Dimensão de um Espaço Vetorial

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Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Matemática Para Economia III - GAN 00147
Ricardo Fuentes Apolaya
ricardof16@yahoo.com.br
Departamento de Análise
Niterói, 2013
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Sumário
1 Dimensão de um espaço Vetorial
2 Exemplo 1
3 Exemplo 2
4 Exemplo 3
5 Exemplo 4
6 Exemplo 5
7 Observações
8 Coordenadas de um Vetor
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Dimensão
Definição
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o
mesmo número de elementos. Este número é chamado
de dimensão de V, é denotado por dim V.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Dimensão
Definição
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o
mesmo número de elementos. Este número é chamado
de dimensão de V, é denotado por dim V.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Dimensão
Definição
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o
mesmo número de elementos.
Este número é chamado
de dimensão de V, é denotado por dim V.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Dimensão
Definição
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o
mesmo número de elementos. Este número é chamado
de dimensão de V, é denotado por dim V.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Dimensão
Definição
Qualquer base de um espaço vetorial V tem sempre o
mesmo número de elementos. Este número é chamado
de dimensão de V, é denotado por dim V.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = Rn, então dim V = n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = Rn, então dim V = n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = Rn, então dim V = n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = Rn, então dim V = n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 2
V = {0} então dim V = 0.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 2
V = {0} então dim V = 0.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 2
V = {0} então dim V = 0.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
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Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 2
V = {0} então dim V = 0.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 2
V = {0} então dim V = 0.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 3
V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V, então
dim V = 2.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
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Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 3
V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V, então
dim V = 2.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 3
V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V, então
dim V = 2.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 3
V = R2, {(1, 0), (0, 1)} e {(1, 1), (0, 1)} são bases de V, então
dim V = 2.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 4
V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é a base canônica de V,
então
dim V = 3.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 4
V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é a base canônica de V,
então
dim V = 3.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 4
V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é a base canônica de V,
então
dim V = 3.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 4
V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é a base canônica de V,
então
dim V = 3.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 4
V = R3, {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1} é a base canônica de V,
então
dim V = 3.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 5
V = M2×2(R), então dim V = 4.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 5
V = M2×2(R), então dim V = 4.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 5
V = M2×2(R), então dim V = 4.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 5
V = M2×2(R), então dim V = 4.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 5
V = M2×2(R), então dim V = 4.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita,
dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n.
Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Quando V admite uma base finita, dizemos que V é um espaço
vetorial de dimensão finita.
Observação
Seja V um espaço vetorial tal que dim V = n. Se S é um
subespaço de V, então dimS ≤ n.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observações
Observação
Seja V um espaço vetorial de dimensão finita n. Então:
(i) Qualquer conjunto de n + 1 ou mais vetores é linearmente
dependente.
(ii) Qualquer conjunto linearmente independente é parte de
uma base, isto é, pode ser estendido a uma base.
(iii) Um conjunto linearmente independente com n elementos é
uma base.
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β,
e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Coordenadas de um Vetor
Definição
Se β = {v1, v2, .., vn} é uma base de V, e v ∈ V ,
v = a1v1 + ...+ anvn
dizemos que a1, a2, ..., an são as coordenadas de v com
relação à base β, e denotamos
[v ]β =

a1
a2
...
...
an

Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Economia III
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Ricardo
Fuentes
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Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2.
Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4,3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Economia III
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Ricardo
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um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
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Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
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Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Economia III
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Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
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Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2.
Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Exemplo 1
Exemplo 2
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Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
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Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
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Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Economia III
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Ricardo
Fuentes
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Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Exemplo 1
V = R2, β = {(1, 0), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 0) + 3(0, 1), logo
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se β1 = {(1, 1), (0, 1)} base de R2. Temos que
(4, 3) = 4(1, 1) + (−1)(0, 1), logo
[(4, 3)]β1 =
[
4
−1
]
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Para
Economia III
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Ricardo
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Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
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Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
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Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
Matemática
Para
Economia III
- GAN 00147
Ricardo
Fuentes
Apolaya
Dimensão de
um espaço
Vetorial
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3
Exemplo 4
Exemplo 5
Observações
Coordenadas
de um Vetor
Observação
Observação
A ordem dos elementos da base influi na matriz de coordenadas
de um vetor com relação a esta base.
Por exemplo, se β = {(1, 0), (0, 1)} então
[(4, 3)]β =
[
4
3
]
Se consideramos β1 = {(0, 1), (1, 0)} então
[(4, 3)]β =
[
3
4
]
	Dimensão de um espaço Vetorial
	Exemplo 1
	Exemplo 2
	Exemplo 3
	Exemplo 4
	Exemplo 5
	Observações
	Coordenadas de um Vetor