Notas de aulas(G.A.)

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Notas de aulas
Altemir Jose´ Borges
Curitiba
Outubro de 2013
A leitura destas notas de aulas na˜o
dispensa, em hipo´tese alguma, uma
leitura atenta ao referencial
bibliogra´fico desta disciplina.
ii
Suma´rio
1 Matrizes 1
1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Tipos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Matriz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Matriz nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Matriz coluna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.4 Matriz linha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.5 Matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.6 Matriz tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.7 Matriz identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.8 Matriz escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.9 Matriz triangular superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.10 Matriz triangular inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.11 Matriz sime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.12 Matriz antisime´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.13 Matriz conjugada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
iii
1.2.14 Matriz esparsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.15 Matriz diagonalmente dominante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Operac¸o˜es com matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Igualdade de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Adic¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.3 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Transposic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.5 Multiplicac¸a˜o de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.6 Matrizes em blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Matriz inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.1 Equivaleˆncia de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.2 Ca´lculo da inversa empregando operac¸o˜es elementares . . . . . . . . 22
1.4.3 Ca´lculo da inversa empregando matrizes de blocos . . . . . . . . . . 24
1.5 Exec´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Determinantes 36
2.1 Definic¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.3 Desenvolvimento por Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.4 Exec´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3 Sistemas de equac¸o˜es lineares 42
3.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
iv
3.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4 Vetores 52
4.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.1 Segmento orientado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.2 Segmentos equipolentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.3 Classe de equivaleˆncia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2.1 Vetor nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.2 Vetor unita´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.3 Versor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.2.4 Vetor oposto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3 Operac¸o˜es com vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.1 Adic¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.3.3 Subtrac¸a˜o de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.3.4 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.4 Expressa˜o cartesiana de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.1 Expressa˜o cartesiana do versor de um vetor . . . . . . . . . . . . . 58
4.4.2 Operac¸o˜es com vetores na forma cartesiana . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Paralelismo de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
v
4.6 Coplanaridade de vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.7 Cosenos diretores de um vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.8 Produto escalar ou interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.8.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.4 Expressa˜o cartesiana do produto escalar . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.9 Produto vetorial ou externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.9.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.9.4 Expressa˜o cartesiana do produto vetorial . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.9.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.10 Produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.10.2 Interpretac¸a˜o geome´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10.3 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.10.4 Expressa˜o cartesiana do produto misto . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.10.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
vi
4.11 Exerc´ıcios gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5 A reta no R3 77
5.1 Equac¸o˜es da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.1 Equac¸a˜o vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.2 Equac¸o˜s parame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5.1.3 Equac¸o˜es sime´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.1.4 Equac¸o˜es reduzidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 O plano no R3 84
6.1 Equac¸a˜o do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.1 Equac¸a˜o vetorial do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.1.2 Equac¸a˜o geral do plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 84
6.1.3 Equac¸a˜o do plano que passa por um ponto e e´ ortogonal a um vetor 85
6.2 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7 Espac¸o Vetorial 90
7.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
7.1.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2 Subespac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
7.2.2 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.2.3 Intersec¸a˜o de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
vii
7.2.4 Soma de subespac¸os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.3 Combinac¸a˜o linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.4 Subespac¸o gerado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.5 Dependeˆncia linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.6 Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.7 Mudanc¸a de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.8 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8 Transformac¸o˜es Lineares 114
8.1 Definic¸a˜o e Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
8.2 O espac¸o vetorial L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.2.1 Operac¸o˜es em L(U,V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3 Nu´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
8.4 Transformac¸o˜es lineares e matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
8.5 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9 Autovalores e autovetores 131
9.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.2 Autovalores e autovetores de uma matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.3 Polinoˆmio caracter´ıstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.4 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.5 Diagonalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
9.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
viii
10 Espac¸os com produto interno 141
10.1 Produto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
10.2 Coeficientes de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3 Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.3.1 Aˆngulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.4 Processo de Ortogonalizac¸a˜o de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.5 Complemento ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
10.6 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
11 Coˆnicas e qua´dricas 154
11.1 Coˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11.1.1 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.1.2 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.1.3 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
11.2 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.2 Hiperbolo´ide de uma folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.2.3 Hiperbolo´ide de duas folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.2.4 Parabolo´ide el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.5 Parabolo´ide hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.6 Cone el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
11.2.7 Cilindro el´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.2.8 Cilindro hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
ix
11.2.9 Cilindro parabo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.3 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
12 Respostas 165
x
Cap´ıtulo 1
Matrizes
1.1 Definic¸a˜o
Uma matriz de ordem m× n sobre um corpo1 F e´ uma aplicac¸a˜o do conjunto X dado
por X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} em F.
Representaremos as matrizes por letras maiu´sculas do alfabeto latino.
Exemplo 1. A aplicac¸a˜o A : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 2}
definida por A(1, 1) = 7, A(1, 2) = −1, A(2, 1) = 5, A(2, 2) = 0, A(3, 1) = 1 e A(3, 2) =
−3 e´ uma matriz de ordem 3× 2 sobre o corpo R.
Exemplo 2. A aplicac¸a˜o I : X→ R, onde X = {(i, j) ∈ N× N : 1 ≤ i ≤ 3, 1 ≤ j ≤ 3}
definida por I(i, j) =
 1 , i = j0 , i 6= j e´ uma matriz sobre R.
Notac¸a˜o: Para facilitar os ca´lculos que envolvera˜o matrizes, em exerc´ıcios futuros,
iremos representar uma matriz A de ordem m× n dispondo suas imagens (A(i, j)) em
uma tabela composta de m linhas e n colunas, ladeadas por colchetes. Cabendo a trans-
1Corpo e´ uma terna (F,+, .), que satisfaz as seguintes propriedades:(A1)(x+y)+z = x+(y+z),(A2)x+
y = y + x,(A3)x + 0 = x,(A4)x + (−x) = 0, (M1)(xy)z = x(yz),(M2)xy = yx,(M3)x.1 = x,(M4)Para
todo x 6= 0 existe y ∈ F tal que xy = 1(D)x(y + z) = xy + xz.
1
formada do par (i, j) a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna da tabela, ficando assim a matriz
A representada genericamente por:
Am×n =

