1º G.A 2017.1 UFCG

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor:
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Manha˜
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 22 / 06 / 2017
1a¯ Prova
1. (2,0 pontos) Mostre que o segmento cujos extremos sa˜o os pontos me´dios de dois lados
de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e igual a` sua metade.
2. (2,0 pontos) Determine:
a) o(s) valor(es) de a para que o vetor ~u = (−2a, 2a, a) seja um versor;
b) um vetor ~v tal que ~u seja seu versor e |~v| = 5.
3. (2,0 pontos) Considere o vetor ~u = (2,−1, 3). Determine:
a) o vetor ~v, paralelo a ~u, tal que ~u .~v = 42;
b) um vetor ~w pertencente ao plano xOy, ortogonal a ~u, tal que |~w| = √5.
4. (2,0 pontos) Dados os vetores ~u = (3,−1, 2) e ~v = (−2, 2, 1), calcule:
a) a a´rea do paralelogramo determinado por ~u e ~v;
b) a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo vetor ~v.
5. (2,0 pontos) Considere os vetores ~u = (1, 0, 1), ~v = (2, 1, 1) e ~w = (0, 2, 1). Sabendo que
~u forma um aˆngulo θ com ~w. Determine as coordenadas do vetor
~t =
√
2 proj~u~v −
[√
10 cos θ + 3(~u . ~w)
]
. ~v
UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE CIEˆNCIAS E TECNOLOGIA
UNIDADE ACADEˆMICA DE MATEMA´TICA
Professor:
Comp. Curricular: A´lgebra Vetorial e Geometria Anal´ıtica Turno: Tarde
Aluno(a): Matr´ıcula:
Curso: Data: 22 / 06 / 2017
1a¯ Prova
1. (2,0 pontos) Mostre que as diagonais de um paralelogramo ABCD teˆm o mesmo ponto
me´dio.
2. (2,0 pontos) Dados os vetores ~u = (1,−2, 3) e ~v = (−1, 3,−2), determine:
a) as coordenadas do vetor ~w = 3~u− ~v;
b) um vetor ~t de mo´dulo 4, que seja paralelo a ~w, mas tenha sentido oposto.
3. (2,0 pontos) Determine os vetores com mo´dulo
√
21 e que sejam ortogonais aos vetores
~u = (1, 2, 0) e ~w = (0, 4, 1), simultaneamente.
4. (2,0 pontos) Considere os pontos A(−1,−1, 2), B(2, 1, 1) e C(m,−5, 3).
a) Sabendo que o triaˆngulo ABC e´ retaˆngulo em A, determine o valor de m;
b) Calcule a medida da projec¸a˜o do cateto AB sobre a hipotenusa BC.
5. (2,0 pontos) Considere os vetores ~u = (1, 1, 1), ~v = (2,−1, 1) e ~w = (1, 3, 0). Sabendo que
~u forma um aˆngulo θ com ~v e um aˆngulo β com ~w. Determine as coordenadas do vetor
~t = 2 (~u× ~v) +
(
3
√
7senθ +
√
30
4
cos β
)
. ~w