Trabalho administração

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1.1 Por que a matemática financeira é tão importante nos dias de hoje ?
Num mundo globalizado e com tantas incertezas que pairam sobre o ambiente corporativo de hoje, a matemática financeira se torna uma ferramenta fundamental para tomada de decisões por parte dos gestores.
Um primeiro ponto que surge é que o senso comum nos diz que não podemos comparar valores que se encontram em instantes distintos. Especialmente em nosso país, onde altíssimas taxas de inflação faziam com que os agentes econômicos aplicavam diariamente os recursos no Overnight, pois o dinheiro não poderia ficar parado na conta corrente, já que o seu valor se alterava dia a dia.
Um outro ponto, de igual importância, é o conceito da taxa mínima atrativa para o investidor ou o custo de oportunidade do investidor. Todo o investidor coloca o seu dinheiro na empresa esperando por dividendos e esses dividendos ocorrerão no futuro. Esses dividendos também devem ser descontados a valor presente para valorizar o lucro proporcionado ao investidor, a valores de hoje. E a ferramenta para trazer os dividendos futuros a valor presente é a matemática financeira.
De fato, os conceitos de finanças estão se espalhando por toda a organização. O Departamento de Compras precisa calcular os prazos e as taxas de financiamento no qual o fornecedor está colocando no preço, para se verificar se a operação de compra é viável ou não. O departamento de vendas deve também verificar os descontos dado aos clientes. O gestor de estoques deve calcular a despesa financeira de estoque, com uma informação de custo de oportunidade fornecido pelo gestor de finanças.
E, principalmente, o conceito de valor do dinheiro no tempo deve ser entendido por todos os gestores, pois os projetos das áreas devem ser aprovados financeiramente mediante conceitos de matemática financeira como valor presente líquido e taxa interna de retorno.
Estudaremos no Módulo de Gestão Estratégica de Finanças a análise de cenários e análise de riscos, conceitos que dependem muito de uma base de matemática financeira e estatística.
Assim, o nivelamento de matemática financeira é extremamente relevante para o Gestor Empresarial de hoje em dia.
Após o término desse módulo de nivelamento em matemática financeira, o aluno estará apto a:
1 – Calcular Juros Simples e Juros Compostos de operações financeira.
2 – Atualizar valores que estão colocados em qualquer instante do tempo, para instantes posteriores e anteriores.
3 – Calcular o desconto racional composto de um dado empréstimo ou aplicação.
4 - Fazer a equivalência de capitais e equivalência de taxas.
5 – Trabalhar com anuidades postecipadas e antecipadas.
6 – Calcular valor presente e taxa interna de retorno de fluxos de Caixa não uniforme.
7 – Fazer todas as operações acima utilizando a HP 12 C e Excel.
1.2 Representação do Diagrama de Fluxo de Caixa ou Diagrama das Flechinhas.
O diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) ou Diagrama das Flechinhas é uma representação largamente utilizada com o objetivo de dar uma visão da operação financeira de uma forma estruturada e temporal. A ilustração 1 mostra um DFC de um investimento em uma máquina:
Ilustração 1 : Diagrama de Fluxo de Caixa
O DFC é composto de uma linha horizontal numerada seqüencialmente começando por 0 e flechas verticais localizadas nos instantes seqüenciais. Por exemplo, temos uma flecha no instante 1 cujo valor vale 100. Os instantes seqüenciais são os instantes de tempo no qual ocorrem os fluxos de caixa. Por exemplo, no instante 1, temos uma flecha para cima cujo valor vale 100. Esse instante pode ser 1 mês, 1 ano ou qualquer outra unidade de tempo.
O instante 0 é o instante atual, ou seja, é a data de hoje. Se, estamos apresentando um DFC anual, o instante 0 é o instante de hoje, o instante 1 é o instante 1 ano após hoje, o instante 2 é o instante 2 anos após hoje e assim por diante.
