oscilaciones en dos y tres dimensiones. Proyectiles-Symon

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Problemas De Meca´nica Symon UNSCH
I´ndice
1. Oscilador armo´nico bidimensional y
tridimensional 3
1.1. Caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Soluciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. Caso bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1. Soluciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2. Proyectiles 7
2.1. Despreciando la resistencia del aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1. Soluciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2. Considerando la resistencia del aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1. Soluciones: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Cien. F´ıs. Matema´ticas 1 Octubre 2017 Peru´ LATEX
Problemas De Meca´nica Symon UNSCH
DEDICATORIA.
Dedico a mis padres y a mis
hermanos por haber confiado
en mi persona y darme su tiempo,
gracias a ellos sigo adelante.
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1. Oscilador armo´nico bidimensional y
tridimensional
1.1. Caso tridimensional
Considerar la ecuacio´n de movimiento de Newton en tres dimensiones donde
r = (x, y, z) y F = (Fx, Fy, Fz) por la segunda ley de Newton nos llevara´ ha:
m
d2r
dt2
= F (1.1)

m
d2x
dt2
= Fx
m
d2y
dt2
= Fy
m
d2z
dt2
= Fz
(1.2)
Dado que la fuerza F siempre esta´ expresada como una funcio´n F (v, r, t) que
depende de la velocidad, posicio´n y tiempo la fuerza F quedar´ıa expresada como:
F = F (r˙, r, t)
= F ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
Fx = Fx ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
Fy = Fy ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
Fz = Fz ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
Lo anterior llevaremos al sistema (1.2) quedando:
m
d2x
dt2
= Fx ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
m
d2y
dt2
= Fy ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
m
d2z
dt2
= Fz ((x˙, y˙, z˙), (x, y, z), t)
Notaremos en la siguiente figura una forma de expresar las fuerzas:
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Haremos una modificacio´n o adaptacio´n de la fuerza F (r˙, r, t), si cada componente
de la fuerza dependiese de la variable asociada respectivamente y de la misma
manera su derivada, es decir: 
Fx = Fx(x˙, x, t)
Fy = Fy(y˙, y, t)
Fz = Fz(z˙, z, t)
Finalmente el sistema de movimiento tridimensional nos quedar´ıa:
m
d2x
dt2
= Fx(x˙, x, t)
m
d2y
dt2
= Fy(y˙, y, t)
m
d2z
dt2
= Fz(z˙, z, t)
(1.3)
Recalcando que son independientes entre s´ı, son L.I. (Fx, FyFz). Notaremos que la
ecuacio´n del movimiento se desdoblan, por esta razo´n el sitema de ED tiene tres
soluciones: 
x(t)
y(t)
z(t)
La interpretacio´n f´ısica de estas soluciones viene a ser la representacio´n del
movimiento tridimensional.
Con todo lo anterior aclarado, entraremos al problema del oscilador armo´nico
tridimensional no amortiguado; recordemos la ecuacio´n de movimiento de (1.1) y
la fuerza de los resortes (F = −kr), donde k es la constante recuperadora. De esta
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manera el problema nos quedar´ıa como:
m
d2x
dt2
= −kxx
m
d2y
dt2
= −kyy
m
d2z
dt2
= −kzz
(1.4)
1.1.1. Soluciones:
x(t) = Ax cos(wxt+ θx), ω
2
x =
kx
m
y(t) = Ax cos(wyt+ θy), ω
2
y =
ky
m
z(t) = Az cos(wzt+ θz), ω
2
z =
kz
m

