbm/ft3 = 16,0185 kg/m3 = 62,428 � 10–3 lbm/ft3
E X E M P L O E . 1
Momento de inércia de massa:
= *
= (N por 1 lbf) (lbf .in.s2)(m por 1 in)
Momento de inércia de 
massa em unidades SI
Fator de 
multiplicação
Momento de inércia de massa 
em unidades inglesas
=K(kg � m2) (N � m � s2) (s2)N
lbf
� lbf m
in.
� in
= (4,448222) (lbf .in.s2)(0,0254)
= 0,1129848 (lbf .in.s2)
E X E M P L O E . 2 
Tensão:
= *
=
=
(Tensão em unidades SI) (Tensão em unidades inglesas) Fator de 
multiplicação
= =K(Pa) (N/m2) (lbf /in2)
(lbf /in2)
(lbf /in2)
(lbf /in2)
N
lbf
(N por 1 Ibf)
N
Ibf
� lbf
= 6.894,757
1
m
in
� in
2
1
m
in
2
(m por 1 in) 2
(4,448222)
(0,0254)2
R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S
E.1 E. A. Mechtly, “The International System of Units”, 2a revisão, NASA SP-7012, 1973.
E.2 C. Wandmacher, Metric Units in Engineering — Going SI. Nova York: Industrial Press, 1978.
APÊNDICE F
Introdução ao MATLAB
Thomas Young (1773–1829), físico e médico britânico, introduziu o módulo de Young e o princípio da 
interferência da luz. Estudou medicina e recebeu o título de Doutor em Medicina em 1796. Foi nomeado 
Professor de Filosofia Natural no Instituto Real (Royal Institution) em 1801, porém renunciou ao cargo 
em 1803, porque suas aulas não agradavam aos freqüentadores populares. Começou a trabalhar como 
médico no Hospital St. George em Londres em 1811 e lá continuou até sua morte. Young deu muitas 
contribuições à mecânica. Ele foi o primeiro a usar os termos “energia” e “trabalho gasto” (isto é, traba-
lho realizado) para as quantidades m�2 e Fx, respectivamente, onde m é a massa do corpo, � é sua velo-
cidade, F é a força e x é a distância até onde F é movida e para afirmar que os dois termos são propor-
cionais um ao outro. Ele definiu o termo módulo (que passou a ser conhecido como módulo de Young) 
como o peso que duplicaria o comprimento de uma barra de seção transversal unitária. 
MATLAB, derivado de MATrix LABoratory, é um 
pacote de programas que pode ser usado para a solução de 
uma variedade de problemas científicos e de engenharia, 
entre eles equações algébricas lineares, equações não linea-
res, diferenciação e integração numérica, ajuste de curvas, 
equações diferenciais ordinárias e parciais, otimização e 
gráficos. O programa usa notação matricial extensivamen-
te; na verdade, o único tipo de dado no MATLAB é uma 
matriz de valores complexos. Assim, o programa lida com 
matrizes escalares, matrizes vetoriais e matrizes com valo-
res reais e inteiros como casos especiais de matrizes com-
plexas. O programa pode ser usado para executar uma 
única declaração ou uma lista de declarações, denominada 
arquivo de escrita (scipt file). O MATLAB proporciona 
excelentes capacidades de construção de gráficos e progra-
mação. Também pode ser usado para resolver muitos tipos 
de problemas simbolicamente. Cálculos simples podem ser 
executados mediante a digitação de uma instrução, quando 
o sinal de entrada aparece, semelhante à operação de uma 
calculadora. Os símbolos usados para as operações aritmé-
ticas básicas de adição, subtração, multiplicação, divisão e 
exponenciação são +, –, *, / e ^, respectivamente. Em qual-
quer expressão, os cálculos são executados da esquerda para a 
direita, e a exponenciação tem a prioridade mais alta, seguida 
pela multiplicação e divisão (com prioridades iguais) e 
então pela adição e subtração (com prioridades iguais). O 
programa usa o símbolo log para representar o logaritmo 
natural (ln). O MATLAB usa precisão dupla durante os 
cálculos, mas imprime resultados na tela em formato mais 
curto. Esse característica pode ser mudada com a utilização do 
comando format. 
F.1 Variáveis
Os nomes das variáveis no MATLAB devem começar 
com uma letra e podem ter um comprimento de até 31 carac-
teres com qualquer combinação de letras, dígitos e índices. 
Letras maiúsculas eminúsculas são tratadas separadamente. 
Como dissemos antes, o MATLAB trata todas as variáveis 
como matrizes, embora as quantidades escalares não preci-
sem ser apresentadas como arranjos. 
F.2 Arranjos e matrizes
O nome de uma matriz deve começar com uma letra e 
pode ser seguido por qualquer combinação de letras ou dígi-
tos. As letras podem ser maiúsculas ou minúsculas. Antes de 
realizar operações aritméticas como adição, subtração, mul-
tiplicação e divisão de matrizes, as matrizes devem ser cria-
das usando declarações como as seguintes: 
Vetor linha
7�A = [1 2 3]
Um vetor linha é tratado como uma matriz 1 por n; seus 
elementos ficam entre colchetes e são separados por espaços 
ou vírgulas. Observe que a linha de comando de entrada na 
versão profissional do MATLAB é 7, ao passo que na ver-
são para estudantes é EDU 7. Se não for acrescentado um 
ponto-e-vírgula no final da linha, o MATLAB apresenta os 
resultados da linha na tela. 
Vetor coluna
 [1
7 A = 2 ou A = [1; 2 ; 3] ou A = [1 2 3]�;
 3]
Um vetor coluna é tratado como uma matriz n por 1. 
Seus elementos podem ser digitados em linhas diferentes ou 
em uma única linha, usando um ponto-e-vírgula para separá-
los ou em uma única, utilizando um vetor linha com um 
símbolo ’ (“linha”) no colchete da direita (para representar a 
transposta). 
Matriz
Para definir a matriz 
[A] = C
1 2 3
4 5 6
7 8 6
S 
a seguinte especificação pode ser usada:
410 Vibrações mecânicas
 [1 2 3
7 A = 4 5 6 ou A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];
 7 6 9 ]
F.3 Arranjos com estrutura especial
Em alguns casos, a estrutura especial de um arranjo é 
usada para especificá-lo de uma maneira mais simples. Por 
exemplo, A = 1:10 representa um vetor linha 
A = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10]
e A = 2 : 0,5 : 4 representa o vetor linha 
A = [2,5 3,0 3,5 4,0]
F.4 Matrizes especiais
Algumas das atrizes especiais são identificadas da 
seguinte maneira: 
7 A = eye (3); implica uma matriz identidade de ordem 3, 
[A] = C
1 0 0
0 1 0
0 0 1
S 
7 A = ones (3); implica uma matriz quadrada de ordem 
3 com todos os elementos iguais a um, 
[A] = C
1 1 1
1 1 1
1 1 1
S 
7 A = zeros (2, 3); implica uma matriz 2 � 3 com todos 
os elementos iguais a zero,
B0 0 00 0 0R[A] =
F.5 Operações com matrizes
Para somar as matrizes [A] e [B] de modo a obter [C], 
usamos a declaração 
7 C = A + B
Para resolver um sistema de equações lineares [A]X = B: :, 
definimos a matriz A e o vetor B e usamos a seguinte decla-
ração: 
7 X = A\B
F.6 Funções MATLAB
O MATLAB tem um grande número de funções embuti-
das, tais como as seguintes: 
Raiz quadrada de x: sqrt(x)
Seno de x: sen(x)
Logaritmo de x na base 10: log10(x)
Função gama de x: gamma(x)
Para gerar um novo vetor y que tenha 11 valores 
dados pela função y = e–2x cos x com x = 0,0, 0,1, P, 
1,0, digitamos o seguinte: 
7 x = [0: 0,1: 1];
7 y = exp (–2*x).*cos(x).
F.7 Números complexos
O MATLAB considera álgebra de números complexos 
automaticamente. O símbolo i ou j pode ser usado para repre-
sentar a parte imaginária sem necessidade de um asterisco 
entre i ou j e um número. Por exemplo, a = 1 – 3i é um núme-
ro complexo com partes igual e imaginária iguais a 1 e –3, 
respectivamente. A magnitude de um ângulo de um número 
complexo pode ser determinada usando as declarações 
>> a = 1 – 3i;
>> abs (a)
ans =
...
>> angle (a)
ans =
... (in radians)
F.8 Arquivos M
O MATLAB pode ser usado em um modo interativo com 
a digitação de cada comando pelo teclado. Nesse modo, o 
MATLAB executa as operações como se fosse uma calculado-
ra mais avançada. Todavia, há situações em que esse modo 
de operação é ineficiente. Por exemplo, se o mesmo conjun- 
to de comandos tiver de ser repetido várias vezes com valores 
diferentes dos parâmetros de entrada, desenvolver um progra-
ma MATLAB será mais rápido e mais eficiente. 
Um programa MATLAB consiste em uma seqüência de 
instruções MATLAB escritas fora do MATLAB e então exe-
cutadas no MATLAB como um único bloco de comandos. 
Esse programa é denominado arquivo de escrita (script file) 
ou arquivo M (M-file). É necessário dar um nome ao script 
file e o nome deve terminar com .m (um ponto (.) seguido 
pela letra m). Um arquivo M típico (denominado fibo.m) é 
dado a seguir: 
file “fibo.m”
% m-file to compute Fibonacci numbers
f=[1 1];
i=1;
while f(i)+f(i+1)<1000
f(i+2)=f(i)+f(i+1);
i=i+1;
end
Um arquivo M também pode ser usado para escrever 
sub-rotinas de funções. Por exemplo, a solução de uma 
equação quadrática 
Ax2 + Bx + C = 0
pode ser determinada com a utilização do seguinte programa: 
 Apêndice F – Introdução ao MATLAB 411
% roots_quadra.m (Note: Line starting with % denotes a
comment line)
