Tema 11 Experimentos aleatorios espaço amostral e evento

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Experimentos aleatórios, 
espaço amostral e evento
José Tadeu de Almeida
Introdução
Nesta aula, discutiremos elementos relacionados à Teoria das Probabilidades, queobje-
tiva estimar as possibilidades de ocorrência de um fenômeno em um determinado conjunto de 
dados. Para isso estudaremos, por meiodos conceitos de experimento aleatório, espaço amostral 
e evento, os mecanismos que permitem ao pesquisador selecionar uma base de dados de seu 
interesse e realizar experimentos que permitam a validação de suas hipóteses.
Objetivos de aprendizagem
Ao final desta aula, você será capaz de:
 • identificar o espaço amostral de um evento e um evento simples.
1 Experimentos aleatórios
Quando um pesquisador usa um método de experimentação para a verificação de algum 
fenômeno, torna-se necessário realizar uma distinção a respeito do tipo de experimento, a partir 
dos resultados esperados. Podemos dividir os experimentos em aleatórios (não determinísticos) 
e determinísticos.
Os experimentos aleatórios são aqueles que apresentam resultados que não podem ser previs-
tos, mesmo que repetidos por infinitas vezes, sob as mesmas condições. (CRESPO, 2005).A expressão 
“aleatório” demonstra que os resultados destes experimentos são imprevisíveis, antes que ocorram.
FIQUE ATENTO!
Um experimento aleatório tem seus resultados determinados pelo acaso.
Figura 1 – Experimento aleatório no lançamento de dados
Fonte: Route 55/Shutterstock.com
O lançamento de um jogo de dado de 6 faces, por exemplo, é um experimento aleatório. Ao 
lançar o dado, o experimento trará como resultado algum dos valores do conjunto E = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, 
certo? Mas, não podemos prever qual número será sorteado antes do dado ser lançado, pois este 
resultado será obtido ao acaso.
2 Experimentos determinísticos
No experimento determinístico, os resultados previstos são conhecidos antes mesmo que 
aconteçam, de modo que não há outras alternativas. Assim, sob condições semelhantes, os expe-
rimentos determinísticos podem ser repetidos diversas vezes, com resultados estáveis. Nestes 
casos, é possível realizar uma previsão dos resultados esperados, descartando-se quaisquer 
outras variáveis que possam afetar a condução do experimento.
FIQUE ATENTO!
Na Física e na Química, a igualdade de condições para os experimentos é uma variável 
fundamental, visto que sem ela não seria possível fixar um padrão para os mesmos.
Nesta aula, porém, focaremos nos experimentos não determinísticos, pois a condição para 
definirmos os conceitos que estudaremos, como espaço amostral e eventos, é de que os experi-
mentos sejam aleatórios.
3 Espaço amostral
Quando o pesquisador define as variáveis que irão conduzir o seu experimento (por exemplo, 
ao decidir-se por lançar um dado por n vezes), o primeiro passo reside em determinar o espaço 
amostral deste experimento. O espaço amostral é um conjunto que contém todos os possíveis 
resultados gerados por um experimento (BUSSAB & MORETTIN, 2010). O espaço amostral de um 
experimento aleatório é usualmente denotado por S. 
FIQUE ATENTO!
Os resultados possíveis que compõem um espaço amostral podem possuir carac-
terísticas quantitativas ou qualitativas, de acordo com a opção do pesquisador.
Continuando com o exemplo do jogo de dados de 6 faces, suponhamos que o experimento 
definido pelo pesquisador consista no ato de lançá-los, logo, o espaço amostral é dado pelo conjunto 
S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 
Pode-se definir, ainda, um critério qualitativo na definição de um espaço amostral: um 
inspetor de qualidade, ao analisar peças de uma linha de produção, verificará se elas aten-
dem às normas previstas de controle de qualidade, definindo o espaço amostral pelo conjunto 
S = {adequada, inadequada}.
Figura 2 – Aplicação de um espaço amostral
Fonte: Arthimedes/Shutterstock.com
SAIBA MAIS!
As aplicações práticas dos conceitos de espaço amostral estendem-se a várias outras 
áreas do conhecimento humano, como a Metalurgia e a Economia, por exemplo.
Há situações, porém, em que o espaço amostral pode incluir toda uma população. Por exem-
plo, se o pesquisador deseja verificar a incidência de hipertensão arterial em uma cidade de 5.000 
habitantes, seu espaço amostral é dado pelo conjunto S = {morador 1, 2, 3 (...) morador 5.000}.
Podemos classificar os espaços amostrais em contínuos e discretos. Os espaços discretos 
são aqueles em que há um número previsto de resultados, como no caso do lançamento de um 
dado, que possui seis resultados possíveis. Já os espaços amostrais contínuos preveem infinitas 
possibilidades de resultados (BUSSAB & MORETTIN, 2010).
EXEMPLO
Se o pesquisador deseja conhecer o tempo de vida de um televisor, sabendo que ele 
é inferior a cinco anos, uma previsão exata está incluída dentro do espaço amostral 
T = {0, ..., 5 anos}, com divisões de tempo em anos, meses, dias, até milésimos de 
segundo, ou seja, temos infinitos resultados possíveis.
4 Evento
Definido o método de experimentação (determinístico/aleatório) e o espaço amostral, o pes-
quisador irá definir quais as situações associadas a este espaço amostral, ou quais as perguntas 
que serão realizadas (por exemplo, quais os resultados esperados de um lançamento de um dado?). 
Estas hipóteses ou situações são conhecidas como eventos (BUSSAB & MORETTIN, 2010).
No caso do jogo de dados de 6 faces, o espaço amostral é definido por S = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Caso 
o pesquisador deseje efetuar múltiplos lançamentos, esperando obter números pares (Evento 
X = ‘números pares’), os resultados são dados pelo subconjunto P = {2; 4; 6}.
Além disso, um evento pode ter uma natureza qualitativa. Como na análise de adequação de uma 
linha de produção, visando o controle de qualidade, definindo-se, assim, o Evento Y = {peça inadequada}.
Podemos classificar os eventos sob dois parâmetros. O primeiro diz respeito à simultanei-
dade de sua ocorrência: quando consideramos a possibilidade de dois ou mais eventos dentro 
de um único espaço amostral, os eventos são considerados mutuamente exclusivos quando não 
podem ocorrer sob uma mesma situação. Por exemplo, no lançamento de um dado de 6 faces, o 
Evento X = {número par} não poderá ocorrer simultaneamente ao evento Y = {número ímpar}. 
Já os eventos não mutuamente exclusivos são percebidos quando um evento não exclui 
a ocorrência de outro. Considerando o caso do lançamento do dado de seis faces, os eventos 
L = {número par} e M = {número menor ou igual a 4} podem ocorrer de maneira simultânea.
O segundo parâmetro diz respeito à independência dos eventos. Eventos independentes são 
percebidos quando a ocorrência de um não afeta a ocorrência de outro. Por exemplo, quando lan-
çamos dois dados, e para o primeiro estipula-se o Evento G = {número par} e no segundo o Evento 
I = {número 5}: O fato de ocorrer ou não um número par no primeiro lançamento (Evento G) não 
altera a probabilidade de ocorrência de um número ímpar no segundo lançamento (Evento I)
SAIBA MAIS!
Conheçaum diálogo entre a Estatística e a Pedagogia, a partir dos conceitos desta 
aula, no capítulo 2 da dissertação de mestrado ‘O Acaso, o Provável, o Determinístico: 
concepções e conhecimentos probabilísticos de professores do Ensino Fundamen-
tal’, disponível em: <http://repositorio.ufpe.br/bitstream/handle/123456789/3949/
arquivo6773_1.pdf?sequence=1>
Eventos dependentes são aqueles em que a ocorrência de um evento está ligada à ocorrência 
de outro. Por exemplo, em um jogo de bingo, no qual o espaço amostral é formado por 75 núme-
ros, o sorteio de um número (Evento A) retira este número sorteado do espaço amostral do Evento 
B (sorteio de outro número). O espaço amostral do Evento B tem, portanto, apenas 74 números 
possíveis, pois o primeiro já foi sorteado no Evento A. Assim, os resultados esperados pelo Evento 
B dependem do sorteio do primeiro número no EventoA (BUSSAB & MORETTIN, 2010). 
5 Simples, certo, impossível
Os eventos podem ser classificados de acordo com os possíveis resultados que são gerados a 
partir do espaço amostral. Eventos simples ocorrem quando há apenas um resultado previsto dentre 
os possíveis resultados do espaço amostral. Por exemplo, quando se estipula o Evento A = {número 
2} ao se lançar um dado, o conjunto de resultados possíveis é de um único elemento entre os seis 
possíveis, ou seja, B = {2} (CRESPO, 2005). Quando, porém, há mais de um resultado possível, o evento 
é composto, como quando esperamos obter resultados do evento B = {obter os números 2; 4; 6}.
Um evento certo acontece quando sua chance de ocorrer é de 100%; não há qualquer outro 
resultado possível senão os dispostos no espaço amostral. Assim, os resultados de um evento 
certo compõem o próprio espaço amostral.
EXEMPLO
Se ao lançar um dado nos orientamos pelo Evento F = {número natural de 1 a 6}, 
a chance de obter um dos seis resultados é de 100%. O evento F, assim definido, é 
um evento certo. 
Quando não há nenhum elemento no espaço amostral que satisfaça o critério determinado 
por um evento, dizemos que o mesmo é impossível. Por exemplo, ao lançar um dado de seis faces, 
não há como obter um valor igual a 100. O conjunto que mostra os possíveis resultados deste 
evento é vazio: S = Ø (CRESPO, 2005).
6 União e interseção
Em alguns momentos, dados podem repetir-se ou excluírem-se. É necessário, portanto, verificar 
em uma distribuição quais são os resultados possíveis e os que se excluem mutuamente. Acompanhe 
a tabela abaixo, que demonstra o número de alunos pertencentes a quatro diferentes cursos superiores.
Tabela 1 – Distribuição de alunos por curso e gênero
  Masculino Feminino Total
Medicina 45 55 100
Economia 49 21 70
História 38 62 100
Ciências da Religião 18 12 30
Total 150 150 300
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Um pesquisador poderia, por exemplo, determinar dois eventos relacionados aos dados que 
compõem seu espaço amostral: A = {verificar quantos alunos, em relação ao geral, são estudantes 
de Economia}, e B = {quantos estudantes, em relação ao todo, são do sexo masculino}. Neste caso, 
o subconjunto que demonstrará os resultados é dado por C = {estudantes de Economia + estudantes 
do sexo masculino}. Poderíamos pensar em apenas somar o total dos dois grupos menciona-
dos, com resultado igual a 150 + 70 = 220. Porém, esta informação não é correta, pois estamos 
incluindo em duplicidade os alunos que são do sexo masculino e que fazem Economia. Assim, é 
necessário subtrair o número de estudantes que satisfazem as duas condições dos eventos, ou 
seja, a interseção, evitando-se, assim, uma duplicidade de contagem. Teremos, então, um conjunto 
com resultado igual a 150 + 70 – 49 = 171, em que 49 é o número de elementos da interseção, ou 
seja, Estudantes de Economia do sexo masculino.
Deste modo, quando somamos os conjuntos com os resultados de dois eventos diferentes, 
unindo os conjuntos A e B, sob a fórmula A ∪ B, caso eles não sejam mutuamente exclusivos, 
temos que retirar os elementos que estão sob dupla contagem, ou seja, pertencem aos conjuntos 
relacionados aos dois eventos. Estes elementos estão realizando uma interseção entre os conjun-
tos (com notação A ∩ B). Deste modo, a união de conjuntos deve obedecer a fórmula:
A ∪ B = A + B – (A ∩ B)
Podemos observar a ilustração desta situação na figura a seguir.
Figura 3 – Diagramas de união e interseção
21 49 101
Estudantes de Economia Estudantes do sexo masculino
Fonte: elaborada pelo autor, 2017.
Quando dois eventos são mutuamente independentes, não havendo elementos de interse-
ção, temos que A ∩ B = 0. Logo, A ∪ B = A + B (BUSSAB & MORETTIN, 2010).
Fechamento
Nesta aula, você teve oportunidade de:
 • conhecer as características de formação de um espaço amostral;
 • entender quais os tipos de evento que podem ser criados a partir da definição de um 
problema de pesquisa.
Bibliografia
BUSSAB, Wilton de Oliveira; MORETTIN, Pedro. Estatística Básica. 6.ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
CRESPO, Antonio. Estatística Fácil. São Paulo: Saraiva, 2005.
SANTANA, Michaelle Renata Moraes. O Acaso, o Provável, o Determinístico: concepções e conheci-
mentos probabilísticos de professores do Ensino Fundamental. Universidade Federal de Pernam-
buco, Recife, 2011. Disponível em: <http://repositorio.ufpe.br/bitstream/handle/123456789/3949/
arquivo6773_1.pdf?sequence=1>. Acesso em: 14 fev. 2017.