CIRCUITOS ELET 1 CAP 3 pgs 28 a 57

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CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
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CAPÍTULO III - TÉCNICAS DE RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS ELÉTRICOS 
 
Considerações iniciais: Deveremos inicialmente compreender que “resolver” um circuito 
elétr ico, significa a determinação de todas as suas tensões e todas as suas correntes; para 
tanto, qualquer que seja o método uti l izado, torna-se fundamental o domínio da 1 0 Lei de 
Ohm e das Leis de Kirchoff . Veremos a seguir os principais métodos de resolução de 
circuitos elétricos: 
 
1) RESOLUÇÃO POR ASSOCIAÇÕES SÉRIE-PARALELO SIMPLES : Tal processo 
consiste na redução do circuito proposto a uma única malha: gerador-resistor , 
determinando a corrente principal do circuito e posteriormente voltando-se ao circuito 
original . 
 
Em principio somente é possível a ut i l ização direta deste processo em circuitos que 
possuam um único gerador de tensão; Daremos a seguir exemplos práticos da aplicação 
deste processo, através da resolução de circuitos: 
 
 
1) Resolver completamente o circuito abaixo: 
 
 
 
Comecemos então a resolver as associações imediatas e a redesenhar o circuito; Notemos as 
associações série evidentes . Redesenhando o circuito teremos: 
 
 
 
 
 
Observando então as associações em paralelo imediatas e em seguida as consequentes séries 
teremos: 
 
 
8
8



4 4 100V
+
-
3

6
20


100V
+
-
4
6
 5
 
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Observando com cautela quem está em paralelo com quem (Dando nome aos pontos) 
teremos: 
 
 
 
 
Tendo-se reduzido finalmente o circuito a 
uma única malha, calcula-se a corrente, 
determinando-se o sentido da mesma:
  Α1010
V100
R
VI ( lembramos que 
resistores são bipolos passivos, portanto 
com tensão e corrente ao contrário): 
 
 
 
 
 
 
Voltamos agora passo a passo para o 
circuito original , do fim para o começo: 
Lembrando que o resistor equivalente de 
10 , veio da sér ie de 4 com 6 , e 
lembrando que em resistores em série tem-
se a mesma corrente iremos ter : 
 
 
 
 
 
 
 

100V
+
-
4
6
 4
100V
A
A A
+
-
4
 10
B B
B
100V
A
A
+
-
4
6
B
B
100V
+
- 10 100V
100V
+
- 10 100V
10A
10A
10A
10A
100V
A A
+
-
4
6
BB
10A 10A
60V
40V
 
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Voltemos agora mais um passo, 
mantendo inicialmente o que não 
teve mudanças (No resistor de 4 . 
em série com o gerador de tensão). 
Lembremos em seguida que numa 
associação em paralelo é mantida a 
tensão: Se lembrarmos que a tensão 
no resistor de 6 é de 60V sentido 
de B  A, então concluiremos que 
seja no resistor de 10 , seja no 
resistor de 15 a tensão também 
será de 60V sentido de B  A 
 
 
As correntes nos resistores de 15 e 10 , são facilmente determináveis pela aplicação 
direta da Lei de Ohm nos uma vez conhecida a tensão de 60V. 
 
Voltando-se mais um passo, ou seja: 
mantendo-se as condições sobre o 
resistor de 4 , e notando que o 
resistor de 15 veio da série de 3 
com 12 (Portanto a mesma corrente 
de 4A) e ainda que o resistor de 10 
veio da sér ie de 4 com 6 (portanto 
a mesma corrente de 6A) , e ainda 
com a aplicação conseqüente da Lei 
de Ohm sobre os resistores das séries 
obteremos: 
 
 
 
Voltemos mais um passo mantendo as condições sobre os resistores que não sofreram 
mudanças e notando que o resistor de 3 foi originado pela associação em paralelo de 12 
com 4 (portanto, a tensão sobre estes resistores será de 12V) e ainda notando que o 
resistor de 4 foi originado pela associação em paralelo do resistor de 5 com o resistor 
de 20 (portanto sendo a tensão sobre estes resistores de 24V)Com as tensões conhecidas 
facilmente determinamos as correntes sobre os resistores através da Lei de Ohm: 
 
 
 
100V
 6
 4
+
-
4
10A
40V
4A
4A
12V
48V
4A 6A
24V
6A
36V
10A
40V
20


100V
6
 5
+
-
4
4A
48V
6A
36V
12V 12V
1A 3A
4A 6A
1,2A4,8A
24V
24V
10A
100V
A
A
4A
A
+
-
4
 10
B B
B
60V60V
40V
4A 6A
6A
 
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Como últ imo passo, finalmente voltemos ao circuito original mantendo as condições sobre 
os resistores que não mudaram e observando que o resistor de 12 foi gerado pela sér ie de 
8 com 4 (portanto, a corrente nestes resistores será de 1A) que o resistor de 20 foi 
originado pela sér ie de 12 com 8 (portanto, sendo a corrente nestes resistores de 1,2A), 
e finalmente notando que o resistor de 4,0 (que está em série com o gerador) foi originado 
pela associação em série de 3 com 1 (sendo portanto a corrente nestes resistores de 
10A). A subsequente aplicação da Lei de Ohm fornece: 
 
