Exp2 Pendulo

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Pêndulo
Alessandro de Figueiredo Vierma
Fabiano Pereira Torres
Gicélia Ventura de Souza
Leandro Alves da Cruz
Liliane do Nascimento Pereira
Luciano Pereira Fernandes
Mateus Henrique da Rosa Inácio
 Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul
Núcleo de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Física
Disciplina: Física Experimental A – Prof. Paulo César de Souza, M.Sc.
Resumo. Com o intuito de efetuar uma simulação da questão daFUVEST de 2004 sobre o movimento de um satélite em volta da Terra, foi realizada uma série de medidas de
período de oscilação de um pêndulo composto. Foi feito um filme das oscilações deste pêndulo com uma régua grande fixada num fundo liso, a fim de melhorar a precisão das medidas do comprimento e ângulo do pêndulo. Foi dada a ênfase à flutuação dos dados em torno do seu valor médio quando se repetem as medições nas mesmas condições experimentais. Os dados foram analisados usando os procedimentos estatísticos usuais.
O histograma dos dados obtidos de 219 repetições apresentou um formato bimodal com T1 = 0,7079(16)s e T2 = 0,7805(14)s, respectivamente para o primeiro e segundo pico. Foi discutida a discrepância entre os valores experimentais e o calculado (0,764(53)s) levando em conta as condições experimentais como também as aproximações no cálculo teórico.
Com o intuito de encontrar a aceleração da gravidade (g) este experimento consistiu em liberar corpos de alturas pré-determinadas e medir o tempo que elas gastam para atingir um ponto base também pré-determinado e sempre fixo. O objetivo, além de encontrar g para o local do experimento, foi fazer uma analogia ao seu valor convencionado de 9,8 m/s², considerada como constante próximo à superfície da Terra devido à pequena variação que esta sofre. Para isto utilizamos a base teórica do MRUV e as leis de Newton. Utilizando 05 (cinco) alturas diferentes chegamos a g entre 8,52 e 10,14 m/s², valores estes aquém e além das expectativas, que visavam um resultado mais congruente, tendo-se em vista o cuidado que se tomou para evitar-se erros na operação dos instrumentos.
Palavras chave: pêndulo, gravidade, física experimental.
�
Introdução
A experiência descrita no presente relatório teve como objetivo determinar o período de rotação do pêndulo composto e comparar com o valor calculado a partir da mecânica newtoniana.
O pêndulo composto em questão simula a questão da FUVEST sobre satélite artificial em órbita circular em torno da Terra, mantendo um período que depende de sua altura em relação à superfície da Terra.
O pêndulo composto (Figura 1) consiste de um pequeno objeto (A) e de um fio flexível. O objeto está preso em uma das extremidades do fio que passa por um tubo de vidro especialmente polido e na outra extremidade tem se um peso de massa M (B). O operador segura o tubo de vidro e faz o objeto girar descrevendo uma trajetória circular. O objeto A representa o satélite e o peso B, que determina a força centrípeta aplicada no objeto, corresponde a força gravitacional que atua sobre o satélite.
A Física é uma ciência experimental quantitativa e como tal é uma ciência de medidas. A seguir serão apresentados os procedimentos e resultados obtidos da experiência realizada no laboratório de física básica da UEMS no dia 25/06/2007. Para este experimento foram definidos alguns objetivos para execução deste.
Objetivo
Determinar a aceleração da gravidade g utilizando a teoria de erros através de um pêndulo simples e analisar as suas variáveis.
Objetivos específicos:
Ajustar o comprimento do pêndulo e certificar-se que o ângulo θ, no caso o θ será de 10º, esteja dentro das aproximações empregadas na dedução da equação;	
Comparar o tempo de 10 oscilações para o período 
, e repetir o processo 5 vezes para dez medidas de comprimento distintas;
