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Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 1 UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – UCS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – DEIN PROFA. MÁRCIA RODRIGUES NOTARE /yJL ������� 3UHGLFDGRV 4 � XDQ � �� W � L I � L FDGR � ����� U� H ������� 9 � D � U� L i ff Y fi H � L V � Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. ∴ Sócrates é mortal. Como podemos avaliar a validade do argumento acima? Observe que ele não utilizada nenhum dos cinco operadores lógicos e, portanto, não conseguimos avaliar sua validade. Se quiséssemos formalizá-lo, obteríamos: P, Q fl fl R A Lógica Proposicional, estudada até o momento, não é capaz de representar o argumento acima! Assim, para representar essa forma de argumento, utilizaremos a Lógica de Predicados. Considere a primeira premissa: Todos os homens são mortais. Podemos reescrevê-la da seguinte forma, com a utilização de um condicional: Para tudo, se é homem, então é mortal. Numa primeira tentativa de formalização, teremos: Para tudo (homem →ffi mortal). Podemos inserir uma variável para simplificar a formalização e o símbolo ∀� (lê-se "para todo"), denominado quantificador universal para melhora-la: ∀ x (x é homem →ffi x é mortal). As frases "é homem" e "é mortal" são denominadas, na lógica, de predicados. É usual, na lógica, escrevermos o predicado e depois o sujeito (variável), como mostra a seguir: Hx para representar "é homem" Mx para representar "é mortal" Logo, a formalização da premissa "Todos os homens são mortais" fica: ∀� x (Hx →! Mx) A formalização de todo o argumento fica como segue: ∀� x (Hx →! Mx), Hs fl fl Ms onde s representa o nome Sócrates. Vejamos algumas variações de frases envolvendo predicados: Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 2 Enunciado Formalização Tudo é mortal (Para todo x, x é mortal) ∀" xMx Tudo é imortal (Para todo x, x não é mortal) ∀" x¬# Mx Nem tudo é mortal (que não é o mesmo que dizer Nada é mortal) ¬# ∀" xMx Considere a sentença: "Nenhum homem é mortal". É o mesmo que dizer "Para todo x, se x é um homem, então x não é mortal". Formalizando, temos: ∀" x (Hx →$ ¬# Mx) Porém, além do quantificador universal, precisamos também de um outro quantificador (o quantificador existencial ∃% - lê-se "para pelo menos um" ou "existe um...tal que") que represente frases do tipo "Alguns pais são irresponsáveis". Tal frase pode ser reescrita como "Para pelo menos um x, x é um pai e x é um irresponsável". Formalizando, teremos: ∃% x (Px ∧& Ix) Vejamos mais algumas frases: Enunciado Formalização Existe um x tal que x é pai e x não é irresponsável ∃% x (Px ∧& ¬# Ix) Não é verdade que alguns pais são irresponsáveis ¬# ∃% x (Px ∧& Ix) Existe uma menina que é bonita (existe um x tal que x é menina e x é bonita) ∃% x (Mx ∧& Bx) Para todo x, se x é mortal e x é um homem, então x está situado no espaço e no tempo ∀" x ((Mx ∧& Hx) →$ (Ex ∧& Tx)) Alguns enunciados não usam quantificadores. São enunciados do tipo sujeito-predicado (formalizados na ordem predicado-sujeito) ou enunciados que utilizam verbos transitivos, como amar, bater, odiar, que exigem sujeito e objeto e são formalizados na ordem predicado-sujeito- objeto. Os nomes (sujeito e objeto) são representados por letras minúsculas, enquanto que os predicados são representados por letras maiúsculas. Veja alguns exemplos: Enunciado Formalização Maria é inteligente Im Maria ama João Amj João ama Maria Ajm Maria ama a si mesma Amm Maria deu um livro para João Dmlj Alguém ama João ∃% xAxj Alguém ama a si mesmo ∃% xAxx João ama ninguém ∀" x¬# Ajx ou ¬# ∃% xAjx Alguém ama alguém ∃% x∃% yAxy Existe um x tal que para todo y, x ama y ∃% x∀" yAxy Para todo x, existe um y tal que x ama y ∀" x∃% yAxy Todos amam todos ∀" x∀" yAxy Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 3 6LQW ')(+*-,.' U '/'10.2�3 L 4�'/56* 3UHGLFDGRV O vocabulário da lógica de predicados é formado por símbolos lógicos (cuja interpretação é fixa em qualquer contexto) e símbolos não-lógicos (cuja interpretação varia de problema para problema). Símbolos Lógicos: Operadores lógicos: ¬ , ∧ , ∨ , → , ↔ Quantificadores: ∀ , ∃ Parênteses: ( ) Símbolos Não-lógicos: Letras nominais: letras minúsculas de 'a' a 't' Variáveis: letras minúsculas de 'u' a 'z' Letras predicativas: letras maiúsculas Definimos uma fórmula como sendo uma seqüência qualquer, finita, de elementos do vocabulário. Uma fórmula atômica é uma letra predicativa seguida por zero ou mais letras nominais. Uma fórmula bem formada (wff) no cálculo de predicados é definida pelas seguintes regras de formação: 1. Toda fórmula atômica é uma wff. 2. Se φ é uma wff, então ¬φ também é uma wff. 3. Se φ e ψ são wffs, então (φ ∧ ψ), (φ ∨ ψ), (φ → ψ) e (φ ↔ ψ) também são wffs. 4. Se φ é uma wff contendo uma letra nominal α, então qualquer fórmula da forma ∀β φβ/α ou ∃β φβ/α é uma wff, onde φβ/α é o resultado de se substituir uma ou mais ocorrências de α em φ por uma variável β que não ocorre em φ. A regra 4 tem o objetivo de gerar fórmulas quantificadas a partir de uma fórmula dada, não quantificada. Para exemplificar, observe a seguinte fórmula (não quantificada): (Ma ∧ Hab) Esta fórmula contém duas letra sentenciais ‘a’ e ‘b’. Ambas são o que a regra 4 chama de α. Consideremos a letra ‘a’. A regra permite substitui-la por uma variável β, que não ocorre na fórmula. Seja ‘x’ essa variável. Então, teremos as seguintes fórmulas resultantes da substituição de uma ou mais ocorrências de α (que é ‘a’) por β (que é ‘x’): ∀x (Mx ∧ Hab) ∀x (Ma ∧ Hxb) ∀x (Mx ∧ Hxb) ∃x (Mx ∧ Hab) ∃x (Ma ∧ Hxb) ∃x (Mx ∧ Hxb) Observe que é necessário quantificar a variável inserida (prefixando-a com o quantificador universal ou com o quantificador existencial), ou não teremos uma wff. Qualquer fórmula que contém uma variável sem um quantificador correspondente não é uma wff; analogamente, Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 4 qualquer fórmula que contém um quantificador seguido de uma variável, sem a ocorrência adicional dessa variável na fórmula, também não é uma wff. ([HUFtFLRV 1. As seguintes fórmulas não são wffs. Justifique cada uma delas: a) ∀xLzx b) (Fa) c) (∃xFx ∧ Gx) d) ∀x(Fx) e) (∀xFx) f) ∃x∀yFx g) ∃x∃x(Fx ∧ ¬Gx) h) ∃xFx ∧ ∃xGx 2. Algumas das expressões a seguir são wffs, outras não. Para as que são wff, diga como foram construídas a partir das regras de formação e, para as demais, justifique porque não são. a) ∀xLxx b) ∃x∀xLxx c) ∃aFa d) ∃xFa e) ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx) f) (Laa) g) ¬∀x¬Fx h) (∃xFx → ∃xFx) i) (P → ∃xFx) j) Lab → Lba 3. Formalize as seguintes sentenças, usando a interpretação indicada. A seguir, verifique sua formalização através das regras de formação. Nomes Predicados unários Predicados binários a – Aristóteles F – é um feminista R - ridicularizou n – Nietzsche G – é grego E – é mais esperto que p - Platão P – é um filósofo W - escreveu a) Aristóteles é grego. b) Platão é um grego feminista. c) Se Platão é um feminista, então alguém é um grego feminista. d) Nenhum grego é feminista. e) Todos os feministas são filósofos. f) Todos os gregos feministas são filósofos. g) Aristóteles escreveu algo. h) Aristóteles escreveu tudo. i) Aristóteles escreveu nada. j) Nietzsche ridicularizou todos que são feministas. k) Nietzsche ridicularizou todos que eram mais espertos que ele. l) Alguns filósofos ridicularizam a si mesmos. m) Alguns filósofos ridicularizam tudo. Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 5 ,QIHUrQFL 7-8.7 U 7/7 /yJL 9�7/:6; 3UHGLFDGRV O cálculo de predicados usa as mesmas dez regras do cálculo proposicional e as mesmas regras derivadas. Entretanto, quatro novas regras serão introduzidas: introdução e eliminação para cadaum dos quantificadores. Vejamos, antes de introduzir as novas regras, um exemplo de demonstração que utiliza apenas as dez regras já conhecidas. Prove: ¬< Fa ∨= ∃> xFx, ∃> xFx →? P @ Fa →? P 1. ¬Fa ∨ ∃xFx P 2. ∃xFx → P P 3. Fa H (PC) 4. ¬¬Fa 3, DN 5. ∃xFx 1, 4 SD 6. P 2, 5 MP 7. Fa → P 3-4 PC Veja como as regras já conhecidas são tratadas da mesma forma que no cálculo proposicional. A seguir, são introduzidas as novas regras. Eliminação universal (EU): de uma wff quantificada universalmente, ∀βφ, podemos inferir uma wff, da forma φα/β, a qual resulta da substituição de cada ocorrência da variável β em φ por uma letra nominal α. Esta regra é usada para provar a validade de formas de argumento como: Todos os homens são mortais. Sócrates é um homem. ∴ Sócrates é mortal. que pode ser formalizado por: ∀A x (Hx →? Mx), Hs B B Ms Vamos provar a validade dessa forma: 1. ∀x (Hx → Mx) P 2. Hs P 3. Hs → Ms 1, EU 4. Ms 2, 3 MP Exemplos: Prove: ∀A x (Fx →? Gx), ∀A xFx @DC+E 1. ∀x (Fx → Gx) P 2. ∀xFx P 3. Fa → Ga 1, EU 4. Fa 2, EU 5. Ga 3, 4 MP Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 6 Prove: ¬F Fa G ¬F ∀H xFx 1. ¬Fa P 2. ∀xFx H (RAA) 3. Fa 2, EU 4. Fa ∧ ¬Fa 1, 3 ∧I 5. ¬∀xFx 2-4 RAA Prove: ∀H x∀H yFxy G Faa 1. ∀x∀yFxy P 2. ∀yFay 1, EU 3. Faa 2, EU Introdução universal (IU): para uma wff φ contendo uma letra nominal α que não ocorre em qualquer uma das premissas ou em qualquer hipótese vigente na linha em que φ ocorre, podemos inferir uma wff da forma ∀βφβ/α, onde φβ/α é o resultado de se substituir todas as ocorrências de α em φ por uma variável β que não ocorra em φ. Essa regra é utilizada para provar formas de argumento como: Todos os peixes são animais. Todos os animais são vistosos. ∴ Todos os peixes são vistosos. que pode ser formalizada por: ∀H x (Px →I Ax), ∀H x (Ax →I Vx) G ∀H x (Px →I Vx) A prova da validade dessa forma é dada a seguir: 1. ∀x (Px → Ax) P 2. ∀x (Ax → Vx) P 3. Pa → Aa 1, EU 4. Aa → Va 2, EU 5. Pa → Va 3, 4 SH 6. ∀x (Px → Vx) 5, IU Atente para as seguintes restrições, que são cruciais para que a regra seja utilizada corretamente: a) A letra nominal α não pode ocorrer em qualquer premissa, ou seja, da suposição de que Sócrates é peixe não podemos inferir que qualquer coisa é peixe. b) A letra nominal α não deve ocorrer em qualquer hipótese vigente numa linha em que φ ocorre. c) φβ/α é o resultado de substituir todas as ocorrências de α em φ por uma variável β. Veja mais exemplos: Prove: ∀H x (Fx ∧J Gx) G ∀H xFx ∧J ∀H xGx 1. ∀x (Fx ∧ Gx) P 2. Fa ∧ Ga 1, EU Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 7 3. Fa 2, ∧E 4. Ga 2, ∧E 5. ∀xFx 3, IU 6. ∀xGx 4, IU 7. ∀xFx ∧ ∀xGx 5, 6 ∧I Prove: ∀K x(Fx →L (Gx ∨M Hx)), ∀K x¬N Gx O ∀K xFx →L ∀K xHx 1. ∀x(Fx → (Gx ∨ Hx)) P 2. ∀x¬Gx P 3. Fa → (Ga ∨ Ha) 1, EU 4. ¬Ga 2, EU 5. ∀xFx H (PC) 6. Fa 5, EU 7. Ga ∨ Ha 3, 6 MP 8. Ha 4, 7 SD 9. ∀xHx 8, IU 10. ∀xFx → ∀xHx 5-9 PC Prove: ∀K x(Fx →L (Gx ∨M Hx)), ∀K x¬N Gx O ∀K x(Fx →L Hx) 1. ∀x(Fx → (Gx ∨ Hx)) P 2. ∀x¬Gx P 3. Fa → (Ga ∨ Ha) 1, EU 4. ¬Ga 2, EU 5. Fa H (PC) 6. Ga ∨ Ha 3, 5 MP 7. Ha 4, 6 SD 8. Fa → Ha 5-7 PC 9. ∀x(Fx → Hx) 8, IU Prove: ∀K xFax, ∀K x∀K y(Fxy →L Gyx) O ∀K xGxa 1. ∀xFax P 2. ∀x∀y(Fxy → Gyx) P 3. Fab 1, EU 4. ∀y(Fay → Gya) 2, EU 5. Fab → Gba 4, EU 6. Gba 3, 5 MP 7. ∀xGxa 6, IU Prove: ∀K xFx →L ∀K xGx, ¬N Ga O ¬N ∀K xFx 1. ∀xFx → ∀xGx P 2. ¬Ga P 3. ∀xFx H (RAA) 4. ∀xGx 1, 3 MP 5. Ga 4, EU 6. Ga ∧ ¬Ga 2, 5 ∧I 7. ¬∀xFx 3-6 RAA Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 8 Introdução existencial (IE): dada uma wff φ contendo uma letra nominal α, podemos inferir uma wff da forma ∃β φβ/α, onde φβ/α é o resultado da substituição de uma ou mais ocorrências de α em φ por uma variável β, que não ocorra em φ. Diferentemente de IU, IE não coloca restrições em ocorrências prévias da letra nominal α. Com relação a variável β, ela não precisa substituir todas as ocorrências de α em φ. Portanto, ambas as demonstrações abaixo são corretas: 1. Fa ∧ Ga P 2. ∃x(Fx ∧ Ga) 1, IE 1. Fa ∧ Ga P 2. ∃x(Fx ∧ Gx) 1, IE Vejamos alguns exemplo: Prove: ∀P x(Fx ∨Q Gx) R ∃S x(Fx ∨Q