 
 
VERIFICAÇÃO POSSÍVEIS: 
 
a) Podemos inicialmente verif icar a Lei dos Nós para cada Nó; ou seja: 
 
Nó A: Entram 10A; saem 1A, 3A , 4,8A e 1,2A . Observe que 1+ 3 + 4,8 + 1,2 = 10A (soma 
das que entram = soma das que saem) 
 
Nó C: Entram 3A e 1A; saem 4A (verif icado) 
 
Nó D: Entram 4A e 6A; saem 10A (verif icado) 
 
Nó E: Entram 4,8A e 1,2A; saem 6A (verificado) 
 
 
b) Podemos também verif icar a Lei das Malhas para cada malha, efetuando a circuitação 
das mesmas: 
 
- Malha CBAC: + 4 + 8 - 12 = 0 (verificada) 
 
- Malha CADC: + 12 + 30 - 100 +10 + 48 = 0 (verif icada) 
 
- Malha DAED: - 10 + 100 - 30 - 24 - 36 = 0 (verificada) 
 
- Malha AFEA: - 14,4 - 9 ,6 + 24 = 0 (verificada) 
 
- Malha Externa: BAFEDCB : + 8 - 14,4 - 9 ,6 - 36 + 48 + 4 = 0 (verificada) 
 
 
 
4,8A
24V
8
8



4
4 100V
+
-
3

6
10V
30V
10A
1A A
B
C
D
E
F
1,2A
8V
3A12
V
1A
4V
48V
4A 6A
36V
14,4V
1,2A
9,6V
 
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2) Resolver completamente o circuito abaixo: 
 
 
Note que ao termos dúvidas sobre o s t ipos de associação envolvidos, convém “dar nome 
aos pontos”; ou seja: 
 
 
 
Donde poderemos entender o circuito como tendo uma associação em paralelo entre os 
pontos A e B e outra entre os pontos A e C teremos: 
 
 



 AB
AB
R124
1
R
1
 ; e a inda: 
 
 



 AC
AC
R30
05
15
1
R
1
 
 
Portanto teremos para o Circuito: 
 
 
C
CD
C
B
B
B
A
AA
2
3
210



4 

102V
+
-

1
2
3
210



4 

102V
+
-

1
CD
B
A
AA


1
102V
+
-
1
1
 
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Dando sequencia iremos ter : 
 
 
 
Reduzindo o Circuito a um conjunto gerador resistor , e iniciando a “volta” teremos: 
 
 
 
Ainda: 
 
 
 
em sequencia: 
 
 
DD
AA

5
102V
+
-
2
D D
AA


102V
+
-
10 
D D
AA


102V
+
-
10  102V
+
-
17 
42A
42A
D D
AA


102V
+
-
10 
42A
42A 42A
42V 42V60V
DD
AA

5
102V
+
-
260V
12A
60V 60V
30A
CD
B
A
AA


1
102V
+
-
1
1
12A
12V
30A42A
42V
30A
30V
12A
48V
30V
 
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e finalmente finalizando: 
 
 
 
2) RESOLUÇÃO POR UTILIZAÇÃO DA EQUIVALÊNCIA DE GERADORES 
 
(Equivalência Northon-Thevenìm) 
 
Uma outra ferramenta poderosa uti l izada na resolução de circuitos elétricos, é baseada no 
princípio da equivalência de geradores , ou na Equivalência Northon-Thevenìm, que consiste 
em substi tuir a associação em série de um gerador de tensão com um resistor , pela 
associação em paralelo de um gerador de corrente com o mesmo resistor entre os mesmos 
pontos considerados: 
 
 
Demonstremos então a equivalência, imaginando inicialmente um gerador de tensão de 
valor V (Qualquer) , associado em série com um resistor de valor R e determinando a curva 
característ ica (v x i) do bipolo equivalente. Analogamente imaginemos um gerador de 
corrente de valor I , associado em paralelo com um resistor de valor r e também 
determinemos a curva caracter íst ica (v x i) do bipolo equivalente; teremos: 
 
 a) - Gerador de tensão b) - Gerador de corrente 
 em série com um resistor R : em paralelo com um resistor r : 
 
 v = V - R . i  r
viI   
 
 







R
Vi0v:se
Vv0i:se
 







Ii0v:se
I.rv0i:se
 
 
3A
1A
2A
6A
15A
10A
C
CD
C
B
B
B
A
AA
2
3
210



4 

102V
+
-

1
12V
12V 12V
12
V7A
9A
42A
42V
48V
12A
4A
30V 30V
3A
30V
18A
30V
2A
20A
30A
30V
25A
+
-
B
A
 I
 I
 r
 r
v
v
B
A
V
v
ii
RR.iR.i
 