(1.5)
Las constantes {Ax, Ay, Az, θx, θy, θz} dependen de los valores iniciales: {x0, y0, z0, x˙0, y˙0, z˙0}.
Donde cada movimiento armo´nico simple oscila en su respectiva coordenadaX, Y, Z
cave sen˜alar que cada frecuencia angular {ωi} esta´ asociada a su respectiva cons-
tante recuperadora {ki}. El movimiento que se produce en el espacio que esta´ en
relacio´n a las amplitudes {Ai} de la siguiente forma: (2Ax × 2Ay × 2Az), y esto
hace referencia al movimiento dentro de un ortoedro con centro en el origen.
Si las frecuencias angulares {ωi} son medibles o conmesurables, en relacio´n
de cierto conjunto de nu´mero enteros {ni} se verefica:
ωx
nx
=
ωy
ny
=
ωz
nz
(1.6)
con esto la trayectoria del cuerpo de masa m en el espacio es cerrada, y este mo-
vimiento es perio´dico. Ahora si estos enteros {ni} son primos entre s´ı, el periodo
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del movimiento es:
τ =
2pinx
ωx
=
2piny
ωy
=
2pinz
ωz
(1.7)
As´ı podremos notar del movimiento part´ıcula para un periodo {Ai} de su respec-
tiva coordenada (X, Y, Z) realiza {ni} oscilaciones. As´ı al finalizar el periodo la
part´ıcula vuelve a sus condiciones iniciales r0, r˙0
1.2. Caso bidimensional
Es un caso mas sencillo en comparacio´n del tridimensional; tomaremos el pro-
blema del moviento socilador (1.4) y lo llevaremos a dos dimensiones:
m
d2x
dt2
= −kxx
m
d2y
dt2
= −kyy
(1.8)
Sus soluciones sera´n tomadas de forma ana´loga de (1.5)
1.2.1. Soluciones:
x(t) = Ax cos(wxt+ θx), ω
2
x =
kx
m
y(t) = Ax cos(wyt+ θy), ω
2
y =
ky
m

(1.9)
Para este caso al representar las trayectorias de la part´ıcula que oscila con distintas
combinaciones de las frecuencias {ωi} y los a´ngulos de fase {θi} se optiene figuras
curiosas llamadas figuras de Lissajous :
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Si las frecuencias {ωi} son dificil de medir o inconmesurables de modo que
la ecuacio´n (1.6) no se cumplen para ningu´n conjunto de nu´meros enteros {ni},
el movimiento de la part´ıcula no es perio´dico, as´ı el movimiento de la trayectoria
llena todo el ortoedro (2Ax × 2Ay × 2Az)
2. Proyectiles
2.1. Despreciando la resistencia del aire
Un proyectil sometido a la fuerza de la gravedad g cerca de la Tierra se mueve,
quitando la resistencia del aire,dada por la siguiente ecuacio´n en su forma
vectorial:
m
d2r
dt2
= −mgk̂ (2.1)
m
d2z
dt2
= 0
m
d2y
dt2
= 0
m
d2z
dt2
= −mg
2.1.1. Soluciones:
x(t) = x0 + vxot
y(t) = y0 + vyot
z(t) = z0 + vzot−
1
2
gt2

(2.2)
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r = r0 + vot− 1
2
gt2k̂ (2.3)
r0 = (0, 0, 0)
r˙0 = v0 = (vxo , 0, vzo)
x(t) = vx0t
y(t) = 0
z(t) = vzot−
1
2
gt2

(2.4)
Las ecuaciones anteriores describen por completo el movimiento del proyectil.
La ecuacio´n de la trayectoria del movimiento en el plano XZ es:
z =
vzo
vxo
x− 1
2
g
v2xo
x2 (2.5)
Completando cuadrados tiene forma de una para´bola de concavidad hacia aba-
jo escribie´ndose: (
x− vzovxo
g
)2
= −2v
2
xo
g
(
z − v
2
zo
2g
)
Cuya altura ma´xima zma´x es:
zma´x =
v2zo
2g
(2.6)
Cortando al plano horizontal Z = 0 en el origen y en el punto:
xma´x = 2
vzovxo
g
(2.7)
Si la superficie de la tierra es horizontal, xma´x es lo que puede alcanzar el
protectil en (2.7).
2.2. Considerando la resistencia del aire
Supondremos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad, tendr´ıamos
de la ecuacio´n (2.1) agregando:
m
d2r
dt2
= −mgk̂ − bdr
dt
(2.8)

m
d2x
dt2
= −bdx
dt
m
d2z
dt2
= −mg − bdz
dt
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vx = vxoe
−bt/m
vz =
(mg
b
+ vzo
)
e−bt/m − mg
b
 (2.9)
2.2.1. Soluciones:
x =
mvxo
b
(1− e−bt/m)
z =
(
m2g
b2
+
mvzo
b
)
(1− e−bt/m)− mg
b
t
 (2.10)
Despejando t de la primera ecuacio´n de (2.10) y remplazando en laseguda, obte-
nemos la ecuacio´n de la trayectoria del movimiento en el plano XZ:
z =
(
mg
bvxo
+
vzo
vxo
)
x− m
2g
b2
ln
(
mvxo
mvxo − bx
)
(2.11)
ln
 1
1− bx
mvxo

