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Cálculo Diferencial e Integral II 
 
II Prova 
Prof: Thiago Andrade 
thiago.prof.matematica@gmail.com 
 
 
 
Curso: Per. Letivo: 2017.1 
Comp. Curricular: Cálculo Diferencial e Integral II C.H: (87H) 
Professor: Thiago Andrade Fernandes 
ASSINATURA:__________________________________________________________DATA___/___/___ 
Aluno(a): 
 
II PROVA 
OBS: Não pode usar calculadora. 
1. (2,0) Considere a função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦2𝑒𝑥𝑦 e o ponto 𝑃 = (0, −1). 
a) Determine a derivada direcional de f em P na direção do vetor v = (-12, 5). 
b) Determine a taxa de variação máxima de f em P e a direção em que isso ocorre. 
 
2. (3,0) 
A) Determine a equação dos planos tangentes ao gráfico de 𝑓(𝑥, 𝑦) = 7 − 𝑥2 − 𝑦2 que passam por ambos 
os pontos (1, 0, 7) 𝑒 (3, 0, 3). (Dica: Considere que o ponto de tangência é (𝑎, 𝑏, 𝑓(𝑎, 𝑏)).) 
B) Com esses planos determinados, mostre quais as equações das retas normais a estes planos no ponto de 
tangência. 
 
3. (2,0) Seja 𝐹(𝑟, 𝑠) = 𝐺(𝑒𝑟
2
, ln(r − 2s)), onde 𝐺 = 𝐺(𝑥, 𝑦) é uma função de classe 𝐶2 em 𝑅2. 
Calcule 
𝜕2𝐹
𝜕𝑟𝜕𝑠
 (𝑟, 𝑠) em função das derivadas parciais de G. 
 
4. (2,0) Seja 
a) Determine 𝑓𝑥(𝑥, 𝑦) e 𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) quando (𝑥, 𝑦) = (0, 0). 
(use a definição das derivadas parciais como limite) 
b) Discuta a diferenciabilidade de 𝑓(𝑥, 𝑦) em ℛ2 
 
5. (2,1) Falso ou verdadeiro? (Se correto ganha 0,3 pontos, se errado perde (negativo) 0,3 pontos e em 
caso de dúvida sugiro deixar em branco 0,0 ponto) 
(a) Toda função diferenciável é contínua. 
(b) Se f é diferenciável em P, então as derivadas parciais fx e fy existem em P. 
(c) Toda função contínua é diferenciável. 
(d) Se z = f (x; y) tem derivadas parciais fx e fy no ponto P, então f é contínua em P. 
(e) Se uma função z = f (x; y) tem derivadas parciais fx e fy contínuas, então f é diferenciável. 
(f) Toda função diferenciável possui derivadas parcias de primeira ordem contínuas. 
(g) Se as derivadas parciais fx e fy existem em P, então f é diferenciável em P: 
 
 
𝑓(𝑥, 𝑦) = {
3𝑥2𝑦 
𝑥2 + 𝑦2
, (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0)
0, (𝑥, 𝑦) = (0,0)