CONCRETO ARMADO I LAJES

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ENGENHARIA CIVIL ENGENHARIA CIVIL 
CURSO DE CONCRETO ARMADO ICURSO DE CONCRETO ARMADO I
CCÁÁLCULO DE LAJESLCULO DE LAJES
BIBLIOGRAFIA
ARAÚJO, José Milton; “Curso de concreto armado”, Volumes 1 e 2 Rio Grande do Sul, 
Editora DUNAS, 2ª Edição, 2003.
Notas de AulasNotas de Aulas
Prof. FlProf. Fláávio S. Silvavio S. Silva
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Vão teóricos da lajes
O que define a 
NBR-6118
O que a prática define e a 
NBR-6118 permite.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Cargas permanentes nas lajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
A.4) Peso das alvenarias
O peso total das alvenarias de tijolos cerâmicos podem ser obtidos multiplicando-se o 
peso específico pelo seu volume. Podem ser adotados os pesos específicos de 
13kN/m³ para tijolos cerâmicos furados e 18kN/m³ para tijolos cerâmicos maciços.
Para lajes armadas em duas direções podemos adotar:
O peso total da alvenaria pode ser distribuído 
uniformemente pela área da laje.
b = espessura da parede;
H = altura da parede;
Lp = comprimento total das 
paredes;
Υa = peso específico da alvenaria;
Lx ly = vãos de cálculo da laje.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Para lajes armadas em uma direção podemos adotar:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Classificação das lajes quanto a armação
Considere a laje retangular indicada na figura, apoiada nas quatro vigas de 
borda e submetida a uma carga p uniformemente distribuída por unidade 
de área. Na mesma figura, estão indicadas duas faixas de largura 
unitária, tomadas nas direções x e y, as quais se cruzam no centro da 
laje.
Como a flecha no centro da laje tem valor único, elas são iguais em x e y. 
Em vista disto as curvaturas são diferentes, sendo maior em y, assim 
temos um valor de momento fletor em y, maior do que em x (My > Mx).
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Lajes armadas em duas direções
Também chamadas de lajes armadas em cruz, são aquelas em que a 
relação entre o vão maior e o vão menor não é superior a 2. Nesses 
casos, os momentos fletores nas duas direções são importantes e devem 
ser calculados. Para cada um deles deve-se realizar o dimensionamento 
e dispor as armaduras nas direções correspondentes.
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Lajes armadas em uma direção
São aquelas em que a relação entre o vão maior e o vão menor é superior a 
2. Nesses casos, o momento fletor na direção do vão maior é pequeno e 
não necessita ser calculado. Nesta situação, basta adotar uma armadura 
de distribuição segundo a direção menor.
A armadura a ser posicionada na direção maior deve ser arbitrada e 
utilizada apenas para compor a malha de armação da laje, não tendo 
função estrutural.
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Condições de apoio das lajes
Para o dimensionamento das lajes, um dos primeiros passos é definir as 
condições de contorno, ou de apoio, das lajes. Para facilitar o cálculo de 
lajes contínuas são introduzidas as considerações:
• Nos bordos internos, quando há continuidade com lajes vizinhas, admite-
se um engastamento perfeito;
• Nos bordos externos ou mesmo nos bordos internos quando há lajes 
rebaixadas, admite-se condição de apoio simples.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Condições de apoio das lajes
Temos então as condições de contorno das lajes L1 a L9 do exemplo 
anterior.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Cálculo das lajes armadas em uma direção
Para este dimensionamento, apenas o momento fletor na direção do menor 
vão necessita ser calculado. De maneira simplificada e a favor da 
segurança, o cálculo pode ser feito considerando-se uma faixa de largura 
unitária na direção do menor vão. Desta forma modela-se a laje como 
uma viga com altura h igual à espessura da laje e com largura b=1m.
As lajes são normalmente submetidas a uma carga uniformemente 
distribuída p, sendo lx o vão de cálculo. Veja os casos abaixo:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Os momentos fletores indicados nas figuras anteriores têm as 
seguintes expressões de cálculo:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Assim como para vigas, a flecha máxima no centro das lajes 
apoiadas, ou na extremidade livre das lajes e balanço é dada por:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Os valores de flecha final e e flecha admissível são dados nas 
expressões abaixo:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
As reações de apoio das lajes são calculadas em função da área de 
influencia e têm as seguintes expressões de cálculo:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
O Método de Marcus
É uma adaptação da teoria das grelhas para o cálculo de placas. O método é
destinado ao calculo de lajes retangulares, sendo um método simplificado 
bastante empregado no projeto de lajes de concreto armado.
Para exemplificar, vamos considerar uma laje apoiada nos quatro lados e 
submetida a uma carga uniformemente distribuída p.
Considera-se as duas faixas de valor unitário, uma em cada direção e que se 
cruzam no centro da laje.
A carga total p é dividida em quinhões de carga px e py.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Da igualdade dos deslocamentos nas duas direções podemos 
definir:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Para corrigir o efeito de superdimensionamento dos momentos Mx
e My devido ao efeito da rigidez de torção das lajes, o processo 
de Marcus introduz no cálculo os coeficientes de minoração Cx 
e Cy dados pelas fórmulas
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Finalizando, teremos então a formulação final para o cálculo dos 
momentos fletores:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Condições gerais de contorno para lajes retangulares de concreto 
armado
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Resumo de fórmulas para cálculo.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Considerações para o momento negativo
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Tabela de coeficientes para o cálculo dos momentos fletores
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Uso de tabelas para o cálculo de lajes
Anexos I e II do livro ARAÚJO, José Milton; “Curso de concreto armado”, Rio Grande do Sul, Editora 
DUNAS, 2ª Edição, 2003.
Wc – Flexa no centro da laje
Mx e My – Momentos positivos
Mxe e Mye – Momentos 
negativos
lx e ly – Vãos das lajes
Mxy – Momento torçor nos 
cantos biapoiados das lajes
Rx e Ry – Reações nos lados 
apoiados
Rxe e Rye – Reações nos lados 
engastados
Tabelas A.2.1 a A.2.6 – Lajes retangulares apoiadas ou engastadas nos 
bordos
Caso 1 – lx/ly < 1 – usar parte de cima da tabela
Neste caso, os multiplicadores para os dados numéricos são os seguintes:
• Para as flexas: 0,001.p.lx /D ; onde D = E.h³
12(1 – v²)
• Para os momentos: 0,001.p.lx²
• Para as reações: 0,001.p.lx
Exemplo:
Wc = 0,001.wc.p.lx /D
Mx = 0,001.mx.P.lx² ; My = 0,001.my.p.lx² ; etc.
Rx = 0,001.rx.p.lx ; Ry = 0,001.ry.p.lx ; etc.
Onde, wc, mx, my, rx, ry, etc. são lidos nas tabelas.
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Caso 2 – ly/lx < 1 – usar parte de baixo da tabela
Neste caso, os multiplicadores para os dados numéricos são os seguintes:
• Paraas flexas: 0,001.p.ly /D ; onde D = E.h³
12(1 – v²)
• Para os momentos: 0,001.p.ly²
• Para as reações: 0,001.p.ly
Exemplo:
Wc = 0,001.wc.p.ly /D
Mx = 0,001.mx.P.ly² ; My = 0,001.my.p.ly² ; etc.
Rx = 0,001.rx.p.ly ; Ry = 0,001.ry.p.ly ; etc.
Onde, wc, mx, my, rx, ry, etc. são lidos nas tabelas.
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DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Wc – Flexa no centro da laje
Wo – Flexa no meio do bordo livre
Mx e My – Momentos positivos
Mxe e Mye – Momentos negativos
lx e ly – Vãos das lajes
Mxo – Momento fletor no meio do 
bordo livre
Mºxe e Mºye – Momento fletor de 
engaste na quina do bordo livre
Tabelas A.2.7 a A.2.10 – Lajes retangulares com um bordo livre
As reações de apoio são calculadas na tabela A.2.11 sendo fornecidos os
coeficientes par o cálculo das reações Rx e Ry nos quatro casos.
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Caso Geral entra-se com o dado ly/lx
Os multiplicadores para os dados numéricos são os seguintes:
• Para as flexas: 0,001.p.lx /D ; onde D = E.h³
12(1 – v²)
• Para os momentos: 0,001.p.lx²
• Para as reações: 0,001.p.lx
Exemplo:
Wc = 0,001.wc.p.lx /D ; Wo = 0,001.wo.p.lx /D
Mx = 0,001.mx.p.lx² ; My = 0,001.my.p.lx² ; Mo = 0,001.mo.p.lx² ; etc.
Rx = 0,001.rx.p.lx ; Ry = 0,001.ry.p.lx ; etc. (tabela A.2.11) 
Onde, wc, mx, my, mo, rx, ry, etc. são lidos nas tabelas.