Calcular o valor médio e desvio padrão médio de cada série de medidas, indicando também as incertezas percentuais;
Realizar os três primeiros objetivos para um θ >15º;
Calcular o valor médio e o desvio padrão do valor médio de todo o conjunto das medidas. Indicando também as incertezas percentuais;
Montar dois gráficos através dos dados obtidos um no modelo T² x L (papel linear) e T x L (papel dilog);
Obter graficamente o valor de g e a sua incerteza; 
Comparar os resultados obtidos tendo em base a gravimetria; 	
Determinar o valor da aceleração da gravidade.
Informações teóricas
Física da Aceleração da Gravidade
A interação gravitacional é uma das quatro interações fundamentais conhecidas e é a única que afeta todo tipo de matéria e energia.
A força gravitacional é sempre atrativa. A atração gravitacional entre duas partículas puntiformes em repouso é uma força central cujo módulo depende somente das massas m1 e m2 e da distância r entre as partículas.
FIGURA 1.1 – Força de atração gravitacional entre dois corpos puntiformes
Uma interpretação útil da atração gravitacional é que a força gravitacional F sobre um corpo puntiforme de massa m é provocada pela ação de um campo gravitacional g (r) e este campo é alterado pela presença dos corpos. A força é relacionada com o campo pela seguinte equação:
		(1)
onde r é o vetor posição da massa m.
A unidade do campo gravitacional g r é a mesma da aceleração. O campo g r em torno de uma partícula puntiforme de massa M localizada na origem de coordenadas vale:
	(2)
Pode-se mostrar que o campo gravitacional em torno de um corpo extenso com simetria esférica é idêntico ao campo de uma partícula puntiforme no centro da massa extensa e com um valor de massa igual ao corpo inteiro. Como as estrelas e os planetas têm aproximadamente simetria esférica este fato permite usar a equação (2) para descrever o campo gravitacional fora da estrela ou do planeta. No caso da Terra temos na superfície da Terra.
Como as dimensões de um laboratório são normalmente muito pequenas em comparação com o raio da terra RTerra o campo gravitacional é praticamente constante dentro de um laboratório.
A Física do pêndulo
FIGURA 1.2 – Exemplo de um Pêndulo Simples
Um pêndulo é um corpo que está sujeito à força gravitacional e que pode girar, sem deformação, em torno de um ponto fixo. Um pêndulo simples é uma forma idealizada de um pêndulo, e ele é caracterizado pelo fato que praticamente toda a massa do pêndulo está concentrada numa partícula puntiforme e a parte do corpo que liga esta partícula ao ponto de rotação tem massa desprezível. Experimentalmente podemos realizar um pêndulo simples pendurando uma pequena bola na extremidade de um fio fino flexível que é fixo pela outra extremidade num suporte rígido e fixo no laboratório.
Este tipo de sistema mecânico pode oscilar em torno de uma posição de equilíbrio. Excitando o pêndulo adequadamente podemos ter oscilações que se limita a um plano. Neste caso podemos descrever a configuração do pêndulo com uma única coordenada. Podemos usar o ângulo a que o fio faz com a direção vertical como tal coordenada.
FIGURA 1.3 – Exemplo de um Pêndulo Simples em oscilação
Como o período de um pêndulo simples é praticamente da amplitude, o pêndulo é útil como o relógio. Desde que as forças amortecedoras reduzem a amplitude da oscilação, o período permanece muito aproximadamente inalterado. Em um relógio de pêndulo a energia fornecida automaticamente por um mecanismo de escapamento que compensa as perdas devidas ao atrito. O relógio de pêndulo com escapamento foi inventado por Christian Huygens (1629 – 1695).
O pêndulo simples proporciona um método conveniente para medir o valor da aceleração da gravidade (g). Em lugar de realizar uma experiência de queda livre, bastará medir L e T.
TABELA 1.1 – Fórmulas Teóricas
	Indicador (fx)
	Equação
	(3)
	Média
	
