Tema 4 Distribuição de frequências por intervalo e pontos

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Distribuição de frequências por 
intervalo e pontos
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, estudaremos conceitos relacionados à manipulação e distribuição de dados de 
uma pesquisa. Para isso veremos, por meio das noções de frequência e classe, como os dados 
podem ser organizados de modo a viabilizar análises e gerar maior precisão na apresentação e 
possíveis deduções decorrentes de uma análise estatística.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • entender como é realizada a distribuição de dados por intervalos e pontos.
1 Distribuição de Frequência
A coleta de dados para pesquisa gera informações que precisam ser adequadamente trata-
das, a fim de que seja possível realizar uma análise estatística adequada. Um destes mecanismos 
é a separação dos dados coletados por intervalos, agrupando dados com as mesmas caracterís-
ticas dentro de um determinado grupo.
FIQUE ATENTO!
Uma pesquisa estabelece uma hipótese, uma pergunta, que gera uma variável, 
que consiste em um conjunto de possíveis resultados de um fenômeno estatís-
tico (CRESPO, 2005). A partir desta variável, coletam-se os dados pertinentes à 
análise pretendida.
Para esta aula, adotaremos um exemplo de aplicação. Suponha que foram coletados dados 
relacionados ao peso (nossa variável de estudo) de quarenta funcionários de uma empresa, de 
maneira aleatória. Os dados foram computados sem organização inicial, gerando a chamada 
tabela primitiva.
Tabela 1 – Peso dos funcionários
Peso dos funcionários
72 60 89 80 87
61 90 74 80 76
63 82 98 65 56
86 82 89 64 59
83 67 72 85 77
74 73 76 68 75
79 68 74 73 96
71 68 78 89 60
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Organizando os dados de maneira simples, ou seja, em função de algum critério específico, 
teremos o rol. Neste caso, os pesos dos funcionários foram organizados em ordem crescente. 
Acompanhe! 
Tabela 2 – Rol de peso dos funcionários
Rol de peso dos funcionários
56 67 73 78 86
59 68 74 79 87
60 68 74 80 89
60 68 74 80 89
61 71 75 82 89
63 72 76 82 90
64 72 76 83 96
65 73 77 85 98
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
FIQUE ATENTO!
Em um rol, os dados estão organizados para facilitar sua visualização e permitir 
algumas considerações iniciais. Esta organização pode ser por ordem crescente 
ou decrescente, por exemplo.
Assim, é possível estabelecer alguns referenciais a respeito dos dados coletados. Por exem-
plo, podemos observar que o funcionário de menor peso tem 50 kg e o de maior peso, 98 kg. 
A diferença, em quilos, do funcionário de maior peso para o de menor é 98-50 = 48kg. Percebemos, 
ainda, que há oito funcionários pesando entre 50 e 59kg, outros oito pesando entre 60 e 69 kg, oito 
pesando entre 70 e 79kg, oito com 80 a 89 kg e mais oito com 90 a 99 kg.
A nossa variável de pesquisa, no exemplo, é o peso dos funcionários. Neste sentido, podemos 
estabelecer as frequências associadas aos dados, ou seja, o número de vezes que um dado (ou 
uma série deles) é observada em função de uma variável. Por exemplo, a frequência de funcioná-
rios com o peso de 50 kg tem valor 2, enquanto que o peso de 85 kg tem valor 1. Vejamos, na tabela 
a seguir, a distribuição de frequências do peso dos funcionários.
Tabela 3 – Distribuição de frequências de peso
Distribuição de frequências de peso
Peso Freq. Peso Freq. Peso Freq. Peso Freq.
56 1 67 1 76 2 85 1
59 1 68 3 77 1 86 1
60 2 71 1 78 1 87 1
61 1 72 2 79 1 89 3
63 1 73 2 80 2 90 1
64 1 74 3 82 2 96 1
65 1 75 1 83 1 98 1
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Há distribuições em que as frequências se associam aos valores observados na variável de 
estudo. A tabela anterior demonstra o conceito de distribuição de frequências por pontos. Neste 
caso, cada frequência, um número inteiro, está ligada a uma das observações da variável de 
estudo (por exemplo, há frequência 3 para o peso de 68 kg, e 2 para o peso de 80 kg).
Na figura a seguir, podemos verificar a distribuição de frequência por pontos dos dados da 
tabela anterior.
Figura 1 – Distribuição de frequências por pontos dos dados 
4
3
2
1
0
56 59 60 61 63 64 65 67 68 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 82 83 85 86 87 89 90 96 98
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Pode-se também agrupar os dados por intervalos, sobretudo em situações nas quais as 
amostras são grandes. No exemplo, podemos agrupar os funcionários por faixas de peso, como 
entre 50 e 59 kg, 60 e 69 kg e assim por diante, até o maior valor visualizado em nossa amostra. 
Tabela 4 – Frequência por intervalos
Frequência por intervalos
Peso Frequência
50 a 59 2
60 a 69 10
70 a 79 14
80 a 89 11
90 a 99 3
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Em algumas situações, torna-se conveniente estabelecer intervalos relacionados às frequ-
ências para a melhor visualização do comportamento dos dados relacionados a uma variável. 
Por exemplo, identificar que há um funcionário com 51 kg e um com 54 kg é importante, mas, para 
o pesquisador, pode ser mais útil saber que oito funcionários pesam de 50 a 59 kg. Este julga-
mento é feito pelo pesquisador na análise estatística.
A tabela anterior, portanto, mostra uma distribuição de frequências por intervalos, associada 
a uma variável contínua: o peso dos funcionários. No intervalo “60 a 69 kg”, há infinitas possibi-
lidades de resultados que podem ser incluídos. Assim, as frequências podem ser divididas em 
absolutas e relativas. As frequências absolutas dizem respeito aos dados brutos relacionados à 
variável de estudo, como na tabela anterior, que apresenta o número de observações associadas 
a cada intervalo de classe: a frequência de funcionários com peso entre “70 a 79 kg” é igual a 14, 
por exemplo 
Já as frequências relativas consistem na divisão percentual dos dados de cada classe em 
relação ao total de observações/frequências. Na tabela anterior, podemos verificar as frequências 
relativas, uma vez que, na primeira classe, há uma frequência no valor 2 em relação ao total de 40. 
Logo, a frequência relativa da primeira classe é de 2/40 = 5%. A segunda classe, por sua vez, tem 
frequência relativa de 25%, e a terceira, quarta e quinta classes, respectivamente, têm frequências 
relativas de 35%, 27,5% e 7,5%, totalizando 100% das observações. 
2 Classe
Quando separamos os dados coletados para uma pesquisa, definimos a variável (como no 
exemplo dos pesos dos funcionários) por intervalos e verificamos as frequências, assim, encon-
tramos as classes de frequência (ou classes), que são os intervalos de variação da variável ana-
lisada. No caso do exemplo estudado, observamos que o intervalo ‘50 a 59 kg’ é uma classe, e 
assim por diante.
A notação para a classe é a letra i, sendo que i = 1,2,3...k (com k representando a última classe 
de uma variável) (CRESPO, 2005). No exemplo, temos 5 classes, logo, a última classe é dada 
por i = 5.
EXEMPLO
Uma pesquisa salarial da população de uma cidade do interior teve os dados se-
parados, pelo pesquisador, por classes, da seguinte forma: trabalhadores que ga-
nham ‘de um a dois salários mínimos (SM)’; ‘de dois a três SM’, ‘de três a cinco SM’; 
‘de cinco a dez SM’; ‘de dez a 50 SM’; e uma classe ‘de 50a 200SM’; Neste caso, 
temos seis classes, sendo a última classe representada por i = 6
2.1 Limites de classe
Os limites de classe podem ser entendidos como os pontos extremos de cada classe de uma 
variável (CRESPO, 2005). Assim, são definidos pelos pontos mínimo e máximo, respectivamente, 
li e Li, para uma classe i. No exemplo que estamos trabalhando no decorrer da aula, que analisa o 
peso de um grupo de pessoas (tabelas 1 a 4), a terceira classe da distribuição de frequências tem 
o valor l3 = 70 e L3 = 79.
SAIBA MAIS!
Dependendo da variável, o limite superior pode tender ao infinito. Se a última classe 
do exemplo mencionadonas tabelas 1 a 4, fosse ‘mais de 90 kg’, o limite superior 
da classe tenderia ao infinito, pois não haveria um limite superior da classe. Assim, 
caberiam funcionários que pesassem 100 kg, 130 kg, 180kg, 454 kg, ou até o limite 
da resistência humana. 
2.2 Determinando a amplitude de um intervalo de classe
A amplitude de um intervalo de classe pode ser compreendida pela diferença entre os pontos 
máximo e mínimo de um intervalo de classe. Assim, hi = Li – li; em que hi representa a amplitude de 
intervalo da classe i. 
Recorrendo ao exemplo da tabela de frequências por intervalos, vemos que a segunda classe 
tem amplitude igual a 9(69 – 60 = 9). O mesmo ocorre, neste exemplo, para as demais classes, 
pois como elas foram divididas de maneira igual, todas com a mesma distribuição de faixas de 
peso (50 a 59kg, 60 a 69 kg...), terão amplitude igual a 9.
FIQUE ATENTO!
Nem sempre as classes de dados possuem a mesma amplitude. É comum que 
pesquisas tragam classes com amplitudes diferenciadas, de acordo com o com-
portamento da amostra. Por exemplo, se analisarmos a renda per capita dos bra-
sileiros, algumas classes terão amplitude maior que outras, para que se observe 
melhor a dinâmica dos dados. Convém, por exemplo, usar classes como ‘de zero a 
meio salário mínimo (SM)’, ‘de meio a um SM’, ‘de um a dois SM’, ‘de dois a cinco 
SM’, ‘de cinco a 10 SM’ e assim por diante. Como boa parte da população estará na 
categoria ‘entre zero e dois SM’, os dados serão melhor visualizados, ainda que as 
classes não possuam igual amplitude. A PNAD de 2015 mostra que 76,57% da po-
pulação em condições de trabalhar, a chamada População Economicamente Ativa, 
recebe de zero a dois salários mínimos, ou não possui rendimentos, incluindo-se 
nesta base aqueles que recebem algum tipo de auxílio do governo, como o Progra-
ma Bolsa Família (IBGE, 2016).
3 Calculando a amplitude total da 
frequência de dados
Podemos verificar a amplitude total de uma distribuição de frequência observando o ponto 
mínimo da primeira classe e o ponto máximo da última classe. Neste caso, a amplitude total (AT) 
obedece à seguinte equação:
AT = Lmáx k – lmin1 
Assim, a amplitude total é obtida quando subtraímos do limite máximo da última classe, k, o 
limite mínimo da primeira classe. Para o nosso exemplo, temos: AT = 99 – 50 = 49.
EXEMPLO
Com base em uma situação hipotética, na qual o pesquisador coletou dados rela-
cionados à renda dos habitantes de uma cidade do interior, e verificou que poderia 
estabelecer uma distribuição de frequências baseadas em seis classes: ‘de um a 
dois salários mínimos (SM)’; ‘de dois a três SM’, ‘de três a cinco SM’; ‘de cinco a 
dez SM’; ‘de dez a 50 SM’; e uma classe, com frequência igual a 1, ‘de 50 a 200SM’, 
observaremos que a Amplitude Total da frequência de dados é dada por: 
 
AT = Lmáx 6 – lmin1 = 200 – 1 – 199
Agora, passaremos ao cálculo do ponto médio do intervalo de classe.
4 Ponto médio do intervalo de classe
É possível defi nir o ponto médio (xi) de um intervalo de classe no ponto onde a classe é divi-
dida em duas partes iguais, como se segue:
xi = 
Li + li
   2
Retomando o exemplo da pesquisa sobre o peso dos funcionários de uma empresa, vamos 
calcular o ponto médio da quarta classe, que contém as frequências dos trabalhadores que pos-
suem entre 80 e 89 kg. Assim, temos que: x4 =
 (80 + 89) = 169 = 84,5.
  2   2
SAIBA MAIS!
Um exemplo de aplicação dos conceitos desta aula, no campo de estudos das 
Ciências da Saúde, pode ser encontrado no segundo capítulo (em especial, o tópico 
2.1) do trabalho de Luís Guillermo Coca Velarde (UFF), acesse: <http://www.uff.br/
poscienciasmedicas/images/arquivos/apostila_estatistica.pdf.>.
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • verifi car como os dados coletados em uma pesquisa podem ser separados em 
frequências;
 • compreender que frequências podem ser organizadas em classes;
 • conhecer alguns índices de cálculo sobre frequências, como amplitude de classe, 
limites de classe, amplitude total e ponto médio de um intervalo de classe.
Referências
BRASIL. Instituto Brasileiro De Geografi a e Estatística (IBGE). Síntese de Indicadores da Pesquisa 
Nacional por Amostra de Domicílios (PNAD). 2015. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br/home/
estatistica/populacao/trabalhoerendimento/pnad2015/sintese_defaultxls.shtm>. Acesso em: 17 
jan. 2017.
CRESPO, Antônio. Estatística fácil. 18. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2005.
VELARDE, Luís Guillermo Coca. Noções de Bioestatística. Universidade Federal Fluminense (UFF), 
s.d. Disponível em: <http://www.uff.br/poscienciasmedicas/images/arquivos/apostila_estatistica.
pdf>. Acesso em: 15 jan. 2017.