Plano de aula - trigonometria

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NOME: Daiane Cristina Buci 
RU: 1797340
POLO: Carmo do rio Claro - MG 
	Disciplina: Matemática 
	Série/ano: 1º ano do Ensino Médio 
	Duração da aula: 9 aulas de 50 minutos. 
	
	Conteúdo
	Objetivos
	Estratégia
	Recursos
	Avaliação
	Trigonometria no triângulo retângulo 
	Fazer da pesquisa uma forma de conhecer e entender com mais facilidade o conteúdo; 
Incentivar o uso do celular como ferramenta útil para a aprendizagem; 
Explorar a interação dos alunos trabalhando em grupo; 
Compreender o conteúdo e suas aplicabilidades no dia-a-dia; 
Instruir o uso do transferidor, da calculadora. 
	De início, escrever no quadro o exercício 1, como problema a ser resolvido e pedir aos alunos que, em casa, usem o celular para pesquisar uma forma de resolução. 
Na próxima aula, formar grupos de 4 alunos e pedir que discutam entre eles (por alguns minutos) sobre o que cada um pesquisou. Nesta aula, será apresentado um pouco da história da trigonometria usando como base o texto 1, que será entregue uma cópia para cada grupo, onde cada aluno poderá tirar uma foto, usando o celular, para acompanhar e estudar. Ao final desta aula (mesmo que não tenha terminado a parte da história), serão sorteados alguns subtemas entre os grupos (podendo repetir se precisar), serão eles: ângulos, catetos e hipotenusa; triângulos semelhantes; triângulo retângulo e teorema de Pitágoras; razões trigonométricas no triângulo retângulo; ângulos notáveis; aplicação no cotidiano; que deverão ser pesquisados em casa, usando o celular, para realizarem um seminário. Este seminário poderá ser apresentado pelos alunos através de um cartaz, um resumo, com fotos, com resolução de exercícios ou com slides, o que eles escolherem desde que usem o celular para a pesquisa e apresentem os conceitos e exemplos do subtema proposto. 
Na próxima aula, será concluída a história da trigonometria fazendo o fechamento com a resolução do problema inicial, enquanto os alunos trabalham, em casa, com o seminário. 
A próxima aula será destinada para auxiliar os alunos com o seminário e deixá-los trabalhar com suas pesquisas realizadas em casa, já que alguns podem não ter disponibilidade para se juntarem e realizar o trabalho fora da escola. 
A apresentação será feita nas três aulas seguintes, na ordem dos subtemas. As definições e explicações do conteúdo, e também algumas demonstrações, seguem logo abaixo, em texto 2, para auxilio e complemento das aulas e da apresentação do seminário, além do uso do livro didático para verificar imagens e exemplos. Após a apresentação do subtema “ângulos notáveis”, cantaremos a música 1 e os alunos poderão usar o celular para gravá-la e ouvirem quando e quantas vezes quiserem. 
Com os conceitos já formados após a apresentação dos trabalhos, serão resolvidos os exercícios 2, onde serão usados transferidor, régua e calculadoras, inclusive a calculadora do celular. 
Ao final, pedir aos alunos que escrevam em uma folha separada para entregar, uma breve síntese sobre o que aprenderam e qual foi a importância do conteúdo para eles. 
	Celular;
Régua;
Transferidor;
Calculadoras; 
Quadro negro e giz; 
Data-show; 
Livro didático. 
	No decorrer das aulas, observando o interesse e participação de cada aluno;
Seminários; 
Exercícios para resolver; 
Síntese sobre o conhecimento adquirido. 
	Referências:
INSTITUTO PRESBITERIANO DE EDUCAÇÃO. Professor: Roberto Moraes. 1ª Lista de Revisão Matemática I 3ª Etapa. Disponível em: <https://pt-static.z-dn.net/files/d22/e99211088ebb426ef1806a7934a5713f.pdf>. Acesso em 20/06/2017.
COSTA, N. M. L. A história da Trigonometria. Estudo realizado para dissertação de mestrado – PUC. São Paulo, 1997. Disponível em <http://www.ufrgs.br/espmat/disciplinas/geotri/modulo3/mod3_pdf/historia_triogono.pdf>. Acesso em 20/06/2017. 
