AULA 2 CALCULO UM 2015

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Professor: Carlos Alberto de Albuquerque
Blog: http://professorcarlosaa.blogspot.com.br/
Email:
Carlos.albuquerque@ifsuldeminas.edu.br
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
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AULA 
DOIS
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Porque toda a lei se cumpre em só preceito, a saber:
Amarás o teu irmão como a ti mesmo.
 Gálatas, 5-14
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
Exemplo:
Encontre a derivada segunda de:
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
Exercício 1
Encontre a segunda derivada de 
Solução
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
Exercício 2
Encontre a segunda derivada de 
Solução
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
Exercício 3
Encontre as derivadas sucessivas de
Solução
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DERIVADAS SUCESSIVAS 
Exercício 4
Encontre as derivadas sucessivas de
Solução
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Função na forma Implícita
Consideremos a equação F(x, y) = 0 (1).
Dizemos que a função y = f(x) é definida implicitamente pela equação (1) se, ao substituirmos y por f(x) em (1), esta equação se transforma numa identidade.
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exemplo:
A equação 
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Para encontrar a função implícita, basta isolar uma variável na equação. 
O resultado é a forma implícita.
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Exemplo
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Nem sempre é possível encontrar a forma explícita de uma função definida implicitamente.
Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) definida pela equação:
O método da derivação implícita permite encontrar a derivada de uma função assim definida, sem a necessidade de explicitá-la.
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA IMPLÍCITA
Suponhamos que F(x, y) = 0 define implicitamente uma função derivável y = f(x).
Os exemplos que seguem mostram que usando a regra da cadeia, podemos determinar y’ sem explicitar y.
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EXEMPLO
Sabendo que y = f(x) é uma derivável definida implicitamente pela equação 
determinar y’.
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 5
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação 
determinar y’.
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Solução
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 6
Sabendo que y = f(x) é definida pela equação 
determinar y’.
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SOLUÇÃO
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DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Exercício 7
Determinar a equação da reta tangente à curva 
no ponto (-1, 0).
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SOLUÇÃO
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Sejam 
duas funções da mesma variável t, t ϵ [a, b].
Então, a cada valor de t correspondem dois valores x e y.
Considerando estes valores como coordenadas de um ponto P, podemos dizer que a cada valor de t corresponde um ponto bem determinado do plano xy.
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Se as funções x = x(t) e y = y(t) são contínuas, quando t varia de a até b, o ponto P(x(t), y(t)) descreve uma curva no plano.
As equações (1) são chamadas equações paramétricas da curva e t é chamado parâmetro.
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Vamos supor, agora, que a função x = x(t) admite uma função inversa t = t(x).
Nesse caso, podemos escrever y = y[t(x)] e dizemos que as equações (1) definem y como função x na forma paramétrica.
Eliminando o parâmetro t nas equações (1), podemos obter a função y = y(x) na forma analítica usual.
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo 1: As equações
Definem uma função y(x) na forma paramétrica.
De fato, a função x = 2t + 1 é inversível, e sua inversa é dada por
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Substituindo este valor na equação y = 4t + 3, obtemos a equação cartesiana da função y(x), que é dada por:
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo 2: As equações 
onde a é uma constante positiva, representam uma circunferência de centro na origem e raio a. t representa o ângulo formado pelo eixo do x e a reta que liga o centro ao ponto P.
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Seja y uma função de x definida pelas equações paramétricas
Temos:
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exemplo: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica pelas equações:
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SOLUÇÃO
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 8: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica pelas equações:
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SOLUÇÃO
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 9: Calcular a derivada
em função de x, da função y(x) definida na forma paramétrica pelas equações:
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SOLUÇÃO
Nesse caso devemos determinar t = t(x).
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 10: Calcular a derivada
da função y(x) definida na forma paramétrica pelas equações:
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
SOLUÇÃO
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DERIVADA DE UMA FUNÇÃO NA FORMA PARAMÉTRICA
Exercício 11: Determinar a equação da reta tangente à circunferência 
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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DEFERENCIAL
ACRÉSCIMOS
Seja y = f(x) uma função.
Podemos sempre considerar uma variação da variável independente x. 
Se x varia de x1 a x2, definimos o acréscimos de x, denotada por Δx, como:
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DEFERENCIAL
A variação de x origina uma correspondente variação de y, denotada por Δy, dada por:
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DEFERENCIAL
DIFERENCIAL
Sejam y = f(x) uma função derivável e Δx um acréscimo de x. Definimos:
a) a diferencial da variável independente x, denotada por dx, como dx = Δx;
b) a diferencial da variável dependente y, denotada por dy, como dy = f ´(x)•Δx.
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DEFERENCIAL
De acordo com a definição anterior, podemos escrever
Assim, a notação dy/dx, já usada para f ´(x), pode agora ser considerada um quociente entre duas diferenciais. 
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DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Consideremos a Figura, que representa o gráfico de uma função y = f(x) derivável.
O acréscimo Δx que define a diferencial dx está
geometricamente representado pela medida do segmento PM [P(x1, f(x1)) e M(x2, f(x1))].
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DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
O acréscimo Δy está representado pela medida do segmento MQ.
A reta t é tangente à curva no ponto P. Essa reta corta a reta x = x2 no 
Ponto R, formando o triângulo retângulo PMR. A inclinação desta reta t é dada por f `(x1) ou tg α.
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DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Observando o triângulo PMR, escrevemos;
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DEFERENCIAL
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA
Observamos que, quando Δx torna-se muito pequeno, o mesmo ocorre com a diferença Δy – dy.
Então temos que Δy ≈ dy, desde que Δx seja um
valor pequeno.
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DEFERENCIAL
Exemplo 1: 
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DEFERENCIAL
Exemplo 2: 
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DEFERENCIAL
Exemplo 2: 
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DEFERENCIAL
Exemplo 3: Calcule, usando diferenciais, um valor aproximado para
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DEFERENCIAL
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DEFERENCIAL
Exemplo 4: 
Obtenha um valor aproximado para o volume de uma fina coroa cilíndrica de altura 12 m, raio interior 7 m e espessura 0,05 m. Qual o erro decorrente se resolvermos usando diferenciais? 
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SOLUÇÃO
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SOLUÇÃO
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FIM
DA AULA
DOIS