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Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Exercícios Resolvidos: Taxa Relacionada Contato: nibblediego@gmail.com Escrito por Diego Oliveira - Publicado em 07/01/2013 - Atualizado em 08/08/2017 Resolver problemas relativo a taxas relacionadas é basicamente um processo de seis passos: 1. verificamos os dados que o problema nos dá e o que é requerido; 2. encontramos uma relação geral entre os dados que após a derivada da relação forneça o valor desejado; 3. substituímos na relação os valores que são constantes; 4. derivamos a relação implicitamente; 5. evidenciamos o resultado desejado; 6. realizamos as substituições necessárias para obter a resposta. Dica: As vezes fazer um desenho ou esquema da situação problema ajuda bas- tante a entender melhor a questão. Embora dependendo da sua habilidade isso possa ser dispensável. Exemplo 01 Uma pipa esta voando a uma altura de 40m. Uma criança esta empinado a de tal forma que ela se mova horizontalmente a uma velocidade de 3m/s. Se a linha estiver esticada, com que velocidade a linha esta sendo “dada", quando o comprimento da linha desenrolada for de 50m? Solução: 10 Passo: Dados: y = 40 m z = 50 m dx/dt = 3 m/s dz/dt = ? Com base no problema e nos dados fornecidos construímos um triângulo retân- gulo com as seguintes medidas. 1 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA 40 m x = 30 m 50 m Onde o valor de foi determinado pelo teorema de Pitágoras (2 = 502 − 402). 2◦ Passo: O desenho do problema sugere que a relação entre os dados (x, y, z) é o próprio teorema de Pitágoras. z2 = 2 + y2 Note que se derivarmos essa relação obteremos dz/dt. Que é o que desejamos saber. 3◦ Passo: No problema a pipa se move apenas horizontalmente. Assim a altura da pipa (y) se mantém sempre constante. z2 = 2 + 402 ⇒ z2 = 2 + 1600 Já o z (tamanho da linha), e o (distancia horizontal entre a pipa e o menino), não são constantes. 4◦ Passo: Agora deriva-se a relação anterior implicitamente em relação ao tempo. 2z dz dt = 2 d dt + 0 A derivada ocorre em relação ao tempo pois o deslocamento da pipa em qualquer direção pode ser descrito em função do tempo. 5◦ Passo: Agora que evidenciamos dz/dt. dz dt = 2 d dt 2z 2 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA 6◦ Passo: E finalmente substituímos x, y e dx/dt para obter o valor desejado. dz dt = 2(30)(3) 2(50) ⇒ dz dt = 180 100 ⇒ dz dt = 9 5 m/s Exemplo 02 Acumula se areia em um monte com a forma de um cone onde a altura é igual ao raio da base. Se o volume de areia cresce a uma taxa de 10 m3/h, a que razão aumenta a área da base quando a altura do monte é 4 m? Solução: 1◦ Passo: Dados: h = 4 r = 4 dA dt é o que desejamos saber. dV dt = 10 m3/h 2◦ Passo: Neste caso a fórmula capaz de fornecer o que será pedido é a da área do circulo. A = pir2 3◦ Passo: O raio do cone varia com a altura. E a altura por sua vez também varia a medida que a areia é despejada, assim não existe valores constantes na relação A = pir2. Logo podemos pular o passo 3. 4◦ Passo: dA dt = 2pir dr dt 3 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA 5◦ Passo: O passo seguinte seria evidenciar dA/dt, mas como isto já esta feito passamos para o passo 6. 