p2AV 2017 1[manha tarde]

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor:
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Manha˜
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 20 / 07 / 2017
2a¯ Prova
1. (2,0 pontos) Assinale V ou F e justifique.
( ) Se o plano pi e´ ortogonal a` reta r, ~n e´ um vetor normal de pi e ~v e´ um vetor diretor
de r, enta˜o ~v · ~u = 0.
( ) Considere as retas concorrentes r1 e r2, de direc¸o˜es ~v1 e ~v2, respectivamente. Se o
plano pi//r1 e pi//r2, enta˜o ~v1 × ~v2 e´ um vetor normal a pi.
( ) As equac¸o˜es pi1 : 5x + y − z + 3 = 0 e pi2 : −10x − 2y + 2z − 6 = 0 representam o
mesmo plano.
( ) O vetor ~v = (2, 1, 3) e´ vetor diretor da reta
r :
x− 5
2
= −y = z − 2
3
.
2. (2,0 pontos) Determine:
(a) a equac¸a˜o parame´trica da reta r1 que passa por A(2, 0, 0) e tem direc¸a˜o ~v = (4, 5, 3).
(b) o valor de n, para que seja de 45◦ o aˆngulo entre a reta r1 (obtida no ı´tem anterior)
e a reta
r2 :
 y = nx+ 5z = 2x− 2.
3. (3,0 pontos) Determine:
(a) uma equac¸a˜o geral para o plano pi que conte´m a reta r1 e e´ paralela a reta r2, onde
r1 :

x = −1 + t
y = 3− 2t, t ∈ R
z = −1− t.
e r2 :
 y = x− 3z = −x+ 1.
(b) Determinar a distaˆncia entre as retas r1 e r2 do ı´tem anterior.
4. (1,5 pontos) Determine o ponto de intersec¸a˜o da reta
r :
 y = 2x− 3,z = −x+ 2
com o plano xOz.
5. (1,0 pontos) Escrever equac¸o˜es reduzidas na varia´vel z da reta que passa pela origem e e´
ortogonal a cada uma das retas s : x = −y = −z e
r :
2x− 1
3
=
y + 2
−2 = 2z − 2.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor:
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Tarde
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 20 / 07 / 2017
2a¯ Prova
1. (2,0 pontos) Assinale V ou F e justifique.
( ) O vetor ~v = (−6, 9, 18) e´ um vetor diretor da reta
r :

x = 3− 2t
y = −1 + 3t, t ∈ R.
z = −2 + 6t
( ) As retas
r1 :

x = 1 +
√
2t
y = 2, t ∈ R
z = −1
e r2 :

x = −1 + 5t
y = 3, t ∈ R
z = 10
sa˜o paralelas.
( ) Se a reta r e´ paralela ao plano xOy, enta˜o para a, b ∈ R, o vetor ~v = (a, b, 0) e´ diretor
de r.
( ) O vetor ~v = (3, 2, 1) e´ vetor diretor da reta
r :
x
3
=
−y + 2
2
= z − 3
.
2. (2,5 pontos)
(a) (1,0 pontos) Obter equac¸o˜es reduzidas da reta r1 que passa por A(4, 0,−3) e tem a
direc¸a˜o de ~v = (2, 1, 1).
(b) (1,5 pontos) Determinar o aˆngulo entre as retas r1 (obtida no ı´tem anterior) e a reta
r2 :
 x = −2− yz = 3− 2y.
3. (3,0 pontos)
(a) (1,5 pontos) Encontrar o ponto N , projec¸a˜o ortogonal do ponto P (3,−1,−4) sobre
o plano pi : −12x+ 6y − 6z + 54 = 0.
(b) (1,5 pontos) Determinar a distaˆncia entre o plano pi : −12x + 6y − 6z + 54 = 0 e o
plano pi1 que e´ paralelo a pi e passa pelo ponto P (3,−1,−4).
4. (1,5 pontos) Determinar o ponto de intersec¸a˜o da reta r com o plano pi, sendo
r :
 y = x− 10z = −x+ 1 e pi : 2x− y + 3z − 9 = 0.
5. (1,0 pontos) Determinar na reta
r :

x = 2 + k
y = k, k ∈ R
z = −1 + 2k
um ponto equidistante dos pontos A(2,−1,−2) e B(1, 0,−1).