Exercicios_Derivada_e_Integral

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HACA39 - Cieˆncia e Tecnologia III
Exerc´ıcios - Derivada e Integral
Resumo - O que foi visto em sala de aula.
Definic¸a˜o de Derivada:
f ′(x) = y′ =
dy
dx
= lim
∆x→0
∆y
∆x
(1)
f ′′(x) = y′′ =
d 2y
dx2
=
d
dx
[
dy
dx
]
Algumas propriedades:
d
dx
[a f(x) + b g(x)] = a
df(x)
dx
+ b
dg(x)
dx
(2)
d
dx
[
N∑
n=1
an fn(x)
]
=
N∑
n=1
[
an
dfn(x)
dx
]
(3)
d
dx
[f(x) g(x)] = f(x)
dg(x)
dx
+
df(x)
dx
g(x) (4)
df [u(x)]
dx
=
df(u)
du
du(x)
dx
(5)
Definic¸a˜o de Integral Definida:∫ x2
x1
f(x) dx = lim
∆x→0
∞∑
n=1
[f(xn) ∆x] (6)∫ x2
x1
f(x) dx = g(x) |x2x1 = g(x2)− g(x1) sendo f(x) =
dg(x)
dx
(7)
Definic¸a˜o de Integral Indefinida:∫
f(x) dx = g(x) + C sendo f(x) =
d
dx
[g(x) + C] (8)
Algumas propriedades:∫
[a f(x) + b g(x)] dx = a
∫
f(x) dx+ b
∫
g(x) dx (9)∫ [ N∑
n=1
an fn(x)
]
dx =
N∑
n=1
[
an
∫
fn(x) dx
]
(10)
∫ x2
x1
f [u(x)]u′(x) dx =
∫ u(x2)
u(x1)
f(u) du = g(u) |u(x2)u(x1) = g[u(x2)]− g[u(x1)]
pois, u′(x) =
du
dx
(11)
1
Problemas - Utilize as ferramentas acima para resolver as questo˜es a
seguir.
Determine as derivadas das seguintes func¸o˜es:
1. y = x2 + x+ 1
2. y = sen(x) + cos(x)
3. y = e2x + 2x
4. y = sen(x) cos(x)
5. y = x2/(x+ 1)
6. y = x√
x+1
7. y = cos(2x)
8. y = ex
2
9. y = tg(x) = sen(x)/ cos(x)
10. y = cos2(x)
Determine a integral definida das seguintes func¸o˜es para o intervalo [0, pi]:
1. y = sen(2x)
2. y = e2x + 2x
3. y = tg(x) cos(x)
4. y = sen(x) cos(x)
5. y = cos2(x)
6. y = 2x√
x2+1
Mais um fim de semana divertido :-)
2