Capitulo2 CalculoIV REFERENCIAL (3)

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2 Equações diferenciais no contexto das ciências 
 
José Ricardo Gonçalves Manzan 
 
 
Referencial de Respostas 
 
Atividade 1 
Como ainda não foi trabalhado nenhum método de resolução, o melhor caminho é o 
sugerido pelo próprio exercício. 
As derivadas são: 
 
(i) ' 2y x= e '' 2y = 
(ii) 1 2' 2 cos 2 2 2y C x C sen x= − e 1 2'' 4 2 4 cos 2y C sen x C x= − − 
(iii) 
2 2
1 2' 2 2
x xy C e C e−= − e 2 21 2'' 4 4
x xy C e C e−= + 
(iv) 'y C= e '' 0y = 
 
Analisando as funções e suas derivadas, percebemos que: 
• a função do item (iv) é a solução da equação (a), pois 
dy
x y x C y Cx
dx
= ⇒ ⋅ = = ; 
• a função do item (i) é a solução da equação (c), pois ' 2
dy
y x
dx
= = ; 
• a função do item (iii) é solução da equação (b), pois 
2 2 2 2
1 2 1 2'' 4 4 4 4( )
x x x xy y C e C e C e C e− −= ⇒ + = + ; 
• a função do item (ii) é a solução da equação (d), pois 
2
1 2 1 22
4 4 2 4 2 4( 2 cos 2 )
d y
y C sen x C sen x C sen x C x
dx
= − ⇒ − − = − + 
A classificação quanto à ordem é a seguinte: 
 
a) 1ª ordem b) 2ª ordem c) 1ª ordem d) 2ª ordem 
 
 
Atividade 2 
a) 
2( 1) 0
dy
x xy
dx
+ + = é equivalente a 
2
0
( 1)
dy x
y
dx x
+ =
+
. 
Assim, 
2
( )
1
x
p x
x
=
+
 e ( ) 0q x = 
2 1
2 2
1
ln( 1) 1
ln( 1) 2 22 2( 1) 1
x
xe e x xµ
+ += = = + = + 
2 
 
 
2
2
1
1
C
x y C y
x
+ ⋅ = ⇒ =
+
 
2
1
1
1
C y
x
= ⇒ =
+
 
 
b) 
64 x
dy
x y x e
dx
− = é equivalente a 
54 xdy y x e
dx x
− = . Assim, 4( )p x
x
= − e 
5( ) xq x x e= 
4ln 4xe xµ
− −= = 5 4 4x xy x e x e cx= − + 5 4 42 2x xC y x e x e x= ⇒ = − + 
 
c) A equação 2 3
dy
x y
dx
+ = é equivalente a 
2 3dy
y
dx x x
+ = . Assim, 
2
( )p x
x
= e 
3
( )q x
x
= . 
 
2xµ = 2 23 lny x x C x− −= + ⋅ 2 2 2 23 3 ln ( 3)C e y x x e x− −= − ⇒ = + − 
 
Atividade 3 
 
a) y Cx= 2C = 
 
 
b) 
2 2
2
2
1 1
1
1
1
1, 0
2 2 1
x C x C
x
x
y Ce Ce e
y Ce C
C y e
− + + − +
− +
− +
+ = = ⋅
= − ≠
= ⇒ = −
 
 
 
c) 
( )
( )
1
ln ln sec
cos
0 ln sec
y C x C
x
C y x
 = + = + 
 
= ⇒ =
 
 
 
Atividade 4 
 
Substituindo os valores de L, R e V, temos a equação diferencial 
11 33 44 3 4
dI dI
I I
dt dt
+ = ⇒ + = 
Obtendo a constante de integração, chegamos a: 
3 3dt te eµ ∫= = 
Dando sequência à resolução, temos: 
3 3 3 3 3 344 4
3
t t t t t td e I e e I e dt e I e C
dt
  = ⇒ = ⇒ = +  ∫ 
3
3
3 3
4 4
3 3
t
t
t t
e C
I Ce
e e
−= + = + 
3 
 
Como a condição inicial implica em I(0) = 12A, então temos que: 
3 0 04 4 4 3212 12
3 3 3 3
Ce Ce C C− ⋅= + = + ⇒ = + ⇒ = 
 
Assim, a função corrente elétrica específica para o problema de valor inicial é 
34 32( )
3 3
tI t e−= + , (2) 1,36I A≅ e (10) 1,33I A≅ 
 
Atividade 5 
Usando a lei do resfriamento, de Newton, ( )m
dT
k T T
dt
= − , verificamos que a equação pode 
ser reescrita como ( 18)
dT
k T
dt
= − , em que o problema de valor inicial é caracterizado pelo 
ponto (0) 67T = . 
 
( 18)
dT
kdt
T
=
−
 
 
 Integrando ambos os membros da equação, ficaremos com: 
1 1
1
2
2
ln 18
( 18)
18 18 18
18
kt C Ckt kt
kt
dT
kdt T kt C
T
T e T e e T C e
T C e
+
= ⇒ − = +
−
− = ⇒ − = ⋅ ⇒ − =
= +
∫ ∫
 
 
Como (0) 67T = , isso decorre em: 
0
2 267 18 49
kC e C⋅= + ⇒ = 
 
Montando a expressão da temperatura em função do tempo, temos: 
18 49 ktT e= + 
 
Da relação (40) 42T = , encontramos: 
40 40 402442 18 49 24 49
49
24 1 24
40 ln ln 0,017844161
49 40 49
k k ke e e
k k
⋅= + ⇒ = ⇒ =
   = ⇒ = ≅ −   
   
 
 
Finalmente: 
0,01784416118 49 tT e−= + e 
 
Se a temperatura ambiente é de 18ºC e queremos o instante em que o café esteja a uma 
temperatura de 2ºC acima desta, queremos determinar o valor t para T = 20ºC. Então: 
 
4 
 
0,017844161 0,017844161 0,017844161220 18 19 2 19
19
2
0,017844161 ln 0,017844161 2,251291799
19
126,16
t t te e e
t t
t s
− − − = + ⇒ = ⇒ = 
 
 − = ⇒ − ≅ − 
 
≅
 
 
Atividade 6 
 
Pela situação apresentada em um minuto, o tanque recebe 20 litros de água e drena 10 
litros da solução. Assim, a cada minuto, o volume da solução aumenta 10 litros e podemos 
afirmar que o volume para cada instante é representado pela expressão V = 400 + 10t. 
 
Como o líquido adicionado é água pura, a taxa de entrada de sal é zero. A taxa de saída é: 
 
taxa de saída = 
( ) 10
10 ( )
(400 10 ) min 400 10 min 40
y t g g y
y t
t t t
   ⋅ = =  + + +  
ℓ
ℓ
 
Consequentemente, 
dy
dt
 será dado por: 
0 0
40 40
dy y dy y
dt t dt t
= − ⇒ + =
+ +
 
 
Resolvendo essa equação diferencial, temos: 
1
ln 4040 40
dt tte e tµ ++∫= = = + 
Dando sequência à resolução, temos: 
[ ](40 ) 0 (40 ) 0d t y t y dt C
dt
+ = ⇒ + = =∫ ( ) 40
C
y t
t
=
+
 
 
Como em y(0) = 30g, temos que: 
30 1200
40 0
C
C= ⇒ =
+
 
1200
( )
40
y t
t
=
+
 
 
Como V = 400 + 10t e a capacidade máxima do tanque é de 800 litros, então o instante na 
qual o tanque irá transbordar é dado por 800 = 400 + 10t, em que 40t = , ou seja 40 
minutos. 
 
1200 1200
(40) 15
40 40 80
y = = =
+
 
 
O volume será de 15 gramas. 
 
Atividade 7 
a) III b) IV c) I d) II 
 
5 
 
 
Atividade 8 
−3.0 −2.0 −1.0 1.0 2.0 3.0
−3.0
−2.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
x
ydy/dx = (x+y)/2
 
 
 
Atividade 9 
Tabela: 
n nx ny ( , )n nf x y x∆ 1 ( , )n n n ny y f x y x+ = + ∆ 
0 0 3,00 -0,30 2,70 
1 0,1 2,70 -0,26 2,44 
2 0,2 2,44 -0,22 2,22 
3 0,3 2,22 -0,19 2,02 
4 0,4 2,02 -0,16 1,86 
5 0,5 1,86 -0,14 1,73 
6 0,6 1,73 -0,11 1,61 
7 0,7 1,61 -0,09 1,52 
8 0,8 1,52 -0,07 1,45 
9 0,9 1,45 -0,05 1,39 
10 1 1,39 _ _ 
 
Campo de direções desenhado pelo software Winplot, para soluções a partir de x = 0. 
6 
 
−1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
−1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
x
ydy/dx = (x-y)/2
 
 
Atividade 10 
 
a) A equação auxiliar é 
2 6 8 0m m− + = , que tem as raízes m = 4 e m = 2. 
Assim, 
4 2
1 2
x xy c e c e= + 
 
b) A equação auxiliar é 
29 4 0m + = , que tem as raízes 
2
3
m i= ± . 
Assim, 1 2
2 2
cos
3 3
y c x c sen x
   = +   
   
 
 
c) A equação auxiliar é 
2 2 1 0m m− + = , que tem as raízes 
1 3
2 2
m i= − + e 
1 3
2 2
m i= − − . 
 Assim, 2 1 2
3 3
cos
2 2
t
y e c t c sen t
−     
= +            
 
 
d) A equação auxiliar é 
2 6 8 0m m− + = , que tem a raiz m = 1. Assim, 1 2
x xy c e c xe= + 
 
 
Atividade 11 
 
(0,3) 24,3 81k k= ⇒ = 
O problema de valor inicial é: 4 '' 81 0y y+ = , (0) 0,5y = − e '(0) 0y = . 
A solução geral da equação é dada por 1 2
9 9
( ) cos
2 2
y t c t c sen t
   = +   
   
. 
7 
 
Usando as condições iniciais, chegamos à solução particular 
1 9
( ) cos
5 2
y t t
 = −  
 
 
 
Atividade 12 
 
a) 
I) A solução para a equação auxiliar é 1 2cos 2 2cy c x c sen x= + . 
A solução particular é do tipo py Ax B= + , em que 
1
4
A = e 0B = .Finalmente, a solução geral é 1 2
1
cos 2 2
4
y c x c sen x x= + +
 
 
 
II) 1 2cos 2 2cy c x c sen x= + , em que 1 cos 2y x= e 2 2y sen x= . 
Pela equação 
1 1 1 1 1
cos 2 2 cos 2 2 cos 2 2
4 2 4 2 4
py x x sen x x xsen x x sen x x
   = − − + + + =   
   
, 
chegamos à solução geral 1 2
1
cos 2 2
4
y c x c sen x x= + + . 
 
 
b) 
I) A solução para a equação auxiliar é
 1 2
( ) x xcy x c e c xe= + . 
A solução particular é do tipo 
2x
py Ae= , onde 1A = . 
Finalmente, a solução geral é 
2
1 2( )
x x x
cy x c e c xe e= + + 
 
II) 1 2( )
x x
cy x c e c xe= + , onde 1
xy e= e 2
xy xe= . 
Pela equação 
2 2 2(1 ) x x xpy x e xe e= − + = , chegamos à solução geral 
2
1 2( )
x x x
cy x c e c xe e= + + . 
 
 
Atividade 13 
 
A equação diferencial para a situação é 
2
2
20 500 12
d Q dQ
Q sent
dt dt
+ + = . 
A solução para a equação complementar ( )10 1 2( ) cos 20 20tcQ t e c t c sen t−= + . 
Para a solução particular, supomos ( ) cos10 10pQ t A t Bsen t= + desencadeando 
'( ) 10 10 10 10pQ t Asen t Bcos t= − + e ''( ) 100 cos10 100 10pQ t A t Bsen t= − − . 
 
8 
 
Pelo método dos coeficientes a serem determinados, chegamos à solução particular 
3 3
( ) cos10 10
250 125
pQ t t sen t= − + e à solução geral 
( )10 1 2
3 3
( ) cos 20 20 cos10 10
250 125
tQ t e c t c sen t t sen t−= + − + . 
De (0) 0Q = e '(0) (0) (0) 0
dQ
Q I
dt
= = = chegamos a 1
3
250
c = e 2
3
500
c = − 
 
 
Finalmente, a carga no instante t é dada por: 
10 3 3 3 3( ) cos20 20 cos10 10
250 500 250 125
tQ t e t sen t t sen t−
 = − − +  
 
e 
( ) ( )
( )
10 1010
'( ) ( ) 3cos 20 50 20 60 20 1000cos 20
13 13
1
30 10 20cos10
13
t te e
Q t I t t sen t sen t t
sen t t
− −−
= = − − + − − +
− +