function [x1, x2] = roots_quadra(A, B, C)
% det = determinant
det = B^2 _ 4 * A * C;
if (det < 0.0);
x1 = (–B + j * sqrt(–det))/(2 * A);
x2 = (–B – j * sqrt(–det))/(2 * A);
disp(’Roots are complex conjugates’);
elseif (abs(det) < 1e–8); % det = 0.0
x1 = –B / (2 * A);
x2 = –B / (2 * A);
disp(’Roots are identical’);
else (det > 0);
x1 = (–B + sqrt(det))/(2 * A);
x2 = (–B – sqrt(det))/(2 * A);
disp(’Roots are real and distinct’);
end
O programa roots_quadra.m pode ser usado para 
determinar as raízes de uma equação quadrática com A = 2, 
B = 2 e C = 1, por exemplo, da seguinte maneira: 
>> [x1,x2]=roots_quadra(2, 2, 1)
Roots are complex conjugates
x1 =
–0.5000 + 0.5000i
x2 =
–0.5000 – 0.5000i
F.9 Construção de gráficos
Para produzir um gráfico em MATLAB, definimos um vetor 
de valores da variável independente x (arranjo x) e um vetor de 
valores da variável dependente y correspondentes aos valores 
de x (arranjo y). Então, o gráfico x-y pode ser construído 
usando o comando: 
plot (x,y)
Como exemplo, os seguintes comandos podem ser utili-
zados para construir o gráfico da função y = x2 + 1 na faixa 
0 � x � 3:
x = 0 : 0.2 : 3;
y = x^2 + 1;
plot (x,y);
hold on
x1 = [0 3];
y1 = [0 0];
plot (x1,y1);
grid on
hold off
Observe que as duas primeiras linhas são usadas para 
gerar os arranjos x e y (usando incrementos de 0,2 para x); a 
terceira linha constrói o gráfico (utilizando linhas retas entre 
os pontos indicados); as seis linhas seguintes permitem a 
reapresentação gráfica dos eixos x e y juntamente com a 
montagem da grade (usando o comando grid on).
F.10 Raízes de equações não lineares
Para determinar as raízes de uma equação não linear, a 
função MATLAB fzero(y,x1) pode ser usada. Nesse 
caso, y define a função não linear e x1 representa a estima-
tiva inicial (valor de partida) da raiz. As raízes de polinômios 
podem ser determinadas usando a função roots(p), onde 
p é um vetor linha dos coeficientes do polinômio em ordem 
descendente de potência da variável. 
>> f=’tan (x)–tanh (x)’
f =
tan (x)–tanh (x)
>> root=fzero(f,1.0)
root =
1.5708
>> roots([1 0 0 0 0 0 –2])
ans =
–1.1225
–0.5612 + 0.9721i
–0.5612 – 0.9721i
0.5612 + 0.9721i
0.5612 – 0.9721i
1.1225
>>
F.11 Solução de equações algébricas lineares 
Um conjunto de equações algébricas lineares simultâneas 
[A] x = b: : pode ser resolvido usando MATLAB de dois modos 
diferentes: determinar x : como [A]–1 b: ou determinar x : dire-
tamente como indicado nos seguintes exemplos:
>> A=[4 –3 2; 2 3 1; 5 4 7]
A =
4 –3 2
2 3 1
5 4 7
>> b=[16; –1; 18]
b =
16
–1
18
>> C=inv(A)
C =
0.2099 0.3580 –0.1111
–0.1111 0.2222 0.0000
–0.0864 –0.3827 0.2222
>> x=C*b
x =
1.0000
 –2.0000
3.0000
>> x=A\b
x =
1.0000
 –2.0000
3.0000
>>
F.12 Solução do problema de autovalor
Um problema de autovalor algébrico é definido por 
[A]X: = 
X:, onde [A] é uma matriz quadrada de tamanho n 
� n, X
:
 é um vetor coluna de tamanho n el é um escalar. Para 
qualquer matriz [A] dada, a solução pode ser determinada 
utilizando dois tipos de comandos. Usar o comando b = 
eig(A) dá os autovalores da matriz [A] como elementos do 
vetor b. Utilizar o comando [V,D] = eig(A) dá os autova-
lores como elementos da diagonal da matriz [D] e os auto-
valores como colunas correspondentes da matriz [V]. O 
exemplo a seguir ilustra o procedimento: 
>> A=[2 1 3 4; 1 –3 1 5; 3 1 6 –2; 4 5 –2 –1]
A =
2 1 3 4
1 –3 1 5
3 1 6 –2
4 5 –2 –1
412 Vibrações mecânicas
>> b=eig(A)
b=
7.9329
5.6689
 –1.5732
 –8.0286
>> [V, d] = eig(A)
V =
0.5601 0.3787 0.6880 0.2635
0.2116 0.3624 –0.6241 0.6590
0.7767 –0.5379 –0.2598 –0.1996
0.1954 0.6602 –0.2638 –0.6756
d =
 7.9329 0 0 0
 0 5.6689 0 0
 0 0 –1.5732 0
 0 0 0 –8.0286
>>
F.13 Solução de equações diferenciais
O MATLAB tem diversas funções ou resolvedores basea-
dos na utilização de métodos de Runge-Kutta, que podem ser 
usados para a solução de um sistema de equações diferen-
ciais ordinárias de primeira ordem. Observe que uma equa-
ção diferencial ordinária de ordem n deve ser convertida em 
um sistema de n equações diferenciais ordinárias de primeira 
ordem antes de usar funções MATLAB. A função MATLAB 
ode23 implementa uma combinação de métodos de Runge-
Kutta de segunda e terceira ordens, enquanto a função ode45 
tem como base uma combinação de métodos de Runge-Kutta 
de quarta e quinta ordens. Para resolver um sistema de equa-
ções diferenciais de primeira ordem y. = f(t, y) usando a função 
MATLAB ode23, o seguinte comando pode ser usado: 
>>[t,y] = ode(’dfunc’,tspan,y0)
onde ‘dfunc’ é o nome da função m-file cuja entrada 
deve ser t e y e cuja saída deve ser um vetor coluna que repre-
senta dy/dt, isto é, f(t,y). O número de linhas no vetor 
coluna deve ser igual ao número de equações de primeira 
ordem. O vetor tspan deve conter os valores inicial e final da 
variável independente t e, opcionalmente, quaisquer valores 
intermediários de t nos quais se queira a solução. O vetor y0 
deve conter os valores iniciais de y(t). Observe que a função 
m-file deve ter dois argumentos de entrada t e y mesmo que 
a função f(t,y) não envolva t. Um procedimento semelhan-
te pode ser usado com a função MATLAB ode45.
Como exemplo, considere a solução da equação diferen-
cial com c = 0,1 e k = 10,0. 
d2y dy
dt2
+ c + k y = 0dt ; y(0) = 0, 
dy(0)
dt = 0
Essa equação pode ser escrita como um conjunto de duas 
equações diferenciais de primeira ordem mediante a introdu-
ção de 
y1 = y
e
dy
y2 = =dt
dy1
dt
como 
f1(t, y)dy = fdt
: : :
:= =e
 f2(t, y)
f
y2
e
 –c y2 – k y1
f
com 
1
 y (0): = e
 0
f
O seguinte programa MATLAB determina a solução das 
equações diferenciais citadas: 
% ProbappendixF.m
tspan = [0: 0.05: 3];
y0 = [1; 0];
[t,y] = ode23 (’dfunc’, tspan, y0);
[t y]
plot (t, y(:,1));
xlabel (’t’);
ylabel (’y(1) and y(2)’)
gtext (’y(1)’);
hold on
plot (t,y (:,2));
gtext (’y(2)’);
%dfunc.m
function f = dfunc(t,y)
f = zeros (2,1);
f(1) = y(2);
f(2) = –0.1 * y(2) – 10.0 * y(1);
>> ProbappendixF
ans =
 0 1.0000 0
 0.0500 0.9875 –0.4967
 0.1000 0.9505 –0.9785
 0.1500 0.8901 –1.4335
 0.2000 0.8077 –1.8505
 0.2500 0.7056 –2.2191
 0.3000 0.5866 –2.5308
 0.3500 0.4534 –2.7775
 0.4000 0.3098 –2.9540
 0.4500 0.1592 –3.0561
 0.5000 0.0054 –3.0818
 0.5500 –0.1477 –3.0308
.
.
.
 2.7500 –0.6380 –1.8279
 2.8000 –0.7207 –1.4788
 2.8500 –0.7851 –1.0949
 2.9000 –0.8296 –0.6858
 2.9500 –0.8533 –0.2617
 3.0000 –0.8556 0.1667
�3
�4
�2
�1
0
y(
1)
 e
 y
(2
)
y(2)
y(1)
1
2
3
0,5 1 1,5
t
2 2,5 30
Respostas a problemas selecionados
William Rowan Hamilton (1805–1865), nascido na Irlanda, foi um matemático cujo brilhantismo nos 
clássicos, bem como na matemática durante seus anos de estudante universitário no Trinity College, 
inspirou algumas pessoas a declarar que ele era um ‘segundo Newton’. Foi eleito por unanimidade pro-
fessor de astronomia no Trinity College ao terminar seus estudos universitários com 22 anos. No ano 
seguinte, ele publicou o clássico da ótica, ‘teoria de sistemas de raios’(‘A Theory of Systems of Rays’), 
no qual apresentou o ‘princípio de Hamilton’, um método usado na teoria da vibração para deduzir a 
equação de movimento de sistemas contínuos. Entre outras obras de sua autoria, Hamilton inventou a 
teoria dos quatérnions que resultou na sua eleição como primeiro membro estrangeiro da Academia 
Nacional de Ciências dos Estados Unidos (National Academy of Sciences of United States). (Cortesia de 
Applied Mechanics Reviews.)
Capítulo 1
 1.7 
keq =
k2 k3 k4 k5 + 2 k1 k3 k4 k5
+ k1 k2 k4 k5 + 2 k1 k2 k3 k5
1k2 k3 k4 + k2 k3 k5 + 2 k1 k3 k4 + 2 k1 k3 k5
+ k1 k2 k4 + k1 k2 k5 + 2 k1 k2 k32
 1.10 (a) k = 37,08 � 107 N/m, 
(b) k = 12,36 � 107 N/m, (c) k = 4,12 � 107 N/m 
 1.12 keq = 3 k cos2 B
 1.14 leq =
4t 1d + t2
D d
 1.16 k =
pgA2
v
 1.19 F(x) = (32.000 x – 80) N 
 1.22 keq =
1
l
 aEs As + Ea Aab
 1.24 (a) kteq = 5,54811 � 106 N.m/rad, (b) kteq = 5,59597 � 106 N.m/rad 
 1.26 (a) keq = 89,931 lb/in (b) keq = 3,0124 lb.in 
 1.28 kaxial = 16,681,896 lb/in; ktorção = 139,1652 lb.in/rad
 1.30 meq = m1 a
a
b
b
2
+ m2 + J0a
1
b2
b
 1.33 meq = mh +
Jb
l3
2 + Jc c
l2
l3 rc
d
2
 1.35 (a) ceq = c1 + c2 + c3,
 (b) 1
ceq
=
1
c1
+
1
c2
+
1
c3
,
 (c) ceq = c1 + c2a
l2
l1
b
2
+ c3a
l3
l1
b
2
,
 (d) cteq = ct1 + ct2a
n1
n2
b
2
+ ct3a
n1
n3
b
2
 1.38 ct =
pmD21l - h2
2d
+
pmD3
32h
 1.41 c = 4.205,64 N.s/m 
 1.44 A = 4,4721, V = –26,5651° 
 1.46 z = 11,1803 e0,1798 i
 1.49 X = 9,8082 mm, Y = 9,4918 mm, G = 39,2072°
 1.53 x2(t) = 6,1966 sen (Wt + 83,7938°)
 1.55 Não harmônica
 1.58 X = 2,5 mm, W = 5,9092 rad/s, 
W + EW = 6,6572 rad/s
 1.60 A = 0,5522 mm, x.máx = 52,04 mm/s
 1.62 xrms = X/ 22
 1.66 x1t2 =
A
p
+
A
2
 sen vt -
2A
p
 
a
q
n= 2,4,6, Á
 
cos nvt
1n2 - 12
 1.68 x1t2 =
8A
p2 a
q
 
1-12
n -1
2 
sen nvt
n2
n= 1,3,5, Á
 1.72 p1t2 =
a0
2
+
a
q
m=1
 [am cos mWt + bm sen mWt] lb/in2
 onde a0 = 50, a1 = 31,8309, a2 = 0, a3 = –10,6103, 
b1 = 31,8309, b2 = 31,8309, b3 = 10,6103 
 1.75 a0 = 19,92, a1 = –20,16, a2 = 3,31, a3 = 3,77; 
b1 = 23,52, b2 = 12,26, b3 = –0,41 
 1.88 a0 = –0,38, a1 = –0,62, a2 = 0,46, a3 = 0,41; 
b1 = –0,35, b2 = 0,92, b3 = –0,17 
Capítulo 2
 2.2 (a) 0,1715 s, (b) 0,2970 s 2.4 0,0993 s
 2.6 (a) A = 0,03183 m, (c) x..máx = 0,31415 m/s2, 
(b) x.0 = 0,07779 m/s, (d) G0 = 51,0724° 
 2.8 Wn = 22,1472 rad/s 2.10 Wn = 4,8148 rad/s 
 2.13 Wn = [k/(4m)]1/2
 2.15 (a) vn =
A
4k
M
 , (b) vn =
A
4k
m + M
 2.17 vn =
B
g
W
 a
3 E1 I1
l1
3 +
48 E2 I2
l2
3 b
 2.19 k = 52,6381 N/m, m = 1/3 kg 
414 Vibrações mecânicas
 2.21 (a) vn =
B
k g cosec2 u
W
 , (b) vn =
A
k g
W
 2.23 (a) vn =
A
k
2 m
 , (b) vn =
B
8 m
b2
 c l2 -
b2
4
d
 2.26 (a) m x$ + a 1
a
+
1
b
b T x = 0, 
 
(b) vn =
B
T1a + b2
mab
 2.28 T = 1656,3147 lb 
 2.30 (a) N = 81,914 rpm, (b) Wn = 37,5851 rad/s 
 2.32 vn =
A
2g
L
 2.34 A = 0,9536 � 10–4 m2
 2.37 Torção em relação ao eixo z
 2.39 Wn = 2.578,9157 rad/s 
 2.42 m =
B
a
v2 Wc - 2kgc
Wg + Wav2 - 2kga
b
 2.44 mx.. + (k1 + k2) x = 0 
 2.47 am +
J0
r2
b x
$ + 16kx = 0
 2.49 Wn = 359,6872 rad/s
 2.51 x(t) = 0,1 cos 15,8114 t + 0,3162 sen 15,8114 t m
 2.53 x0 = 0,007864 m; x
.
0 = –0,013933 m/s 
 2.55 x.0 = 4 m/s 2.57 d = 0,1291 in, N = 29,58 
 2.59 Wn = 2 rad/s, l = 2,4525 m 2.61 Un = 1,4185 s
 2.63 Wn = 13,4841 rad/s 2.65 Un = 0,04693 s 
 2.67 Wn = 17,7902 rad/s
 2.69 vn = e
1k1 + k22 1R + a221,5mR2
f
1/2
 2.71 13 ml
2
 u
$
+ 1kt + k1a2 + k2l22u = 0
 2.74 meff =
17
35 m 2.76 vn = A
k
4m
 2.79 45,1547 rad/s 2.81 vn =
B
r0g
rwh
 2.83 vn =
B
16kr2
mr2 + J0
 2.85 (a) 14.265,362, (b) 3,8296
 2.87 xmáx = ax0 +
x
#
0
vn
b e-1x
#
0 /1x
#
0 + vnx022
 2.90 (a) cc = 1.000 N.s/m, (b) Wd = 8,6603 rad/s, 
(c) E = 3,6276 
 2.92 V = 0,09541° 2.94 [ = 0,013847
 2.96 m = 500 kg, k = 27.066,403 N/m 
 2.99 vn =
A
2k
3m
 2.103 3
2
 m x
$ + c x# + 2 k x = 0
 2.105 S0 = 2.682,8816 kg/m3
 2.107 (a) J0 = 1,9436 � 10–4 N.m.s2, (b) Un = 1,8297s, 
(c) ct = 5,3887 � 10–4 N.m.s/rad, 
(d) kt = 2,2917 � 10–3 N.m/rad 
 2.108 (a) [ = 0,75, Wd = 6,6144 rad/s, 
(b) [ = 1,0, Wd = 0, (c) [ = 1,25 
 2.110 (a) 60,8368 J, (b) 124,6784 J 
 2.111 Coulomb, 5N, 14,1421 rad/s 2.113 5,8 mm
 2.115 (a) 5 (b) 0,7025 s (c) 1,9620 cm 
 2.117 ceq =
4 mN
pvX
 2.120 1,40497 s
 2.122 1,7022 s, 0,004 m 
 2.124 C = 0,03032, ceq = 0,04288 N.s/m, 
$W = 19,05 � 10–6 N.m
 2.126 h = 0,583327 N/m
Capítulo 3
 3.2 5 s
 3.4 (a) x(t) = 0,1 cos 20 t + t sen 20 t 
(b) x(t) = (0,5 + t) sen 20 t 
(c) x(t) = 0,1 cos 20 t + (0,5 + t) sen 20 t
 3.6 (a) x(t) = 0,18 cos 20 t – 0,08 cos 30 t, 
(b) x(t) = 0,08 cos 20 t + 0,5 sen 20 t – 0,08 cos 30 t, 
(c) x(t) = 0,18 cos 20 t + 0,5 sen 20 t – 0,08 cos 30 t 
 3.8 9,1189 kg 
 3.11 X = ` mrl
3
 N2
22,7973 Eba3 - 0,2357 rabl4 N2
`
 3.13 W = 743,7442 Hz 3.17 0,676 s
 3.19 Vp(t) = 5 sen Wt com 5 = – 8,5718 � 10–4 rad 
e W = 104,72 rad/s
 3.21 xp(t) = 0,06610 cos (10 t – 0,1325) m 
xtotal(t) = 0,0345 e–2 t cos (19,8997 t + 0,0267) + 
0,0661 cos (10 t – 0,1325) m
 3.23 
 xtotal1t2 = 0,2611 e-2 t cos 119,8997 t + 1,17782
+ 0,25 cos 120 t - p
2
2 m
 xp1t2 = 0,25 cos 120 t -
p
2
2 m
 3.25 k = 6,6673 � 104 lb/in, c = 2,3983 lb.s/in
 3.27 r =
4
1 - 2z2, Xmáx =
dst
2z 
4
1 - z2
 Respostas a problemas selecionados 415
 3.29 [ = 0,1180
 3.32 (a) 64,16 rad/s, (b) 967,2 N.m
 3.34 (a) [ = 0,25, 
(b) W1 = 22,2145 rad/s, W2 = 38,4766 rad/s 
 3.36 169,5294 � 10–6 m 
 3.38 k = 1,0070 � 105 N/m, c = 633,4038 N.s/m
 3.42 0,3339 sen 25 t mm
 3.44 X = 0,106 m, s = 246,73 km/h
 3.46 c = (k – mW2)/W 
 3.48 V(t) = 0,01311 sen (10 t – 0,5779) rad
 3.51 xp(t) = 110,9960 � 10–6 sen (314,16 t + 0,07072) m 
 3.54 0,4145 � 10–3 m, 1,0400 � 10–3 m
 3.56 1,4195 N.m 3.58 [ = 0,1364 
 3.61 Força máxima = 26,68 lb 3.64 N = 0,1 
 3.67 (a) 10,2027 lb/in, (b) 40,8108 lb.in
 3.70 (c) 1
e
4 mN
pXk
+
3
4k
 cv3 X2 f
 3.73 (a) 1,0623 Hz, (b) 1,2646 m/s, (c) 5,557 � 10–4 m
Capítulo 4
 4.2 
com r = v/vn e fn = tg-1 a
2znr
1 - n2r2
b
x1t2 =
F0
2k
-
4F0
p2k
 
a
q
n= 1,3, Á
 
1
n2
 
1
4
11 - r2n222 + 12znr22
 cos 1n vt - fn2
 4.6 .�T� � 0,0023873
� ;
Q
N�1
U V
318,3091 sen 5,8905 N cos N /T
� 318,3091 �1 
 cos 5,8905 N� sen N /T
N�392.700,0 
 1.096,6278 N2�
rad
 4.12 xp(t) = 6,6389 � 10–4 
– 13,7821 � 10–4cos (10,472t – 0,0172) 
+ 15,7965 � 10–4sen (10,472t – 0,0172) + P m
 4.15 x1t2 =
F0
k
 e1 +
sen vn1t - t02 - sen vnt
vnt0
f ; 
 
para t � t0
 4.19 
para t 7 p/v
x1t2 =
F0
2ka1 -
v2
vn
2 b
 c2 -
v2
vn
2 a1 - cos 
vnp
v
 b d
+
F0
k
c1 - cos vna t -
p
v
b d
 4.25 x(t) = 1,7689 sen 6,2832 (t – 0,018) – 0,8845 sen 6,283t 
– 0,8845 sen 6,2832 (t – 0,036)m; para t � 0,036 s
 4.29 xp(t) = 0,002667 m
 4.32 V(t) = 0,3094 e–t 
+ 0,05717 sen 5,4127 t – 0,3094 cos 5,4127 t rad
 4.35 x(t) = 0,04048 e–t 
+ 0,01266 sen 3,198 t – 0,04048 cos 3,198 t m
 4.37 x(t) = 0,5164 e–t sen 3,8729 t m
 4.42 xm =
F0
kvnt0
 [11 - cos vnt022 
 
+ (Wnt0 – sen Wnt0)2]1/2; para t � t0
 4.45 d = 0,6 in 4.48 k = 12.771,2870 lb/in 
 4.51 x1t2 = e
F0
mvn
2 11 - cos vnt2; 0 … t … t0
F0
mvn
2 [cos vn1t - t02 - cos vnt]; t Ú t0
 4.54 x# i1ti = p2 = e
- 0,549289, Equação 14.682
- 0,551730, Equação 14.712
Capítulo 5
 5.1 W1 = 3,6603 rad/s, W2 = 13,6603 rad/s
 5.3 v1 =
A
k
m
, v2 =
A
2k
m
 5.5 1,1 in2 5.6 W1 = 7,3892 rad/s, W2 = 58,2701 rad/s 
 5.7 v1,22 =
48
7
 
EI
m1 m2
 c1m1 + 8 m22
4
1m1 - 8 m222 + 25 m1 m2 d
 5.9 v1 = 0,7654 
A
g
l
, v2 = 1,8478 
A
g
l
 5.12 W1 = 12,8817 rad/s, W2 = 30,5624 rad/s 
 5.15 x1(t) = 0,1046 sen 40,4225t + 0,2719 sen 58,0175t, 
x2(t) = 0,1429 sen 40,4225t – 0,09952 sen 58,0175t
 5.17 v1 = 3,7495 
B
EI
mh3
, v2 = 9,0524 
B
EI
mh3
 5.19 X
!
112 = e
1,0
2,3029
f , X
!
122 = e
 1,0
-1,3028
f
 5.21 x2102 = r1 x1102 =
x1102
13 - 1
, 
x
#
2102 = r1 x
#
1102 =
x
#
1102
13 - 1
 5.25 x11t2 = 0,5 cos 2 t + 0,5 cos 112 t; 
x21t2 = 0,5 cos 2 t - 0,5 cos 112 t
 5.28 v1 = 0,51762kt/J0, v2 = 1,93192kt/J0
416 Vibrações mecânicas
 5.31 v1 = 0,381972kt/J0, v2 = 2,618032kt/J0
 5.33 Equação de freqüência: 
 
+ 1W1 l1 W2 l2 + W2 l2 k l12 + W1 l1 k l222 = 0
 v4 1m1 m2 l1
2
 l2
2
2
- v2 em2 l22 1W1 l1 + kl122 + m1 l12 1W2 l2 + k l222 f
 5.35 
v1,2
2 = c 1J0k + mkt2 41J0k + mkt22 - 41J0 - me22mkkt
2m1J0 - me22
s
 5.38 1.000 x.. + 40.000 x + 15.000 V = 900 sen 8,7267t 
+ 1.100 sen (8,7267 t – 1,5708) 
810 V
..
 + 15.000 x + 67.500 V = 1.650 sen 
(8,7267 t – 1,5708) – 900 sen 8,7267 t 
 5.41 (a) cm 0
0 J0
d e
x
$
u
$
f + c
3k kl/6
kl/6 17kl2/36
d e
x
u
f
= e
F1t2
l F1t2/3
f
 
 
 
 
 
onde J0 = ml2/12 e F(t) = F0 sen Wt. 
(b) Acoplamento estático
 5.45 (a) W1 = 12,2474 rad/s, W2 = 38,7298 rad/s
 5.48 xj(t) = XjeiWt 
com X1 = 1 – 40,0042 – 0,01919 i2 � 10–4 in, 
X2 = (0,9221 + 0,2948 i) � 10–4 in
 5.49 k2 = m2W2
 5.50
x�1t2 =
k�F�
1-m��v� + k�+ k�2 1-m��v� + k� 2-k�� �VHQ�vt
 5.52 x1(t) = (17,2915 F0 cos Wt + 6,9444 F0 sen Wt)10–4 
x2(t) = (17,3165 F0 cos Wt + 6,9684 F0 sen Wt)10–4
 5.54 x1(t) = 0,009773 sen 4 Q t m, 
x2(t) = 0,016148 sen 4Q t m
 5.56 x21t2 = 1 160 -
1
40 cos 10t +
1
120 cos 1013t2u1t2
 5.58 v1 = 0, v2 =
A
4k
3m
 5.59 b1c2 – c1b2 = 0 
 5.61 onde a = u1 - u2a
$ + a
kt
J1
+
kt
J2
b a = 0
 5.63 v1 = 0, v2 =
B
6 k 1m + M2
mM
 5.66 k Ú
mg
2l
Capítulo 6
 6.1 C
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
S c
x
$
1
x
$
2
x
$
3
s
+ k C
7 -1 -5
-1 2 -1
-5 -1 7
S c
x1
x2
x3
s = c
F11t2
F21t2
F31t2
s
 6.3 
+
k
25 C
6 -10 29
34 -15 6 
-15 25 -10
S c
x1
x2
x3
s = c
F31t2
F11t2
F21t2
s
m
3
 C
1 0 2
2 0 1
0 15 0
S c
x
$
1
x
$
2
x
$
3
s
+
c
25 C
6 -10 4
9 -15 6
-15 25 -10
S c
x
#
1
x
#
2
x
#
3
s
 6.5 
 I6 u
$
4 + kt3 1u4 - u3 
n4
n5
2 = 0
 
aI4 + I5 
n4
2
n5
2 b u
$
3 + kt2 1u3 - u2 
n2
n3
2
+ kt3 
n4
n5
 1u3 
n4
n5
- u42 = 0
 aI2 + I3 
n2
2
n3
2 b u
$
2 + kt1 1u2 - u12
+ kt2 
n2
n3
 1u2 
n2
n3
- u32 = 0
 I1 u
$
1 + kt1 1u1 - u22 = M1 cos vt
 6.7 k C
7 -1 -5
-1 2 -1
-5 -1 7
S
 6.9 k
25 C
34 -15 6
-15 25 -10
6 -10 29
S
 6.11 G
kt1 -kt1
-kt1 kt1 + kt2 a
n2
n3
b
2
-kt2 a
n2
n3
b 0
0 -kt2 a
n2
n3
b kt2 + kt3 a
n4
n5
b
2
-kt3 a
n4
n5
b
-kt3 a
n4
n5
b kt3
W
 Respostas a problemas selecionados 417
 6.13 D
k1 + k2
k1 k2
1
k1 r
1
k1 r
1
k1 r
2
T
 6.15 D
2
3k
- 
1
3 kl
- 
1
3 kl
2
3 kl2
T
 6.17 c
m 0
0 4ml2
d
 6.19 [k] = C
1k1 + k22 -k2 0
-k2 1k2 + k32 -k3
0 -k3 1k3 + k42
S
 6.21 [a] = l
3
EI
 C
9/64 1/6 13/192
1/6 1/3 1/6
13/192 1/6 9/64
S 6.25 2 k 
 6.27 C
m1 0 0
0 m2 0
0 0 m3
S 6.29 m
3
 C
2 0 1
0 150
1 0 2
S
 6.31 
I� � � �
� I� + I��an�n� b
�
� �
� � I� + I��an�n� b
�
�
� � � I�
 6.34 2 mx.. + kx = 0, l V
..
 + g V = 0
 6.36 m1 x
..
1 + (k1 + k2)x1 – k2 x2 = 0 
m2 x
..
2 – k2 x1 + (k2 + k3) x2 – k3 x3 = 0 
m3 x
..
3 – k3 x2 + (k3 + k4) x3 = 0
 6.39 m1 x
..
1 + 7 k x1 – k x2 – 5 k x3 = F1 (t) 
m2 x
..
2 – k x1 + 2 k x2 – k x3 = F2(t) 
m3 x
..
3 – 5 k x1 – k x2 + 7 k x3 = F3(t)
 6.42 
m x
$
3 -
8
3
 k x1 +
2
3
 k x2 + 5 k x3 = F31t2
- 
J0
9 r2
 x
$
1 + a3 m +
J0
9 r2
b x
$
2 -
8
9
 k x1
+
2
9
 k x2 +
2
3
 k x3 = F21t2
aM +
J0
9 r2
b x
$
1 -
J0
9 r2
 x
$
2 +
41
9
 k x1
-
8
9
 k x2 -
8
3
 k x3 = F11t2
 6.44 v1 = 0,445041k/m, 
v2 = 1,24711k/m, v3 = 1,80251k/m
 6.47 v1 = 0,5333991k/m, 
v2 = 1,1227331k/m, v3 = 1,6698171k/m
 6.50 M1 = 2,21398, M2 = 4,16929, M3 = 10,6168
 6.53 v1 = 0,6447981g/l, 
v2 = 1,5146981g/l, v3 = 2,5079771g/l
 6.56 v1 = 0,562587
A
P
ml
 , 
v2 = 0,915797
A
P
ml
 , v3 = 1,584767
A
P
ml
 6.59 [X] = 1
2
 c
1 1 0 
-1 1 12/3
1 1 18/3
S
 6.62 v1 = 0,7653 
A
k
m
 , 
v2 = 1,8478 
A
k
m
 , v3 = 3,4641 
A
k
m
 6.64 v1 = 0, v2 = 0,7521581k/m, 
v3 = 1,3295081k/m
 6.66 
+ 0,8838 cos 1,1976
A
k
m
 t f
 x31t2 = x10 e0,5 cos 0,4821 
A
k
m
 t
- 0,3838 cos 
A
k
m
 t
 6.68 
- 0,1372 cos 1,5848
A
P
lm
 t f
x31t2 = x20e0,1987 cos 0,5626 
A
P
lm
 t
- 0,06157 cos 0,9158 
A
P
lm
 t
 6.71 x11t2 = x
#
0e
t
3
+
A
m
4 k
 sen 
A
k
m
 t
+
A
m
108 k
 sen 
A
3k
m
 t f
 6.73 
x21t2 =
1
2
 ccos 2 t +
1
2
 sen 2 t - cos 112 t
+
1
112
 sen 112 t d
x11t2 =
1
2
 ccos 2 t +
1
2
 sen 2 t + cos 112 t
-
1
112
 sen 112 t d
 6.75 (a) v1 = 0,44497 2kt/J0, 
v2 = 1,24700 2kt/J0, v3 = 1,80194 2kt/J0
 
 
418 Vibrações mecânicas
(b) u
!
1t2 = c
- 0,0000025
0,0005190
- 0,0505115
s cos 100 t radianos
 6.77 x!1t2 = c
5,93225
10,28431
12,58863
s F0
k
 cos vt
 6.80 x!1t2 = μ ∂
0,03944 11 - cos 18,3013 t2
+ 0,01057 11 - cos 68,3015 t2
0,05387 11 - cos 18,3013 t2
- 0,00387 11 - cos 68,3015 t2
 6.83 x3(t) = 0,0256357 cos(Wt + 0,58740)m
Capítulo 7
 7.1 (a) v1 M 2,6917 
B
EI
ml3
 , (b) v1 M 2,7994 
B
EI
ml3
 7.3 3,5987 
B
EI
ml3
 7.5 0,30151k/m
 7.7 0,40821k/m 7.9 1,0954
A
T
lm
 7.13 W1 = 0, W2 � 6,2220 rad/s, W3 � 25,7156 rad/s
 7.16 v1 = 1k/m
 7.18 W1 = 0,3104, W2 = 0,4472, W3 = 0,6869 
onde vi = 1/2li
 7.21 
com vi = v
'
i 
A
GJ
lJ0
v1
' = 0,765366, v2
' = 1,414213, v3
' = 1,847759
 7.24 W1 = 0,2583, W2 = 3,0, W3 = 7,7417
 7.27 
[U]-1 = C
0,44721359 0,083045475 - 0,12379687
0 0,41522738 1,1760702
0 0 1,7950547
S
 7.45 W1 = 5,8694, W2 = 85,5832, W3 = 293,5470
 7.47 W1 = 0,2430, W2 = 0,5728, W3 = 7,1842 
Capítulo 8
 8.1 28,2843 m/s 
 8.3 W3 = 9.000 Hz, ambos com 9,54% de aumento
 8.6 (a) 0,1248 � 106 N, (b) 3,12 � 106 N
 8.8 w1x, t2 = 8 al
p3c
 
a
n= 1,3,5,Á
1-12
n - 1
2 
1
n3
 sen 
n px
l
 sen 
n pct
l
 8.11 
- 
13 9h
32 p2
 sen 
4 px
l
+
13 9h
50 p2
 sen 
5px
l
wax, 
l
c
b = - 
13 9h
2p2
 sen 
px
l
+
13 9h
8p2
 sen 
2 px
l
 8.15 tg vl
c
=
A E v c1k - M v22
A2 E2 v2 - M v2 k c2
 8.18 tg 
vl1
c1
 tg 
vl2
c2
=
A1E1c2
A2E2c1
 8.21 vn =
np
l
 
