avaliacao1_2008

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Docente Responsável: 
Profa. Maria Helena S. S. Bizelli 
 
Avaliação 1 (29/04/2008) 
1. Os ambientalistas estimam que em certa cidade a concentração média de monóxido de carbono no ar durante o dia será 
C(p) = 0,4p + 1 partes por milhão quando a cidade tiver uma população de p mil habitantes. Um estudo demográfico indica 
que a população da cidade dentro de t anos será p(t) = 8 + 0,2t2 mil habitantes. (a) Determine a concentração média de 
monóxido de carbono no ar durante o dia em função do tempo. (b) Qual será a concentração de monóxido de carbono daqui 
a 2 anos? (c) Daqui a quanto tempo a concentração de monóxido de carbono atingirá o valor de 6,2 partes por milhão? (d) 
Determine a taxa de variação da concentração média de monóxido de carbono no ar, em relação ao tempo, dentro de 8 
anos e interprete o resultado. 
2. A temperatura do ar, em geral, diminui com a altitude. 
No inverno, porém, devido a um fenômeno conhecido 
como inversão térmica, a temperatura do ar aquecido 
pelo sol nas montanhas pode passar do ponto de 
congelamento da água, enquanto a temperatura em 
altitudes menores permanece abaixo de 0o C. (a) Faça 
uma análise do comportamento da temperatura do ar, a 
partir do gráfico descrito ao lado. (b) Use o gráfico para 
estimar a taxa com que a temperatura T está variando 
com a altitude h a 1.000 metros de altitude e também a 
2.000 metros. Interprete os resultados. 
 
3. Quando substâncias orgânicas são lançadas em um rio ou lago, a concentração de oxigênio na água diminui 
temporariamente por cauda da oxidação. Suponha que t dias depois que dejetos sem tratamento são lançados em certo lago, 
a fração da concentração normal de oxigênio que permanece na água do lago é dada pela função 
2
12 144
P(t) 1
t 12 (t 12)
= − += − += − += − +
++++ ++++
 
(a) Com que taxa a fração de oxigênio P(t) está variando após 10 dias? A fração está aumentando ou diminuindo nessa 
ocasião? Justifique sua resposta. (b) A fração de oxigênio está aumentando ou diminuindo após 15 dias? Justifique sua 
resposta. (c) Se não são lançados novos dejetos, o que acontece a longo prazo com a concentração de oxigênio? Use um 
limite para confirmar seu palpite. 
4. A população de certa cidade é 230.000 habitantes em 1990 e aumenta a uma taxa crescente durante 5 anos, chegando a 
300.000 habitantes em 1995. Continua a aumentar, mas a uma taxa decrescente, até passar por um máximo de 350.000 
habitantes em 2002. Em seguida, a população diminui a uma taxa decrescente durante 3 anos até atingir o valor de 320.000 
habitantes e depois a uma taxa crescente, tendendo a longo prazo para 280.000 habitantes. Represente estas informações 
em um gráfico (que relaciona a população com o número de anos a partir de 1990), justificando cada uma das suas 
conclusões. 
5. Dê condições necessárias e suficientes sobre A e B para que a função 
− ≤

= < <
 − ≥
2
, 1
( ) 3 , 1 2
, 2
Ax b x
f x x x
Bx A x
 seja contínua em x = 1, mas 
descontínua em x = 2. Justifique sua resposta. Em seguida, determine valores para A e B e faça um esboço do gráfico de f. 
6. A Lei de Gravitação Universal de Newton afirma que se dois corpos estão a uma distância r um do outro, então a força F 
que um corpo exerce sobre o outro é dada pela equação + =
2
0
k
F
r
onde k é uma constante positiva. Suponha que, como uma 
função do tempo, a distância entre dois corpos é dada por = − ≤ ≤2( ) 49 4,9 , para 0 10r t t t t . Determine a taxa de variação 
de F em relação a t em t = 3 e em t = 7. Interprete os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 Docente Responsável: 
Profa. Maria Helena S. S. Bizelli 
 
 
7. Considere a Lei do gás ideal PV = nRT. (a) Determine uma expressão que dê a taxa de variação da pressão em relação ao 
volume, mantendo n, R e T constantes. (b) Que informações você obtém a partir do resultado obtido no item (a)? (c) 
Determine o valor da taxa de variação da pressão em relação ao volume para um mol de gás, com um volume de 22,4 litros 
e uma temperatura de 273K e R = 0,082050 atm/mol⋅K. Interprete o resultado. (d) O que acontece com a pressão quando o 
volume aumenta? E quando o volume é muito pequeno? O que acontece com a taxa de variação da pressão em relação ao 
volume, quando o volume aumenta? E quando o volume é muito pequeno? Escreva suas conclusões como limites. (e) O 
gráfico abaixo pode ser utilizado para representar a situação apresentada no item (d)? Justifique sua resposta. 
 
 
 
 
u ud duu f(x),e cons tante de Euler (e ) e
dx dx
= = ⇒ = n n 1d du(u ) nu
dx dx
−= 
2
d f(x) f´ (x)g(x) f(x)g´ (x)
dx g(x) [g(x)]
  −
= 
 