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 = [aij]m×n
1.2 Tipos de matrizes
Existem matrizes que em determinados problemas tem forma ou propriedades espe-
ciais, dentre essas matrizes podemos citar:
1.2.1 Matriz quadrada
Uma matriz Am×n e´ dita quadrada quando m = n.
Exemplo: A =

1 −3 0
pi
√
5 2
0 8 3

1.2.2 Matriz nula
Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz nula quando todos os seus elemento sa˜o iguais
a zero, isto e´, aij = 0, ∀ i e j.
Exemplo: A =

0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0

2
1.2.3 Matriz coluna
Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz coluna quando possuir somente uma coluna,
ou seja, n = 1.
Exemplo: A =

1
−pi
0
√
6

1.2.4 Matriz linha
Uma matriz Am×n e´ chamada de matriz linha quando possuir somente uma linha, ou
seja, m = 1.
Exemplo: A =
(
1 −5 2 3
)
1.2.5 Matriz diagonal
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i 6= j, isto e´, os elementos
que na˜o esta˜o na diagonal principal2 sa˜o nulos.
Exemplo: A =

1 0 0
0
√
3 0
0 0 3
, B =
 0 0
0 1

1.2.6 Matriz tridiagonal
Uma matriz quadrada A e´ chamada de tridiagonal se os seus elementos sa˜o nulos,
exceto aqueles que se encontram sobre a diagonal principal e sobre as diagonais imedia-
tamente adjacentes.
2A diagonal principal e´ formada pelos elementos aij em que i = j.
3
Exemplo: A =

1 −5 0 0 0
2 8 −1 0 0
0 1 −3 4 0
0 0 6 9 5
0 0 0 1 2

1.2.7 Matriz identidade
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij =
 1 , i = j0 , i 6= j , isto e´, os elementos da
diagonal principal sa˜o iguais a 1 e os que na˜o esta˜o na diagonal principal sa˜o nulos. As
matrizes identidades de ordem m× n sera˜o denotadas por In.
Exemplo: I3 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1
, I2 =
 1 0
0 1

1.2.8 Matrizescalar
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij =
 k , i = j0 , i 6= j , isto e´, os elementos da
diagonal principal sa˜o iguais a um elemento k e os que na˜o esta˜o na diagonal principal
sa˜o nulos.
Exemplo: E =

3 0 0
0 3 0
0 0 3

1.2.9 Matriz triangular superior
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i > j, ou seja, e´ uma matriz
quadrada na qual os elementos que esta˜o abaixo da diagonal principal sa˜o iguais a zero.
Exemplo: S =

3 −2 5
0 2 −4
0 0 pi

4
1.2.10 Matriz triangular inferior
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = 0 para todo i < j, ou seja, e´ uma matriz
quadrada na qual os elementos que esta˜o acima da diagonal principal sa˜o iguais a zero.
Exemplo: T =