Um outro ponto importante para o entendimento do DFC é as flechas do diagrama. O valor da flecha é o valor do fluxo de Caixa e, se as flechas estão orientadas para cima, as flechas representam uma entrada de caixa e são positivas, enquanto que, se as flechas estão orientadas para baixo, representam uma saída de caixa e são negativas. Assim pela ilustração 1, temos que no instante 3, temos uma saída de caixa no valor de 150.
Digamos que, temos o seguinte fluxo de caixa no instante 0, como mostra a ilustração 2:
Ilustração 2 : Fluxo de Caixa a ser valorizado
Digamos ainda que, precisamos valorizar esse fluxo da caixa localizado no instante 0, que representa uma entrada de caixa no valor de $ 100, até o instante 5 como mostra a ilustração 2. Existem dois tipos de juros que podemos utilizar para valorizar o fluxo de caixa do instante 0 até o instante 5, que são os juros simples e os juros compostos. Vamos agora detalhar esse ponto.
1.3 Juros Simples e Juros Compostos
A diferença básica entre os Juros Simples e os Juros Compostos está na incidência dos juros. Utilizando o exemplo da ilustração 2, construímos a tabela contida na ilustração 3, com o cálculo dos juros simples e juros compostos.
Montante ou Saldo
Devedor do Juros Simples
Montante ou Saldo
Devedor do Juros Compostos
Juros = Montante – Principal = 133 -100 Devedor
Ilustração 3 : Tabela de Juros Simples e Juros Compostos
Juros = Montante – Principal = 130 -100
Onde os valores na linha i, representam o Saldo Devedor ou o Montante na linha i, e o valor do juros é definido como a diferença entre o Montante o e Valor Inicial.
No caso dos juros simples, a incidência de juros é sempre sobre o valor principal ou o valor inicial. Como o valor inicial é igual 100 e não muda, o valor de juros de cada período será sempre o mesmo. Ou seja:
J = taxa * principal = 10 % * $ 100 = $ 10
Como o montante (ou o saldo devedor) é dado por:
M = P + n * J
Onde:
M = Montante;
n= numero de períodos;
J = juros de cada período.
Temos que, para o instante t = 2 (por exemplo):
M = $ 100 + 2 * $ 10 = $ 120
Fazendo esse cálculo para t=1, t=2, t=3, t=4 e t=5, chegamos aos valores dos montantes apresentados na ilustração 3.
Resumindo, para o cálculo do Juros Simples, O valor do Juros e o Montante são calculados pelas seguintes equações:
J = taxa * P
M = P + n * J
Onde:
M = Montante;
n= Numero de períodos;
J = Juros de cada período;
P = Principal.
No caso dos juros compostos, a incidência de juros é sempre sobre o valor do montante anterior. Assim, o cálculo do montante para um dado instante i, é dado pela seguinte equação:
Mi = Mi-1 + i * Mi-1 = Mi-1 *(1+i)
Onde:
Mi = Montante no período i;
Mi-1 = Montante no período i-1;
i = taxa de juros.
Então, fazendo-se o cálculo para o período t=1, onde o saldo devedor é o próprio valor inicial, temos:
M1 = M0 + i * M0 = 100 + 10 % * 100 =110
Note que o montante para o período 1 é o mesmos calculando pelos juros simples e juros compostos.
Para o período t=2, fazendo os mesmos cálculos temos:
M2 = M1 + i * M1 = 110 + 10 % * 110 =121
E fazendo-se para todos os períodos, chegamos a seguinte fórmula genérica para o cálculo do juros compostos:
Mj= P *(1+i)j (1)
Onde:
Mj= Montante no período t =j;
P = Valor Principal ou Inicial;
i = taxa de juros;
j= período que está sendo calculado.
Por exemplo, no instante t=4, temos
M4 = P * (1+ i) 4 = 100 *(1 + 10% ) 4= 146
Assim podemos aplicar a fórmula anterior para se obter o montante valorizado pelos juros compostos, em qualquer instante.
1.4 Juros Compostos e HP 12C
Nas secções anteriores visitamos os conceitos de juros simples e compostos, incluindo as expressões algébricas para se obter o montante em qualquer instante que representa a base para a matemática financeira.
Porém, Juros Simples não é muito utilizado no mercado, sendo que, apenas poucas operações como caderneta de poupança e operações de comércio exterior utilizam o juros simples. Além disso, é muito simples a sua operação.
Assim, focaremos nesse nivelamento de matemática financeira, os Juros Compostos. Então, de agora em diante, os juros que serão considerados serão osJuros Compostos.
Um outro ponto é que focaremos a utilização da HP 12C e Excel em nossas aplicações de matemática financeira e também nos exercícios de Gestão Estratégica de Finanças. Assim, todas as operações serão realizadas na HP 12C e excel, de modo que, apenas quando necessário, utilizaremos o cálculo algébrico que é muito mais trabalhoso. Com isso, de agora em diante, utilizaremos a HP 12C e Excel.
Apresentaremos agora o cálculo do Montante apresentado no item 1.3 na HP 12C e posteriormente no EXCEL. A ilustração 4 mostra a HP12C.
Na primeira linha da HP 12C, temos as teclas n, i, PV,PMT,FV. A idéia é sempre teclarmos 3 variáveis para que a HP 12C calcule a quarta variável.
N = Número de períodos é o número de períodos entre o valor inicial e o montante;
I = Taxa de Juros;
PV = Valor Presente ou Valor Inicial ou Principal;
PMT = Anuidade (será apresentado nos itens posteriores);
FV = Valor Futuro.
Número de Períodos
Taxa de Juros
Valor Presente Períodos
Valor Futuro
‘
F Reg – limpa os registradores.
Ilustração 4 : HP 12C
Para exercitar o uso da HP 12C, digamos que queremos atualizar um valor de $ 1.000, que se encontra no instante 0 para o instante 4, onde a taxa de juros i= 5 %. Podemos utilizar a equação (1) localizada no item 1.3:
M = P *(1+ i) j = 1.000 *(1+ 5 %)4= 1.216
Ou, utilizando a HP 12C, temos que teclar a seqüência de teclas:
F Reg
1000 PV
5 i
4 n
FV ----------- resultado----------- - 1.216
Duas dicas importantes vêm do exemplo anterior: (1) a tecla f REG limpa os registradores, evitando erros. Sempre que você inicia uma nova operação, é interessante teclar o f REG para que informações da operação anterior não interfiram na operação atual. (2) HP 12C muda o sinal do resultado. O raciocínio é que a HP 12C considera sempre que, se houver PV positivo, que significa uma entrada de caixa, o resultado do FV será uma saída de caixa. (Uma aplicação financeira sempre tem como correspondência um Resgate Financeiro no final).
O diagrama de Fluxo de Caixa para a operação anterior é descrito abaixo:
1.5 Outras aplicações na HP 12C
Tanto o Excel como a HP 12C, permitem também que calculemos o n, i, PV de uma dada operação financeira (não somente o FV). Basta que forneçamos 3 dados para calcularmos o quarto. Por exemplo, digamos que a taxa é a incógnita do problema, dados PV, FV, n, como mostra o exemplo abaixo:
Exemplo 1: Calcule a taxa de retorno de um investimento cujo investimento vale $ 500, tem um Valor de Resgate $600 após 6 anos.
Solução: Como o valor presente PV = $ 500, o valor futuro FV= (600) e n=6, temos:
F REG
500 PV
600 chs FV (O chs troca o número de sinal)
6 n
Teclando i, temos a resposta = 3,09 % ao ano.
Note que na resposta temos uma taxa de 3,09 % ao ano, pois o período é 6 anos. Assim existe uma correspondência em termos de unidades entre a taxa i e o número de períodos n.
Exemplo 2: Uma duplicata tem um Valor Final de $ 550. Sabendo-se que a taxa de desconto é 4 % a.m. e que faltam ainda 3 meses para o vencimento, Calcule o e o valor de desconto.