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De posse das equações característ icas de cada bipolo equivalente determinemos então as 
curvas caracter íst icas dos mesmos. Observando-se que as equações são l ineares, as curvas 
poderão ser obtidas a part ir de dois pontos para cada equação (V. Acima) : 
 
 a) - Curva Caracterís t ica de b) - Curva Característ ica de 
 um Gerador de tensão V um Gerador de corrente I 
 em série com um resistor R em paralelo com um resistor r 
 
 
 
Para que exista equivalência entre os dois bipolos em qualquer circunstância, é necessário 
que as duas curvas característ icas sejam absolutamente iguais. Nestas condições , como 
estamos l idando com retas, bastará impor que dois pontos de uma curva característ ica sejam 
idênticos a dois pontos da outra ;ou seja: 
 
 I.RVIR
V  ; e ainda : I.rI.RI.rV  ; Logo: R = r 
 
ainda: V = R . I R
VI  
 
 
Portanto, se entre dois pontos “A” e “B” de um circuito, t ivermos um gerador de tensão em 
série com um resistor , poderemos substi tuir esta associação, entre os mesmos pontos por 
um gerador de corrente associado em paralelo com o mesmo resistor , da forma como se 
segue: 
 
 
De maneira análoga, se entre dois pontos “A” e “B” de um circuito , t ivermos um gerador de 
corrente em paralelo com um resistor, poderemos substi tuir esta associação, entre os 
mesmos pontos por um gerador de tensão associado em série com o mesmo resistor , da 
forma como se segue: 
v
i
V
V
R
v
i
r.I
I
+
-
B
A
v
B
A
V
Vv
ii
R
R R
 
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Exercício de Aplicação: Para o circuito abaixo, pede-se: 
a) Determinar a tensão V indicada entre os pontos “A” e “B” pela uti l ização do processo de 
equivalência de geradores: 
b) A part ir do i tem a) determine todas as tensões e correntes do circuito: 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente simplif icar o circuito pelas associações sér ie imediatas: 
 
 
 
Considerando-se que entre os pontos A e B temos um gerador de tensão de 5V em série com 
um resistor de 3 ; ainda que temos um gerador de 12V em série com um resistor de 4 , e 
finalmente também temos um gerador de 6V em série com um resistor de 2 , poderemos 
entender o circuito equivalente entre os pontos A e B com sendo: 
 
 
 
+
-
B
A
v
B
A
I v
i i
R
R.I
R
+ + +
- - -
11
4 12
5V 12V 6V
A
B
VAB
+ + +
- - -
4 23
5V 12V 6V
+ + +
- - -
11
4 12
5V 12V 6V
A
B
A
B
AA
BB
VAB VAB
5 A
3 3 4 3A
B
2 3A
A
VAB
 
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Notemos então que a tensão entre os pontos A e B será obtida por: 
 
VA B =  
  
EQ
T
R
2//4//3
I
333
5 



  ; Cujo cálculo nos leva a: 
A3
13
3
518
3
56333
5IT 
 ; 2
1
4
1
3
1
R
1
EQ
 
Ou ainda:  13
12R12
13
12
634
R
1
EQ
EQ
 
 
Portanto: V4V13
12
3
13V ABAB  ; De posse deste valor teremos, no circuito 
ao considerarmos as propriedades das associações série: 
 
 
 
 
 
3) POR PROPORCIONALIDADE : Baseia-se no principio da l inearidade dos circuitos 
elétr icos ,e torna-se muito conveniente por ocasião da resolução de circuitos permitem 
aplicações “seqüenciais” das leis de Kirchoff ; por exemplo examinemos o circuito abaixo, 
onde queremos determinar todas as suas tensões e correntes, conhecendo-se o valor do 
gerador de excitação: 
 
 
 
 
 
“Esquecendo” momentaneamente o gerador de 201V, vamos supor que exista uma tensão V 
qualquer aplicada na entrada, e que por causa desta tensão, tenhamos no final do circui to, 
por exemplo uma corrente de 1A ; ou seja: 
+ + +
- - -
4 23
5V 12V
4V
8V
6V
A AA
BB B
4V
2V
4V
9V
3A
2A 1A
1A
+ + +
- - -
11
4 12
5V
6V
3V
12V 6V
A
B
3A 1A
2A
8V
1V
1V
-
201V+
3
3
2
2
13
4
512
116
 
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O fato de termos esta corrente de 1A no final do circuito, a part ir das leis de Kirchoff , faz 
com que tenhamos como conseqüência as seguintes tensões e correntes no circuito todo: 
 
 
 
Consideremos agora que queremos determinar o valor real das tensões ou das correntes 
mostradas a seguir: 
 
 
Para tanto, bastará apenas impor uma regra de três simples, entre os resultados “f ict ícios” 
obtidos anter iormente, e o circuito original da seguinte forma: 
 
 
Para I1 : 





1I201
134 16
  I1 = 


 5,1
134
201
 16  I1 = 24A 
 
Para I2 : 