3 0 0
7 2 0
5 2 pi

1.2.11 Matriz sime´trica
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = aji para todo i e j.
Exemplo: S =

3 −5 0 9
−5 2 2 8
0 2 pi 4
9 8 4 3

1.2.12 Matriz antisime´trica
E´ uma matriz quadrada (m = n) onde aij = −aji para todo i e j.
Exemplo: A =

0 −5 0 9
5 0 −2 −8
0 2 0 −4
−9 8 4 0

1.2.13 Matriz conjugada
Considere Am×n uma matriz complexa, isto e´, seus elementos [aij] sa˜o nu´meros com-
plexos, chama-se matriz conjugada de A a` matriz A∗ = [aij], onde aij e´ o conjugado
complexo de aij.
Propriedade:
i) (A∗)∗ = A
5
1.2.14 Matriz esparsa
E´ uma matriz que e´ formada por poucos elementos na˜o nulos.
Exemplo: T =

3 0 0 0 0
0 2 0 7 0
0 0 0 0 −1

E´ importante citar que existira´ uma grande economia computacional se somente os
elementos na˜o nulos da matriz forem armazenados.
1.2.15 Matriz diagonalmente dominante
E´ uma matriz A onde e´ diagonalmente dominante se |ai,i| >
n∑
j=1,j 6=i
|aij|, i = 1, 2, . . . , n,
isto e´, o mo´dulo do elemento da matriz na diagonal principal e´ maior que a soma dos
mo´dulos de todos os demais valores (na˜o-diagonais) daquela linha.
Exemplo: T =

13 0 2
7 9 0
5 2 8

1.3 Operac¸o˜es com matrizes
1.3.1 Igualdade de matrizes
Duas matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] sera˜o iguais, denotado por A = B, se
ai,j = bi,j para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo: As matrizes A =

0 −5 1
−5 0 2
4 2 0
 e B =

0 x 1
−5 0 y
z 2 0
 sera˜o iguais se
x = −5, y = 2 e z = 4.
6
1.3.2 Adic¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se adic¸a˜o de A com
B, denotado por A+B, a` matriz Cm×n = [cij] tal que cij = aij + bij para todo 1 ≤ i ≤ m
e 1 ≤ j ≤ n.
Exemplo: Sejam A =

0 −5 1 9
−5 0 2 8
4 2 0 −2
 e B =

1 1 −1 3
2 3 1 4
−1 5 1 1
, enta˜o,
A+B =

0 + 1 −5 + 1 1 + (−1) 9 + 3
−5 + 2 0 + 3 2 + 1 8 + 4
4 + (−1) 2 + 5 0 + 1 −2 + 1
 =

1 −4 0 12
−3 3 3 12
3 7 1 −1
 .
Note que a adic¸a˜o de matrizes somente esta´ definida quando a matrizes a serem so-
madas possu´ırem a mesma ordem.
Propriedades: Sejam as matrizes Am×n, Bm×n e Cm×n, enta˜o:
i) A+B = B + A (propriedade comutativa)
ii) A+ (B + C) = (A+B) + C (propriedade associativa)
iii) A+ 0 = A (existeˆncia do elemento neutro), onde 0 e´ a matriz nula de ordem m× n.
iv) (A+B)∗ = A∗ +B∗
1.3.3 Multiplicac¸a˜o por escalar
Definic¸a˜o: Sejam uma matriz Am×n = [aij] e um escalar k. Chama-se multiplicac¸a˜o
do escalar k pela matriz A, denotado por kA, a` matriz Pm×n = [pij] tal que pij = k × aij
para todo 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n.
7
Exemplo: Sejam A =
 2 −1 1 2
3 0 −1 5
 e k = 2, enta˜o:
2A =
 2× 2 2× (−1) 2× 1 2× 2
2× 3 2× 0 2× (−1) 2× 5
 =
 4 −2 2 4
6 0 −2 10

Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e os escalares a e b, enta˜o:
i) a(A+B) = aA+ aB (propriedade distributiva em relac¸a˜o a` soma de matrizes)
ii) (a+ b)A = aA+ bA (propriedade distributiva em relac¸a˜o a` soma de escalares)
iii) a(bA) = (ab)A
iv) a0 = 0
v) 0A = 0
vi) A+ (−A) = 0
vii) (−1)A = −A
viii) (λA)∗ = λA∗
Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bm×n = [bij] chama-se diferenc¸a de A
com B, nesta ordem, denotado por A−B, como A−B = A+ (−B).
Exemplo: Sejam A =

0 −2 −1
3 1 1
2 −2 4
 e B =

2 −1 3
0 5 1
1 −1 4
, enta˜o,
A−B =

0− 2 −2 + 1 −1− 3
3− 0 1− 5 1− 1
2− 1 −2 + 1 4− 4
 =

−2 −1 −4
3 −4 0
1 −1 0
 .
1.3.4 Transposic¸a˜o
8
Definic¸a˜o: Dada uma matriz Am×n = [aij] chama-se transposta de A, denotada por
AT , a` matriz AT = [bij]n×m tal bij = aji.
Propriedades: Sejam as matrizes Am×n e Bm×n e o escalar k, enta˜o:
i) (A+B)T = AT +BT
ii) (AT )T = A
iii) (kA)T = k.AT
Definic¸a˜o: Uma matriz complexa Am×n = [aij] e´ chamada de hermitiana ou auto
adjunta se A∗ = A, onde A∗ e´ a transposta da matriz conjugada de A (A∗ = (A)T ).
1.3.5 Multiplicac¸a˜o de matrizes
Definic¸a˜o: Dadas as matrizes Am×n = [aij] e Bn×p = [bjk] define-se o produto das
matrizes A por B nesta ordem, denotado por AB, a` matriz Cm×p = [cik] com
cik =
n∑
j=1
aijbjk (1.1)
Exemplo 1. Efetue o produto AB onde A =
 2 −1
1 3
 e B =
 4 2 0
5 1 3
.
A ordem da matriz produto C = A2×2B2×3 e´ C2×3, ou seja, C =
 c11 c12 c13
c21 c22 c23
.
Utilizando a definic¸a˜o de produto matricial dada em 1.1 cik =
n∑
j=1
aijbjk, tem-se:
c11 =
2∑
j=1
a1jbj1 = a11b11 + a12b21 = 2× 4 + (−1)× 5 = 8− 5 = 3
c12 =
2∑
j=1
a1jbj2 = a11b12 + a12b22 = 2× 2 + (−1)× 1 = 4− 1 = 3
9
c13 =
2∑
j=1
a1jbj3 = a11b13 + a12b23 = 2× 0 + (−1)× 3 = 0− 3 = −3
c21 =
2∑
j=1
a2jbj1 = a21b11 + a22b21 = 1× 4 + 3× 5 = 4 + 15 = 19
c22 =
2∑
j=1
a2jbj2 = a21b12 + a22b22 = 1× 2 + 3× 1 = 2 + 3 = 5
c23 =
2∑
j=1
a2jbj3 = a21b13 + a22b23 = 1× 0 + 3× 3 = 0 + 9 = 9
Assim C = AB =
 3 3 −3
19 5 9
.
Exemplo 2. O resultado do produto

1 −2 2
3 1 −1
2 2 −3


4
1
2
 e´ igual a

6
11
4
, que
pode ser escrito como:
6
11
4
 = 4

1
3
2
+ 1

−2
1
2
+ 2

2
−1
−3
.
Nesse caso diz-se que a matriz

6
11
4
 e´ uma combinac¸a˜o linear das matrizes

1
3
2
,

−2
1
2
 e

2
−1
−3
, que se pode generalizar:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
am1 am2 · · · amn
 .

x1
x2
...
xn
 =

a11
a21
...
am1
x1 +

a12
a22
...
am2
x2 + · · · · · ·

a1n
a2n
...
amn
xn
10
Exemplo 3. Sejam as matrizesA23×5 = [aij] eB5×12 = [bij], em que aij =
 0, se i 6= ji, se i = j
e bij =
 1, se i 6= ji2, se i = j , determine o elemento c34 da matriz produto AB.
Empregando a definic¸a˜o de produto matricial dada em 1.1 cik =
n∑
j=1
aijbjk, escreve-se:
c34 =
5∑
j=1
a3jbj4
= a31b14 + a32b24 + a33b34 + a34b44 + a35b54
= 0× 1 + 0× 1 + 3× 1 + 0× 42 + 0× 1 = 3
Definic¸a˜o: Se A e´ uma matriz quadrada escreve-se A2 = A × A, A3 = A × A × A e
assim por diante. Considera-se A0 = I e A1 = A.
Exemplo 4. Dada a func¸a˜o f : R2×2 → R2×2 tal que f(x) = x2 − 3x + 2. Determine
f(A) para A =
 1 0
4 2
. 3
f(A) = A2 − 3A+ 2I
f(A) = A× A− 3A+ 2I
f(A) =
 1 0
4 2
×
 1 0
4 2
− 3
 1 0
4 2
+ 2
 1 0
0 1