BERTOLI, V. e SCHUHMACHER, E. RETROSPECTIVA HISTÓRICA SOBRE A TRIGONOMETRIA: CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES NO ENSINO DA MATEMÁTICA. VI Congresso Internacional do Ensino de Matemática. Canoas - Rio Grande do Sul, 2013. Disponível em: <http://www.conferencias.ulbra.br/index.php/ciem/vi/paper/viewFile/745/340>. Acesso em 20/06/2017. 
MOTERLE, J. TEOREMA DE PITÁGORAS. Trabalho de Conclusão de Curso - UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES. Erechim, 2010. Disponível em: <http://www.uricer.edu.br/cursos/arq_trabalhos_usuario/1265.pdf>. Acesso em 21/06/2017.
 
 XAVIER e BARRETO. Matemática – Aula por Aula. 2. ed. São Paulo, 2005. 
JÚNIOR, F. D. Trigonometria no triângulo retângulo e aplicações. Trabalho de conclusão de curso – Universidade Estadual da Paraíba. Campina Grande, 2014. Disponível em <http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/4646/1/PDF%20-%20Francisco%20Diniz%20J%C3%BAnior.pdf>. Acesso em 22/06/2017.
Música - disponível em: <http://essaseoutras.xpg.uol.com.br/seno-cosseno-e-tangente-de-30-45-e-60-musica-para-decorar-a-tabela/>. Acesso em 22/06/2017.
COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III. Professor Walter Tadeu. 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II. Disponível em: <professorwaltertadeu.mat.br/Trigonomtriret2010.doc>. Acesso em 23/06/2016.
Exercício 1:
 
152+82=h2
225+64=h2
289=h2 
√289=h
h=17
Retirado de: INSTITUTO PRESBITERIANO DE EDUCAÇÃO. Professor: Roberto Moraes. 1ª Lista de Revisão Matemática I 3ª Etapa. Disponível em: <https://pt-static.z-dn.net/files/d22/e99211088ebb426ef1806a7934a5713f.pdf> . Acesso em 20/06/2017.
Texto 1 : Um pouco da história da trigonometria 
Podemos definir trigonometria do grego trigonon (triângulo) e metron (medida), que se trata da parte da matemática em que se estudam as funções trigonométricas e se estabelecem os métodos de resolução de triângulos. 
A trigonometria não se constituiu por uma só pessoa, teve contribuições de diversos povos. Sabe-se que sua origem se deu pelos estudos em Astronomia, Agrimensura e Navegações e surgiu por volta do século IV ou V a.C. 
O conceito de ângulo e saber efetuar sua medida é de extrema importância já que ele é fundamental em diversas situações, como na compreensão das razões trigonométricas em um triângulo retângulo.
Os primeiros indícios da trigonometria surgiram tanto no Egito quanto na Babilônia, a partir do cálculo de razões entre números e entre lados de triângulos semelhantes. 
Na Babilônia, não era possível estudar as fases da Lua, os pontos cardeais e as estações do ano sem usar triângulos, um sistema de unidades de medidas e uma escala, esses estudos eram muito importantes para saberem as épocas certas para plantio. Portanto eles tinham conhecimento de trigonometria, mesmo que não tendo citado este nome específico.
No Egito, a trigonometria aparece no Papiro Ahmes, conhecido como Papiro Rhind, que data de aproximadamente 1650 a.C., e contém 84 problemas. Na construção das pirâmides era essencial manter uma inclinação constante das faces. Por volta de 1500 a.C., surge a idéia de associar sombras projetadas por uma vara vertical a seqüências numéricas, relacionando seus comprimentos com horas do dia (relógios de sol). Séculos depois essas idéias são representadas pelo o que conhecemos como funções tangentes e cotangentes. Os predecessores da tangente e da cotangente, no entanto, surgiram das necessidades de medição de alturas e distância.