A
G
r
 ; n = 1, 2, 3, Á
 8.23 vn =
12n + 12p
2
 
B
G
rl2
 ; n = 0, 1, 2, Á
 8.26 5.030,59 rad/s 8.29 cos Cl cosh Cl = –1
 8.32 tg Cl – tgh Cl = 0 8.34 20,2328 N.m
 8.37 cos Cl cosh Cl = 1 e tg Cl – tgh Cl = 0 
 8.39 v L 1120 a
EI0
rA0 l
4 b
1/2
 8.44 
sen vt
 e cos b x + cosh b x
+ tg 
bl
2
 sen b x - tgh 
bl
2
 senh b x - 2 f
w1x, t2 =
F0
2 r Ac2
 8.47 onde qn1t2
=
M0
r A l vn
2 
dWn
dx
`
x= l
 11 - cos vn t2
w1x, t2 =
a
q
n= 1
Wn1x2 qn1t2
 8.50 vmn2 =
gnP
r
, onde Jm(HnR) = 0; 
m = 0, 1, 2, P ; n = 1, 2, P
 8.54 w1x, y, t2 =
w
#
0
v12
 sen 
px
a
 sen 
2py
b
 sen v12t
 
 8.57 22,4499 
B
EI
r A l4
 8.59 v = 15,4510 
B
EI
r A l4
 8.61 7,7460 
B
EI0
r A0 l
4 8.64 2,4146 
B
EA0
m0 l
2
 8.66 W � 13.867,3328 rad/s
 8.68 (a) 1,73205
B
E
rl2
 , (b) 1,57669 
B
E
rl2
 , 5,67280 
B
E
rl2
 8.71 v1 = 3,142 
B
P
rl2
 , v2 = 10,12 
B
P
rl2
Capítulo 9
 9.1 Aproximadamente 46,78 km/h 
 9.3 mcrc = 3.354,6361 g.mm, Vc = –25,5525°
 9.5 m4 = 0,99 oz, V4 = –35°
 9.8 1,6762 oz, B = 75,6261° CW 
 9.11 Elimine 0,1336 lb a 10,8377° CCW no plano B e 
0,2063 lb a 1,3957° CCW no plano C em raios de 4 in.
 Respostas a problemas selecionados 419
 9.14 (a) R
!
A = -28,4021j
!
- 3,5436 k
!
, R
!
B
= 13,7552 j
!
+ 4,7749 k
!
 ,
 
 
 