	(4)
	Desvio padrão
	
	(5)
	Desvio padrão médio
	
	(6)
	Incerteza do instrumento
	
	(7)
	Erro padrão
	
	(8)
	Erro padrão relativo
	
	(9)
	Erro padrão percentual
	
	(10)
	Desvio padrão médio da velocidade(11)
	Desvio padrão médio da aceleração
	
Descrição experimental e procedimento
Para realizarmos a experiência foi seguido o seguinte procedimento:
O tempo ∆t de 10 oscilações de um pêndulo simples foi cronometrado 10 vezes; usamos um cronômetro digital com erro limite de 0,01s, no parâmetro angular de 10º. O mesmo procedimento foi realizado para um parâmetro angular maior de 15º (adotamos 20°) e comprimento fixo.
E como 0,1s é um limite de erro bastante confiável para o tempo de reação humana, pode existir erro sistemático, assim a incerteza residual é calculada pela equação (6).
O erro de leitura do comprimento é igual a 0,005 m porque o instrumento usado na experiência foi uma trena metálica na qual podíamos medir a distancia mínima de 0,01m.
Com o aparato experimental já montado sobre a bancada do laboratório, demos início ao experimento objetivando obter as primeiras medidas. Realizamos cinco vezes o mesmo procedimento para cada comprimento (L) e, calculamos o período para cada oscilação.
Características de instrumentos e incertezas de leitura.
Trena analítico metálica (menor divisão = 1 mm);
Transferidor acrílico cristal 180º TRIDENT (menor divisão = 5º);
Balança semi-analítica MARTE (modelo AS 5500 C, Nº. de série (263258/2001) menor divisão = 0.01 g.
Conjunto pêndulo.
Arranjo e procedimento experimental
Primeiramente a equipe colocou os fotosensores nas posições 0, 150, 300, 550 e 600 mm. A esfera foi colocada em repouso no eletroímã acionado por uma bobina de disparo alimentada por uma fonte, e fixamos a posição inicial (S0) logo abaixo da sombra da esfera para considerar também v0 e t0 igual a zero. Liberamos a esfera e anotamos o tempo de queda fornecido pelo cronômetro digital integrado aos sensores. Repetimos este procedimento 05 (cinco) vezes para cada esfera experimental. Durante o tratamento dos dados atribuiremos à altura a variável S.
	