6◦ Passo: Como r = 4 então: dA dt = 2 · 4pidr dt ⇒ dA dt = 8pi dr dt O fato interessante é que o problema não nos dá o valor de dr/dt, pelo menos não diretamente. Sabe-se que o volume de um cone é dado por: V = 1 3 pir3 Derivando a expressão implicitamente se têm: dV dt = 1 3 pi3r2 dr dt ⇒ dV dt = pir2 dr dt ⇒ dr dt = 1 pir2 dV dt substituindo o valor de r dr dt = 5 8pi m2/h Agora de posse do valor de dr/dt podemos finalizar o 6◦ passo. dA dt = 8pi � 5 8pi � m2/h ⇒ dA dt = 5 m2/h 4 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Os próximos exercícios seguem a mesma lógica do passo a passo, mas por questão de economia serão resolvidos de forma menos detalhada. Exemplo 03 Uma escada de 6 m de comprimento está apoiada em uma parede vertical. Se a base da escada começa a escorregar horizontalmente a taxa constante de 0.6 m/s, com que velocidade o topo da escada percorre a parede quando esta a 4 m do solo? Solução: Dados: x = 2 p 5 m y = 4 m z = 6 m dx/dt= 0.6 m/s dy/dt = ? Com base nos dados construímos um triângulo com as seguintes medidas. 4 m x = 2 p 5 m 6 m Onde foi obtido através do teorema de Pitágoras. A fórmula que fornecerá o valor desejado será o teorema de Pitágoras. 2 + y2 = z2 Como a escada não pode alterar seu comprimento então z é constante e igual a 6. 2 + y2 = 36 Derivando implicitamente. 2 d dt + 2y dy dt = 0 ⇒ 2(2p5m)0.6m/s + 2(4m)dy dt = 0 ⇒ 2.4p5m2/s + 8mdy dt = 0 Evidenciando dy/dt 5 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dy dt = −0.3p5m/s Neste caso o sinal de negativo indica o sentido do movimento da escada (para baixo). Exemplo 04 Um tanque tem a forma de um cone circular reto invertido, com 4 m de altura e raio da base 2 m. Se água entra no tanque á razão de 0.001 m3/min calcule a razão em que o nível de água está subindo quando a altura é 1 m? Solução: Dados: h = 4 m r = 2 m dV dt = 0.001 m3/min Queremos descobrir dh dt quando h = 1 m. A equação que irá relacionar dh/dt aos dados será: V = 1 3 pir2h Derivando implicitamente. dV dt = 1 3 pi � 2rh dr dt + r2 dh dt � Pelo problema sabe-se que: h r = 4 2 ⇒ h = 2r Da igualdade anterior ainda temos que: dh dt = 2 dr dt ⇒ dr dt = dh 2dt Substituindo dr/dt = dh/2dt e também h = 1r em dv/dt chega-se: 6 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dV dt = 1 3 pi 2 � h 2 � h dh 2dt + � h 2 �2 dh dt ⇒ dV dt = 1 3 pi h2 2 dh dt + h2 4 dh dt ⇒ dV dt = 1 3 pi dh dt h2 2 + h2 4 ⇒ dV dt = 1 3 pi dh dt � 3 4 h2 � ⇒ dV dt = pi dh dt h2 4 ⇒ 4 h2pi · dV dt = dh dt ⇒ dh dt = 4 h2pi · dV dt Finalmente quando h = 1 m temos: dh dt = 4 103pi m/mn Exemplo 05 Ao ser aquecida uma chapa circular de metal, seu diâmetro varia á razão de 0.005 cm/min. Determine a taxa á qual a área de uma das faces varia quando o diâmetro é 30 cm. Solução: Dados: dD/dt = 0.005 cm/min dA/dt = ? D = 30 cm Tomando a relação A = pir2 que é fórmula para área do círculo. E derivando a implicitamente temos: 7 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dA dt = 2pir dr dt Sabe-se que o diâmetro (D) e duas vezes o raio (D = 2r) então: dD dt = 2 dr dt ⇒ 0.5dD dt = dr dt Assim: dA dt = 2pi(D/2) � 0.5 dD dt � ⇒ dA dt = piD � 0.5 dD dt � ⇒ dA dt = 30pi (0.5(0.005)) ⇒ dA dt = 0.075pi (cm2/mn) Exemplo 06 Suponha que uma bola de neve esteja se derretendo, com raio decrescendo a razão constante 2 cm/min. Qual a variação do volume quando o raio está com 25 cm? Solução: Dados: dr/dt = -2 cm/min dv/dt = ? r = 25 cm. A fórmula do volume da esfera é: V = 4 3 pir3 Derivando implicitamente. dV dt = 4 3 pi3r2 dr dt ⇒ dV dt = 4pir2 dr dt 8 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Finalmente substituindoos valores dV dt = 4pi(25)2(−2) cm3/mn ⇒ dV dt = −5000pi cm3/mn Exemplo 07 A areia que vaza de um deposito e forma uma pilha cônica cuja altura sempre é igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta a uma razão de 15 cm/min. Determine a taxa a qual a areia está se escoado quando a altura da pilha for de 25 cm. Solução: Dados: h = r dh/dt = 15 cm/min dv/dt = ? h = 25. V = 1 3 pir2h Derivando implicitamente. dV dt = 1 3 pi2r dr dt h + 1 3 pir2 dh dt Como h = r então dr/dt = dh/dt e assim: dV dt = 1 3 pi � 2r dr dt h + r2 dh dt � ⇒ dV dt = 1 3 pi � 2h dh dt h + r2 dh dt � ⇒ dV dt = 1 3 pi dh dt � 2h2 + h2 � 9 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA ⇒ dV dt = 1 3 pi dh dt 3h2 ⇒ dV dt = pi15(25)2 ⇒ dV dt = pi15(25)2 = 9375pi ⇒ dV dt = 9375pi cm3/mn Exemplo 08 Uma pedra jogada em um lago emite ondas circulares, cujo raio cresce a uma taxa constante de 3 m/s. Com que rapidez estaria variando a área englobada pela onda crescente ao final de 10 segundos? Solução: Dados: dr/dt = 3 m/s dA/dt = ? t = 10s A = pir2 ⇒ dA dt = 2pir dr dt Como o raio varia 3 m/s em 10 segundos teremos um raio de 30 m. dA dt = 2pi(3 · 10)(3) = 180pi m2/s Exemplo 09 Um balão esférico é inflado de tal forma que o volume cresce a taxa de 3 m3/min. Com que rapidez o diâmetro do balão estará crescendo quando o raio for de 1 m? Solução: V = 4 3 pir3 10 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA d dt = 4pir2 dr dt 3 (m3/mn) = 4pi(1 m)2 dr dt dr dt = 3 4pi (m/mn) Como 2r =Diâmetro então: 2 dr dt = dD dt e portanto: dD dt = 3 2pi (m/mn) Exemplo 10 Dois carros estão se encaminhando em direção a um cruzamento, um seguindo a direção leste a uma velocidade de 90 km/h e o outro seguindo a direção sul, a 60 km/h. Qual a taxa segundo a qual eles se aproximam um do outro no instante em que o primeiro carro está a 0.2 km do cruzamento e o segundo a 0.15 km? Solução: Dados: dx/dt = 90 dy/dt = -60 dz/dt = ? x = 0.2 Km y = 0.15 Km 60 km/h 90 km/h 11 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Neste caso desejamos saber dz dt quando x = 0.2 Km e y = 0.15 Km. Para isso usaremos o teorema de Pitágoras: 2 + y2 = z2 derivando implicitamente. 2 d dt + 2y dy dt = 2z dz dt e simplificando d dt + y dy dt = z dz dt substituímos os valores de dx/dt e dy/dt 2(90) + 2y(60) = 2z dz dt e evidenciamos o dz/dt. dz dt = 0.2(90) + (0.15)(−60) z Quando x = 0.2 e y = 0.15, z é igual 0.25 (teorema de Pitágoras). E portanto: dz dt = −108 Km/h Um resultado interessante neste problema ocorre se aplicarmos o teorema de Pitágoras diretamente as velocidades (que são nada mais que vetores). Vz = p 602 + 902 ≈ 108.167 km/h Que é um resultado bastante próximo do calculado por meio da derivação im- plícita. Exemplo 11 Suponha que, em certo mercado, x milhares de caixas de laranjas sejam forneci- dos diariamente sendo p o preço por caixa e a equação de oferta p − 20p − 3 + 105 = 0 Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de 250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando quando o fornecimento diário for de 5 mil caixas? 12 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Solução: Queremos descobrir dp dt quando x = 5. Derivando a expressão implicitamente chega-se à: � dp dt + d dt p � − 20dp dt − 3d dt + 0 = 0 ⇒ dp dt ( − 20) + d dt (p − 3) = 0 ⇒ dp dt = − d dt (p − 3) − 20 Quando é igual 5 p é igual à 6 p(5) − 20p − 3(5) + 105 = 0 p(5) = 6 A taxa de fornecimento (dx/dt) está decrescendo em 250, mas como é uma unidade em milhares usaremos d dt = − 250 103 . Assim: dp dt = 0.25(6 − 3) (5 − 20) = −0.05 Ou seja o preço está decrescendo a uma taxa de R$ 0,05 ao dia. Exemplo 12 Um avião voa a 152.4 m/s paralelamente ao solo, a uma altitude de 1.220 m no sentido oeste, tomando como referencia um holofote fixado no solo que o focaliza e que se encontra à esquerda da projeção vertical do avião em relação ao solo. Sabendo-se que a luz do holofote deverá permanecer iluminado o avião, qual deverá ser a velocidade angular (de giro) do holofote, no instante em que a distância horizontal entre ele e a projeção vertical do avião for de 610 m? Solução: 1220 m 13 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Queremos encontrar dθ dt quando = 610 m. E como tg θ = 1220 então: sec2θ dθ dt = − 1220 2 d dt Substituindo d dt = −152.4 na equação anterior e dividindo por sec2 θ, iremos obter dθ dt = 185.928 2sec2θ Quando x = 610, tgθ = 2 e sec2 θ = 5. dθ dt = 185.928 6102 · 5 ⇒ dθ dt ≈ 1 10 rd/s Exemplo 13 Uma piscina tem 5 m de largura por 10 m de comprimento, 1 m de profundidade na parte rasa, e 3 m na parte mais funda. 10m 5m 1m 3m1.5m 4m A figura acima mostra as medidas e forma da piscina. Se a piscina for enchida a uma taxa de 0.1 m3/min, quão rápido estará subindo o nível de água quando sua profundidade no ponto mais profundo for de 1 m? Solução: 14 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Quando a profundidade da água no ponto mais fundo da piscina for de 1m então somente a área cuja seção transversal é um trapézio estará sendo usada. Assim vamos considerar apenas essa parte da piscina. Essa parte é representada pelo desenho a seguir. 2m x y 1.5m 4m 3m Área do trapézio: A = BseMor + BseMenor 2 h A = ( + 3 + y) + 3 2 h Como a piscina têm 5 m de largura então seu volume é 5 vezes a área do trapézio determinado: V = 5A V = 5 ( + 3 + y) + 3 2 h V = 1.875h2 + 5h2 + 15h Derivando implicitamente dV dt = 3.75h dh dt + 10h dh dt + 15 dh dt dV dt = dh dt (13.75h + 15) Substituindo a taxa e h = 1 m. 0.1 = dh dt (13.75(1) + 15) dh dt = 2 575 m 15 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Exemplo 14 Água está saindo de um tanque em forma de um cone invertido a uma taxa de 10.000 cm3/min no momento em que água está sendo bombeada para dentro a uma taxa constante. O tanque tem 6 m de altura e seu diâmetro no topo é 8 m. Se o nível da água está subindo a uma taxa de 20 cm/min quando a altura era 2 m, encontre a taxa com que a água está sendo bombeada para dentro. Solução: 2 m = 200 cm 5.8 m = 600 cm 4 m = 400 cm A variação do volume de água é dada pela fórmula dV dt = de dt − ds dt Onde de dt é a taxa de variação de entrada da água e ds dt a taxa de variação da saída da água, que é igual á 10.000 cm3/min. Sabe-se que a expressão para o volume de um cone é: V = 1 3 pir2h Pelo desenho é fácil verificar que h r = 6 4 que resulta em r = 2 3 h. Assim: V = 1 3 pi � 2h 3 �2 h = 4pih3 27 onde derivando implicitamente obtemos: dV dt = 4pih2 9 dh dt Como dV dt = de dt − ds t então: 16 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA de dt − ds dt = 4pi · 2002 9 · 20 ⇒ de dt − 10.000 = 4pi · 200 2 9 · 20 ⇒ de dt = 4pi · 2002 9 · 20 + 10.000 ⇒ de dt ≈ 1.127.010,7cm3/mn logo a taxa de entrada no momento em que a altura era 200 cm é de 10148,6 cm3/min Exemplo 15 Um corredorcorre em uma trajetória circular de raio 100 m a uma velocidade constante de 7 m/s. Um outro indivíduo está parado a uma distância de 200 m do centro da pista. Qual a taxa de variação da distância entre os dois quando esta distância era 200 m? Solução: Observe o esquema a seguir 200m θ x y z O problema é que não sabemos exatamente a posição dos dois corredores. Então não podemos usar o teorema de Pitágoras. Vamos usar a lei dos cossenos para expressar a distância entre os dois: z2 = 2 + y2 − 2y · cosθ Derivando implicitamente e levando em conta que x e y não variam no tempo (ou seja, são constantes) chega-se á: 2z dz dt = 0 + 0 + 2y(senθ) dθ dt ⇒ 2zdz dt = 2y(senθ) dθ dt 17 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA ⇒ zdz dt = y(senθ) dθ dt Substituindo o valor de , y e z. 200 