(1) Cuando
bx
mvxo
� 1; es decir para pequen˜as resistencias de aire o en
cortas distancias de proyectil. La expresio´n se puede resolver por series de
potencias de (bx)/(mvxo), obtenie´ndose:
z =
vzo
vxo
x− 1
2
g
v2xo
x2 − 1
3
bg
mv3xo
x3 − ... (2.12)
Al principio la trayectoria tiene forma de para´bola, pero para valores mayo-
res de x (tomando vxo positiva), z decrece ra´pidamente en comparacio´n con
para´bola.
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Tomando los tres primeros te´rminos de (2.11) y despejando x para z = 0,
tendremos aproximadamente el ma´ximo alcance, si
xma´x � mvxo
b
xma´x =
2vxovzo
g
− 8
3
bvzovxo
mg2
+ ... (2.13)
Los dos primero te´rminos constituyen a una buena aproximacio´n cuando la re-
sistencia del aire es muy pequen˜a. Donde el segundo te´rmino da la correccio´n
del primer orden del alcance, esto, debida a la resistencia del aire.
(2) Cuando x 7−→ mvxo
b
z 7−→ −∞
Esto nos dice que la trayectoria tiene una as´ıntota vertical en x =
mvxo
b
OBSERVACIO´N:
La ca´ıda vertical al final de la trayectoria de la segunda ecuacio´n en (2.9)
ocurre con una velocidad l´ımite vz
vz =
−mg
b
El proyectil puede volver a Tierra antes de alcanzar esta parte de su trayec-
toria.
(3) Cuando
bvzo
mg
� 1 la resistencia del aire es grande que predomina en la de-
terminacio´n del alcance. Producida cuando la ca´ıda vertical para x = (mvxo)/b
inicia por encima del plano horizontal z = 0. El alcanse llega aproximadamente
ha:
xma´x =
mvxo
b
(2.14)
El efecto del viento sobre los proyectiles se trata con aproximaciones para
resolverla y en este caso suponiendo que la resistencia del aire es propor-
cional a la velocidad relativa del proyectil notaremos que:
m
d2r
dt2
= −mgk̂ − b
(
dr
dt
− vw
)
(2.15)
vw: Velocidad del viento.
Si en (2.15) vw es una constante, el te´rmino bvw tambie´n lo es, y como fuerza
constante es an˜adida a −mgk̂ y esta es resuelta segu´n la ecuacio´n (2.8). Con la
diferencia que las constantes de rozamiento puede presentarse en las tres direccio-
nes X, Y, Z.
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Problemas De Meca´nica Symon UNSCH
La resistencia que produce el aire al movimiento del proyectil disminuye con la
altura. Para corregir este detalle para alturas considerables o importantes,
la ecuacio´n del movimiento del proyectil ser´ıa:
m
d2r
dt2
= −mgk̂ − be−z/hdr
dt
(2.16)
h: La altura que rondan por 8Km, donde la resistencia del aire cae a 1/e del valor
que cae en la superficie terrestre. Tendremos en forma de componentes:
mx¨ = −bx˙e−z/h
my¨ = −by˙e−z/h
mz¨ = −mg − bz˙e−z/h
 (2.17)
Como es de esperar estas ecuaciones (2.17) son ma´s dif´ıciles de resolver.
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	Oscilador armónico bidimensional y tridimensional
	Caso tridimensional
	Soluciones:
	Caso bidimensional
	Soluciones:
	Proyectiles
	Despreciando la resistencia del aire
	Soluciones:
	Considerando la resistencia del aire
	Soluciones: