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ZAB 0161 - Álgebra linear com aplicações em geometria
analítica
Lista 2 - Matrizes
Todo sistema de equações lineares deve ser resolvido utilizando o método de eliminação Gauss ou
Gauss-Jordan.
1. Aplique a eliminação de Gauss para decompor A = LU para
(a) A =
[
1 2
3 4
]
(c) A =
 1 2 34 5 6
7 8 9

(b) A =
 5 3 07 9 2
−2 −8 −1

(d) A =
 1 3 02 1 2
2 4 1

.
2. Com as matrizes A da alinea (b) e (d), do exercício anterior, resolver para x a equação:
Ax =
 12
3

.
3. Calcular as matrizes inversas (se possível) de
(a)
 2 3 42 1 1
−1 1 2

(b)
 1 2 22 −1 1
1 3 2

(c)

0 1 0 0 0 0
2 0 2 0 0 0
0 3 0 1 0 0
0 0 1 0 2 0
0 0 0 3 0 1
0 0 0 0 2 0

(d)
[
cos(θ) −sen(θ)
sen(θ) cos(θ)
]
1
(e)
[
cosh(x) senoh(x)
senoh(x) cosh(x)
]
lembrar as identidades
{
cosh(x) = 12 (e
x + e−x)
senoh(x) = 12 (e
x − e−x) .
4. Considere o seguinte sistema de equações lineares x+ 3y + z = b2x+ ax+ 3z = 1
4x+ 2y = 0
onde a e b são coeficientes escalares.
(a) Discuta o sistema em função dos coeficientes a e b.
(b) Decomponha a matriz dos coeficientes ,A, para a = 6, na forma A = LDU .
(c) Calcule a inversa da matriz dos coeficientes do sistema, para o caso a = 6. Utilize o resultado
para resolver o sistema no caso a = 6 e b = 0.
5. Seja f : R3 → R3 a função (transformação) matricial definda por
f
 xy
z
 =
 1 2 3−3 −2 −1
−2 0 2
 xy
z

(a) Determine x, y e z tais que f
 xy
z
 =
 22
4

.
(b) Determine também a matriz resultante de f
 22
4

.
6. Determine uma equação que relacione a, b e c para que o sistema linear abaixo tenha solução para
quaisquer valores de a, b e c que satisfazem essa equação. 2x+ 2y + 3z = a3x− y + 5z = b
x− 3y + 2z = c
.
Nos próximos três exercícios utilize cálculo de matriz inversa.
7. Considere um processo industrial cuja matriz é
A :=
 2 1 33 2 −1
2 1 1
 .
Determine a matriz de entrada para cada uma das seguintes matrizes resultantes:
(a)
 3020
10

(b)
 128
14
 .
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Figura 1: Temperaturas
8. Considerando que as temperaturas não conhecidas nos pontos da Figura [1], são valores promédios
dos valores conhecidos, determine as temperaturas T1, T2, T3 e T4.
9. Responda verdadeiro ou faso, justificando,
(a) Se A2 = −2A4, então (In +A2) (In − 2A2) = In.
(b) Se A = P tDP , onde D é uma matriz diagonal, então At = A.
(c) Se D é uma matriz diagonal, então DA = AD, para toda matriz A, n× n.
(d) Se B = AAt, então B = Bt.
(e) Se B e A são tais que A = At e B = Bt então C = AB, é tal que Ct = C.
10. Determine coeficientes a, b e c da equação do circunferência x2 + y2 + ax+ by + c = 0 que passa
pelos pontos P = (−2, 7), Q = (−4, 5), R = (4,−3).
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