02. Fis Ondas Aula 01 Movimento Periódico

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Física de Ondas, Termologia e Ótica 
Aula 01 – Movimento Periódico 
Prof. Carlos Gustavo Pereira Moraes 
cgpm01@gmail.com 
Aracaju – Sergipe - Brasil Janeiro, 2015 
Por que investigar sistemas mecânicos que exibem 
comportamento periódico? 
 
Exemplo de aplicação na Área de Engenharia: 
 
 
Motivação 
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Edifício Taipei 101 (390 metros de altura), Taiwan. 
Gigantesca bola de ferro 
de 680 toneladas 
1. Oscilações 
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1.1 Movimento Harmônico Simples 
• É o tipo mais básico de oscilação. 
• Supondo uma partícula que se move 
repetidamente de um lado para o 
outro da origem de um eixo 𝑥. 
• Frequência (𝑓) → é o número de 
oscilações completas por segundo. 
Unidade de 𝑓 → hertz (𝐻𝑧) no SI. 
 
1 𝐻𝑧 = 1 oscilação por segundo = 1𝑠−1 
Uma grandeza relacionada a frequência é 
chamado de período (𝑇) da oscilação 
dado em segundos (𝑠), que é o tempo necessário para completar uma oscilação 
completa (ou um ciclo): 
𝑇 =
1
𝑓
 
Exemplos 
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1.1 – Um transdutor ultrassônico (uma espécie de alto falante), usado para 
diagnostico médico, oscila com uma frequência igual a 6,7 𝑀𝐻𝑧. Quanto 
dura uma oscilação e qual é a frequência angular? 
Resp. 1,49 × 10−7𝑠 𝑒 4,2 × 107 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
 
1.2 – A corda de um piano emite um lá médio vibrando com uma 
frequência primária igual a 220 𝐻𝑧. a) Calcule o período e a frequência 
angular. b) Calcule a frequência angular de uma soprano emitindo um lá 
uma oitava acima, que é igual a duas vezes a frequência da corda do piano. 
Resp. a) 𝑇 = 4,54 × 10−3 𝑠; 𝜔 = 1380 𝑟𝑎𝑑/𝑠 . b) 𝑇 = 2,27 ×
10−3𝑠; 𝜔 = 2760 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
1.1 - Movimento Harmônico Simples 
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Todo movimento que se repete a intervalos regulares é chamado de 
movimento periódico ou movimento harmônico. 
Uma representação gráfica de 𝑥 em função do tempo: 
 
 
 
 
 
 
Uma função que representa esse movimento 
é dado por: 
 
 
 
Conhecida como função do deslocamento. 
Fase do Movimento e Ângulo de Fase 
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𝑥𝑚 → amplitude do movimento, e depende de como o movimento foi produzido. 
O índice 𝑚 indica valor máximo. 
A função co-seno tem valor máximo (𝑥𝑚) variando de +1 𝑎 − 1. 
 
𝜔𝑡 + 𝜙 → fase do movimento, essa grandeza depende do tempo. 
 
𝜙 → constante de fase (ou ângulo de fase) 
O valor de ∅ depende do deslocamento e da velocidade da partícula no instante 
𝑡 = 0. A unidade de 𝜙 no SI é o radiano. 
 
𝜔 → frequência angular do movimento. Sua unidade no SI é o 𝑟𝑎𝑑 𝑠 . 
Para interpretar a constante 𝜔, temos que considerar 𝑥 𝑡 = 𝑥(𝑡 + 𝑇). 
Para simplificar, vamos fazer ∅ = 0, temos: 
 
𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡) = 𝑥𝑚 cos(𝜔 𝑡 + 𝑇 ) 
 
Como a função co-seno se repete pela primeira vez quando seu argumento (a fase) 
aumenta de 2𝜋 𝑟𝑎𝑑, temos 
 
𝜔 𝑡 + 𝑇 = 𝜔𝑡 + 2𝜋 ⇒ 𝜔𝑡 + 𝜔𝑇 = 𝜔𝑡 + 2𝜋 𝜔𝑇 = 2𝜋 ⇒ 𝜔 =
2𝜋
𝑇
= 2𝜋𝑓 
Deslocamento de Fase 
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Na linha azul temos o deslocamento quando 
∅ = 0. 
 
Na figura (a) temos a curva vermelha com a 
amplitude 𝑥𝑚
′ maior (os deslocamentos da 
curva vermelha paro cima e para baixo são 
maiores). 
 