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DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Cálculo das armaduras de flexão das lajes
Utiliza-se as mesmas fórmulas de cálculo de flexão simples de 
seções retangulares
µ = Md condição µ < µlim
δcd . b . d²
ξ = 1,25 . ( 1 - 1 – 2.µ )
As = 0,8 . ξ . b . d . δcd
fyd
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Considerações para cálculo:
• Concreto fck=25MPa
• Coeficiente de fluência=2,5
• Aço CA-60 (Ø=5mm) e CA-50 (Ø=6,3 e 8mm)
• Alvenaria de tijolo furado com pé direito = 2,9m
• Revestimento das lajes = Reboco inferior, contra-piso, granito
• Classe de agressividade ambiental = I
Exercício – Desenvolver o cálculo das lajes L.201 a L.209 
considerando os dados:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
Dimensões das lajes e vigas:
DimensionamentoDimensionamento de de LajesLajes
As cargas do pavimento tipo deverão ser calculadas conforme a arquitetura 
abaixo:
DimensionamentoDimensionamento e e detalhamentodetalhamento das das 
LajesLajes MaciMaciççasas
Após finalizados os cálculos dos esforços e dimensionadas as armaduras, 
deve-se fazer os detalhamentos das armaduras. No capítulo 4 do livro 
“curso de concreto armado (ARAÚJO, J.M.)”, são apresentadas as 
considerações relativas ao detalhamento das lajes maciças de concreto 
armado , buscando atender às disposições definidas na NBR-6118.
As lajes devem ser projetadas com espessura mínima para evitar vibrações 
de desconforto aos usuários da edificação. Além disto é conveniente, do 
ponto de vista construtivo, que as lajes sejam projetadas com armadura 
simples, evitando o uso de armadura superior ao longo dos vãos.
Espessura mínima das lajes maciças
A NBR-6118 estabelece diversos limites para o deslocamentos dos 
elementos estruturais. Estes limites são valores práticos, determinados de 
forma a se evitar que os deslocamentos causem sensações desagradáveis 
aos usuários, impeçam a utilização adequada da construção ou venham a 
causar danos aos elementos estruturais.
As flechas de lajes de edifícios não devem ultrapassar o limite de l/250, 
onde “l” é o menor vão da laje, e para lajes em balanço a flecha na 
extremidade livre não deve ultrapassar o valor l/125, onde “l” é o 
comprimento do balanço.
Cálculo de flechas em lajes
Estimativa inicial da espessura das lajes maciças
Considerando o carregamento típico de uma laje de edifício residencial, é
possível pré-determinar a espessura da laje para atender às exigências 
quanto a flecha máxima. 
De qualquer maneira, deve-se respeitar as espessuras mínimas indicadas 
pela NBR-6118.
Cálculo das armaduras de flexão
As armaduras são obtidas considerando-se uma seção retangular de largura 
unitária (b=1m) e altura útil d. A seção para o dimensionamento é indicado 
por:
O momento reduzido para o cálculo das armaduras é definido por:
Onde gf é o coeficiente de segurança, scd é a tensão de cálculo do concreto 
(kN/cm²) e Mk é o momento fletor característico (kN.cm).
A seção de armadura é obtida, conforme visto na unidade anterior, para 
uma faixa de 1 metro de laje e portanto sua unidade é dada em cm²/m.
µ = Md condição µ < µlim (armadura simples)
δcd . b . d²
ξ = 1,25 . ( 1 - 1 – 2.µ )
As = 0,8 . ξ . b . d . δcd
fyd
Cálculo das armaduras de flexão
A seção de armadura calculada deve ser comparada à armadura mínima 
definida pela norma pela fórmula:
Para se evitar o trabalho de inúmeros dimensionamentos, pode-se calcular o 
momento de serviço mínimo que corresponde à armadura mínima:
Cálculo das armaduras de flexão
Considerando-se gf = 1,4 indica-se as tabelas abaixo para o cálculo direto 
do momento característico mínimo. 
Cálculo das armaduras de flexão
Se resultar Mk < Mk,min
adota-se a armadura 
mínima indicada na 
equação.
Distribuição das armaduras de flexão
Obtidas as áreas de aço em cada direção, deve-se escolher um diâmetro 
para as barras e calcular o espaçamento necessário para que a armadura, 
disposta em uma faixa de 1m de largura, tenha a área calculada. A figura 
abaixo auxilia no entendimento do processo de cálculo:
Cobrimento das armaduras
Além de todos os cuidados necessários para se obter uma boa qualidade de 
concretagem, a NBR-6118 estabelece os cobrimentos nominais mínimos 
para as lajes, que são definidos em função da classe de agressividade 
ambiental.
• O diâmetro das barras não 
deve ultrapassar 1/8 da 
espessura da laje;
• Nas lajes armadas em uma 
só direção, a armadura de 
distribuição deve ter área 
igual ou superior a 1/5 da 
área da armadura 
principal, deve obedecer à
armadura mínima, e ter 
um espaçamento máximo 
de 33cm;
• O espaçamento das 
armaduras principais não 
deve ser superior a 20cm e 
nem maior que duas vezes 
a altura da laje (2h).
Outras prescrições da NBR-6118
• Armaduras positivas –
Posicionadas na face 
inferior das lajes para 
absorver os momentos 
positivos;
• Armaduras negativas –
posicionadas na face 
superior das lajes para 
absorver os momentos 
negativos;
• Armaduras de canto –
posicionadas nos cantos 
da laje biapoiada para 
absorver os momentos 
torçores.
• Ancoragem das barras -
Para armaduras com 
Ф<8mm pode-se adotar 
o comprimento mínimo 
de ancoragem reta de 
10cm.
Detalhamento das armaduras de flexão
Detalhamento das armaduras de flexão
A figura abaixo indicam-se os detalhamentos das armaduras negativas 
sobre os apoios internos das lajes contínuas. Na figura, lm representa o 
maior dos vãos menores das lajes contíguas;
Deve-se observar que a solução com barras alternadas só é possível quando 
o espaçamento entre as barras for de no máximo 16,5cm, para que existam 
pelo menos 3 barras por metro ao longo do apoio.
Detalhamento das armaduras de flexão
O espaçamento entre as armaduras inferior e superior deve ser mantido 
durante a montagem e a concretagem. Para isto devem ser montados
espaçadores do tipo treliça ou caranguejos.
Detalhamento das armaduras de flexão
O detalhamento das armaduras negativas pode ser feito conformeabaixo:
As armaduras negativas nos cantos do apoios têm a função de combater a 
fissuração naquela região da laje, normalmente provocada por momento 
negativo e são necessárias quando as vigas de borda possuem grande 
rigidez à torção. Na maioria dos casos de lajes de edifícios residenciais essas 
armaduras podem ser omitidas. O cálculo desta armadura limita-se ao valor 
de 0,25As1 a 0,67As,min.
Detalhamento das armaduras de canto
Para facilitar a execução, adotam-se as armaduras de canto em malha 
ortogonal, segundo as direções x e y. Estas armaduras devem se estender a 
partir da face dos apoios a uma distancia de 1/5 do menor vão da laje.
Quando a armadura de canto não for calculada pode-se adotá-la igual à
máxima armadura de flexão positiva calculada para o centro da laje.
Detalhamento das armaduras de lajes em balanço
Indica-se abaixo o detalhamento das armaduras das lajes em balanço que 
têm continuidade com um laje vizinha.
Em situações em que se tem um rebaixo da ordem de 5cm, deve-se fazer 
um laço na armadura principal conforme detalhe abaixo:
A armadura deve ser bem ancorada 
na viga para evitar o rompimento do
cobrimento do concreto.
Considerações adicionais para as lajes armadas 
em uma direção
No caso de lajes armadas em uma direção submetidas a uma carga linear 
paralela ao vão menor, é necessário reforça uma faixa na região da carga. A 
largura da faixa deve ser igual a lx, sendo disposto lx/2 para cada lado da 
carga. O cálculo da armadura de reforço é dado pela fórmula de momento 
fletor Mx=0,11.Pa.lx , onde Pa é a carga por unidade de comprimento.
Além disto, deve ser prevista também uma armadura transversal adicional 
na direção de Y para o Momento My=0,11.Pa.lx. Esta armadura pode ter um 
comprimento reduzido de 0,6.lx.
Considerações adicionais para armação de lajes
com bordos livres
Os bordos livres devem ser protegidos por um armadura em forma de 
estribo. Na direção paralela devem ser dispostas pelo menos duas barras, 
sendo uma superior e outra inferior, obedecendo a disposição abaixo:
O detalhamento das armaduras
De uma laje com 3 lados 
Apoiados é indicado ao lado.
Considerações adicionais para armação de 
marquises
As marquises são lajes em balanço engastadas em uma viga. A armadura 
principal é disposta na face superior da laje. O mal posicionamento das 
armaduras de marquises é uma das frequentes causas de desabamentos.
É conveniente dispor um armadura positiva, na face inferior da laje, para 
prever a ocorrência de momentos positivos em casos excepcionais como 
batidas ou uso incorreto de escoramentos.
Exercício – Calcular e detalhar as lajes abaixo:
Detalhes da arquitetura
Exercício 2 – Calcular e detalhar as lajes abaixo: