Listas 1 e 2

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE - Campus de Canpina Grande
UNIDADE ACADÊMICA DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA
Disciplina: Introdução à Estatística Período 2012.2
Professor: Ana Cristina Brandão e Manoel Neto Data:
Aluno(a):
LISTAS DE EXERCÍCIOS 1 E 2
Lista de Exercícios 1
1. O gêiser Old Faithful vem sendo monitorado nos últimos 25 anos consecutivos. Em
cada ano registram-se seis intervalos (em minutos) entre erupções, com os resultados
constando na tabela a seguir.
Ano Intervalo (min)
1 65 72 60 69 65 67
2 74 65 60 69 68 59
3 68 66 69 64 70 73
4 73 65 71 77 63 77
5 79 67 64 61 81 77
6 74 76 65 69 76 64
7 70 73 74 77 65 73
8 71 68 70 79 75 82
9 62 63 61 48 59 77
10 60 74 77 57 52 78
11 67 73 47 81 92 57
12 79 84 79 72 61 80
13 83 78 83 74 61 68
14 57 68 72 75 56 79
15 59 76 78 86 64 72
16 63 63 71 77 81 65
17 67 84 72 75 70 70
18 93 83 85 79 90 74
19 81 74 80 65 70 84
20 83 67 71 67 97 88
21 62 61 57 86 70 77
22 67 75 67 89 93 81
23 86 65 70 74 83 74
24 74 67 99 75 41 83
25 97 93 73 81 85 90
a) Construa um gráfico X para o intervalo médio entre erupções usando a amplitude
amostral na estimação da variância de X e determine se a média do processo está
sob controle. Como uma média fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC =
61, 58; LC = 72, 48; LSC = 83, 38; Processo fora de controle (amostras 18 e 25).
1
b) Construa um gráfico R e determine se a variação do processo está sob controle.
Como uma variação fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC = 0; LC =
22, 56; LSC = 45, 21; Processo fora de controle (amostra 24).
c) Construa um gráfico S e verifique se o desvio padrão do processo está sob controle.
Resp.: LIC = 0, 2565; LC = 8, 55; LSC = 16, 8435; Processo sob controle.
d) Compare os limites de controle obtidos no item (a) com os limites obtidos a partir
das expressões (??). Resp.: LIC = 61, 48; LC = 72, 48; LSC = 83, 48; Processo
fora de controle (amostras 18 e 25).
2. Um gerente da linha de produção utiliza limites de controle de dois desvios-padrão,
contrariando a sugestão do professor dele que sempre insiste em limites a três desvios-
padrão da média. O gerente fica muito frustrado porque muitas vezes não encontra
causas especiais correspondentes aos pontos fora dos limites de controle. O que está
acontecendo?
3. Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para as leituras de torque do rolamento
usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho n = 10 devem
ser usadas e sabemos que quando o processo está sob controle, o torque do rolamento
tem distribuição normal com média µ = 80 polegadas-libra e desvio padrão σ = 10
polegadas-libra. Ache a linha central e os limites de controle para esses gráficos de
controle. Resp.: Gráfico X: LIC = 70, 513; LC = 80; LSC = 89, 49; Gráfico S:
LIC = 2, 76; LC = 9, 727; LSC = 16, 69.
4. Amostras de 8 itens são retiradas de um processo de manufatura em intervalos re-
gulares. Uma característica da qualidade é medida e valores de x e R são calculados
para cada amostra. Depois de 50 amostras, obtemos
m∑
i=1
xi = 200 e
m∑
i=1
Ri = 250.
Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule os
limites de controle para os gráficos de controle x e R. Resp.: Gráfico X: LIC =
2, 135; LC = 4; LSC = 5, 865; Gráfico S: LIC = 0, 68; LC = 5; LSC = 9, 32.
5. Um gráfico x com limites 3σ tem os seguintes parâmetros: LSC = 104, LC = 100,
LIC = 96 e n = 5. Suponha que a característica da qualidade do processo sendo
controlada seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e desvio padrão 8.
Qual é a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle exatamente
no terceiro ponto plotado? Resp.: 0,1481.
6. Um gráfico x para uma característica normalmente distribuída deve ser construído
com valores de referência µ = 100, σ = 8 e n = 4. Determine:
a) Os limites de controle dois-sigma. Resp.: LIC = 92; LC = 100; LSC = 108.
b) Os limites de probabilidade 0,005. Resp.: LIC = 88, 76; LC = 100; LSC =
111, 24.
2
Lista de Exercícios 2
1. Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras de
tamanho 100. Construa um gráfico de controle para a fração não-conforme para esses
dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas atribuíveis
possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados.
Amostra Di Amostra Di
1 7 11 6
2 4 12 15
3 1 13 0
4 3 14 9
5 6 15 5
6 8 16 1
7 10 17 4
8 5 18 5
9 2 19 7
10 7 20 12
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 585; LSC = 0, 1289; Retirando a 12a amostra: LIC = 0;
LC = 0, 537; LSC = 0, 1213.
2. Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção de todas as unidades
de computadores pessoais produzidas durante os últimos 10 dias. O processo parece
estar sob controle?