O saber dos egípcios foi seguido pelo dos gregos e na Grécia a Matemática teve um grande desenvolvimento, sendo a civilização grega a preceptora de todas as outras nações. Com os gregos encontraram-se estudos sistemáticos de relações entre ângulos (ou arcos) num círculo e os comprimentos das cordas que os subentendem. 
Por volta do ano 200 a.C. os astrônomos gregos estavam muito interessados em calcular a distância entre dois pontos da superfície terrestre e também o raio da Terra. Foi Eratóstenes de Cirene (276 -196 a.C.), que produziu a mais notável medida da Antiguidade para a circunferência da Terra, usando semelhança de triângulos e razões trigonométricas, o que o levou a perceber a necessidade de relaçõesmais sistemáticas entre ângulos e cordas. 
Com os chineses também são encontradas referências a trigonometria, por volta de 1110 a.C., acredita-se que triângulos retângulos eram utilizados para medir profundidade, distâncias e comprimentos.
Conjectura-se que Pitágoras (570 a.C), um importante matemático e filósofo grego, foi o primeiro a demonstrar o Teorema que leva seu nome: “Em todo triângulo retângulo a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados construídos sobre os catetos”. A relação fundamental da trigonometria é resultante deste Teorema.
Hiparco (150 d.C.) escreveu a mais importante obra trigonométrica da antiguidade, 13 livros, conhecida como Almagesto, essa obra serviu de fonte para astrônomos por mais de 1000 anos. 
A trigonometria recebeu influências importantes dos hindus, que por cerca de 400 d.C. escreveram a obra Surya Siddhanta, que significa Sistemas do Sol. Surya usava a relação entre a metade da corda e a metade do ângulo central correspondente, chamada por eles de jiva. Com isso, foi possível visualizar um triângulo retângulo na circunferência. A partir daí muitos avanços em funções trigonométricas aconteceram e os métodos de tabulações foram aperfeiçoando-se.
Os árabes tiveram grande participação na difusão da história da matemática, eles traduziram e preservaram várias obras antigas, que foram difundidas. No século IX, o príncipe chamado Al Battani (850 d.C. a 929 d.C.), conhecido como Ptolomeu de Bagdad, fez com que a trigonometria hindu fosse adotada pelos árabes, onde foi introduzido o círculo de raio unitário, validando o Jiva para qualquer triângulo retângulo. 
Segundo relatos históricos, a abreviação sen só foi utilizada por Edmund Gunter no ano de 1624, até esta data era utilizada a palavra Jiva. A palavra seno vem do latim sinus, que significa seio, volta, curva, cavidade. 
Aproximadamente no século X (1000 d.C.) foram calculadas as tábuas da tangente e cotangente, onde apareceram também a secante e cossecante como razões trigonométricas. 
Na história da matemática, o século XII foi um século dedicado a traduções, desde então, a Europa teve acesso à matemática árabe e à herança grega que havia sido preservada por eles.
Purbach escreveu um Tratado sobre triângulos, esta obra contém cinco livros, contemplando a trigonometria de forma completa.
Viéte (1540-1603) foi quem adicionou um tratamento analítico à trigonometria, em 1580. O principal progresso de Viéte em trigonometria foi à aplicação sistemática da álgebra, sendo o primeiro matemático a usar letras para representar coeficientes gerais, também construiu tábuas trigonométricas e calculou o sen 1 com treze casas decimais..
Kastner em 1759 foi o primeiro matemático a definir as funções trigonométricas de números puros.
Percebe-se que a trigonometria não aparece na história como estudo isolado, no contexto apenas matemático, seus avanços estão sempre ligados a astronomia, ou a outras áreas do conhecimento.
Ficou evidente o quanto importante para o desenvolvimento da matemática foram as outras áreas do conhecimento, principalmente a astronomia, pois a partir dela, surgiu a necessidade de criar a trigonometria, a partir daí, álgebra, geometria, cálculo e outras áreas do conhecimento matemático, foram desenvolvidos. 
Quando se fala em história da trigonometria, não podemos nos debater em analisar apenas uma civilização antiga, pois, vários povos contribuíram para a elaboração da trigonometria contemporânea. Na Grécia Antiga destacam-se muitos avanços no conhecimento científico, com bases principalmente nos trabalhos existentes de Euclides, Arquimedes e Apolônio. Depois da contribuição grega, contamos com a colaboração dos hindus e árabes, que traduziram muitas obras e acrescentaram seu conhecimento à construção da trigonometria.
Com o estudo histórico da trigonometria, podemos motivar nossos alunos ao interesse por aprender a trigonometria, já que revendo os fatos da história somos remetidos a entender sua necessidade de construção.
Baseado em: 
COSTA, N. M. L. (1997) e BERTOLI, V. e SCHUHMACHER, E. ( 2013). 
Texto 2: Definições, explicações e demonstrações do conteúdo 
(Usar livro didático para verificar imagens e exemplos) 
Ângulos: é a região de um plano determinada pelo encontro de duas semirretas que possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo. O objeto capaz de medir o valor de um ângulo é chamado de transferidor. 
Os ângulos podem ser: 
Agudo: ângulo com medida menor que 90º.
Reto: ângulo com medida igual a 90º.
Obtuso: ângulo com medida maior que 90º.
Raso: ângulo com medida igual 180º.
Nulo: ângulo com medida igual 0°. 
Catetos: são os dois lados menores do triângulo retângulo, ou seja, são os lados do triângulo que formam o ângulo reto. 
Cateto oposto: é o lado de um triângulo oposto ao ângulo de referência (de frente).
Cateto adjacente: é o lado de um triângulo adjacente ao ângulo de referência (vizinho). 
Hipotenusa: é o maior lado de um triângulo retângulo, oposto ao ângulo reto.
Triângulo: O triângulo é um dos polígonos mais simples da Geometria, em relação ao número de lados e ângulos, mas um dos mais importantes e com maior aplicabilidade. Os triângulos são classificados quanto aos ângulos e quanto à medida de seus lados. 
Quanto aos ângulos: 
Triângulo retângulo: possui um ângulo com medida igual a 90º. 
Triângulo obtusângulo: possui um ângulo obtuso, maior que 90º. 
Triângulo acutângulo: possui todos os ângulos com medidas menores que 90º
Aqui, trabalharemos apenas com o triângulo retângulo. 
Quanto à medida de seus lados: 
Escaleno: possui todos os lados com medidas diferentes;
Equilátero: possui os lados com medidas iguais;
Isósceles: dois de seus lados possuem a mesma medida.
Teorema de Pitágoras: é uma expressão que pode ser aplicada em qualquer triângulo retângulo, ele relaciona as medidas dos catetos de um triângulo retângulo à medida de sua hipotenusa. Este teorema diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.” Assim: a² + b² = h², onde a e b representam os catetos e h, a hipotenusa. 
Triângulos semelhantes: são aqueles que apresentam uma correspondência biunívoca entre seus vértices, de modo que:
ângulos internos são correspondentes;
lados correspondentes são proporcionais. 
Portanto, para saber se os triângulos são semelhantes, devemos verificar se: 
– as medidas dos três ângulos internos do primeiro triângulo;
– as medidas dos três lados do primeiro triângulo;
– as medidas dos três ângulos internos do segundo triângulo;
– as medidas dos três lados do segundo triângulo.
 Demonstração do teorema de Pitágoras por semelhança de triângulos
Retirado de: MOTERLE, J. TEOREMA DE PITÁGORAS. Trabalho de Conclusão de Curso - UNIVERSIDADE REGIONAL INTEGRADA DO ALTO URUGUAI E DAS MISSÕES. ERECHIM, 2010.
Razões trigonométricas no triângulo retângulo 
Baseado em: XAVIER e BARRETO (2005). 
Seno: num triângulo retângulo, o seno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto a esse ângulo e da hipotenusa.
Seno = medida do cateto oposto sen = co
 medida da hipotenusa h 
Cosseno: num triângulo retângulo, o cosseno de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto adjacente a esse ângulo e da hipotenusa.
Cosseno = medida do cateto adjacente cos = ca
 medida da hipotenusa h
Tangente: num triângulo retângulo, a tangente de um ângulo agudo é a razão entre as medidas do cateto oposto e do cateto adjacente a esse ângulo. 
Tangente = medida do cateto oposto tan = co
 medida do cateto adjacente ca
 Exemplo:
 Sen de α = 3 Cos de α = 4 tan de α = 3
 5 5 4
Explicando um pouco mais: 
Retirado de: JUNIOR, F. D. Trigonometriano triângulo retângulo e aplicações. Trabalho de conclusão de curso – Universidade Estadual da Paraíba. Campina grande, 2014. Disponível em <http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/4646/1/PDF%20-%20Francisco%20Diniz%20J%C3%BAnior.pdf>
 
Ângulos notáveis 
Os ângulos 30°, 45° e 60° são chamados notáveis por aparecerem frequentemente em cálculos. 
Obs: Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice desse ângulo e que o divide em dois outros ângulos congruentes.
Retirado de: JUNIOR, F. D. Trigonometria no triângulo retângulo e aplicações. Trabalho de conclusão de curso – Universidade Estadual da Paraíba. Campina grande, 2014. Disponível em <http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/4646/1/PDF%20-%20Francisco%20Diniz%20J%C3%BAnior.pdf>
Para memorizar com mais facilidade a tabela de ângulos notáveis, segue música, que poderá ser gravada pelos alunos, usando o celular, para que possam ouvir quantas vezes quiserem. 
Música 1: seno, cosseno e tangente 
Um, dois três,
Três, dois, um,
Tudo sobre dois!
Depois vem a raiz,
Sobre o três e o dois!
A tangente é diferente,
Vejam só vocês!
Raiz de três sobre três,
Um raiz de três
Disponível em: <http://essaseoutras.xpg.uol.com.br/seno-cosseno-e-tangente-de-30-45-e-60-musica-para-decorar-a-tabela/>
Aplicações no dia-a-dia 
Retirado de: JUNIOR, F. D. Trigonometria no triângulo retângulo e aplicações. Trabalho de conclusão de curso – Universidade Estadual da Paraíba. Campina grande, 2014. Disponível em <http://dspace.bc.uepb.edu.br/jspui/bitstream/123456789/4646/1/PDF%20-%20Francisco%20Diniz%20J%C3%BAnior.pdf>
Exercícios 2
Elaborados por: PROFº WALTER TADEU. COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III. 1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II. Disponível em: < professorwaltertadeu.mat.br/Trigonomtriret2010.doc>. Acesso em 23/06/2016.
1. No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)
2. Determine no triângulo retângulo ABC as medidas a e c indicadas.
3. Sabendo que sen40º = 0,64; cos40º = 0,77 e tg40º = 0,84 calcule as medidas x e y 
indicadas no triângulo retângulo
4. Considerando o triângulo retângulo ABC, determine as medidas a e b
 indicadas.
5. Em um triângulo retângulo isósceles, cada cateto mede 30cm. Determine 
a medida da hipotenusa desse triângulo.
6. A diagonal de um quadrado mede cm, conforme nos mostra a figura. 
Nessas condições, qual é o perímetro desse quadrado?
7. Uma pipa é presa a um fio esticado que forma um ângulo de 45º 
com o solo. O comprimento do fio é 80m. Determine a altura da pipa em 
relação ao solo. Dado = 1,41 
8. Qual é o comprimento da sombra de uma árvore de 5 m de
altura quando o sol está 30º acima do horizonte? Dado = 1,73
9. Determine a altura do prédio da figura seguinte:
10. Para determinar a altura de um edifício, um observador
 coloca-se a 30m de distância e assim o observa segundo
 um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Calcule a altura 
do edifício medida a partir do solo horizontal. Dado = 1,73
	
11. Observe a figura e determine:
a) Qual é o comprimento da rampa?
b) Qual é a distância do inicio da rampa ao barranco?
12. A uma distância de 40m, uma torre é vista sob um ângulo
 , como mostra a figura. Determine a altura h da torre se 
= 30º.
13. Em um triângulo ABC, retângulo em A, o ângulo B mede 30º e a hipotenusa mede 5cm. Determine as medidas dos catetos e desse triângulo.