2I201
134 7
  I2 = 


 5,1
134
201
 7  I2 = 10,5A 
 
Note-se que existe um fator de mult ipl icação constante envolvido de 1,5 ; nestas 
condições, acreditamos ser bastante claro, que para se determinar qualquer tensão ou 
corrente desejada, bastará mult ipl icar o “resultado f ict ício” pelo fator de mult ipl icação ; ou 
seja : 
 
I3 = 1 x 1,5 = 1,5A ; V 1 = 33 x 1,5 = 49,5V ; V2 = 20 x 1 ,5 = 30V 
 
Note que este processo nos fornece de imediato a Resistência equivalente vista pelo 
gerador; de fato: 
 
-
V+
3
3
2
2
13
4
512
116
1A
-
+
3
2
2
1
12
-
V(134V)+
33
4
5
116
1A4A7A16A
16A 7A 4A 1A
3A3A9A
4V
2V
3V
9V
20V
-
201V+
3
3
2
2
13
45
12
116
I = ?1 I = ?2
V = ?1
I = ?3
V = ?2
 
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 375,8A24
V201
A16
V134qRe 
 
Obs: O método de resolução por proporcionalidade , é part icularmente recomendado, 
quando se tem circuitos com um único gerador (Que pode ser de Tensão ou de Corrente), e 
ainda em circuitos que apresentem o aspecto “Cascata” – (Associações Série- Paralelo 
seqüenciais) 
 
4) POR DESLOCAMENTO DE GERADORES IDEAIS: 
 
a) Deslocamento de gerador ideal de tensão: 
 
Suponhamos que num determinado nó de um circuito exista conectado um gerador ideal de 
tensão, e ainda que a este nó convir jam vários ramos. O gerador de tensão poderá então ser 
deslocado, sendo inicialmente conectado em paralelo com vár ios geradores de tensão 
idênticos ( tantos quantos forem os ramos de convergência) , e posteriormente com a 
subdivisão do nó, por exemplo da forma como se segue: 
 
b) - Deslocamento de gerador ideal de corrente: 
De forma dual ao caso anter ior , também é possível deslocar um gerador ideal de corrente 
que forme uma malha, substi tuindo-o por geradores idênticos em paralelo com todos os 
ramos da malha a que ele pertence, por exemplo da forma como se segue: 
 
 
 
 
 
EXEMPLOS DE APLICAÇÃO: 
 
 
 
 
+
-
B
C
P +
-
AA
B
C
P
+
-
+
-
+
-
A
B
C
P
+
-
+
-
P
PDeslocamento
V
V V V V VV
DeslocamentoA
B
I
I
I
I
I
B
A
 
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1) No circuito ao lado determine o valor da 
tensão indicada VR : 
 
 
 
SOLUÇÃO: vamos inicialmente proceder ao deslocamento do gerador de corrente, por 
exemplo da forma com se segue: 
 
 
 
Note que o conjunto: gerador de corrente de 6A em paralelo com o resistor de 8 é inúti l 
para o que se pede no problema (a tensão é imposta pelo gerador de tensão e não muda, 
tendo-se ou não o gerador de corrente) podemos pois resolver o problema pedido, 
procedendo a várias simplif icações e transformações seqüenciais; teremos: 
 
 
 
 
Notemos então que a corrente VR no circuito f inal será determinada pelo produto da 
corrente total ,pela resistência equivalente da associação: pelo sentido indicado para o VR 
pedido, iremos ter : 
 
VR = (1 - 2) x (18//9//3)  VR = - 2V 
 
 
 
 
2º) Para o circuito ao lado, pede-se a 
determinação da tensão vR indicada. 
 
 
 
+
-3 8
12 6
9
6A
3V
VR
+
-3 8
12 6
9
6A
3V
VR
+
-3
8
12 6
9
3V
VR
6A
6A
1A
VR VR
+
+
+
+ -
-
-
3
12
6
9
9
18
3V 3V
36V
36VVR
- 3
9
18
3
2A
+
-
4 3
12 6
5
1A
36V
VR
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
- 41 - 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente proceder ao deslocamento do gerador de tensão conforme 
mostrado: 
 
 
 
“abrindo” o ponto superior teremos: 
 
 
 
Donde, prosseguindo com as transformações e simplif icações iremos obter: 
 
 
 
Teremos: A5,0253
914IT 
  VR = 5 x 0 ,5 = 2,5V 
 
 
 
5) POR ANÁLISE DE MALHA E ANÁLISE NODAL : 
 
Os métodos de Análise de Malha ou Análise Nodal, são particularmente recomendados para 
circuitos que possuam mais de um gerador, que apresentem certa dificuldade na 
simplif icação por meio associações , embora também possam ser ut i l izados de forma di reta 
e ef icaz na resolução c ircuitos mais simples. 
 