Gx) 1. ∀x(Fx ∨ Gx) P 2. Fa ∨ Ga 1, EU 3. ∃x(Fx ∨ Gx) 2, IE Prove: ∀P x(Fx ∨Q Gx) R ∃S xFx ∨Q ∃S xGx 1. ∀x(Fx ∨ Gx) P 2. Fa ∨ Ga 1, EU 3. Fa H (PC) 4. ∃xFx 3, IE 5. ∃xFx ∨ ∃xGx 4, ∨I 6. Fa → (∃xFx ∨ ∃xGx) 3-5 PC 7. Ga H (PC) 8. ∃xGx 7, IE 9. ∃xFx ∨ ∃xGx 8, ∨I 10. Ga → (∃xFx ∨ ∃xGx) 7-9 PC 11. ∃xFx ∨ ∃xGx 2, 6, 10 ∨E Prove: ¬T ∃S xFx R ∀P x¬T Fx 1. ¬∃xFx P 2. Fa H (RAA) 3. ∃xFx 2, IE 4. ∃xFx ∧ ¬∃xFx 1, 3 ∧I 5. ¬Fa 2-4 RAA 6. ∀x¬Fx 5, IU Prove: ¬T ∃S x(Fx ∧U ¬T Gx) R ∀P x(Fx →V Gx) 1. ¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) P 2. Fa H (PC) 3. ¬Ga H (RAA) 4. Fa ∧ ¬Ga 2, 3 ∧I 5. ∃x(Fx ∧ ¬Gx) 4, IE 6. ∃x(Fx ∧ ¬Gx) ∧ ¬∃x(Fx ∧ ¬Gx) 1, 5 ∧I 7. ¬¬Ga 3-6 RAA 8. Ga 7, ¬E Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 9 9. Fa → Ga 2-8 PC 10. ∀x(Fx → Gx) 9, IU Eliminação Existencial (EE): dada uma wff quantificada existencialmente ∃βφ e uma derivação de alguma conclusão ψ de uma hipótese da forma φα/β (o resultado de se substituir cada ocorrência da variável β em φ por uma letra nominal α que não ocorre em φ), podemos descartar φα/β e rearfirmar ψ. Restrição: a letra nominal α não pode ocorrer em ψ, nem em qualquer premissa, nem em qualquer hipótese vigente na linha em que EE é aplicada. Observe que, da mesma forma que RAA e PC, a regra EE também é hipotética. Vejamos os exemplos: Prove: ∀W x(Fx →X Gx), ∃Y xFx Z ∃Y xGx 1. ∀x(Fx → Gx) P 2. ∃xFx P 3. Fa H (EE) 4. Fa → Ga 1, EU 5. Ga 3, 4 MP 6. ∃xGx 5, IE 7. ∃xGx 2, 3-6 EE Prove: ∃Y x(Fx ∨[ Gx) Z ∃Y xFx ∨[ ∃Y xGx 1. ∃x(Fx ∨ Gx) P 2. Fa ∨ Ga H (EE) 3. Fa H (PA) 4. ∃xFx 3, IE 5. ∃xFx ∨ ∃xGx 4, ∨I 6. Fa → (∃xFx ∨ ∃xGx) 3-5 PC 7. Ga H (PC) 8. ∃xGx 7, IE 9. ∃xFx ∨ ∃xGx 8, ∨I 10. Ga → (∃xFx ∨ ∃xGx) 7-9 PC 11. ∃xFx ∨ ∃xGx 2, 6, 10 ∨E 12. ∃xFx ∨ ∃xGx 1, 2-11 EE Prove: ∃Y xFx ∨[ ∃Y xGx Z ∃Y x(Fx ∨[ Gx) 1. ∃xFx ∨ ∃xGx P 2. ∃xFx H (PC) 3. Fa H (EE) 4. Fa ∨ Ga 3, ∨I 5. ∃x(Fx ∨ Gx) 4, IE 6. ∃x(Fx ∨ Gx) 2, 3-5 EE 7. ∃xFx → ∃x(Fx ∨ Gx) 2-6 PC 8. ∃xGx H (PC) 9. Ga H (EE) 10. Fa ∨ Ga 9, ∨I 11. ∃x(Fx ∨ Gx) 10, I Lógica de Predicados - Profa. Márcia Rodrigues Notare 10 12. ∃x(Fx ∨ Gx) 8, 9-11 EE 13. ∃xGx → ∃x(Fx ∨ Gx) 8-12 PC 14. ∃x(Fx ∨ Gx) 1, 7, 13 ∨E Prove: ∃\ x∀] yLxy ^ ∀] x∃\ yLyx 1. ∃x∀yLxy P 2. ∀yLay H (EE) 3. Lab 2, EU 4. ∃yLyb 3, IE 5. ∀x∃yLyx 4, IU 6. ∀x∃yLyx 1, 2-5 EE Prove: ∀] x(Fx →_ ∃\ yLxy), ∃\ x(Fx ∧` Gx) ^ ∃\ x∃\ y(Gx ∧` Lxy) 1. ∀x(Fx → ∃yLxy) P 2. ∃x(Fx ∧ Gx) P 3. Fa ∧ Ga H (EE) 4. Fa → ∃yLay 1, EU 5. Fa 3, ∧E 6. ∃yLay 4, 5 MP 7. Lab H (EE) 8. Ga 3, ∧E 9. Ga ∧ Lab 7, 8 ∧I 10. ∃y(Ga ∧ Lay) 9, IE 11. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 10, IE 12. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 6, 7-11 EE 13. ∃x∃y(Gx ∧ Lxy) 2, 3-12 EE Prove: ∀] x(Fx →_ ¬a Gx) ^ ¬a ∃\ x(Fx ∧` Gx) 1. ∀x(Fx → ¬Gx) P 2. ∃x(Fx ∧ Gx) H (RAA) 3. Fa ∧ Ga H (EE) 4. Fa → ¬Ga 1, EU 5. Fa 3, ∧E 6. ¬Ga 4,5 MP 7. Ga 3, ∧E 8. P ∧ ¬P 6,7 CONTRAD 9. P ∧ ¬P 2, 3-8 EE 10 ¬∃x(Fx ∧ Gx) 2-9 RAA 1 UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL – UCS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA – CCET DEPARTAMENTO DE INFORMÁTICA – DEIN PROFA. MÁRCIA RODRIGUES NOTARE Lista de Exercícios da Apostila de Lógica de Predicados - Respostas 1. As seguintes fórmulas não são wffs. Justifique cada uma delas: a) ∀xLzx Não é uma wff porque a variável z não está quantificada.b) (Fa) Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários. c) (∃xFx ∧ Gx) Não é uma wff porque a segunda ocorrência de x não está quantificada. d) ∀x(Fx) Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários. e) (∀xFx) Não é uma wff porque possui parênteses desnecessários. f) ∃x∀yFx Não é uma wff porque ∀y requer uma ocorrência de y na fórmula. g) ∃x∃x(Fx ∧ ¬Gx) Não é uma wff porque a variável x está quantificada duas vezes na mesma parte da fórmula. h) ∃xFx ∧ ∃xGx Não é uma wff porque faltam parênteses. Mas convencionaremos que será uma wff. 2. Algumas das expressões a seguir são wffs, outras não. Para as que são wff, diga como foram construídas a partir das regras de formação e, para as demais, justifique porque não são. a) ∀xLxx É uma wff: Laa (regra 1) ⇒ ∀xLxx (regras 4). b) ∃x∀xLxx Não é uma wff, pois possui dois quantificadores com a mesma variável x. c) ∃aFa Não é uma wff, pois não podemos quantificar letra nominal. d) ∃xFa Não é uma wff, pois a variável x está quantificada e não ocorre na fórmula. e) ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx) É uma wff: Lab ↔ Lba (regra 3) ⇒ ∀y(Lay ↔ Lya) (regra 4) ⇒ ∀x∀y(Lxy ↔ Lyx) (regra 4). f) (Laa) Não é uma wff, pois possui parênteses desnecessários. g) ¬∀x¬Fx É uma wff: Fa (regra 1) ⇒ ¬Fa (regra 2) ⇒ ∀x¬Fx (regra 4) ⇒ ¬∀x¬Fx (regra 2). h) (∃xFx → ∃xFx) É uma wff: Fa e Fb (regra 1) ⇒ ∃xFx e ∃xFx (regra 4) ⇒ (∃xFx → ∃xFx) (regra 3). 2 i) (P → ∃xFx) É uma wff: P e Fa (regra 1) ⇒ ∃xFx (regra 4) ⇒ (P → ∃xFx) (regra 3). j) Lab → Lba É uma wff: Lab e Lba (regra 1) ⇒ Lab → Lba (regra 3). 3. Formalize as seguintes sentenças, usando a interpretação indicada. A seguir, verifique sua formalização através das regras de formação. Nomes Predicados unários Predicados binários a – Aristóteles F – é um feminista R - ridicularizou n – Nietzsche G – é grego E – é mais esperto que p - Platão P – é um filósofo W - escreveu a) Aristóteles é grego. Ga b) Platão é um grego feminista. Gp ∧ Fp c) Se Platão é um feminista, então alguém é um grego feminista. Fp → ∃x(Gx ∧ Fx) d) Nenhum grego é feminista. ∀x(Gx → ¬Fx) e) Todos os feministas são filósofos. ∀x(Fx → Px) f) Todos os gregos feministas são filósofos. ∀x((Gx ∧ Fx) → Px) g) Aristóteles escreveu algo. ∃xWax h) Aristóteles escreveu tudo. ∀xWax i) Aristóteles escreveu nada. ¬∃xWax ou ∀x¬Wax j) Nietzsche ridicularizou todos que são feministas. ∀x(Fx → Rnx) k) Nietzsche ridicularizou todos que eram mais espertos que ele. ∀x(Exn → Rnx) l) Alguns filósofos ridicularizam a si mesmos. ∃x(Px ∧ Rxx) m) Alguns filósofos ridicularizam tudo. ∃x∀yRxy
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