Na figura (b) o período da curva vermelha é 
𝑇′ = 𝑇/2 (a curva vermelha está 
comprimida horizontalmente). Na figura 
 
 
(c) O 𝜙 = −
𝜋
4
𝑟𝑎𝑑 em vez de zero (o valor 
negativo de ∅ desloca a curva para a direita. 
1.3 – Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função 
posição 𝑥(𝑡) aparece na figura ao lado se a função posição é da 
forma 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)? A escala do eixo vertical é definida 
por 𝑥𝑠 = 6,0 𝑐𝑚. 
Resp. ≈ 1,91 𝑟𝑎𝑑 
 
Exemplo 
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Velocidade e Aceleração do MHS 
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A velocidade do MHS: 
 
𝑣 𝑡 =
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 𝑥𝑚 cos 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑑𝑡
 
 
𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 
 
Que é a função horária da velocidade, 
onde ω𝑥𝑚 é a amplitude da velocidade. 
A aceleração do MHS: 
 
𝑎 𝑡 =
𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑 −𝜔𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙
𝑑𝑡
 
 
𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 
 
Que é a função horária da aceleração, 
onde 𝜔2𝑥𝑚 é a amplitude da aceleração. 
Representação Gráfica do MHS 
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𝑣 𝑡 = −𝜔𝑥𝑚 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝜙 
𝑎 𝑡 = −𝜔2𝑥𝑚 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 + 𝜙 
𝑥 = 𝑥𝑚 cos (𝜔𝑡 + 𝜙)? 
1.4 - Um objeto que executa um MHS leva 0,25 𝑠 para se deslocar 
de um ponto de velocidade nula para o ponto seguinte do mesmo 
tipo. A distância entre estes pontos é de 36 𝑐𝑚. Calcule o período, 
a frequência e a amplitude do movimento. 
Resp. 0,50 𝑠; 2,0 𝐻𝑧; 18 𝑐𝑚. 
1.5 - Qual é a constante de fase do oscilador harmônico cuja função 
velocidade 𝑣(𝑡) aparece na figura ao lado se a função posição 𝑥(𝑡) 
é da forma 𝑥 = 𝑥𝑚 cos(𝜔𝑡 + 𝜙)? A escala do eixo vertical é 
definida por 𝑣𝑠 = 4,0 𝑐𝑚/𝑠. 
 
Exemplos 
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1.2 – A Lei do Movimento Harmônico Simples 
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O movimento harmônico simples é o movimento executado por uma partícula 
sujeita a uma força proporcional ao deslocamento da partícula e de sinal oposto. 
Aprendemos que: 
𝑎 = −𝜔2𝑥 
 
Pela 2ª lei de Newton 
𝐹 = 𝑚. 𝑎 
 
Temos 
𝐹 = 𝑚 −𝜔2𝑥 = − 𝑚𝜔2 𝑥 
Figura ao lado – Oscilador 
harmônico simples. Não há atrito 
com a superfície. O bloco se move 
em MHS quando é puxado ou 
empurrado a partir da posição 𝑥 = 0 
e depois liberada. 
Período de MHS 
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A partir da lei de Hooke: 
𝐹 = −𝑘. 𝑥 
Onde 
𝑘 = 𝑚𝜔2 
 
A frequência angular 
𝜔 =
𝑘
𝑚
 
 
Como 
𝜔 =
2𝜋
𝑇
 
 
Temos 
𝑇 = 2𝜋
𝑚
𝑘
 
Exemplos 
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1.6 – Um bloco de 200 𝑔 conectado a uma mola leve, para a qual a 
constante de força é 5,00 𝑁/𝑚 , é livre para oscilar em uma 
superfície horizontal, sem atrito. O bloco é deslocado 5,00 𝑐𝑚 do 
equilíbrio e liberado do repouso. 
(a) Encontre o período de seu movimento. 
(b) Determine o módulo da velocidade máxima do bloco. 
(c) Qual é o módulo da aceleração máxima do bloco? 
(d) Expresse posição, velocidade e aceleração como funções de 
tempo em unidade do Sistema Internacional (SI). 
Exemplos 
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1.7 – Um bloco cuja massa 𝑚 é 680 𝑔 está preso a uma mola cuja 
constante elástica é 65 𝑁/𝑚. O bloco é puxado sobre uma superfície 
sem atrito a uma distância 𝑥 = 11 𝑐𝑚 a partir da posição de equilíbrio 
em 𝑥 = 0 e liberado a partir do repouso no instante 𝑡 = 0. 
(a) Quais são a frequência angular, a frequência e o período do movimento 
resultante? 
(b) Qual é a amplitude das oscilações? 
(c) Qual é a velocidade máxima 𝑣𝑚 do bloco e onde se encontra o bloco 
quando tem essa velocidade? 
(d) Qual é o módulo 𝑎𝑚 da aceleração máxima do bloco? 
(e) Qual é a constante de fase 𝜙 do movimento? 
(f) Qual é a função deslocamento 𝑥(𝑡) do sistema bloco-mola? 
Resp. a) ≈ 9,8 𝑟𝑎𝑑/𝑠; ≈ 1,6 𝐻𝑧; 0,64 𝑠. b) 11 𝑐𝑚. c) 1,1 𝑚/𝑠. d) 11 𝑚/𝑠2. 
e) 0 𝑟𝑎𝑑. f) 0,11 cos(9,8𝑡). 
HALLIDAY, D.; RESNICK, R.; WALKER, J. Fundamentos de Física: 
Gravitação, ondas e termodinâmica. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2012. 
YOUNG, H. D; FREEDMAN, R. A. Física II: Termodinâmica e 
ondas. 12 ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008. 
JEWETT JR, J. W.; SERWAY, R. A. Princípios de Física: 
Movimento ondulatório e Termodinâmica. São Paulo: Cengage 
Learning, 2011. 
Referencias Bibliográficas 
16