dz dt = 200 · 100(senθ)dθ dt ⇒ dz dt = 100(senθ) dθ dt Da física sabemos que S = rθ logo: dS dt = r dθ dt ⇒ dS dt · 1 r = dθ dt . Substituindo esse último valor em dz/dt dz dt = 100(senθ) � dS dt · 1 r � ⇒ dz dt = 100 r (senθ) dS dt Como r = 100m então dz dt = 100 100 (senθ) dS dt ⇒ dz dt = (senθ) dS dt Quando a distância entre eles for de exatamente 200m então o ângulo θ será de: 2002 = 2002 + 1002 − 2 · 200 · 100cos(θ) ⇒ 2002 = 1002 + 2002 − 4 · 104cos(θ) ⇒ cos(θ) = 1 4 ⇒ θ ≈ 75,5◦ Assim: 18 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA dz dt = sen(75,5◦) · dS dt ⇒ dz dt = sen(75,5◦) · 7 ≈ 6,78 m/s Exemplo 16 A equação de demanda de uma determinada camisa é 2p + 65p − 4950 = 0, onde centenas de camisas são demandadas por semana quando p for o preço unitário. Se a camisa estiver sendo vendida esta semana R$ 30,00 e o preço estiver crescendo a uma taxa de R$ 0,20 por semana, ache a taxa de variação na demanda. Solução: A equação é a seguinte: 2p + 65p − 4950 = 0 Não há constantes no problema, pois tanto como p variam com o tempo. Deste modo não há substituições a fazer. Derivando a equação implicitamente chega-se à: 2 dp dt + 2p d dt + 65 dp dt = 0 Como p = 30 e dp dt = 0.2 então: 2(0.20) + 2(30) d dt + 65(0.20) = 0 ⇒ d dt = − 65(0.20) + 2(0.20) 2 · 30 Para descobrir o valor de usamos a equação inicial. 2p + 65p − 4950 = 0 ⇒ 2(30) + 65(30) − 4950 = 0⇒ = 50 Portanto d dt = − 65(0.20) + 2(0.20)(50) 2 · 30 = −0.55 19 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Decresce a taxa de 55 camisas por semana. Exemplo 17 Uma lâmpada está pendurada a 4,5m de um piso horizontal. Se um homem com 1,80m de altura caminha afastando-se da luz, com uma velocidade horizontal de 1,5m/s: a) Qual a velocidade de crescimento da sombra? b) Com que velocidade a ponta da sombra do homem está se movendo? Solução: Vamos imaginar a situação descrita como na imagem abaixo. w k Lâmpada O problema envolve uma semelhança de triângulos. Onde: é a distância horizontal do homem a lâmpada; k é o comprimento da sombra; d/dt é a taxa de variação com que o homem se afasta da lampada horizontal- mente; dk/dt a taxa de crescimento da sombra. Por semelhança de triângulos ( + k) 4,5 = k 1,80 20 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA ⇒ k = 1,5 ⇒ = 1,5k Derivamos em ambos os lados em relação ao tempo(t): 0,6(dw/dt) = 0,4(dk/dt) ⇒ dk/dt = 0,6 (d/dt) 0,4 Como d/dt = 1.5 m/s então dk/dt = 1 m/s (Primeira resposta). A velocidade com que a ponta da sombra do homem está se movendo é a soma da taxa de variação com que o homem se move somada a taxa de variação de crescimento da sombra. d(w + k)/dt = dw/dt + dk/dt ⇒ d(w + k)/dt = 1,5 + 1 ⇒ d(w + k)/dt = 2,5 m/s (segunda resposta) Respostas: (a) 1,0 m/s (b) 2,5 m/s Exemplo 18 Um radar da polícia rodoviária está colocado atrás de uma árvore que fica a 12 metros de uma rodovia que segue em linha reta por um longo trecho. A 16 metros do ponto da rodovia mais próximo do radar da polícia, está um telefone de emergência. O policial mira o canhão do radar no telefone de emergência. Um carro passa pelo telefone e, naquele momento, o radar indica que a distância entre o policial e o carro está aumentando a uma taxa de 70 km/h. O limite de velocidade naquele trecho da rodovia é de 80km/h. O policial deve ou não multar o motorista? Solução: O problema acima é esquematizado na figura abaixo: 21 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Radar 12m Telefone 16m z2 = 2 + y2 Como a distância horizontal entre a rodovia e o radar se mantêm constante. z2 = 122 + y2 ⇒ z2 = 144 + y2 Derivando implicitamente. 