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Queda Livre
Alessandro de Figueiredo Vierma
Fabiano Pereira Torres
Gicélia Ventura de Souza
Leandro Alves da Cruz
Liliane do Nascimento Pereira
Luciano Pereira Fernandes
Mateus Henrique da Rosa Inácio
 Universidade Estadual do Mato Grosso do Sul
Núcleo de Ciências Exatas e Tecnológicas
Curso de Licenciatura em Física
Disciplina: Física Experimental A – Prof. Paulo César de Souza, M.Sc.
Resumo. Com o intuito de encontrar a aceleração da gravidade (g) este experimento consistiu em liberar corpos de alturas pré-determinadas e medir o tempo que elas gastam para atingir um ponto base também pré-determinado e sempre fixo. O objetivo, além de encontrar g para o local do experimento, foi fazer uma analogia ao seu valor convencionado de 9,8 m/s², considerada como constante próximo à superfície da Terra devido à pequena variação que esta sofre. Para isto utilizamos a base teórica do MRUV e as leis de Newton. Utilizando 05 (cinco) alturas diferentes chegamos a g entre 8,52 e 10,14 m/s², valores estes aquém e além das expectativas, que visavam um resultado mais congruente, tendo-se em vista o cuidado que se tomou para evitar-se erros na operação dos instrumentos.
Palavras chave: queda livre, gravidade, física experimental.
�
Introdução
Chamamos de queda-livre ao movimento ideal de um corpo em queda, com velocidade inicial nula, sob ação apenas da força da gravidade. Movimentos reais de queda normalmente sofrem ação de forças de atrito (com o ar, por exemplo) e podem se afastar do caso ideal. Corpos pequenos e densos, observados em pequenos intervalos de tempo, podem descrever bem o movimento de queda-livre. Neste experimento iremos estudar o movimento em queda-livre a partir da observação do movimento real de um corpo em queda.
A experiência realizada constitui-se em uma esfera que cai livremente de distâncias pré-determinadas. Seu tempo de queda é medido e tabelado. A partir desses resultados, tem-se como objetivo determinar a aceleração da gravidade baseada na atração entre corpos. 
Experiências pouco cuidadosas podem dar a impressão de que a aceleração varia com a massa dos corpos; por exemplo, uma folha de papel amassada e outra aberta podem cair em tempos diferentes: isto ocorre devido à resistência do ar. Os antigos gregos acreditavam firmemente que isto se devia às propriedades intrínsecas dos corpos (quanto mais pesado o corpo, maior a sua velocidade de queda).
Galileu mostrou que este não era o caso, soltando vários corpos do alto da Torre de Pisa. Além disso, usou um argumento muito convincente a favor da constância de g, para todos os corpos: suponhamos um corpo A caindo do alto da torre; imaginemos, agora, o corpo dividido em duas metades. Cada uma destas duas metades terá a mesma aceleração que qualquer um outro corpo que tenha a mesma massa que a metade do corpo A. Se, agora, juntamos novamente as metades, elas vão continuar tendo a mesma aceleração. É evidente, pois, que corpos de diferentes massas têm a mesma aceleração na queda.
A Física é uma ciência experimental quantitativa e como tal é uma ciência de medidas. A seguir serão apresentados os procedimentos e resultados obtidos da experiência realizada no laboratório de física básica da UEMS no dia 30/07/2007. Para este experimento foram definidos alguns objetivos para execução deste.
Objetivo
Observar o movimento de queda livre e caracterização do movimento retilíneo acelerado sob a influência de um campo gravitacional e determinar a aceleração da gravidade de um corpo próximo à superfície terrestre.
Objetivos específicos:
Observar características do movimento em queda-livre;
Caracterizar um Movimento Retilíneo Acelerado;
Elaborar uma tabela dos dados obtidos e determinar a incerteza experimental de cada grandeza física medida;
Fazer uma tabela das posições e das velocidades médias nos intervalos medidos;
Traçar um gráfico em papel milimetrado dos valores medidos S x t² (com barras de erro) e aplicar mínimos quadrados;
Determinar a aceleração local da gravidade comparando com o valor para Dourados-MS�.
Traçar um gráfico em papel dilog dos valores medidos S x t (com barras de erro) e determinar os coeficientes por mínimos quadrados;
Traçar um gráfico v x t (com barras de erro) com o valor de g encontrado.
Informações teóricas
No conceito da Física, Queda livre é a condição de aceleração causada somente pela gravidade. Em outras palavras, os objetos em queda livre experienciam somente uma única força: o seu próprio peso. 
O exemplo mais comum de movimento com aceleração (aproximadamente) constante é o de um corpo que cai ao solo. Quando um corpo cai no vácuo, de forma que a resistência do ar não afete seu movimento, comprovamos um fato notável: todos os corpos, quaisquer que sejam seus tamanhos, formas ou composição caem com a mesma aceleração no mesmo local próximo da superfície da Terra. Esta aceleração, indicada pela letra g, é denominada aceleração de queda livre (ou às vezes aceleração devida à gravidade). Embora essa aceleração dependa da distância ao centro da Terra, se a distância de queda for pequena em comparação com o raio da Terra (6400 km), poderemos supor a aceleração constante durante a queda.
Na proximidade da superfície da Terra o módulo de g é aproximadamente 9,8 m/s². O sentido da aceleração de queda livre em qualquer ponto define o que entendemos por “para baixo” daquele ponto.
Embora falemos de corpo em queda, os corpos que sobem estão sujeitos à mesma aceleração de queda livre (em módulo e sentido). Isto é, não importa se a velocidade da partícula é para cima ou para baixo, o sentido de sua aceleração sob a influência da gravidade terrestre é sempre para baixo.
O valor exato da aceleração de queda livre varia com a latitude e com a altitude. Há também variação significativa causada por diferenças na densidade local da crosta terrestre.
O movimento uniformemente variado (M.U.V) caracteriza-se pelo fato de que o valor absoluto da aceleração escalar (g) é constante em relação à variável tempo (t). Tal tipo de movimento pode ser reproduzido na prática, com certa facilidade, através da queda livre de uma bolinha de aço polida, de pequena altura (da ordem do metro). A resistência imposta pelo ar pode ser negligenciada, nessas condições, e a aceleração escalar do movimento da bolinha identifica-se com a aceleração imposta pela gravidade local.
Se um corpo de massa m é acelerado a partir de seu estado num campo gravitacional constante (força gravitacional = mg), este executa movimento retilíneo uniformemente acelerado.
Através da utilização do sistema de coordenadas, tal que, o eixo y indique a direção do movimento (altura), e resolvendo sua equação unidimensional,
	(1)
com as seguintes condições iniciais,
obtemos a relação entre a altura e o tempo dado pela equação abaixo,
	(2)
A equação obtida representa é válida para toda e qualquer situação de queda livre e baseia-se na equação do MRUV.
	(3)
TABELA 1.1 – Fórmulas Teóricas
	Indicador (fx)
	Equação
	(4)
	Média
	
	(5)
	Desvio padrão
	
	(6)
	Desvio padrão médio
	
	(7)
	Incerteza do instrumento
	
	(8)
	Erro padrão
	
	(9)
	Erro padrão relativo
	
	(10)
	Erro padrão percentual
	
	(11)
	Desvio padrão médio da velocidade
	
	(12)
	Desvio padrão médio da aceleração
	
Descrição experimental e procedimento
Este experimento é desenvolvido sobre o arranjo definido pelo conjunto KLEIN. O equipamento é formado por um conjunto de sensores fixados verticalmente e ligados a um cronômetro digital que mede quatro intervalos de tempo. Um eletroímã libera uma pequena esfera de isopor ou aço que cai, passando entre os sensores.
Foi executada a montagem do experimento alinhando os sensores verticalmente. Os sensores estavam ligados ao cronômetro digital e o eletroímã do sistema de largada foi fixado logo acima do primeiro feixe de luz.
Para utilizá-lo o experimentador encostou a esfera na bobina,ligou a chave do interruptor e preparou o cronômetro. Para dar início ao movimento bastava soltar a chave cortando a corrente elétrica do eletroímã.
Com o aparato experimental já montado sobre a bancada do laboratório, demos início ao experimento objetivando obter as primeiras medidas.
Características de instrumentos e incertezas de leitura.
Paquímetro analítico MITUTOYO, menor divisão do vernier = 0.05 mm;
Régua acrílica cristal 30 cm TRIDENT (menor divisão = 1 mm);
Balança semi-analítica MARTE (modelo AS 5500 C, Nº. de série (263258/2001) menor divisão = 0.01 g.
Conjunto para queda de corpos KLEIN composto por suporte de base, eletroímã acionado por uma fonte de alimentação, cronômetro digital (divisão = 0.001 s) e sensores fotoelétricos.
	
	
	
	
FIGURA 2.1 – Conjunto para queda de corpos
Materiais utilizados.
Foram utilizadas 03 (três) esferas, uma esfera irregular de isopor (0,35 g e aproximadamente 21,40 mm) e duas esferas regulares de aço, sendo uma maior (23,77 g e 18,00 mm) e uma menor (4,48 g e 10,30 mm).
�
FIGURA 2.2 – Esferas utilizadas no experimento.
Arranjo e procedimento experimental
Primeiramente a equipe colocou os fotosensores nas posições 0, 150, 300, 550 e 600 mm. A esfera foi colocada em repouso no eletroímã acionado por uma bobina de disparo alimentada por uma fonte, e fixamos a posição inicial (S0) logo abaixo da sombra da esfera para considerar também v0 e t0 igual a zero. Liberamos a esfera e anotamos o tempo de queda fornecido pelo cronômetro digital integrado aos sensores. Repetimos este procedimento 05 (cinco) vezes para cada esfera experimental. Durante o tratamento dos dados atribuiremos à altura a variável S.
	
	
FIGURA 2.3 – Corpo em repouso e em movimento.
Detalhes relevantes
Foi notado, durante as medições de tempo, que o cronômetro marca o tempo gasto em cada intervalo não fazendo a soma automática.
Tomamos o cuidado com o alinhamento dos fotosensores com o auxílio do fio de prumo e evitamos manter a bobina ligada por mais de 30 segundos devido ao sobreaquecimento e possível queima do enrolamento da bobina.
Resultados e análise
Dados medidos
As três tabelas a seguir (3.1, 3.2 e 3.3) apresentam os resultados obtidos pelo cronômetro digital acionado pelos fotosensores. Estas tabelas apresentam os valores acumulados.
TABELA 3.1 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de ISOPOR
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,155
	0,155
	0,155
	0,152
	0,155
	S2 (300mm)
	0,230
	0,230
	0,231
	0,229
	0,231
	S3 (550mm)
	0,328
	0,328
	0,328
	0,326
	0,328
	S4 (600mm)
	0,344
	0,345
	0,344
	0,342
	0,344
TABELA 3.2 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de AÇO >
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,155
	0,141
	0,141
	0,142
	0,141
	S2 (300mm)
	0,231
	0,212
	0,212
	0,212
	0,212
	S3 (550mm)
	0,328
	0,300
	0,300
	0,301
	0,300
	S4 (600mm)
	0,344
	0,314
	0,314
	0,315
	0,314
TABELA 3.3 – Leituras obtidas no cronômetro digital para a esfera de AÇO <
	Altura (S)
	Tempo (s)
	
	t1
	t2
	t3
	t4
	t5
	S1 (150mm)
	0,141
	0,141
	0,162
	0,160
	0,162
	S2 (300mm)
	0,212
	0,212
	0,234
	0,232
	0,234
	S3 (550mm)
	0,300
	0,300
	0,323
	0,321
	0,323
	S4 (600mm)
	0,314
	0,314
	0,337
	0,335
	0,337
Cálculos e fórmulas
Os valores apresentados a seguir foram encontrados a partir das fórmulas da tabela 1.1 baseado nos dados medidos do experimento (tabelas 3.1, 3.2 e 3.3). 
TABELA 3.4 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de ISOPOR
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,154
	0,001
	0,001
	0,001
	0,007
	0,74
	S2 (300mm)
	0,230
	0,001
	0,000
	0,001
	0,005
	0,46
	S3 (550mm)
	0,328
	0,001
	0,000
	0,001
	0,003
	0,32
	S4 (600mm)
	0,344
	0,001
	0,000
	0,001
	0,003
	0,32
TABELA 3.5 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de AÇO >
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,144
	0,006
	0,002
	0,003
	0,018
	1,85
	S2 (300mm)
	0,216
	0,008
	0,003
	0,004
	0,016
	1,64
	S3 (550mm)
	0,306
	0,011
	0,005
	0,005
	0,017
	1,66
	S4 (600mm)
	0,320
	0,012
	0,005
	0,005
	0,017
	1,69
TABELA 3.6 – Médias, desvios e incertezas das medidas de tempo para a esfera de AÇO <
	Altura (S)
	fx (s)
	
	(4) tm
	(5) σ
	(6) σm
	(8) *σp
	(9) εp
	(10) εp %
	S1 (150mm)
	0,153
	0,010
	0,004
	0,005
	0,030
	2,99
	S2 (300mm)
	0,225
	0,010
	0,005
	0,005
	0,021
	2,13
	S3 (550mm)
	0,313
	0,011
	0,005
	0,005
	0,016
	1,60
	S4 (600mm)
	0,327
	0,011
	0,005
	0,005
	0,015
	1,53
* Incerteza do instrumento� = 0,001 s
As tabelas 3.4, 3.5 e 3.6 apresentam os valores das médias, desvios e incertezas encontradas nos intevalos de tempo medidos e, apartir desses resultados montamos um grafico S x t².
GRÁFICO 3.1 – Gráfico S x t²
Aplicando minimos quadrados para uma melhor linearização obtemos novos valores para y pela equação da reta y=a+bx, e com isso encontramos o valor da aceleração da gravidade local igualando b com a equação (3) onde S0=0 e v0=0.
	(13)
		(14)
onde, (=
Resultados encontrados
TABELA 3.7 – Resultados encontrados a partir dos parâmetros A e B
	Parâmetro
	Esfera
	
	Isopor
	Aço >
	Aço <
	A
	3,978
	4,003
	1,948
	B
	482,329
	568,195
	516,103
	Y1
	154,723
	152,995
	152,995
	Y2
	295,370
	295,379
	295,379
	Y3
	557,420
	551,408
	551,408
	Y4
	609,887
	600,216
	600,216
Para verificar a dependência quadrática com o tempo utilizamos um papel dilog e traçamos o gráfico s x t e aplicando a teoria dos mínimos quadrados encontramos um valor de g para cada corpo, com o g encontrado fizemos também o gráfico v x t.
TABELA 3.8 – Valores encontrados para o gráfico S x t (dilog)
	Esfera
	Variáveis
	Parâmetros
	
	S (mm)
	t (s)
	a
	b
	Isopor
	75
	0,077
	-100,933
	1931,232
	
	225
	0,191
	
	
	
	425
	0,278
	
	
	
	575
	0,335
	
	
	Aço >
	75
	0,071
	-100,728
	2103,659
	
	225
	0,176
	
	
	
	425
	0,256
	
	
	
	575
	0,307
	
	
	Aço <
	75
	0,080
	-115,159
	1999,589
	
	225
	0,196
	
	
	
	425
	0,276
	
	
	
	575
	0,328
	
	
A seguir são apresentados os gráficos em S x t², S x t (di-log) e v x t em escala maior.
�
�
�
�
A tabela 3.8 apresenta as variações de espaço e as variações de tempo encontradas da seguinte forma;
	
 
 e assim sucessivamente.
Aplicando log na equação (3) com S0=0 e v0=0, temos:
, onde S = b. Logo:
	(15)
Com a solução da equação (15) temos:
esfera de isopor 	(g = 8,534 m/s²)
esfera de aço > 	(g =10,141 m/s²)
esfera de aço < 	(g =8,518 m/s²)
A partir da equação (2) calculamos a velocidade para o terceiro gráfico (v x t) com o g encontrado pela equação (15) .
V0 = 0 e V = gt
GRÁFICO 3.2 – Gráfico v x t
TABELA 3.9 – Velocidades encontradas a partir de g
	Esfera
	Velocidades (m/s)
	
	v1
	v2
	v3
	v4
	Isopor
	0,656
	1,636
	2,371
	2,86
	Aço >
	0,68
	1,667
	2,353
	2,791
	Aço <
	0,71
	1,832
	2,596
	3,113
Discussão dos resultados
Sob a ação de uma força constante como a força gravitacional, a velocidade do corpo vai aumentando a partir do momento que ele é largado do repouso, até atingir assintoticamente uma velocidade constante. 
Como não realizamos a experiência no vácuo não podemos desprezar a resistência do ar. Primeiro porque o ar é um meio fluído, no qual os pesquisadores e seus instrumentos estão imersos, e exerce sobre tudo o empuxo, descoberto por Arquimedes. Segundo, porque os fluidos exercem uma resistência ao movimento de qualquer corpo. Esta força depende basicamente da seção retado corpo, relativa à direção de movimento, e da viscosidade do fluido. Dai decorre a denominação força de atrito viscoso. Mas admitindo-se que a o campo gravitacional seja constante próximo a superfície terrestre, supõe-se que esses efeitos são muito pequenos e podem ser desprezados.
Como os resultados encontrados na realização da experiência estão próximos dos valores encontrados com o pendulo simples (g = 9,869 m/s²) e aproximadamente coerente com os valores tabelados para Dourados, podemos afirmar que desprezando a resistência do ar, todo e qualquer objeto, independente de seu tamanho, composição ou forma, caem com quase a mesma aceleração devido à gravidade ser praticamente constante próximo à superfície da Terra.
Conclusão
Os objetivos traçados foram atingidos, porém, o valor da aceleração da gravidade encontrado está acima do valor esperado. O valor obtido ao final da experiência não ficou dentro do esperado, por ser maior que o valor adotado (9,8 m/s²), em se tratando do fato de o local do experimento estar acima do nível do mar; e acima do esperado por ser um valor suficientemente maior para concluirmos que houve falhas no experimento. Estas falhas se devem principalmente a falhas e/ou imperícias na operação dos instrumentos.
Em linhas gerais os resultados foram satisfatórios, pois forneceram um valor próximo do esperado, mas não equiparável àquele visado pelo objetivo da experiência.
�
Referencias
[1] Autor desconhecido, “Medição de Dados Experimentais, Incerteza e Propagação de Erro”. http://www.fem.unicamp.br/~instmed/Incerteza.htm, acesso em: 17/06/2007.
 [2] Autor desconhecido, “Vocabulário de Termos Fundamentais - Ipem-sp”. http://www.ipem.sp.gov.br/5mt/met-geral.asp?vpro=resultado, acesso em: 17/06/2007.
[3] H. Mukai; P.R.G. Fernandes, “Manual de Laboratório – Física Experimental I”. http://www.dfi.uem.br/salvatexto.php?id=cap2-medidaseerros.pdf, acesso em: 20/06/2007.
[4] J.H. Vuolo, “Fundamentos da Teoria de Erros” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1996), 2a ed.
[5] R. B. Barthen, “Tratamento e Analise de Dados em Física Experimental” (Editora da UFRJ, Rio de Janeiro).
[6] D. Halliday, R. Resnick e K.S. Krane, “Física 1: Corpos em queda livre” (Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1996), 4a ed.
[7] H. M. Nussenzveig, “Curso de Física Básica, v. 1: Mecânica” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1996), 3a ed.
[8] O. A. M. Helene, V. R. Vanin, “Tratamento Estatístico de Dados em Física Experimental” (Editora Edgard Blücher Ltda., São Paulo, 1981), 2a ed.
�
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� EMBED Equation.3 ���
� A altitude média da cidade de Dourados-MS é aproximadamente 450 metros acima do nível do mar. � HYPERLINK "http://www.sbagro.org.br/rbagro/pdfs/artigo503.pdf" ��http://www.sbagro.org.br/rbagro/pdfs/artigo503.pdf�, acesso em 05/08/2007. 
� Incerteza do cronômetro digital: a regra universalmente seguida nos casos em que se usa um instrumento digital é a de tomar como incerteza padrão da medição uma unidade da ordem de grandeza do algarismo menos significativo do mostrador.
		� PAGE �1�
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