	
FIGURA 2.3 – Corpo em repouso e em movimento.
Detalhes relevantes
Foi notado, durante as medições de tempo, que o cronômetro marca o tempo gasto em cada intervalo não fazendo a soma automática.
Tomamos o cuidado com o alinhamento dos fotosensores com o auxílio do fio de prumo e evitamos manter a bobina ligada por mais de 30 segundos devido ao sobreaquecimento e possível queima do enrolamento da bobina.
Resultados e análise
Dados medidos
As três tabelas a seguir (3.1, 3.2 e 3.3) apresentam os resultados obtidos pelo cronômetro digital acionado pelos fotosensores. Estas tabelas apresentam os valores acumulados.
TABELA 3.1 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de ISOPOR
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,155
	0,155
	0,155
	0,152
	0,155
	S2 (300mm)
	0,230
	0,230
	0,231
	0,229
	0,231
	S3 (550mm)
	0,328
	0,328
	0,328
	0,326
	0,328
	S4 (600mm)
	0,344
	0,345
	0,344
	0,342
	0,344
TABELA 3.2 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de AÇO >
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,155
	0,141
	0,141
	0,142
	0,141
	S2 (300mm)
	0,231
	0,212
	0,212
	0,212
	0,212
	S3 (550mm)
	0,328
	0,300
	0,300
	0,301
	0,300
	S4 (600mm)
	0,344
	0,314
	0,314
	0,315
	0,314
TABELA 3.3 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de AÇO <
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,141
	0,141
	0,162
	0,160
	0,162
	S2 (300mm)
	0,212
	0,212
	0,234
	0,232
	0,234
	S3 (550mm)
	0,300
	0,300
	0,323
	0,321
	0,323
	S4 (600mm)
	0,314
	0,314
	0,337
	0,335
	0,337
Cálculos e fórmulas
Os valores apresentados a seguir foram encontrados a partir das fórmulas da tabela 1.1 baseado nos dados medidos do experimento (tabelas 3.1, 3.2 e 3.3). 
TABELA 3.4 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de ISOPOR
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,154
	0,001
	0,001
	0,001
	0,007
	0,74
	S2 (300mm)
	0,230
	0,001
	0,000
	0,001
	0,005
	0,46
	S3 (550mm)
	0,328
	0,001
	0,000
	0,001
	0,003
	0,32
	S4 (600mm)
	0,344
	0,001
	0,000
	0,001
	0,003
	0,32
TABELA 3.5 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de AÇO >
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,144
	0,006
	0,002
	0,003
	0,018
	1,85
	S2 (300mm)
	0,216
	0,008
	0,003
	0,004
	0,016
	1,64
	S3 (550mm)
	0,306
	0,011
	0,005
	0,005
	0,017
	1,66
	S4 (600mm)
	0,320
	0,012
	0,005
	0,005
	0,017
	1,69
TABELA 3.6 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de AÇO <
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,153
	0,010
	0,004
	0,005
	0,030
	2,99
	S2 (300mm)
	0,225
	0,010
	0,005
	0,005
	0,021
	2,13
	S3 (550mm)
	0,313
	0,011
	0,005
	0,005
	0,016
	1,60
	S4 (600mm)
	0,327
	0,011
	0,005
	0,005
	0,015
	1,53
* Incerteza do instrumento� = 0,001 s
As tabelas 3.4, 3.5 e 3.6 apresentam os valores das médias, desvios e incertezas encontradas nos intevalos de tempo medidos e, apartir desses resultados montamos um grafico S x t².
GRÁFICO 3.1 – Gráfico S x t²
Aplicando minimos quadrados para uma melhor linearização obtemos novos valores para y pela equação da reta y=a+bx, e com isso encontramos o valor da aceleração da gravidade local igualando b com a equação (3) onde S0=0 e v0=0.
	(13)
		(14)
onde, (=
Resultados encontrados
TABELA 3.7 – Resultados encontrados a partir dos parâmetros A e B
	Parâmetro
	Esfera
	
	Isopor
	Aço >
	Aço <
	A
	3,978
	4,003
	1,948
	B
	482,329
	568,195
	516,103
	Y1
	154,723
	152,995
	152,995
	Y2
	295,370
	295,379
	295,379
	Y3
	557,420
	551,408
	551,408
	Y4
	609,887
	600,216
	600,216
Para verificar a dependência quadrática com o tempo utilizamos um papel dilog e traçamos o gráfico s x t e aplicando a teoria dos mínimos quadrados encontramos um valor de g para cada corpo, com o g encontrado fizemos também o gráfico v x t.
TABELA 3.8 – Valores encontrados para o gráfico S x t (dilog)
	Esfera
	Variáveis
	Parâmetros
	
	S (mm)
	t (s)
	a
	b
	Isopor
	75
	0,077
	-100,933
	1931,232
	
	225
	0,191
	
	
	
	425
	0,278
	
	
	
	575
	0,335
	
	
	Aço >
	75
	0,071
	-100,728
	2103,659
	
	225
	0,176
	
	
	
	425
	0,256
	
	
	
	575
	0,307
	
	
	Aço <
	75
	0,080
	-115,159
	1999,589
	
	225
	0,196
	
	
	
	425
	0,276
	
	
	
	575
	0,328
	
	
A seguir são apresentados os gráficos em S x t², S x t (di-log) e v x t em escala maior.
�
�
�
�
A tabela 3.8 apresenta as variações de espaço e as variações de tempo encontradas da seguinte forma;
	
 
 e assim sucessivamente.
Aplicando log na equação (3) com S0=0 e v0=0, temos:
, onde S = b. Logo:
	(15)
Com a solução da equação (15) temos:
esfera de isopor 	(g = 8,534 m/s²)
esfera de aço > 	(g =10,141 m/s²)
esfera de aço < 	(g =8,518 m/s²)
A partir da equação (2) calculamos a velocidade para o terceiro gráfico (v x t) com o g encontrado pela equação (15) .
V0 = 0 e V = gt
GRÁFICO 3.2 – Gráfico v x t
TABELA 3.9 – Velocidades encontradas a partir de g
	Esfera
	Velocidades (m/s)
	
