04 APOSTILA ANÁLISE COMBINATÓRIA CONTAGEM

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ANÁLISE COMBINATÓRIA
ANDRÉ LUIZ CARVALHO SCAMPINI
01 – PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Análise Combinatória
� Estuda diferentes formas de um evento
ocorrer;
� Ou seja, estuda as possibilidades,
� ... as combinações possíveis entre variáveis.
Princípio Fundamental da 
Contagem
� Exemplo:
� Suponhamos uma mulher que possui
◦ 3 calças;
◦ 3 blusas;
◦ 3 vestidos.
� De quantas maneiras essa mulher pode se
vestir para ir trabalhar ou passear?
Diagrama de árvore
Calça 1
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Calça 2
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Calça 3
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Princípio multiplicativo
Vamos analisar um pouco:
� A moça usa calça E blusa?
� Ou ela usa calça OU blusa?...
É claro que ela usa calça E blusa! Ela tem
que usar as duas peças de roupa juntas!
Então nesse caso usaremos o Princípio
Multiplicativo.
Princípio multiplicativo
� O Princípio Multiplicativo é usado
sempre que os itens podem ser usados
juntos;
� Sempre que for combinar item 1 E item 2,
então você multiplicará esses itens entre
si;
� Portanto, com 3 calças (C1, C2 e C3) e 3
blusas (B1, B2 e B3), a mulher possui 9
maneiras diferentes de combinar suas
roupas.
Princípio multiplicativo
Calça 1
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Calça 2
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3
Calça 3
Blusa 1
Blusa 2
Blusa 3 3 × 3 = 9
Princípio aditivo
� E quanto aos vestidos? Podemos combinar
calças com vestidos?
� Claro que não. Ou a mulher usa a calça
(com blusa),ou ela usa vestido.
� Neste caso não podemos usar o diagrama
de árvore, e, portanto, não podemos
multiplicar os itens.
� Sempre que a opção dos itens for OU,
será feita a SOMA, e não a multiplicação.
Princípio aditivo
� Este é o PrincípioAditivo.
� Neste caso, então, a mulher possui 6
maneiras diferentes de se vestir, usando
vestidos OU calças:
3 calças + 3 vestidos = 6 maneiras
diferentes.
Mais exemplos:
Uma bandeira é formada por 5 listras que
devem ser coloridas usando-se apenas as
cores azul, branco e vermelho. Cada
listra deve ter uma cor, e as cores
adjacentes não podem ser iguais, de modo
que as cores se revezem/se intercalem por
igual. De quantos modos se pode colorir a
bandeira?
RESPOSTA:
� 1ª listra: 3 cores (nenhuma cor foi usada,
então pode-se usar qualquer uma);
� 2ª listra: 2 cores (a cor anterior está
descartada para uso. Restam 2 cores para
usar);
� 3ª listra: 2 cores (o mesmo raciocínio
para a 2ª listra);
� 4ª listra: 2 cores (idem acima);
� 5ª listra: 2 cores (idem acima).
Então:3 × 2 × 2 × 2 × 2 = 48
Mais exemplos:
(UDESC) 5 jovens voltam de uma festa
em um carro de 5 lugares. Um deles não
tem habilitação para dirigir, e o outro
encontra-se alcoolizado. De quantas
maneiras diferentes podem os jovens ser
distribuídos nos 5 lugares do automóvel, de
sorte que nem o não-habilitado nem o
alcoolizado fiquem no volante?
a) 72 b) 120 c) 40 d) 60 e) 48
RESPOSTA:
1. O alcoolizado entra primeiro. Com exceção do volante, ele
tem 4 lugares à escolha.
2. O não-habilitado é o segundo. Com exceção do volante ele
tem 3 lugares à escolha (1 lugar já está ocupado);
3. O Amigo 1 entra depois. Ele pode sentar ao volante e ainda
tem mais 2 lugares à escolha. Portanto, ele pode optar por 3
lugares.