(b) mL = 10,44 g, VL = 7,11410 
 9.17 (a) 0,005124 m, (b) 0,06074 m, (c) 0,008457 m
 9.20 (a) 0,5497 � 108 N/m2 (b) 6,4698 � 108 N/m2 
(c) 0,9012 � 108 N/m2 
 9.22 Fxp = 0, Fxs = 3.269,4495 lb, Mzp = Mzs = 0
 9.25 O motor está totalmente balanceado em termos de 
força e momento. 
 9.27 0,2385 mm 
 9.30 (a) W � 95,4927 rpm (b) W � 276,7803 rpm 
 9.32 k = 152.243,1865 N/m
 9.35 79,7808 rad/s – 1.419.8481 rad/s 
 9.37 Est = 0,02733 m 9.40 k = 1.332,6646 lb/ft
 9.43 (a) X = 11,4188 � 10–3 m (b) FT = 44,8069 N 
 9.45 98,996%
 9.47 (a) 2.775,66 lb, (b) 40.145,81 lb
 9.49 49.752,86 N/m
 9.52 N = 0,3403; m2 = 102,09 kg, k2 = 2,519 MN/m; 
X2 = –0,1959 mm
 9.54 (a) 487,379 lb 
(b) 61 = 469,65 rpm, 62 = 766,47 rpm
 9.56 Para D/d = 4/3, d = 0,5732 in, D = 0,7643 in
 9.59 0,9764 … v
v2
… 1,05125
 9.61 m2 = 10 kg, k2 = 0,19986 MN/m 
 9.63 165,6315 lb/in
Capítulo 10
 10.2 18,3777 Hz 10.4 3,6935 Hz
 10.6 0,53% 10.9 35,2635 Hz 10.12 73,16% 
 10.14 k = 33623,85 N/m, c = 50,55 N.s/m
 10.16 m = 19,41 g, k = 7.622,8 N/m 
 10.19 111,20 rad/s – 2.780,02 rad/s
 10.21 r � 1 10.23 [ = 0,1111 
 10.26 Gaiola (51,93 Hz), Pista interna (1.078,97 Hz), 
Pista externa (830,88 Hz), Esfera (193,31 Hz)
 10.29 1,8 10.30 2,9630 10.32 [ = 0,2
Capítulo 11
 11.2 d
4x
dt4
`
i
=
xi - 4xi- 1 + 6xi- 2 - 4xi- 3 + xi- 4
1¢t24
 11.4 x(t = 5) = –1 com $t = 1 e – 0,9733 com $t = 0,5 
 11.6 x10 = – 0,0843078, x15 = 0,00849639
 11.9 x(t = 0,1) = 0,131173, x(t = 0,4) = – 0,0215287, 
x(t = 0,8) = – 0,0676142
 11.14 Com $t = 0,07854, x1 = x e x2 = x
.
, 
x1(t = 0,2356) = 0,100111, 
x2(t = 0,2356) = 0,401132, 
x1(t = 1,5708) = 1,040726, 
x2 = (t = 1,5708) = – 0,378066
 11.20 t
0,25 0,07813 1,1860
1,25 2,3360
3,25 2,3370- 0,6363
- 0,2832
x2x1
 11.23 v1 = 3,06147 
B
E
rl2
 , 
v2 = 5,65685 
B
E
rl2
 , v3 = 7,39103 
B
E
rl2
 11.26 v1 = 17,9274 
B
EI
rAl4
 , 
v2 = 39,1918 
B
EI
rAl4
 , v3 = 57,1193 
B
EI
rAl4
 11.38 Com $t = 0,24216267, 
t
0,2422 0,01776 0,1335
2,4216 0,7330 1,8020
4,1168 0,1059 0,8573
x2x1
A
Absorvedor, 327, 329 
de choque, 72 
de vibração otimamente sintonizado, 330 
dinâmico de vibração, 327, 329
Aceleração de base, 153
Acelerógrafos de movimento forte, 154
Acelerograma, 154
Acelerômetro, 346, 349
Acoplamento 
de coordenadas, 186-187 
de inércia, 188 
dinâmico, 188 
elástico, 187 
estático, 187
Adição de matrizes, 405
Admitância, 158
Aerofólio, 122
Álgebra de números complexos, 23, 389
Alimentadores de caçamba vibratória, 48
Ambiente sujeito a choque, 156
Amortecedor 
a êmbolo (pistão-cilindro), 19 
de Stockbridge, 121
Amortecedores, 18 
associação, 19 
construção, 18 
placas planas,19 
pistão-cilindro, 19 
complexo, 118 
constante, 74 
de Coulomb, 18, 74, 76, 115 
de velocidade ao quadrado, 118 
estacionário, 312 
externo, 312 
interno, 312 
por histerese, 18, 77, 117 
constante, 78 
proporcional, 233 
quadrático, 118 
restringido por camada, 319 
rotativo, 312 
sólido, 18 
viscoso, 18, 66, 71 
energia dissipada, 70 
Coulomb, 18, 74, 115 
atrito seco, 18, 74 
energia dissipada, 70 
por histerese, 18, 77, 117 
introdução, 318 
material, 18 
outros tipos, 118 
quadrático, 118 
sólido, 18 
viscoso, 18, 66
Amortecimento, 17-18
Amperímetro de bobina móvel, 133
Amplitude, 25, 221
Analisador de, 355-356 
de espectro, 355 
de faixa de oitava, 355 
FFT, 358 
heteródino, 356
Análise, 9 
de estabilidade, 119, 192-193, 235, 314 
dinâmica, 119 
de sinal, 354 
harmônica, 26 
modal, 229, 230-231, 357 
experimental, 357 
no domínio 
da freqüência, 28, 367 
do tempo, 28 
numérica de Fourier, 30
Ângulo de fase, 25, 105, 221
Aritmética complexa, 310
Associação 
de amortecedores, 19 
de massas, 15 
de molas, 12
Atuador de mola, 131
Auto-excitação, 119, 192, 235
Automóvel, 189
Autovalor, eigenvalue, 221 
problema, 221 
solução, 222
Autovalores repetidos, 225
B
Balanceamento, 308 
dinâmico, 309 
em dois planos, 309 
em um plano, 308 
estático, 308 
motores alternativos, 315 
máquinas rotativas, 308
Barra 
que suporta uma massa, 279 
sujeita a força inicial, 279
Batimentos, 25, 104 
freqüência, 104 
período, 104
Bernoulli, 3, 178
Bigorna de martelo de forjar, 71
C
Cabo, 272
Caçamba de um caminhão de bombeiros, 59
Caixa d’água, 57, 65
Cálculo numérico, 30
Canhão, 73
Capacidade de específico, 71
Carga 
de choque, 156 
de explosão, 150 
de pulso, 149
Cayley, 403
Centro de percussão, 62
Cepstro, 367
Chladni, 3
Choque de pulso, 156
Ciclo, 25
Ciclo (laço) de histerese, 18, 77
Círculo de Nyquist, 362
Coeficiente 
de amplitude, 102, 106 
de atrito, 74, 76 
de cisalhamento, 289 
de Timoshenko, 289 
de influência, 210 
de flexibilidade, 213 
de inércia, 216 
de rigidez, 211 
de participação modal, 230 
de perda, 71
Co-fator, 404
Compactador vibratório, 48
Conceitos básicos, 6
Condição forçante geral, 140, 147
Condicionador de sinal, 357
Condições 
Índice remissivo
 Índice remissivo 421
barra, 277 
corda, 272-273 
de estabilidade, 63 
de contorno, 273, 277, 281, 283, 290, 
292, 381, 382 
forçantes irregulares, 160 
iniciais, 181-182, 273, 277, 281, 283, 
292 
membrana, 292 
viga, 283 
vigas, 284
Conservação da energia, 53
Constante 
de amortecimento crítico, 66 
elástica, 11 
torcional, 13
Controle 
ativo de vibração, 326
Controle de freqüências naturais, 318
Controle de vibração, 318
Conversão de unidades, 407
Coordenadas 
generalizadas, 7, 179, 187, 217-218 
naturais, 188 
principais, 179, 186-187, 188, 230
Corda, 272, 275
Corpo humano, 307
Coulomb, 3, 101
Critério de Routh-Hurwitz, 193, 236, 314
Curtose, 367
Curva da banheira, 365
D
D’Alembert, 389
Decibel, 26, 355
Decomposição 
de Choleski, 263 
de matriz, 263 
de uma matriz, 263
Decremento logarítmico, 68-69
Deflexão 
estática, 53, 102 
placas, 401 
vigas, 401
Deformação por cisalhamento, 289
Delta de Kronecker, 220
Densidade 
espectral de potência, 360 
cruzada, 360
Desbalanceamento, 113
Deslocamento virtual, 52
Determinante, 404
Diagnóstico, 364
Diagrama 
de Bode, 362 
espectral, 28
Diferença de fase, 26
Distorção de fase, 351
Duplo impacto, 147
E
Eixo de hélice, 13
Eixos, 254 
rotativos, 312
Elemento de inércia, 15
Elementos 
de amortecimento, 17-18 
de massa, 15 
de mola, 11 
elásticos, 11
Emissão de vórtice, 121
Energia 
cinética, 217 
de deformação, esforço de deformação, 
217 
dissipada, 70 
potencial, 21
Ensaio 
(teste) de impacto de Charpy, 97 
dinâmico, 356
Equação 
característica, 180, 221, 274 
freqüência, 180, 222, 274 
de onda, 273
Equações 
de Lagrange, 218 
de movimento, 220 
diferenciais acopladas, 178 
governantes, 10
Erro de deslocamento de fase, 351
Espaço de estado, 57
Espectro 
de freqüência, 28, 367 
de projeto, 155 
de resposta a terremoto, 154 
de resposta, 151 
de excitação de base, 152 
de terremoto, 154 
de pulso senoidal, 151
Estroboscópio, 353
Estrutura, 212 
de ponte, 79 
de um edifício, 51, 146, 154
Euler, 3, 305
Excitação de base, 111, 142, 147, 152
Excitador, 353-354 
eletrodinâmico, 353-354
Excitadores mecânicos, 353
Exemplos de MATLAB 
análise 
de Fourier, 33 
modal, 239 
balanceamento em dois planos, 333 
batimentos, 33 
círculo de Nyquist, 369 
Coulomb, 81 
equação do acelerômetro, 370 
excitação da base, 125 
freqüência natural e período, 79-80 
freqüências de ressonâncias de 
absorvedor de vibração, 331-332 
geração do polinômio característico, 239 
método 
da diferença central, 390 
de Houbolt, 391 
de iteração matricial, 264 
de Jacobi, 264 
de Runge-Kutta de quarta ordem, 390 
problema de autovalor, 193 
geral de autovalor, 360 
raízes 
de equações não-lineares, 296 
de uma equação polinomial, 238 
de uma equação quártica, 193, 196 
resposta 
a um impulso, 165 
a uma força arbitrária, 165-166 
a uma força periódica, 165 
à vibração livre, 80, 194 
com sistema viscosamente amortecido, 
126 
de freqüência de um sistema, 194 
de tempo de vagões ferroviários, 194 
de um sistema não amortecido, 124 
forçada com Coulomb, 125 
forçada de uma viga, 295 
forçada de um sistema, 195 
total à excitação de base, 163 
série de Fourier, 32 
sistema com um grau de liberdade, 389 
sistema com vários graus de liberdade, 
389 
sistema com viscoso, 81 
solução 
de problema de autovalor, 236, 263 
de uma equação de freqüência, 296 
transmissibilidade, 331 
vibração forçada, 237 
de um sistema de amortecimento, 238 
livre, 237
Expansão 
cálculo numérico, 30-32 
complexa, 27 
de série de Fourier complexa, 27 
em série de Taylor, 378 
por série de Fourier, 26
Expansões de meia-faixa, 29
Extensômetro, 345
F
Fator 
de amortecimento, 66 
de amplificação, 102, 106 
de modal, 233 
de perda, 319 
de qualidade, 108 
Q, 108
Fenômeno de Gibbs, 27
Figura de Lissajous, 45
Filtro, 355 
passa-faixa, 355
Força 
axial, 287 
degrau, 148, 325 
generalizada, 217-218 
linear, 150 
não periódica, 144-145 
periódica, 143 
geral, 140 
irregular, 143 
422 Vibrações mecânicas
transmitida, 111 
à fundação, 320 
à massa, 321
Forma de deflexão em operação, 356
Formas 
de onda, 366 
modais, 251 
quadráticas positivas definidas, 217
Fórmula 
de Dunkerley, 251 