	v1
	v2
	v3
	v4
	Isopor
	0,656
	1,636
	2,371
	2,86
	Aço >
	0,68
	1,667
	2,353
	2,791
	Aço <
	0,71
	1,832
	2,596
	3,113
Discussão dos resultados
Sob a ação de uma força constante como a força gravitacional, a velocidade do corpo vai aumentando a partir do momento que ele é largado do repouso, até atingir assintoticamente uma velocidade constante. 
Como não realizamos a experiência no vácuo não podemos desprezar a resistência do ar. Primeiro porque o ar é um meio fluído, no qual os pesquisadores e seus instrumentosestão imersos, e exerce sobre tudo o empuxo, descoberto por Arquimedes. Segundo, porque os fluidos exercem uma resistência ao movimento de qualquer corpo. Esta força depende basicamente da seção reta do corpo, relativa à direção de movimento, e da viscosidade do fluido. Dai decorre a denominação força de atrito viscoso. Mas admitindo-se que a o campo gravitacional seja constante próximo a superfície terrestre, supõe-se que esses efeitos são muito pequenos e podem ser desprezados.
Como os resultados encontrados na realização da experiência estão próximos dos valores encontrados com o pendulo simples (g = 9,869 m/s²) e aproximadamente coerente com os valores tabelados para Dourados, podemos afirmar que desprezando a resistência do ar, todo e qualquer objeto, independente de seu tamanho, composição ou forma, caem com quase a mesma aceleração devido à gravidade ser praticamente constante próximo à superfície da Terra.
Conclusão
Os objetivos traçados foram atingidos, porém, o valor da aceleração da gravidade encontrado está acima do valor esperado. O valor obtido ao final da experiência não ficou dentro do esperado, por ser maior que o valor adotado (9,8 m/s²), em se tratando do fato de o local do experimento estar acima do nível do mar; e acima do esperado por ser um valor suficientemente maior para concluirmos que houve falhas no experimento. Estas falhas se devem principalmente a falhas e/ou imperícias na operação dos instrumentos.
Em linhas gerais os resultados foram satisfatórios, pois forneceram um valor próximo do esperado, mas não equiparável àquele visado pelo objetivo da experiência.
�
Referencias
[1] Autor desconhecido, “Medição de Dados Experimentais, Incerteza e Propagação de Erro”. http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Incerteza.htm, acesso em: 17/06/2007.
 [2] Autor desconhecido, “Vocabulário de Termos Fundamentais - Ipem-sp”. http://www.ipem.sp.gov.br/5mt/met-geral.asp?vpro=resultado, acesso em: 17/06/2007.
[3] H. Mukai; P.R.G. Fernandes, “Manual de Laboratório – Física Experimental I”. http://www.dfi.uem.br/salvatexto.php?id=cap2-medidaseerros.pdf, acesso em: 20/06/2007.
[4] J.H. Vuolo, “Fundamentos da Teoria de Erros” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1996), 2a ed.
[5] R. B. Barthen, “Tratamento e Analise de Dados em Física Experimental” (Editora da UFRJ, Rio de Janeiro).
[6] D. Halliday, R. Resnick e K.S. Krane, “Física 1: Corpos em queda livre” (Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1996), 4a ed.
[7] H. M. Nussenzveig, “Curso de Física Básica, v. 1: Mecânica” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1996), 3a ed.
[8] O. A. M. Helene, V. R. Vanin, “Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1981), 2a ed.
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� Incerteza do cronômetro digital: a regra universalmente seguida nos casos em que se usa um instrumento digital é a de tomar como incerteza padrão da medição uma unidade da ordem de grandeza do algarismo menos significativo do mostrador.
		� PAGE �4�
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