6a Aula ao vivo Estatística

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1
Estatística e Probabilidade
Prof. Me. Edimar Izidoro Novaes
2
Distribuição de Poisson
• Distribuição de Poisson é usada para
encontrar a probabilidade de um número
designado de sucessos por unidade de
intervalo.
• A distribuição de Poisson é frequentemente
usada em pesquisa operacional na solução
de problemas administrativos.
3
Exemplos
• Número de chamadas telefônicas para a
polícia por hora.
• Número de clientes chegando a uma bomba
de gasolina por hora.
• Número de acidentes de tráfego num
cruzamento por semana.
4
• A probabilidade de um número designado de
sucessos por unidade de intervalo, P(X),
pode ser encontrada por:
 
!
.
k
e
kxP
k  

k: número designado de sucessos.
λ: o número médio de sucessos num intervalo
específico.
e: A base do logaritmo natural, ou 2,71828.
5
Aplicação
Um departamento de polícia recebe em média 5
solicitações por hora. Qual a probabilidade de
receber 2 solicitações numa hora selecionada
aleatoriamente?
.
6
Número designado de sucessos k= 2
Número médio de sucessos num intervalo
específico (uma hora)
    0842,0
2
.25
!2
.5
2
!
. 552

 ee
xP
k
e
kxP
k 
5
7
Aplicação
Uma aplicação de tinta em um automóvel é
feita de forma mecânica, e pode produzir
defeitos de fabricação, como bolhas ou áreas
mal pintadas, de acordo com uma variável
aleatória X que segue uma distribuição de
Poisson de parâmetro . Suponha que
sorteamos um carro ao acaso, para que sua
pintura seja inspecionada, qual a probabilidade
de encontrarmos, pelo menos, 1 defeito?
1
8
     
   
  6321,03679,0101
3679,00
!0
1
0
011
!
.
1
10






xP
exP
e
xP
xPxP
k
e
kxP
k 
Número designado de sucessos complementar k=0.
Número médio de sucessos num intervalo específico
.
1
.
9
Aplicação
• Em um livro de 500 páginas, foi verificado
que existem cerca de 400 erros. Sendo
assim, qual a probabilidade de que uma dada
página escolhida aleatoriamente, contenha:
• A) nenhum erro.
• B) Exatamente 2 erros.
Número designado de sucessos k=0.
Número médio de sucessos num intervalo específico
8,0
500
400

10
   
  4493,00
!0
.8,0
0
!
.
)
8,0
8,00




exP
e
xP
k
e
kxPA
k 
11
   
  1438,0
2
.8.0
0
!2
.8,0
2
!
.
8,02
8,02




e
xP
e
xP
k
e
kxP
k 
B) Número designado de sucessos k=2.
Número médio de sucessos num intervalo específico
8,0
500
400

12
Aplicação
• Na pintura de paredes aparecem defeitos em
média na proporção de 1 defeito por metro
quadrado. Qual a probabilidade de
aparecerem 3 defeitos numa parede de
dimensões 2 metros por 2 metros?
Número designado de sucessos complementar k=3.
Número médio de sucessos num intervalo específico 4
13
   
  .1954,0
6
.64
0
!3
.4
3
!
.
4
43




e
xP
e
xP
k
e
kxP
k 
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Um servidor está recebendo acesso, em 
média, de 5 pessoas por segundo. Qual a 
probabilidade desse servidor receber acesso 
de 8 pessoas?
𝑃 𝑋 = 8 =
2,71828−5∙58
8!
= 
0,0067379 ∙ 390625
40320
=
= 0,065 X 100% = 6,5% 
15
Distribuição Probabilidade Contínua
Modelo Normal 
16
17
Exemplo: Selecionar, aleatoriamente, de uma certa
universidade, um estudante do sexo masculino. Seja X a sua
altura, em centímetros.
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
18
Representar: o evento: “o estudante selecionado ter 180 cm
ou mais” (X  180) e a probabilidade deste evento, isto é,
P(x  180)
130 140 150 160 170 180 190 200 210 x
f(x)
altura (em cm.)
X  180
P(X  180)
19
f(x)
x
: média
: desvio padrão
f x e
x
( )
( )



1
2
1
2
2
 


20
Características
x

Área = 1
21
• Identificada 
pela média (
e pelo desvio 
padrão ( .
Características
x

22
• Simetria em relação à média.
x

50%
Características
23
z = 
x - 

z - variável normal padronizada
x - variável normal
 - média
 - desvio padrão
Normal Padronizada
24
0
Z
Z0
A tabela nos oferece a área entre 0 e Z0 ou P( 0 ≤ Z ≤ Z0)
25
Exemplo: Vamos supor que necessitamos 
calcular as seguintes probabilidades:
P( 0 ≤ Z ≤ 1,23)
Z
0 1,23
26
27
P( 0 ≤ Z ≤ 1,23)
Z
0 1,23
0,39065
 0,39065
28
P(Z ≥ 1,47)
Z
0 1,47
0,42922
50%  0,5
 0,5  0,42922 0,07078
29
P(-0,83< Z ≤ 1,23)
Z
0 1,23
 0,29673 + 0,39065  0,68738
0,39065
0,83
0,29673
30
1) As alturas dos alunos de uma determinada escola são
normalmente distribuídas com média 1,60m e desvio padrão
0,30 m. Encontre a probabilidade de um aluno sorteado ao
acaso medir:
a) mais de 1,75 m;
b) entre 1,50 m e 1,80 m
c) menos de 1,48m
a) P(x > 1,75)
z = 
x - 

  1,60 m
  0,30 m
30,0
60,175,1 
Z
5,0Z
31
3085,01915,05,0 
32
33
b) entre 1,50 m e 1,80 m



30,0
60,150,1
1Z
33,01 Z



x
Z



30,0
60,180,1
2Z
67,02 Z
P(1,50 < x < 1,80)
Z
0
0,33
34
P(-0,33 < Z < 0,67)
3779,02486,01293,0 +
35
36
c) menos de 1,48m P(x < 1,48)



30,0
60,148,1
1Z
4,01 Z




x
Z
Z
0
0,15542
 0,34458 0,5  0,15542
3446,01554,05,0 
37
38
03) As vendas diárias de uma farmácia têm distribuição normal
com média de R$ 600,00 e desvio padrão de R$ 180,00. Ache a
probabilidade de amanhã haver uma venda superior à R$
700,00.
  180 m
39
Superior a 700 P(x > 700)



180
600700
1Z
56,01 Z




x
Z
 0,28774 0,5  0,21226
Z
0 0,56
50%  0,5
2877,02123,05,0 
40
41
04) Numa prova final de matemática, as notas dos alunos tiveram
uma distribuição normal com média 6 e desvio padrão 1,5. Sendo
5 a nota mínima de aprovação, qual a proporção de alunos
reprovados?



5,1
65
1Z
67,01 Z




x
Z
  6 m   1,5 m
Z
0
0,67
0,24857
50%  0,5
 0,25143 0,5  0,24857
2514,02486,05,0 
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Estatística e Probabilidade 
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