de recorrência, 377
Fourier, 3, 140
Freqüência 
circular, 23 
de oscilação, 25 
de vibração amortecida, 67 
fundamental, 253, 274 
natural, 25, 180, 222, 251, 274 
mais alta, 259
Freqüências naturais intermediárias, 259
Fresadora, fresa, 281-282 
máquina de fresar, 21
Função 
autocorrelação, 360 
coerência, 360 
de dissipação de Rayleigh, 233 
delta de Dirac, 145 
densidade de probabilidade, 366 
ímpar, 29 
par, 28 
resposta ao impulso, 146 
transferência, 158
Funções harmônicas, 23
Fundação 
flexível, 323 
parcialmente flexível, 324 
rígida, 320
Furadeira, 217 
radial, 208
G
Galileu (Galileo Galilei), 1, 2
Galope, 120
Grade de ponto, 376
Grau de liberdade, 6
Guindaste, 14
H
Hamilton, 413
Harmônicas, 28
Hertz, 407
História da vibração, 1
Hooke, 2
I
Igualdade de matrizes, 405
Impedância 
generalizada, 158 
mecânica, 109
Importância da vibração, 5
Impulso, 145
Impulso-momento, 325
Índice de transmissão, 321
Índices, 366
Inércia de rotação, 289
Instabilidade, 119-120, 122
Instrumentação, 368
Instrumento 
com uma palheta, 354 
com várias palhetas ou tacômetro, 352 
sísmico, 348
Instrumentos de medição de freqüência, 352
Integral 
de convolução, 145de Duhamel, 147
Isolador, 324
Isolamento, 322 
contra choque, 325 
eficiência, 322
J
Jacobi, 401
K
Kirchhoff, 4, 344
L
Lagrange, 3, 207
Laplace, 406
Largura de banda, 108
LVDT, 347
M
Manômetro, 64
Manutenção, 364 
após avaria, 364 
de máquinas, 364 
preventiva, 364 
prognóstica por monitoração contínua, 364
Máquina compactadora, 148, 150, 159
Máquinas rotativas, 308
Marca de fase, 309
Marcas de referência, 308
Martelo de forjar, 10, 71, 231
Massa equivalente de uma mola, 65
Massas 
associação, 15 
de translação, 15 
equivalentes, 16 
rotacionais, 16
Materiais viscoelásticos, 319
MATLAB, 409 
introdução, 409 
arquivos M, 410
Matriz 
adjunta, 404 
de amortecimento, 179, 209, 233 
de coluna, 403 
de flexibilidade, 214 
de impedância, 190 
de linha, 403 
de massa, 179, 209 
generalizada, 217 
de rigidez, 179, 209 
diagonal, 403 
dinâmica, 222 
identidade, 403 
inversa, 404 
modal, 224 
positiva definida, 217 
quadrada, 403 
simétrica, 403 
singular, 405 
triangular, 263 
triangular superior, 263 
unitária, 403 
zero, 403
Matrizes, 403 
de rotação, 261
Mecanismo 
de recuo, 73 
Scotch Yoke, 22
Medição de vibração, 344
Membrana, 291 
retangular, 292
Método 
de deflação de matriz, 259 
da diferença central, 377, 379 
da diferença finita, 376, 378-380 
da energia, 63 
de Holzer, 256, 257 
de Houbolt, 384-385 
de iteração matricial, 258 
de Jacobi, 261 
de Newmark, 388 
de Rayleigh, 63, 252, 292 
de Rayleigh-Ritz, 294 
de Runge-Kutta, 378, 384 
da superposição, 275 
de superposição de modos, 275 
de Wilson, 387 
explícito de integração, 377
Métodos 
condicionalmente estáveis, 377 
de integração, 376 
estatísticos, 366 
implícitos, 386 
numéricos, 160, 37
Minor, 1039
Modelagem matemática (modelo 
matemático), 9, 10
Modo 
de corpo rígido, 227 
de vibração, 274 
fundamental, 274 
natural, 178 
normal, 178, 274, 283 
principal, 178 
zero, 227
Molas 
em paralelo, 12 
em série, 12
Monitoração (prognóstica) das condições 
de uma máquina, 364, 365 
de máquinas, 364
 Índice remissivo 423
Monocórdio, 2
Motocicleta, 10, 11
Movimento 
adição, 24 
definições, 24 
de regime permanente, 190 
desliza-emperra, 120 
freqüência natural, 25 
harmônico, 21, 54 
simples, 21 
periódico, 21 
período de oscilação, 25 
relativo, 111-112 
representação por números complexos, 22 
representação por vetor girante, 23 
representação vetorial, 22 
terminologia, 24
Multiplicação de matrizes, 405
N
Newmark, 376
Newton, 2, 50
Nós, 274
Núcleo, 158
Número 
de Reynolds, 121 
de Strouhal, 121
O
Oitava, 26, 355
Operações matriciais, 405
Operador laplaciano, 292
Órbitas, 366
Ortogonalidade, 224, 278 
de funções normais, 278, 284 
de modos normais, 224, 278
Ortonormalização, 224
Oscilador harmônico, 54
P
Pares de transformadas de Laplace, 406
Partes elementares, 6
Pêndulo 
composto, 61 
de torção, 61 
simples, 6 
triplo, 218
Período, 25 
de batimento, 104 
de oscilação, 25
Pitágoras, 2, 3
Plano de fase, 57, 69
Ponte de Wheatstone, 346
Ponto de malha, 376
Pontos de meia-potência, 108
Programas em C++ 
Program1.cpp, 34 
Program2.cpp, 82 
Program3.cpp, 127 
Program4.cpp, 166 
Program5.cpp, 167 
Program6.cpp, 196 
Program7.cpp, 240 
Program8.cpp, 240 
Program9.cpp, 265 
Program10.cpp, 265 
Program11.cpp, 265 
Program12.cpp, 296 
Program13.cpp, 334 
Program14.cpp, 392 
Program15.cpp, 393 
Program16.cpp, 393
Primeira freqüência, 221
Princípio 
da conservação da energia, 52 
de D’Alembert, 52 
de Rayleigh, 252 
dos deslocamentos virtuais, 52
Problema-padrão do autovalor, 222, 262
Processador de sinal digital, 358
Processo 
de linearização, 11 
vibratório de acabamento, 7
Programas em Fortran 
FORIER.F, 34 
FREVIB.F, 82 
HARESP.F, 127 
NONEQN.F, 297 
PERIOD.F, 167 
PROGRAM1.F, 34 
PROGRAM2.F, 82 
PROGRAM3.F, 127 
PROGRAM4.F, 167 
PROGRAM5.F, 168 
PROGRAM7.F, 240-241 
PROGRAM8.F, 241 
PROGRAM9.F, 266 
PROGRAM10.F, 266 
PROGRAM11.F, 266 
PROGRAM12.F, 297 
PROGRAM13.F, 358 
PROGRAM14.F, 393 
PROGRAM15.F, 393 
PROGRAM16.F, 393 
QUART.F, 198
Programas MATLAB 
Program1.m, 33 
Program2.m, 81 
Program3.m, 126 
Program4.m, 165 
Program5.m, 165 
Program6.m, 196 
Program7.m, 239 
Program8.m, 239 
Program9.m, 264 
Program10.m, 264 
Program11.m, 264 
Program12.m, 296 
Program13.m, 333 
Program14.m, 390 
Program15.m, 390 
Program16.m, 391
Pseudo-espectro, 152
Pseudovelocidade, 152
Q
Quefrência, 367
Quociente de Rayleigh, 253, 293
R
Rahmônicas, 367
Rayleigh, 4, 251
Razão de freqüências, 106
Redução de vibração, 307-308
Relações matemáticas, 389
Resposta 
a impulso, 145 
de um sistema amortecido, 66, 105, 232-
233 
devido a impacto, 58, 146 
em freqüência, 109 
complexa, 109 
harmônica, 101 
total, 103-104, 107 
transitória, 101
Ressonância, 8
Rigidez 
complexa, 77, 118 
da mola, 11
Rolete de came, 17
Rosca de avanço em uma máquina-
ferramenta, 120
Rotor de turbina, 311
S
Segunda lei de Newton para equações de 
movimento, 51, 208
Sensor, 345
Sensores de velocidade, 347
Seqüências de Sturm, 263
Sinal aleatório, 359
Sintonia ótima, 330
Sismógrafo, 3
Sismômetro, 349
Sistema 
com dois graus de liberdade 8, 178 
com um grau de liberdade 7, 50 
com viscoso, 233 
criticamente amortecido, 67 
de parâmetros concentrados, 8 
de polias, 59-60, 76 
de suspensão, 13 
de translação, 51 
sistema torcional, 184 
subamortecido, 67 
superamortecido, 68 
torcional, 60, 71, 76,184, 219, 256 
vibração forçada, 190 
vibração livre, 180
Sistemas 
com vários graus de liberdade, 207, 363, 
379, 384 
contínuos, 7, 8, 272, 380 
degenerados, 191, 226 
discretos, 7, 8 
distribuídos, 8, 272 
424 Vibrações mecânicas
irrestritos, 191, 226 
semidefinidos, 191, 227, 256
Solução de uma onda em propagação, 275
Subtração de matrizes, 405
Suporte de máquina-ferramenta, 20
T
Tacômetro, 354 
Frahm, 352 
Fullarton, 352
Tambor de içamento, 14
Teorema 
da expansão, 226 
da reciprocidade de Maxwell, 211
Teoria 
de Bernoulli, 222 
de Euler-Bernoulli, 284 
da viga de Timoshenko, 289 
da viga fina, 282 
da viga grossa, 289
Terremoto, 154
Teste modal, 357
Timoshenko, 4, 272
Torno, 187
Traço, 404
Trailer-pêndulo composto, 210
Transdutor, 345 
de velocidade, 350 
eletrodinâmico, 347 
LVDT, 347 
piezelétrico, 346-347 
resistência variável, 345
Transdutores de resistência variável, 345
Transformadas de Laplace, 157-158, 192
Transmissibilidade, 110-111 
de deslocamento, 111 
de força, 111
Transposta, 403
Tremulação, 120
Rodopio (Whirling) de eixos rotativos, 312
Trocador de calor de carcaça e tubos, 48
Turbina hidráulica Francis, 114
U
Unidades, 407
V
Valor 
(RMS), 359 
médio, 359 
ao quadrado, 359
Valores característicos, 54
Válvula hidráulica, 141, 144
Variância, 359
Velocidades críticas, 313
Vetor 
de coluna, 403 
de força, 180, 209 
de linha, 403
Vetores 
deslocamento, 180, 209 
giratórios, 24 
modais, 181
Vetorial complexa, representação, 109-110
Vibração 
aborrecimento causado por, 7 
absorvedor, 327, 329 
amortecida, 8, 9, 363 
análise, 4 
classificação, 8 
conceitos básicos, 6 
controle, 305, 318 
corda, 272 
critério de severidade, 364 
critérios, 305 
deformação por cisalhamento, 289 
de membrana, 292 
determinística, 9 
de viga, 282-283, 382 
excitador, 353 
força axial, 287 
forçada, 8, 115, 117, 286 
fundamentos, 1 
história da, 1 
importância, 5 
induzida por escoamento, 120 
inércia de rotação, 289 
isolador, 320 
isolamento, 320 
lateral de vigas, 282 
limites, 306 
linear, 9 
literatura, 35 
livre, 8, 50, 60, 66, 228 
longitudinal de uma barra, 276, 380-381 
medição, 344 
monitoração, 366 
não-amortecida, 7-9 
não-determinística, 9 
não-linear, 9 
neutralizador,327 
nomograma, 305 
origens da, 1 
redução, 307 
sensor, 345, 348 
tabela, 47 
torcional, 280 
transversal, 272
Vibrômetro, 349
Viga cônica, 293, 294
Vigas e eixos, 254
Vórtices de Karman, 121
W
Y
Young, 409
Z
Zunido dos cabos (ou das linhas de 
transmissão), 120