f(A) =
 1 0
12 4
−
 3 0
12 6
+
 2 0
0 2

f(A) =
 0 0
0 0

Observac¸o˜es sobre o produto matricial
a) A associatividade.
3R2×2 e´ o conjunto de todas as matrizes reais de ordem 2× 2 e, f : R2×2 → R2×2 e´ uma func¸a˜o com
domı´nio e contra-domı´nioiguais a R2×2.
11
Sejam A, B e C matrizes tais que os seguintes produtos existam, enta˜o A(BC) =
(AB)C.
b) A na˜o comutatividade.
Se as matrizes A e B sa˜o tais que AB = BA dizemos que A e B comutam, por
exemplo:
• As matrizes A =
 2 5
3 4
 e B =
 1 0
0 1
 comutam.
• Pore´m A =
 2 5
3 4
 e B =
 1 1
0 1
 na˜o comutam.
Consequentemente dizemos o produto de matrizes na˜o e´ comutativo, uma vez que
na˜o se tem AB = BA para todas as matrizes A e B.
c) A distributividade em relac¸a˜o a` adic¸a˜o.
Sendo A, B e C matrizes de ordens convenientes, enta˜o:
• A(B + C) = AB + AC (distributividade a` direita)
• (B + C)A = BA+ CA (distributividade a` esquerda)
c) A lei do cancelamento.
Uma igualdade X = Y , com X e Y matrizes de ordem m×n, pode ser multiplicada
a` esquerda por uma matriz Pp×m, obtendo PX = PY . Analogamente poder´ıamos
multiplicar ambos os membros da igualdade X = Y a` direita por uma matriz Qn×q
chegando a XQ = Y Q.
Ja´ a rec´ıproca na˜o e´ va´lida, isto e´, se XQ = Y Q na˜o implica em X = Y , analoga-
mente PX = PY tambe´m na˜o implica em X = Y . Tambe´m AB = 0 na˜o implica
em termos A = 0 ou B = 0.
Isto e´ a lei do cancelamento para matrizes na˜o e´ va´lida.
Teorema : Se Am×n e Bn×p enta˜o (AB)T = BTAT .
Demonstrac¸a˜o:
Escreva A = [aij]m×n e B = [bjk]n×p. O elemento cik de AB e´ dado por cik =
n∑
j=1
aijbjk.
12
Considere c′ik como o elemento gene´rico de (AB)
T , assim c′ik =
n∑
j=1
akjbji. Mas o elemento
b′ij de B
T e´ b′ij = bji, logo o elemento c
′
ik de B
TAT e´ c′ik =
∑n
j=1 b
′
ija
′
jk =
∑n
j=1 bjiakj, logo
c′ik de (AB)
T o mesmo elemento c′ik de B
TAT .
Definic¸a˜o: Uma matriz Am×m = [aij] e´ chamada de idempotente se A2 = A.
Definic¸a˜o: Uma matriz Am×m = [aij] e´ chamada de nilpotente de ı´ndice k se Ak = 0
e Ak−1 6= 0, sendo k um inteiro positivo.
1.3.6 Matrizes em blocos
Uma matriz A pode-se particionada em matrizes menores chamadas blocos ou celas.
A matriz A assim escrita e´ chamada matriz em blocos.
Exemplo:
A matriz A =

−2 3 −1 0 0
1 −3 1 0 0
−1 2 −1 4 7
 pode ser particionada em blocos, por exemplo,
como A =

−2 3 −1 0 0
1 −3 1 0 0
−1 2 −1 4 7
 =
 X Y
Z W
, onde X =
 −2 3 −1
1 −3 1
, Y =
 0 0
0 0
, Z = ( −1 2 −1 ) e W = ( 4 7 ).
A vantagem da partic¸a˜o de uma matriz em blocos, vem do fato que as operac¸o˜es sobre
matrizes em blocos pode se feito operando-se os blocos, como se fossem elementos das
matrizes.
Sejam as matrizes de blocosA =

A11 A12 · · · A1p
A21 A22 · · · A2p
· · · · · · · · · · · ·
Am1 Am2 · · · Amp
, B =

B11 B12 · · · B1n
B21 B22 · · · B2n
· · · · · · · · · · · ·
Bp1 Bp2 · · · Bpn

13
e C =

C11 C12 · · · C1p
C21 C22 · · · C2p
· · · · · · · · · · · ·
Cm1 Cm2 · · · Cmp
, enta˜o:
a) kA =

kA11 kA12 · · · kA1p
kA21 kA22 · · · kA2p
· · · · · · · · · · · ·
kAm1 kAm2 · · · kAmp

b) A+ C =

A11 + C11 A12 + C12 · · · A1p + C1p
A21 + C21 A22 + C22 · · · A2p + C2p
· · · · · · · · · · · ·
Am1 + Cm1 Am2 + Cm2 · · · Amp + Cmp

c) AB =

Q11 Q12 · · · Q1n
Q21 Q22 · · · Q2n
· · · · · · · · · · · ·
Qm1 Qm2 · · · Qmn
, em que Qij = Ai1B1j + Ai2B2j + · · ·+ AipBpj
Exemplo: Empregando matrizes de blocos efetueAB, onde A =

−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
,
B =

−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1

.
AB =

−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
 .

