Lista de Exercício - Cálculo I UEFS

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
DISCIPLINA: Ca´lculo Diferencial e Integral I E CURSO: Engenharia de Alimentos
PROFESSOR: Leonardo Araujo
1aLista de exerc´ıcios: Limites e Continuidade
1. Seja f a func¸a˜o definida pelo gra´fico abaixo:
Intuitivamente, determine se existir:
a) lim
x→3−
f(x)
b) lim
x→3+
f(x)
c) lim
x→3
f(x)
d) lim
x→+∞
f(x)
e) lim
x→−∞
f(x)
f) lim
x→4
f(x)
2. Seja f a func¸a˜o definida pelo gra´fico abaixo:
Intuitivamente, determine se existir:
a) lim
x→0−
f(x)
b) lim
x→0+
f(x)
c) lim
x→0
f(x)
d) lim
x→+∞
f(x)
1
e) lim
x→−∞
f(x)
f) lim
x→2
f(x)
3. Seja f a func¸a˜o definida pelo gra´fico abaixo:
Intuitivamente, determine se existir:
a) lim
x→1−
f(x)
b) lim
x→1+
f(x)
c) lim
x→1
f(x)
d) lim
x→+∞
f(x)
e) lim
x→−∞
f(x)
4. Se lim
x→1
f(x) = 5, f deve ser definida em x = 1? Em caso afirmativo, f(1) = 5?
Podemos concluir alguma coisa sobre os valores de f em x = 1? Justifique.
5. Nos itens abaixo, determine:
a) lim
x→−2
(x3 − 2x2 + 4x + 8)
b) lim
x→0
(2x− 8) 13
c) lim
x→0
√
3x + 1− 1
x
d) lim
x→1
x4 − 1
x3 − 1
e) lim
x→9
√
x− 3
x− 9
f) lim
x→4
4x− x2
2−√x
g) lim
x→1
3
√
x− 1
4
√
x− 1
h) lim
x→1
3
√
x2 − 2 3√x + 1
(x− 1)2
6. Determine o valor de k para que:
a) lim
x→5
(3kx2 − 5kx + 3k + 1) = 3/2 b) lim
x→2+
k − x2
x + k
= −1
7. Por causa de sua conexa˜o com retas secantes, retas tangentes e taxa de variac¸a˜o, os
limites da forma
lim
h→0
f(x + h)− f(x)
h
ocorrem frequentemente no ca´lculo. Determine esses limites se:
2
a) f(x) = x2; x = 1 b) f(x) =
1
x
; x = −2 c) f(x) = √x; x = 7
8. Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤
√
5− x2, para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0
f(x).
9. Considere a func¸a˜o f(x) definida por
f(x) =
{
0, se x e´ racional
1, se x e´ irracional
Para todo x ∈ R, lim
x→a
f(x) na˜o existe. Por queˆ?
10. Seja f(x) =
{
3− x, x < 2
x
2
− 1, x > 2 .
a) Determine lim
x→2+
f(x) e lim
x→2−
f(x).
b) Existe lim
x→2
f(x)? Se na˜o, por queˆ?
c) Determine lim
x→4+
f(x) e lim
x→4−
f(x).
d) Existe lim
x→4
f(x)? Se na˜o, por queˆ?
11. Usando os limites fundamentais, determine:
a) lim
x→0
sin kx
x
; x ∈ R
b)lim
x→0
sin 3x
4x
c) lim
x→0
tan 2x
x
d) lim
x→0
tan 3x
sin 8x
e) lim
x→0
(
1 +
1
2x
)x
f) lim
x→0
(1 + 2x)
1
x
g) lim
x→0
5x − 1
x
h) lim
x→0
3x − 1
x2
12. Determine os limites no infinito:
a) lim
x→∞
2x3 + 7
x3 − x2 + 3x− 1
b) lim
x→−∞
3x + 1
x2 − 21
c) lim
x→∞
2x3 + 7
x3 − x2 + 3x− 1
d) lim
x→−∞
1
x3 − 4x + 1
e) lim
x→∞
2 +
√
x
x− 2
f) lim
x→∞
3
√
x− 5x + 3
2x + x
2
3 − 4
13. Calcule os limites infinitos:
a) lim
x→−8+
2x
x + 8
b) lim
x→5−
x
25− x2
c) lim
x→−8+
2x
x + 8
d) lim
x→7
4
(x− 7)2
14. Verifique que lim
x→+∞
(
√
x +
√
x−
√
x−√x = 1).
3
15. Dada a func¸a˜o f(x) =
1
x2 − 4, determine o limite de f(x) quando:
a) x→ 2+ b) x→ 2− c) x→ −2+ d) x→ −2−
16. Verifique se as seguntes func¸o˜es sa˜o cont´ınuas
a) f(x) =
{
2x, se x ≤ 1
1, se x > 1
b)f(x) =
 x
2 − 4
x− 4 , se x 6= 2
4, se x = 2
17. Determine o valor de L para que as func¸o˜es sejam cont´ınuas nos pontos dados:
a) f(x) =
 x
2 − 9
x− 3 , se x 6= 3
5L− 1, se x = 3
no ponto x = 3.
b) f(x) =
{
4− x + x3, se x ≤ 1
9− Lx2, se x > 1 no ponto x = 1.
18. Seja f(x) = 1−x sin(1
x
). Como escolher o valor de f(0) para que a func¸a˜o seja cont´ınua
em x = 0?
19. Mostre que a equac¸a˜o x3 + x2 + x + 1 = 0 tem pelo menos uma raiz real.
4