Solução: Nesse caso temos que calcular o PV, para depois calcularmos o desconto racional composto. Para o cálculo do PV, temos:
F REG
550 CHS FV
4 i
3n
Teclando PV, temos a resposta = 488,95
Assim o desconto = 550 – 488,95 = $ 61,05
Então temos um abatimento de $ 61,05 caso o pagamento seja feita 3 meses antes do vencimento, supondo um valor final de $ 550 e uma taxa de desconto de 4 % a.m. Mais uma vez, existe uma correspondência de unidade de tempo entre a taxa (ao mês) e o período (meses).
Exemplo 3: No exemplo anterior, supondo que o titulo não tenha sido descontado naquele instante (3 meses para vencimento) e após 1 mês deseja-se descontar o título. Qual o novo valor de desconto?
Solução: Fazendo os mesmos cálculos do exemplo 2, só que para esse caso o n=2, temos:
F REG
550 CHS FV
4 i
2n
Teclando PV, temos a resposta = 508,51
Assim o desconto = 550 – 508,51 = $ 41,49
1.6 Equivalência de Taxas
Nos exemplos anteriores, os prazos da operação eram 2 meses ou 3 meses redondos, e, como a taxa dada era mensal, havia o casamento de prazo com a taxa. Agora, o que ocorre se a taxa for mensal e o prazo em dias, por exemplo, onde a unidade da taxa é diferente da unidade do prazo da operação?
Nesse caso devemos transformar a taxa. Temos duas formas de fazer essa operação, a primeira de uma forma algébrica e a segunda pela HP 12C.
O raciocínio é que, independente de ser taxa diária ou taxa mensal, o valor futuro da operação deve ter o mesmo resultado, partindo de um mesmo valor presente. Vamos supor que temos uma taxa diária TD e uma taxa mensal TM. Como 1 mês possui 30 dias e que o VF calculado para uma taxa diária que se capitaliza por 30 dias é igual ao VF de uma taxa mensal que se capitaliza 1 vez no mês, algebricamente, temos:
Transformação de Taxa Mensal TM em Taxa Diária TD e Vice Versa.
Vp * ( 1 + TD)30 = Vp *(1+ TM) 1
( 1 + TD)30 =(1+ TM)
Assim TD = (1 + TM)^(1/30) – 1
TM = ( 1 + TD)30 -1
Exemplo 4: Calcule a taxa diária equivalente a uma taxa mensal de 30 % ao mês.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TD = (1+ 0,3)^(1/30) – 1 = 0,88 % ao dia.
Exemplo 5: Calcule a taxa mensal equivalente a uma taxa diária de 1 % ao dia.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TM = ( 1 + TD)30 -1 = (1 +0,01) 30-1 = 34,78 % ao mês.
Uma outra necessidade muito comum em Matemática Financeira é a transformação de taxa anual em taxa mensal e vice versa. Algebricamente, temos:
Transformação de Taxa Mensal TM em Taxa Anual TA e Vice Versa.
Vp * ( 1 + TM)12 = Vp *(1+ TA) 1
( 1 + TM)12 =(1+ TA)
Assim TM = (1 + TA)^(1/12) – 1
TA = ( 1 + TM)12 -1
Exemplo 6: Calcule a taxa mensal equivalente a uma taxa anual de 12 % ao ano.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TM = (1 + TA)^(1/12) – 1 = (1 + 0,12) ^(1/12) – 1 = 0,95 % a.m.
Exemplo 7: Calcule a taxa anual equivalente a uma taxa mensal de 2 % ao mês.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TA = ( 1 + TM)12 -1 = (1 + 0,02) 12 -1 = 26,82 % ao ano.
Um outro problema que pode aparecer é a transformação de Taxa Diária TD em Taxa Anual TA e vice versa. Algebricamente, temos:
Transformação de Taxa Diária TD em Taxa Anual TA e Vice Versa.
Vp * ( 1 + TD)360 = Vp *(1+ TA) 1
( 1 + TD)360=(1+ TA)
Assim TD = (1 + TA)^(1/360) – 1
TA = ( 1 + TD)360 -1
Exemplo 8: Calcule a taxa diária equivalente a uma taxa anual de 360 % ao ano.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TD = (1 + TA)^(1/360) – 1 = (1 + 3,6) ^(1/360) -1 = 0,42 % ao dia.
Exemplo 9: Calcule a taxa anual equivalente a uma taxa diária de 1 % ao dia.
Solução:Aplicando a equação, temos:
TA = ( 1 + TD)360 -1 = (1 + 0,01) 360 -1 = 3495 % ao ano.
1.7 Capitalização
Em algumas operações financeiras, surge o conceito de capitalização. A capitalização é o momento quando os juros são incluídos ao valor da operação. Mas na capitalização, a taxa de juros nominal é calculada como se fossem juros simples. Por exemplo, dada uma taxa de juros anual de 12 % ao ano, se a capitalização for semestral, a taxa de juros semestral será de 6 % ao semestre. O exemplo 10 ilustra o conceito da capitalização:
Exemplo 10: Dada uma operação de investimento de $ 1.000, calcule o valor futuro após 1 ano, supondo uma taxa anual de i =12 % a. a e capitalização semestral.
Solução: Com a capitalização é semestral, devemos calcular a taxa ao semestre que será 12% / 2 = 6 % ao semestre. Como o prazo da operação é 2 semestres (1 ano), temos que:
VF = VP *(1+ i)n = 1.000*(1+ 0,06)2 = $ 1,123.60
Exemplo 11: Dada uma operação de investimento de $ 1.000, calcule o valor futuro após 2 anos, supondo uma taxa anual de i =12 % a. a e capitalização trimestral.
Solução: Com a capitalização é trimestral, devemos calcular a taxa ao trimestre que será 12% / 4 = 3 % ao trimestre. Como o prazo da operação é 8 trimestres (2 anos), temos que:
VF = VP *(1+ i)n = 1.000*(1+ 0,03)8 = $ 1,266.77
1.8 Taxa Efetiva e Taxa Nominal
Nos exemplos 10 e 11, temos uma distinção entre o conceito de taxa efetiva e taxa nominal. A taxa nominal é a taxade contrato, enquanto a taxa efetiva é taxa que realmente acontece durante o período total da operação. O exemplo 12 retrata a diferença entre taxa efetiva e taxa nominal.
Exemplo 12: Com os dados do exemplo 11, calcule a taxa efetiva da operação.
Solução: A taxa nominal da operação é 12 % a a. Como a taxa efetiva é a taxa que realmente acontece durante o período total da operação, temos que:
VP =1000
VF = (1266,77)
N=1
I = ?
Utilizando a HP12C obtemos uma taxa i= 26,68 % ou seja, a taxa efetiva é 26,68 % no período.
Obs.: Para se calcular a taxa efetiva, sempre consideramos n=1 pois estamos querendo calcular a taxa para o período integral.
1.9 Anuidade
A anuidade é definida por pagamentos consecutivos e iguais em um fluxo de caixa. A ilustração 6 mostra o exemplo de uma anuidade.
i = 10 % ao período
Ilustração 6 – Exemplo de uma anuidade
Com base no modelo de anuidade mostrado na Ilustração 6, definiremos alguns parâmetros que servirá como base para utilização da HP 12C. A ilustração 7 mostra as teclas da HP 12C.
Número de períodos n - É o número de fluxos de caixas iguais e consecutivos, no caso da ilustração 6, n=5.
Taxa de Juros i -Taxa de juros que utilizaremos para o cálculo do VP da unidade. No caso da ilustração 6, i = 10 % ao período.
VP – Valor Presente da Anuidade. È o valor presente da anuidade. Note que o VP se localiza no instante 0, ou seja, se localiza no instante anterior ao primeiro fluxo que compõe a anuidade.
Valor da Anuidade PMT – O valor da anuidade ou PMT (Payment em Inglês) é o valor da anuidade. No caso da ilustração 6, PMT =100.
VF – Valor futuro da Anuidade. È o valor futuro da anuidade. Note que o VF se localiza no instante 5, ou seja, no instante do ultimo fluxo que compõe a anuidade.
Ilustração 7 – Teclas da HP 12C
Exemplo 13: Com base na Ilustração 6, calcule o VP e VF da anuidade.
Solução: O valor da anuidade é 100, taxa i= 10 % e n= 5. Colocando esses dados na hp 12C, temos:
F REG
PMT =100
N=5
I = 10
PV --------- -379,08
Note que o valor presente calculado pela HP 12C troca o sinal em relação ao PMT, pelo mesmo motivo que o FV troca de sinal com o PV.
F REG
PMT =100
N=5
I = 10
FV --------- -610,51
Exemplo 14: Dada uma operação de investimento de $ 1.000, calcule o PMT em 10 períodos, supondo i= 5 % a a e VF =0
Solução:
F REG
PV = 1000
N = 10
I = 5
PMT ------- -129,50
Exemplo 15: Dada uma operação de investimento de $ 2.000, calcule o PMT em 5 períodos, supondo i= 10 % a a e um valor residual positivo de $ 1.000
Solução:
F REG
PV = -2000
FV =1000
N = 5
I = 10
PMT ------- 363,80
2.0 Fluxos de Caixa Antecipado e Postecipado
Os exemplos anteriores consideravam que o fluxo de caixa ocorre no fim do período. Voltando para a ilustração 6, um recebimento de 100 no instante 1, na verdade, significa que esse recebimento ocorre no final do período 1, o que é o convencionalmente aceito. Agora, se preferir utilizar o fluxo de caixa no início do período ao invés do final do período, a HP 12 C tem uma solução, como mostra a ilustração 8, através da tecla g begin. Com a tecla g begin ativada, no visor da HP 12C aparece a mensagem begin ( se não aparecer nada no visor, automaticamente se entende que o fluxo de caixa está considerado no final do período). Com isso, todos os fluxos de caixa serão considerados no inicio do período. Aconselho sempre a trabalhar com o fluxo de caixa no final do período, ou seja, sem ativar a teclar begin, pois é assim que o mercado está mais acostumado a trabalhar e isso evita confusões desnecessárias.
Ilustração 8 – Tecla g begin.
2.1 Fluxos de Caixa Não Uniforme
Para finalizar, vamos agora calcular o Valor Presente de um fluxo de caixa não uniforme, utilizando as teclas CF. A ilustração 9 mostra as teclas CF, a tecla f NPV e a tecla f IRR e a ilustração 10 mostra o exemplo de um fluxo de caixa não uniforme.
As teclas g CF0 e g CFj são utilizadas para entrar o fluxo de caixa, na ordem que está disposta no diagrama das flechas. Note que o sinal deve ser respeitado (a saída de caixa deve ser digitada com sinal negativo e entrada de caixa com sinal positivo) e a tecla g CF0 é o investimento inicial. A tecla g cfj é utilizada para entrar o fluxo na ordem que aparece, da esquerda para direita.
As teclas f NPV calculam o Valor Presente Liquido (VPL) e a tecla F IRR calcula a taxa interna de retorno (TIR).
Ilustração 9 –Teclas CF, NPV e IRR
Ilustração 10 – Exemplo de fluxo de caixa não uniforme
Exemplo 16: Calculo o vpl e a tir do fluxo de caixa representado pela ilustração 10. considere i= 10%
Solução:
F REG limpa os registradores
1000 chs g cf0 investimento inicial
100 g cfj fluxo de caixa do período 1
200 g cfj fluxo de caixa do período 2
150 chs g cfj fluxo de caixa do período 3
150 g cfj fluxo de caixa do período 4
100 g cfj fluxo de caixa do período 5
10 i taxa de juros
f npv - $ 691,95 valor presente liquido
f irr - 24,42 %taxa interna de retorno