−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1

=
14
AB =

−2 3 0 0 0
1 −3 0 0 0
0 0 −1 4 7
0 0 1 1 2
 .

−2 3 0 0
1 −3 0 0
−1 2 0 0
0 0 1 1
0 0 2 −1

=
 X Y Z
W R T


E
F
G

=
 X.E + Y.F + Z.G
W.E +R.F + T.G

=
 X.E + 0+ 0
0+R.F + T.G
=
 X.E
R.F + T.G
=
 X.E
R.F
+
 0
T.G

=

4 + 3 −6− 9 0 0
−2− 3 3 + 9 0 0
1 −2 4 4
−1 2 1 1
+

0 0 0 0
−0 0 0 0
0 0 14 −7
0 0 4 −2
 =

7 −15 0 0
−5 12 0 0
1 −2 18 −3
−1 2 5 −1

1.4 Matriz inversa
Definic¸a˜o: Dada uma matriz Am×n, dizemos que uma matriz Gn×m e´ uma inversa
a` esquerda da matriz A se e somente se GA = I. Analogamente Hn×m e´ uma inversa a`
direita de A se AH = I.
Exemplo: Determine, se existirem, as inversas a` esquerda e a` direita da matriz A = 1 0 2
−1 1 1

15
(i) Inversa a` esquerda (G):
Como a matriz A possui ordem 2 × 3 a matriz inversa a` esquerda, caso exista, tera´
ordem 3× 2, assim considere:
G =

a b
c d
e f
, tal que GA = I, ou ainda:

a b
c d
e f

 1 0 2
−1 1 1
 =

1 0 0
0 1 0
0 0 1


a− b = 1
b = 0
2a+ b = 0
c− d = 0
d = 1
2c+ d = 0
e− f = 0
f = 0
2e+ f = 1
,
que e´ um sistema de equac¸o˜es lineares incompat´ıvel, assim, a matriz A na˜o possui inversa
a` esquerda.
(ii) Inversa a` direita (H):
Como a matriz A possui ordem 2×3 a matriz inversa a` direita, caso exista, tera´ ordem
3× 2, assim considere:
H =

a b
c d
e f
, tal que AH = I, ou ainda:
16
 1 0 2
−1 1 1


a b
c d
e f
 =
 1 0
0 1


a+ 2e = 1
b+ 2f = 0
−a+ c+ e = 0
−b+ d+ f = 1
=⇒
=⇒
a = 1− 2e
b = −2f
Substituindo as duas u´ltimas igualdades nas equac¸o˜es (3) e (4) iniciais, vem:
a = 1− 2e
b = −2f
−(1− 2e) + c+ e = 0⇒ c = 1− 3e
−(−2f) + d+ f = 1⇒ d = 1− 3f
e ∈ R
f ∈ R
Como o sistema apresentou-se indeterminado, existem va´rias matrizes inversas a` di-
reita da matriz A e, escreve-se:
H =