Dia Unidades inspecionadas Di pˆi
1 80 4 0,050
2 110 7 0,064
3 90 5 0,056
4 75 8 0,107
5 130 6 0,038
6 120 6 0,050
7 70 4 0,057
8 125 5 0,040
9 105 8 0,076
10 95 7 0,074
Resp.: Sim.
3. Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em contêineres de 5000
cada. Dez contêineres chegaram para ser descarregados, e 250 braçadeiras foram
selecionadas de cada um. As frações não-conformes em cada amostra são: 0; 0;
0; 0,004; 0,008; 0,020; 0,004; 0; 0 e 0,008. Os dados deste carregamento indicam
controle estatístico?
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 0044; LSC = 0, 0170.
3
4. Um gráfico de controle para a fração não-conforme indica que a média corrente do
processo é 0,03. O tamanho da amostra é constante, de 200 unidades. Encontre os
limites 3-sigma para este gráfico de controle.
Resp.: LIC = 0; LC = 0, 03; LSC = 0, 0662.
5. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com linha central 0,10, LSC =
0, 19 e LIC = 0, 01 é usado para controlar um processo. Se são usados limites
3-sigma, ache o tamanho comum da amostra de cada subgrupo para o gráfico de
controle.
Resp.: n = 100.
6. Um gráfico de controle para não-conformidades por unidade de inspeção usa limites
de probabilidade de 0,95. A linha central está em λ = 1, 4. Determine os limites de
controle se o tamanho da amostra é 10.
Resp.: LIC = 0, 67; LC = 1, 4; LSC = 2, 13.
7. O número de não-conformidades de acabamento observado na inspeção final na mon-
tagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra aqui.
O processo parece está sob controle?
Dia ni yi
1 2 10
2 4 30
3 2 18
4 1 10
5 3 20
6 4 24
7 2 15
8 4 26
9 3 21
10 1 8
Resp.: Sim.
8. A produção de computadores pessoais pode ser monitorada através de cartas de
controle para atributos. O tamanho da amostra selecionada é de cinco computadores.
Iremos considerar o número de não-conformidades por tamanho amostral.
a) Com base nos dados, verifique se o processo está sob controle. Resp.: LIC =
0, 066; LC = 1, 93; LSC = 3, 794 (processo sob controle).
b) Construa o gráfico de controle para o numero de não-conformidades por unidade
de inspeção, supondo que o valor de referência é λ = 2, 5. Resp.: LIC = 0, 38;
LC = 2, 5; LSC = 4, 62.
4
Amostra yi ui
1 10 2,0
2 12 2,4
3 8 1,6
4 14 2,8
5 10 2,0
6 16 3,2
7 11 2,2
8 7 1,4
9 10 2,0
10 15 3,0
11 9 1,8
12 5 1,0
13 7 1,4
14 11 2,2
15 12 2,4
16 6 1,2
17 8 1,6
18 10 2,0
19 7 1,4
20 5 1,0
9. Um caso particular do gráfico u é quando inspecionamos apenas o número de não-
conformidades em uma única unidade de inspeção. Este gráfico é conhecido como
gráfico c onde c é o número médio de não-conformidades encontrado na unidade
inspecionada. Suponha que defeitos ou não-conformidades ocorram nessa unidade de
inspeção de acordo com a distribuição de Poisson de parâmetro c, ou seja
P (X = x) =
e−ccx
x!
, x = 0, 1, 2, ...
a) Escreva como seriam os limites de controle 3-sigma para este gráfico supondo o
valor c conhecido. Resp.: LIC = c− 3√c; LC = c; LSC = c+ 3√c.
b) Reescreva os limites do item anterior supondo que o valor c é desconhecido.Resp.: LIC = c¯− 3√c¯; LC = c¯; LSC = c¯+ 3√c¯.
10. Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não-conformidades em
uma área de submontagem que produz transmissões manuais. A unidade de inspeção
é definida como quatro transmissões, e os dados para 16 amostras (cada uma de
tamanho 4) são mostrados aqui.
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8
ci 1 3 2 1 0 2 1 5
Amostra 9 10 11 12 13 14 15 16
ci 2 1 0 2 1 1 2 3
5
a) Estabeleça um gráfico de controle para não-conformidades por unidade. Resp.:
LIC = 0; LC = 1, 6875; LSC = 5, 5846.
b) Esses dados provêm de um processo sob controle? Se não, suponha que causas
atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle, e calcule
os novos limites de controle revisados. Resp.: Processo sob controle.
11. Ache os limites 3-sigma para
a) Um gráfico c com média do processo igual a 4 não-conformidades.
Resp.: LIC = 0; LC = 4; LSC = 10.
b) Um gráfico u, com c = 4 e n = 4. Resp.: LIC = 0; LC = 1; LSC = 2, 5.
12. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades junto com a
inspeção final de um rádio. A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios.
O número médio de não-conformidades tem sido, no passado, de 0,5 por rádio. Ache
os limites de controle 3-sigma para um gráfico c com base nesse tamanho de unidade
de inspeção.
Resp.: LIC = 0; LC = 5; LSC = 11, 71.
6