Análise de Malha e Análise Nodal são métodos organizados de resolução, (Através das 
Equações de Maxwell) ,baseados nas leis de Kirchoff , e são métodos duais , ou seja: 
 
 Na Análise de Malha , os parâmetros são Resistências, as incógnitas são Correntes, e as 
soluções das equações obtidas se resumem em Tensões; 
 
 Na Análise Nodal, os parâmetros são Condutâncias, as incógnitas são tensões, e as 
soluções das equações obtidas se resumem em Correntes; 
 
 
+ +
- -
4 3
12 6
5 5
1A
36V +
-
1A
36V
VR
36V
12 6
VR
4 3
+
- 36V
36V +
-
1A
3A
1A 6A
4
4
3 3
5
5VR
VR
12
12
6
6
9V 14V
+ +
-
3A
7A
IT
3
3
2
2
5
5
VR
VR
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
- 42 - 
 
ANÁLISE DE MALHAS (Se exist irem geradores de corrente, os mesmos deverão ser 
transformados em geradores de tensão) : 
 
 
a) Imaginaremos inicialmente que cada gerador de tensão é um bipolo at ivo, portanto que 
sua corrente é concordante com a sua tensão ( tal premissa será ou não confirmada 
poster iormente); 
 
 
b) Para cada malha independente, admitiremos a existência de uma corrente fundamental de 
malha independente que adotaremos possuindo “sentido horário”: 
 
 
 
c) Para cada corrente de malha independente, definiremos uma equação desta corrente nas 
seguintes condições: 
 
 IM A L H A x  R M A L H A - IA D J A C E N T E x R A D J A C E N T E = G E R . A T I V O S - G E R . P A S S I V O S 
 
Para uma melhor compreensão da uti l ização deste processo, vamos resolver dois exercícios: 
 
10) -No circuito a seguir pede-se determinar todas as tensões e correntes do mesmo. 
 
 
 
 
 
Observe inicialmente que o circuito proposto é composto de três malhas independentes (o 
processo em si aplica-se a “n” malhas independentes); 
 
Para o exemplo fornecido: 
 
+-
4
5 3
3
+-
5
1
+-
2
14V
4
78V
2
120V
 
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- 43 - 
 
 
 
ESQUELETO 
BÁSICO DAS 
EQUAÇÕES DE 
MAXWELL 
 
 
  
     
     
     









1207814I1542I4I0:I.Eq
78I4I4342I2:I.Eq
14I0I2I235:I.Eq
3213
3212
3211
 
 
 
 Ou ainda: 
 










28I12I4
78I4I13I2
14I2I10
32
321
21
 ; s implif icando : 










7I3I
78I4I13I2
7II15
32
321
21
 
 
Pode-se resolver o sis tema acima por substi tuição, observando que a incógnita comum às 
três equações é I2 ; (nem sempre a solução pelo sistema de Kramer (Determinantes) é a mais 
indicada); temos da primeira equação: 
 
 
5
7II 21
 ; e da terceira equação: 7
7II 23
 ; substi tuindo 
 
estes valores na segunda equação iremos obter: 
 
 
 783
7I4I135
7I2 222 
 ; donde: 783
I428I135
I214 2
2
2  
 
Mult ipl icando-se toda a equação pelo mmc dos denominadores envolvidos (15) obtemos: 
 
    1170I20140I195I6421578I4285I1513I2143 222222  
 
Donde: A8I169
1352I1352I169421401170I169 2222  
 
+-
4
5 3
3
+-
5
1
+-
I1 I2
I3
2
14V
4
78V
2
120V
 
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- 44 - 
 
de posse do valor de I2 obtemos facilmente: A3I5
78
5
7II 121 
 
 
e ainda: A5I3
78
3
7II 323 
 
 
Com o conhecimento dos valores das correntes fundamentais de malha, voltemos ao circuito 
colocando-as nos ramos independentes (ramos externos por exemplo), preferencialmente 
próximas aos nós, considerando os seus sinais em relação ao sentido adotado para as 
equações de Maxwell , e em seguida determinando as correntes secundárias. Pela aplicação 
da lei de Ohm, em cada resistor determinamos:VERIFICAÇÕES POSSIVEIS : 
 
a) Circuitação das Malhas : 
 
Malha: ABHGA: -15 + 14 + 10 - 9 = 0 
 
Malha: GHEFG: -10 -12 + 78 - 24 - 32 = 0 
 
Malha: BCDEHB: -10 -5 +120 - 25 -78 + 12 - 14 = 0 
 
Malha ABCDEFGA (Externa): - 15 -10 - 5 +120 - 25 - 24 - 32 – 9 = 0 
 
b) Balanço Energético: Sabemos sem a mínima sombra de dúvida, que todos os resistores 
são bipolos passivos; entretanto, somente após a determinação de todas as correntes do 
circuito, é que seremos capazes de identif icar quais são os geradores de tensão que 
fornecem energia ao circuito, e quais são os geradores de tensão que recebem energia; 
teremos: 
 
Potência Fornecida ao Circuito: 
 
 
+-
4
5
3
3
+-
5
1
+-
2
14V
3A
3A
5A
5A
5A
5A
4
78V
2
120V
A
9V
8A
8A
3A2A
32V
24V10V
12V
15V
10V
5V
25V
B
C D
E
F
G
H
 
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- 45 - 
PF = 78V x 3A + 120V x 5A  PF = 834 W 
 
 
- Potência Recebida pelo Circuito: 
 
a) Resistores: PR R = 15V x 3A + 9V x 3A + 10V x 5A + 32V x 8A + 24V x 8A + 
 + 10V x 5A + 5V x 5A + 25V x 5A = 806W; 
 
b) Pelo Gerador de Tensão Funcionando como Bipolo Passivo: 
 
PR G = 14V x 2A = 28W; 
 
Portanto a Potência recebida total será: PR = 806 + 28 = 834 W 
 
 
 
 Conclusão: comprovamos que: PF = PR 
 
20) – Para o circuito abaixo, determine todas as correntes e tensões do mesmo: 
 
OBS: (QUESTÃO ENADE) 
 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Embora o circuito pareça muito trabalhoso e complicado, observe que temos 
inicialmente uma associação em paralelo do resistor de 12 com o resistor de 4 (=3) ; 
façamos essa associação e verif iquemos o ci rcuito pela análise de malhas; teremos: 
 
 
+
- 12V
4
+
-
6V
4
12
4
3 3
88
 
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- 46 - 
 
 
Donde, passemos à solução do circuito; ou se ja: 
 
EQUAÇÕES DE MAXWELL: 
 
 
       
       
       
       












18I16I0I8I8:I.Eq
0I0I11I4I4:I.Eq
0I8I4I15I0:I.Eq
0I8I4I0I15:I.Eq
43214
43213
43212
43211
 ou ainda : 













18I16I8I8
0I11I4I4
0I8I4I15
0I8I4I15
421
321
432
431
 
 
 
Por mera observação da 1ª e a 2ª equação do sistema concluímos de imediato que I1 = I2 ; 
poderemos pois reescrever o sistema como sendo em função deste fato: 
 










18I16I16
0I11I8
0I8I4I15
41
31
431
  8
I89
16
I1618I;11
I8I 11413
 
 
Logo:   0I8911I32I151108
I89811
I84I15 111111 
  ou ainda: 
 
165I1 – 32I1 – 99 – 88I1 =0  45I1 = 99  A2,25
11
45
99I1  ; I2 = 2,2A 
A6,15
11
11
8I3   ; A325,340
133
40
8845
5
11
8
9
8
5
1189
I4 




 
 
 
Voltando ao circuito original , i remos ter : 
 
+
- 12V
4
+
-
6V
4
3
3 3
88
I1
I3
I4
I2
 
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- 47 - 
 
 
 
 
ANÁLISE NODAL (Se exist irem geradores de tensão, os mesmos deverão ser transformados 
em geradores corrente) : 
 
Verif icar o número n de nós independentes (Nós que não sejam o mesmo ponto) existentes; 
 
Adotar um destes Nós, como sendo o Nó de referencia (Nó de Potencial Zero), onde todas 
as outras tensões serão obtidas com referência a este Nó 
 
 
Para cada Nó, com exceção do de referência, escrever a seguinte equação: 
 
 VN Ó x  G N Ó - V AD J A C E N T E x G A D J A C E N T E =  I G E R . ( E N T R AM ) -  I G E R . ( S A E M ) 
 
 
Para uma melhor compreensão da uti l ização deste processo, vamos resolver o exercício a 
seguir : 
 
 
 
10) - No circuito ao lado pede-se 
determinar todas as tensões e correntes 
do mesmo. Observe inicialmente que o 
circuito proposto é composto de Quatro 
Nós independentes (o processo em si 
aplica-se a “n-1” nós independentes) ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
+
- 12V
4
+
-
6V
4
3
3 3
88
2,2A
0,6A
2,2A
9V
6,6V
1,6A 1,6A
3,325A 3,325A
0,6A
1,125A 1,125A
9V
6,6V
2,4V 2,4V
4,8V
104A
2A
13
5
1
 
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- 48 - 
 
 
 
SOLUÇÃO: destes quatro nós, 
escolheremos um como sendo o nó de 
referência; (Nó de potencial Zero); todas 
as tensões a serem determinadas, o serão 
com relação a este nó; ou seja: 
 
 
 
Com estas considerações, montamos as equações de Maxwell da Análise Nodal forma como 
anter iormente descri to; ou seja: 
 
 
 












 












 












 
2V5
1
10
11V10
1V1:Vde
0V10
1V10
1
10
1
3
1V3
1:Vde
24V1V3
1V13
1:Vde
3213
3212
3211
 
 
 
Sugerimos, para melhorar a eficiência de 
resolução, mult ipl icarmos cada uma das 
equações pelo mmc dos denominadores 
envolvidos ; obtendo-se: 
 
 









20V13VV10
0V3V16V10
6V3VV4
321
321
321
 
 
Resolvendo-se o sistema acima , por qualquer método, (PORÉM RECOMENDAMOS O 
MÉTODO DOS DETERMINANTES) 
 






















  )16).(10()1).(10()3()10).(3(13).10()1()3).(1(13.164
13110
31610
314
P
 
15051016082016010330130132084 PP 

















  
 
Teremos ainda: 
 
 






















  )16).(20()1).(0()3()20).(3(13).0()1()3).(1(13.166
13120
3160
316
V1 
 
 
10
V1
V2 V3
3
5
4A
2A
1
1
 
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- 49 - 
2250V960601230320360132086V 11 

















  
 
 
Teremos ainda: 
 
 






















  )10).(0()20).(10()3()10).(3(13).10()6()20).(3(13.04
132010
3010
364
V2 
 
1800V6009602402003301306604V 22 

















  
 
E ainda: 
 






















  )16).(10()1).(10()6()10).(0(20).10()1()0).(1(20.164
20110
01610
614
V3 
 
2100V1020200128016010620013204V 33 

















  
 
 Portanto iremos ter : 
 
 
V14150
2100VV;V12150
1800VV;V15150
2250VV
P
3
3
P
2
2
P
1
1 


 
 
De posse destes valores podemos resolver completamente o circuito: 
 
 
 
 
 
 
 
10
V1
V2 V3
3
5
4A
2V
12V 14
V
3V
2A
1
1
1V
15
V
1A
2,8
A
0,2A1,2A
1A
 
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- 50 - 
6) COMPLEMENTAÇÃO: RESOLUÇÃO DE CIRCUITOS COM GERADOR VINCULADO 
 
No estudo de vários circuitos elétricos costumamos estabelecer modelosde eventuais 
disposit ivos eletrônicos (válvulas ou transistores por exemplo) atravês dos denominados 
geradores vinculados, que consistem em modelos, tais que as respectivas tensões ou 
correntes internas dependam de uma tensão ou de uma corrente (atravês de um vínculo) de 
um outro ponto qualquer da rede onde o disposit ivo se encontra. Analise o esquema a 
seguir : 
 
 
Note então que no exemplo fornecido temos dois geradores at ivos (independentes) e dois 
geradores vinculados: um cuja corrente vale 4 vezes o valor da tensão sobre o resistor de 
3 , e outro cuja tensão vale 5 vezes o valor da corrente que percorre o resistor de 2 
Os métodos de resolução deste t ipo de circuito (envolvendo geradores vinculados) são 
variáveis; dependendo da conveniência poderemos uti l izar análise nodal , análise de malha, 
ou até mesmo técnicas de simplif icação / t ransformação. A t í tulo demonstrat ivo e de 
compreensão, vamos abordar alguns exercícios com gerador vinculado: 
 
 
1º) Para o circuito abaixo, pede-se determinar a tensão VS indicada: 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Torna-se muito conveniente e prát ico , c ircuitos “com este aspecto” serem 
resolvidos por análise nodal; para tanto vamos transformar o gerador de tensão em gerador 
de corrente pela equivalência Northon Thevenìm ; teremos: 
 
 
 
+
- 24V
V
V
12
6
6
33 Vs
 
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- 51 - 
Ao adotarmos a análise nodal , verificamos que além do nó de referencia teremos dois nós 
dist intos e1 e e2 ; note entretanto que e1 será o próprio valor de V, e que e2 será a própria 
tensão Vs de saída pedida. De fato: 
 
 
 
Logo teremos para as equações da análise nodal: 
 











 




 
3
ee3
1
6
1e6
1
2e6
1e6
1
6
1
12
1
1
21
21
  











 



 




 
0e3
1
6
1e3
1
6
1
2e6
1e6
1
6
1
12
1
21
21
 
 
Convém cada equação pelo m.m.c dos denominadores envolvidos; teremos: 
 






0e3e3
24e2e5
21
21
  P = 
33
25


 = 15 – 6 = 9 ; ainda : 
 
e1 = 
30
224 
 = 72 + 0 = 72 ; e2 = 
03
245

 = 0 + 72 = 72 
 
Portanto: e1 = V89
72
p
e1 
 ; VS = e 2 = V89
72
p
e2 
 
 
 
2º) Para o circuito abaixo, pede-se a determinação da tensão V A B vista entre os pontos 
“A”e “B” 
 
 
 
SOLUÇÃO: Configuremos o circuito inicialmente para análise nodal; teremos: 
 
3
V6
6
3V = e1
e1 e2
122A
B
A
+
- 21V
VV
3
6
12
12 VAB
 
CIRCUITOS ELÉT RICOS 1 ; PROF MASSIMO ARGENTO ED.2017 
 
 
- 52 - 
 
 
Logo teremos para as equações da análise nodal: 
 











 




 
2
e
2
ee112
1e12
1
7e12
1e12
1
6
1
3
1
21
21
21
  











 



 




 
0e12
1
12
1e2
1
12
1
7e12
1e12
1
6
1
3
1
21
21
 
 
Convém cada equação pelo m.m.c dos denominadores envolvidos; teremos: 
 






0e19e7
84e1e7
21
21
 Considerando-se que o problema pede o valor de VA B = e2 
 
 
Verif ique que ao somarmos as equações obtemos: 18e 2 = 84  3
14
18
84e2  
 
Logo: VA B V667,43
14  
 
3º) Para o circuito abaixo, pede-se a determinação da tensão V A B vista entre os pontos 
“A”e “B” 
 
 
 
 
SOLUÇÃO: Vamos inicialmente efetuar o deslocamento conveniente do gerador de corrente 
vinculado, e entendermos a tensão entre os pontos A e B , verifique as etapas: 
3 6
2
36V 24V
8V+ +
- -
I 2.I +
-
B
A
VAB
2
V6
12
1
V = e1 2 - e
e1 e2
37A
B
A
VAB
 
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- 53 - 
 
 
 
 
 
Observe que se no esquema acima determinarmos a corrente I1 teremos a solução do 
problema; nestas condições: 
 
 






842486
2436I69
III
I
21
21
-
 ; Com : I = I2 - I1 teremos: 
 
 













1642
1269
)(41686
1269
21
21
1221
21
II
II
IIII
II
 
 
 
P = 42
69

 = 36 – 12 = 24 I1 = 416
612  = 48 + 96 = 144 
 
 
 Logo: I1 A624
144  ; analisando o 
 
 “Braço” A – B , teremos: 
 
 
VA B = 36 – 6.3  V A B = 18V 
 
 
 
3 6
2
36V 24V
8V
2.I
2 .I
4 I.
B
A
VAB
+ +
- -
+
-Ia)
6
2
24V
8V
VAB
+ +
- -
I +
-
B
A
+-
I1 I2
3
36V
b)
3
36V
+
-
B
A
VAB
18V
6A
 
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- 54 - 
CAP III - EXERCICIOS PROPOSTOS: 
 
 
1) Determine a potência fornecida para a 
associação ao lado, sabendo-se que é 
aplicada uma tensão de 100V entre os 
pontos A e B. 
Obs: R
VP
2
R  
Resposta: 2.500W 
 
 
2) Para o Circuito ao lado 
esquematizado, determine o valor de R 
sabendo-se que se uma tensão de 10V for 
aplicada entre os pontos A e B , i remos 
ter uma potência de 25W dissipada na 
associação . 
Obs: R
VP
2
R  
 
Resposta: 
6 
 
3) No circuito abaixo, determine a tensão V e a corrente I indicadas por qualquer 
processo: 
 
 
Resposta: I = 40A ; V = 160V 
 
 
 
 
4) Dado o circuito 
ao lado, pede-se 
determinar o valor 
das correntes I1 e 
I2 indicadas 
 
Resposta: 
I1 = 9A ; I2 = 4A 
 
 
A B
12
12

30

20
4
10
A B
16
12

R
16
R
12

- 1400V
+
3
10
2
30
11
10
10
2
4
12
78
20
2 I
V
C
D
2 2
412


4

108V
+
-

5
I1
I2
 
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- 55 - 
5) Dado os circuitos abaixo pede-se a determinação da tensão VA B indicada , pelo uso de 
transformação e deslocamento de geradores: 
 
 
 
 
 
 
6) Dado os circuitos abaixo, pede-se determinar o valor das tensões VR indicadas 
 
 
 
10V
+
-
+
-
+
-
+
-
10 3 12
15 4
30V 12V
24V
1A
3A 1A
VAB
A B
a)
+
+
-
-
3
6
6
9V
B A
4A
5A
+
-
10 1A
4V
4
12V
VAB
b)
+
+
-
-
3
1
6
6
6
14V
9V
B
+-
2
A
10V
4A
5A
c)
VAB
 
+ +
- -
9
i I
Ia) 
 
I b) 
 
2A12V 16V
Resp: V = 4VR
V R
6
5
3
2
Resp: V = -6VR
i
2A
VR
2
6
3 15
4
 
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- 56 - 
 
 
 
7) Para o circuito abaixo pede-se determinar todas as tensões e correntes do mesmo 
 
 
 
 
 
8) Dado os circuitos abaixo pede-se a determinação da tensão V A B indicada 
 
 
 
 
 
 
 
+ -
1510
10
5
2
2
4
18V
3A
6
Resp: V = 16VR
V
R
c) 
I
d) 3A
+-
15V

V
R
15
Resp: V = 1,2VR
+
- 7V
2
+
-
5V
2
12
6
2 2
33
B
A
+
- 16V
V
V
4
8
3 3 12
612 VAB
a)
B
A
+
- 10V
VV
6
b)
VAB2
 
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- 57 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
5 4
12
VAB
B
A
+
- 20V
V
V 5c)
1
5 4
12
VAB
B
A
+
- 20V
V
V
5d)
6 3
4
VAB
36V24V
12V+ +
- -
I 6.I +
-
B
A
e)