1− 2e −2f
1− 3e 1− 3f
e f
, e ∈ R, f ∈ R
Veja que a medida que forem atribu´ıdos valores aos paraˆmetros e e f , sera˜o obtidas
as diversas matrizes inversas a` direita.
Teorema: Se existirem inversas a` esquerda e a` direita de uma matriz quadrada A elas
sera˜o iguais e essa inversa sera´ u´nica.
demonstrac¸a˜o: Sejam G e H as inversas de A a` esquerda e a` direita, respectivamente,
assim GA = I e AH = I. Mas G = G.I = G(AH) = (GA)H = I.H = H. Para provar
a unicidade suponha que exista G′ que tambe´m seja uma inversa a` esquerda de A, logo
como feito anteriormente chega-se a G′ = H enta˜o G′ = G, ou seja a inversa e´ u´nica.
Teorema: Seja Am×n uma matriz retangular, m 6= n. Se m < n A na˜o possui inversa
a` esquerda e se m > n A na˜o possuira´ inversa a` direita.
Observac¸a˜o. Veja que o teorema acima nada afirma com respeito a existeˆncia de uma
matriz inversa, somente afirma que em determinado lado na˜o havera´ inversa.
17
Definic¸a˜o: Se existirem inversas a` esquerda e a` direita de uma matriz A ela sera´ dita
invers´ıvel, regular ou na˜o singular e essa inversa (u´nica) sera´ denotada por A−1.
Teorema: Uma matriz e´ invers´ıvel se e somente se for quadrada e seu determinante
for diferente de zero.
Teorema: Se A e B forem matrizes invers´ıveis, enta˜o:
i) (A−1)−1 = A
ii) (AT )−1 = (A−1)T
iii) (AB)−1 = B−1A−1
iv) Para todo k ∈ R∗ a matriz k.A e´ invers´ıvel e (k.A)−1 = 1
k
A−1
v) A−n = (A−1)n = A−1.A−1 · · ·A−1
Prova:
(i) (A−1)−1 = X ⇒ (A−1)(A−1)−1 = A−1X ⇒ I = A−1X ⇒ A = X.
Propriedades : Se A e B forem matrizes invers´ıveis, enta˜o:
i) Se A e´ uma matriz invers´ıvel, enta˜o A.AT e AT .A sa˜o tambe´m invers´ıveis.
ii) Se A e´ uma matriz sime´trica invers´ıvel, enta˜o A−1 e´ sime´trica.
iii) A inversa de uma matriztriangular inferior e´ uma matriz triangular inferior.
iv) A inversa de uma matriz triangular superior e´ uma matriz triangular superior.
1.4.1 Equivaleˆncia de matrizes
Definic¸a˜o: Chamam-se operac¸o˜es elementares por linhas de uma matriz A = [aij] de
ordem m× n:
op.1) A permuta de duas linhas de A.
18
op.2) A multiplicac¸a˜o de uma linha por um escalar na˜o nulo.
op.3) A substituic¸a˜o de uma linha pela sua soma com outra linha pre´multiplicada por
um escalar.
Definic¸a˜o: Uma matriz B diz-se equivalente por linhas a uma matriz A se e somente
se puder ser obtida, a partir de A, mediante a aplicac¸a˜o de um nu´mero finito de operac¸o˜es
elementares sobre as linhas de A.
Exemplo. Dada a matriz A =

1 2 −1
−1 1 3
1 −1 0
 determine uma matriz T , triangular
superior que seja equivalente por linhas a A.
Como foi pedido para se determinar uma matriz equivalente por linhas a` matriz A,
basta escalonar, por linhas a matriz A ate´ obter-se uma matriz triangular superior.
1 2 −1
−1 1 3
1 −1 0
 L2 → L2 + L1 ⇒

1 2 −1
0 3 2
1 −1 0


1 2 −1
0 3 2
1 −1 0

L3 → L3 − L1 ⇒

1 2 −1
0 3 2
0 −3 1


1 2 −1
0 3 2
0 −3 1

L3 → L3 + L2 ⇒

1 2 −1
0 3 2
0 0 3

Logo B =

1 2 −1
0 3 2
0 0 3
 e´ uma matriz triangular superior equivalente por linhas a`
matriz A.
Exemplo. Idem para A =

2 −1 2
1 −1 0
3 −2 2

19

2 −1 2
1 −1 0
3 −2 2

L1 ↔ L2 ⇒

1 −1 0
2 −1 2
3 −2 2


1 −1 0
2 −1 2
3 −2 2
 L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − 3L1
⇒
⇒

1 −1 0
0 1 2
0 1 2


1 −1 0
0 1 2
0 1 2

L3 → L3 − L2 ⇒

1 −1 0
0 1 2
0 0 0

e, C =

1 −1 0
0 1 2
0 0 0
 e´ uma matriz triangular superior equivalente por linhas a`
matriz A.
Observac¸a˜o: E´ importante observar que as operac¸o˜es elementares op.1 e op.2 nos
fornecem outra operac¸a˜o, na˜o elementar, mas que pode ser de muita utilidade:
Li → cLi + dLj
Definic¸a˜o: Uma matriz m× n e´ dita escalonada, ou em forma de escada, se:
a) As linhas nulas ocorrem depois das linhas na˜o nulas.
b) Se o primeiro na˜o nulo de uma linha ocorrer na coluna k enta˜o o primeiro elemento
na˜o nulo da linha seguinte devera´ estar depois da coluna k.
Definic¸a˜o: Chama-se matriz escalonada reduzida por linhas a uma matriz A tal que:
a) A matriz e´ escalonada.
b) Cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma linha tem todos os
outros seua elementos iguais a zero.
c) O primeiro elento na˜o nulo de linha e´ 1.
20
Teorema: Toda matriz Am×n sobre um corpo F e´ equivalente por linhas a uma u´nica
matriz B, escalonada reduzida por linhas.
Definic¸a˜o: Chama-se matriz elementar a` matriz que e´ obtida a partir da matriz
identidade utilizando-se uma u´nica operac¸a˜o elementar sobre as linhas da matriz identi-
dade.
Exemplos: A =