2z dz dt = 0 + 2y dy dt e evidenciando dy/dt dy dt = 2z(dz/dt) 2y ⇒ dy dt = z(dz/dt) y e finalmente substituindo os valores chega-se ao resultado. dy dt = p 122 + 162 · 70 16 = 87.5 Como o limite é de 80 Km/h e a velocidade do carro é de 87.5 km/h a não ser que o motorista tenha uma boa desculpa ele deve ser multado. Exemplo 19 Considere um balão meteorológico a ser lançado de um ponto a 100 metros de distância de uma câmera de televisão montada no nível do chão. À medida em que o balão sobe, aumenta a distância entre a câmera e o balão e o ângulo que a câmera faz com o chão. Se o balão está subindo a uma velocidade de 6 m/s, pergunta-se: 22 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA (a) Quando o balão estiver a 75m de altura, qual a velocidade com que o balão se afasta da câmera? (b) Decorridos 5 segundos após o lançamento, para filmar a subida do balão, com que velocidade a câmera está girando? Solução de A: Considere o esquema Lânterna Balão y x z θ Usando Pitágoras z2 + y2 + 1002 ⇒ zdz dt + y dy dt Quando y = 75 por Pitágoras conclui-se que z = 125, então: 125 dz dt + 75(6) ⇒ dz dt = 3.6 Logo a velocidade com que o balão se afasta é de 3.6 m/s Solução de B: Para resolver o item (b), podemos usar a função seno para obter uma equação que relaciona as varáveis d (distância horizontal entre a câmera e o balão), h (dis- tância vertical entre o balão e o solo) e θ (angulo da câmera com a horizontal). Assim temos que: sen(θ) = y z ⇒ sen(θ) = yÆ 1002 + y2 23 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Fazendo a derivada da função e evidenciando dθ/dt dθ dt = dy/dt cos(θ)(104 + y2) q 104 + y2 − y 2Æ 104 + y2 (1) Em 5 segundos a 6m/s o balão percorre 30m (y = 30). Como x é sempre igual a 100 pelo teorema de Pitágoras z = p 104 + 302 = 10 p 109. De modo que cos(θ) = 100 10 p 109 = 10p 109 . Finalmente substituindo estes valores em (1) chegamos a solução. dθ dt = 6 p 109 109 · 103 p 10900 − 9 · 10 2 p 10900 ⇒ dθ dt = 6 102 − 54 109 · 102 ⇒ dθ dt = 6 109 = 0.055 Rad/s Exemplo 20 Um homem caminha ao longo de um caminho reto com velocidade 4 m/s. Uma lâmpada está localizada no chão a 20m da trajetória (distância ortogonal) e é man- tida focalizada na direção do homem. Qual a velocidade de rotação da lâmpada quando o homem está a 15m do ponto do caminho mais próximo da lâmpada? Solução de A: Considere o esquema: Homem Lâmpada θ z=20m x=15m y É 24 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA tg(θ) = y Derivando implicitamente dθ/dt cos2(θ) = (d/dt)y − (dy/dt) y2 Como y é uma constante então dy/dt = 0 e assim: dθ/dt cos2(θ) = (d/dt)y y2 = (d/dt) y(1) Pelo teorema de Pitágoras 202 = 152 + y2. Que resulta em y2 = 175 Substituindo esse valor em (1) e explicitando dθ/dt dθ dt = (d/dt)p 175 · cos2(θ) Como dx/dt = 4 e cos(θ) = p 175 20 dθ dt = 4p 175 · p 175 20 2 ≈ 0.13 Assim a velocidade é de aproximadamente 0.13 rad/s 25 Caderno de Exercícios Diego A. Oliveira - Vitória da Conquista / BA Este trabalho está licenciado com uma Licença Creative Commons - Atribuição-NãoComercial- CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Esse documento está sujeito a constante atualização ou mesmo correções, por isso, certifique se que o que você têm em mãos é de fato a última versão do mesmo. Para saber, bem como ter acesso a vários outros exercícios resolvidos de matemática, acesse: www.number.890m.com E se alguma passagem ficou obscura ou se algum erro foi cometido por favor entre em contato para que possa ser feito a devida correção. nbbedego@gm.com .ƒcebook.com/theNmberType .nmber.890m.com 26
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