4. OAmigo 2 entra em seguida. Só há 2 lugares possíveis.
5. OAmigo 3 entra por último. Ele fica com o lugar vago.
ENTÃO:4 × 3 × 3 × 2 × 1 = 72
Dicas para solução de problemas 
de contagem
1. POSTURA: coloque-se no papel da
pessoa que deve realizar a ação que o
problema está pedindo, e, assim, conhecer
as decisões que tem que tomar.
� No exemplo dos amigos que irão dirigir, coloque-se
no papel de quem tem que decidir onde os
passageiros vão sentar.
2. DIVISÃO: divida as decisões a serem
tomadas em decisões mais simples.
� Ainda sobre o exemplo anterior, escolha onde cada
passageiro vai se sentar.
Dicas para solução de problemas 
de contagem
3. DIFICULDADES: pequenas dificulda-
des adiadas geralmente se transformam
em dificuldades maiores mais tarde. Se
uma das decisões for mais restritiva que
as demais, essa decisão é a primeira a ser
tomada.
� No exemplo anterior, escolha, em primeiro lugar,
o assento do amigo alcoolizado e do amigo não-
habilitado.Depois resolva o assento dos demais.
Mais exemplos:
(UCS-RS 2015) 3 integrantes de uma
comissão parlamentar de inquérito (CPI), na
Câmara dos Deputados, devem ser escolhidos
para ocupar os cargos de: Presidente,
Secretário e Relator, cada qual de um partido
diferente. Foram indicados 4 candidatos do
Partido A, 3 do Partido B, e 2 do Partido C.
De quantas maneiras diferentes podem ser
escolhidos os ocupantes desses três cargos?
a) 24 b) 48 c) 72 d) 132 e) 144
RESPOSTA:
� Temos que escolher 1 (um) Presidente, 1
(um) Secretário e 1 (um) Relator, e eles
devem ser de partidos diferentes;
� Sendo assim, transportemos isso para
uma tabela:
CARGO
PRESIDENTE SECRETÁRIO RELATOR
PARTIDO
A B C
A C B
B A C
B C A
C A B
C B A
RESPOSTA:
� Já que temos (4 × 3 × 2) 24 candidatos,
então podemos dizer que, para ocupar
esses cargos, temos 24 possibilidades
para cada uma das combinações da
tabela. Isto é: 144 maneiras diferentes
de ocupar esses cargos.
CARGO
POSSIBILIDADES
PRESIDENTE SECRETÁRIO RELATOR
PARTIDO
A B C 24
A C B 24
B A C 24
B C A 24
C A B 24
C B A 24
Mais exemplos:
a) Quantos são os números de (isto é, que
possuam) 3 algarismos distintos entre si?
b) Quanto são os números pares de (isto
é, possuindo) três algarismos distintos entre
si?
Muita atenção neste ponto! Perguntas desse tipo (parecidas com esta) 
costumam cair em vários tipos de exame!
RESPOSTA DA “ A ”:
1. O enunciado da letra A impõe restrições:
1. Devem ser números — portanto, não podem
ser iniciados com zero;
2. Devem ser distintos entre si.
2. Considerando essas restrições, temos:
1.9 opções para o 1º algarismo: de 1 a 9; e
2.9 opções para o 2º algarismo: o zero e os
demais 8 algarismos que restaram; e
3.8 opções para o 3º algarismo.
3. Então: 9 × 9 × 8 = 648
RESPOSTA DA “ B ”:
1. O enunciado da letra B impõe restrições:
a. Devem ser números pares — portanto,
terminando com 0, 2, 4, 6, 8 (5 opções);
b. Devem ser distintos entre si.
2. Se os números terminarem com zero:
a. 9 opções para o 1º algarismo: de 1 a 9;
b. 8 opções para o 2º algarismo: os demais 8
algarismos que restaram, exceto o zero (já
que será o próximo número);
c. Uma única opção para o 3º algarismo: o
zero.
RESPOSTA DA “ B ”:
3. Então: 9 × 8 × 1 = 72
4. Agora, consideremos que os números
terminem com 2, 4, 6, 8. Para facilitar vamos
começar pelo 3º algarismo:
a. Temos 4 opções para o 3º algarismo: 2, 4, 6, 8;
b. Temos 8 opções para o 1º algarismo: de 1 a 9,
MENOS o algarismo usado na 3ª posição;
c. 8 opções para o 2º algarismo: os algarismos
restantes, incluindo o zero.
5. Então: 8 × 8 × 4 = 256
RESPOSTA DA “ B ”:
6. Agora é só somar:
72 + 256 = 328
EXERCÍCIO RÁPIDO:
(ENEM) O setor de recursos humanos de uma
empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos
a uma vaga de contador. Por sorteio eles pretendem
atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de
números em ordem numérica crescente e usá-la para
convocar os interessados. Acontece que, por um defeito
do computador, foram gerados números com 5
algarismos distintos, e, em nenhum deles, apareceram
números pares. Em razão disso, a ordem de chamada do
candidato que tiver recebido o número 75.913 é:
a) 24 b) 31 c) 32 d) 88 e) 89
AGORA É COM VOCÊ...
E X E R C Í C I O S
EXERCÍCIOS — 1
(Fuvest 2004) Três empresas devem ser
contratadas para realizar quatro trabalhos
distintos em um condomínio.Cada trabalho
será atribuído a uma única empresa e todas
elas devem ser contratadas. De quantas
maneiras distintas podem ser distribuídos
os trabalhos?
12
18
36
72
108
EXERCÍCIOS — 2
(FGV 95) Uma pessoa vai retirar dinheiro
num caixa eletrônico de um banco mas, na
hora de digitar a senha, esquece-se do
número. Ela lembra que o número tem 5
algarismos, começa com 6, não tem
algarismos repetidos e tem o algarismo 7
em alguma posição. O número máximo de
tentativas para acertar a senha é:
1.680
1.344
720
224
136
EXERCÍCIOS — 3
(Ufal 2000) Quantos números pares de
quatro algarismos distintos podem ser
formados com os elementos do conjunto
A={0,1,2,3,4}?
60
48
36
24
18
EXERCÍCIOS — 4
(Fuvest 90) Uma caixa automática de banco
só trabalha com notas de 5 e 10 reais. Um
usuário deseja fazer um saque de R$100,00.
De quantas maneiras diferentes a caixa
eletrônica poderá fazer esse pagamento?
5
6
11
15
20
EXERCÍCIOS — 5
(Fuvest 96) Considere todas as trinta e
duas sequências, com cinco elementos cada
uma, que podem ser formadas com os
algarismos 0 e 1. Quantas dessas sequências
possuem pelo menos três zeros em
posições consecutivas?
3
5
8
12
16
EXERCÍCIOS — 6
(UFES 96) Um “Shopping Center” possui 4
portas de entrada para o andar térreo, 5
escadas rolantes ligando o térreo ao
primeiro pavimento e 3 elevadores que
conduzem do primeiro para o segundo
pavimento. De quantas maneiras diferentes
uma pessoa, partindo de fora do “Shopping
Center” pode atingir o segundo pavimento
usando os acessos mencionados?
12
17
19
23
60
EXERCÍCIOS — 7
(Unesp 96) Uma pessoa quer trocar duas
cédulas de 100 reais por cédulas de 5,10 e
50 reais, recebendo cédulas de todos esses
valores e o maior número possível de
cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual
é o número mínimo de cédulas que ela
poderá receber?
8
9
10
11
12
EXERCÍCIOS — 8
(Unaerp 96) Uma fechadura de segredo
possui 4 contadores que podem assumir
valores de 0 a 9 cada um, de tal sorte que,
ao girar os contadores, esses números
podem ser combinados, para formar o
segredo e abrir a fechadura. De quantos
modos esses números podem ser
combinados para se tentar encontrar o
segredo?
10.000
64.400
83.200
126
720
FIM DESTA APOSTILA
ANDRÉ LUIZ CARVALHO SCAMPINI