1 0 0
1 1 0
0 0 1
, B =
 1 0
0 2
 sa˜o matrizes elementares, enquanto
que C =
 1 0
1 2
 e D =

1 0 0
1 2 0
0 0 1
 na˜o sa˜o matrizes elementares.
Teorema: Matrizes elementares sa˜o invers´ıveis e suas inversas sa˜o matrizes elementares
do mesmo tipo.
Teorema: Qualquer operac¸a˜o elementar sobre as linhas de uma matriz Am×n pode se
obtida multiplicando-se a matriz A pela matriz elementar E, a` esquerda, onde E e´ obtida
aplicando-se a` matriz identidade a operac¸a˜o elementar desejada.
Exemplo:
 1 0
1 1
 3 −5
1 2
 =
 3 −5
4 −3
 e´ o mesmo que aplicar a operac¸a˜o
elementar L2 → L2 + L1.
Teorema:Uma matriz Am×n e´ equivalente por linhas a uma matriz Bm×n se e somente
se existe uma matriz P produto de matrizes elementares, onde A = PB.
Teorema: Uma matriz A quadrada sera´ invers´ıvel se e somente se for equivalente por
linhas a` matriz identidade.
demonstrac¸a˜o:
(⇒) Seja A invers´ıvel e B a matriz escalonada reduzida por linhas equivalente a A. Enta˜o
existe uma matriz P , que e´ produto de matrizes elementares, tal que B = PA. Pelo fato
de A ser invers´ıvel tem-se det(A) 6= 0 e como P e´ o produto de matrizes elementares
tem-se tambe´m que det(P ) 6= 0, logo det(B) 6= 0 o que implica que B na˜o possui linhas
21
nulas e assim B = I. Enta˜o A e´ equivalente por linhas a` matriz identidade.
⇐ Sendo A equivalente por linhas a` matriz identidade, existe P , produto de matrizes
elementares, tal que I = PA. Enta˜o det(I) = det(PA) ou ainda det(I) = det(P )det(A),
mas det(I) = 1 logo det(A) 6= 0 e assim A e´ invers´ıvel.
1.4.2 Ca´lculo da inversa empregando operac¸o˜es elementares
Como consequeˆncia do teorema anterior pode-se escrever o seguinte algoritmo para a
determinac¸a˜o da inversa de uma matriz quadrada A.
Algoritmo: Devera´ ser constru´ıda uma matriz de blocos [A
... I] e em seguida apli-
camos operac¸o˜es elementares sobre as linhas desta matriz de blocos com o objetivo de
conduzir a matriz A a` matriz identidade. Assim no lugar da matriz A teremos a matriz
identidade e no lugar da matriz identidade teremos a inversa de A.
Exemplo 1. Determine, utilizando o algoritmo anterior, a inversa da matriz

1 0 0
1 2 0
0 0 1


1 0 0 1 0 0
1 2 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
 L2 → L2 − L1

1 0 0 1 0 0
0 2 0 −1 1 0
0 0 1 0 0 1
 L2 → L22

1 0 0 1 0 0
0 1 0 −1/2 1/2 0
0 0 1 0 0 1
 L2 → L22
A−1 =

1 0 0
−1/2 1/2 0
0 0 1

22
Exemplo 2. Determine a matriz inversa de

0 1 2
1 2 1
−1 3 8
.

0 1 2 1 0 0
1 2 1 0 1 0
−1 3 8 0 0 1
 L2 ↔ L1

1 2 1 0 1 0
0 1 2 1 0 0
−1 3 8 0 0 1

L3 → L3 + L1
1 2 1 0 1 0
0 1 2 1 0 0
0 5 9 0 1 1

L1 → L1 − 2L2
L3 → L3 − 5L2
1 0 −3 −2 1 0
0 1 2 1 0 0
0 0 −1 −5 1 1

L1 → L1 − 3L3
L2 → L2 + 2L3

1 0 0 13 −2 −3
0 1 0 −9 2 2
0 0 −1 −5 1 1

L3 → −L3
1 0 0 13 −2 −3
0 1 0 −9 2 2
0 0 1 5 −1 −1

A−1 =

13 −2 −3
−9 2 2
5 −1 −1

23
1.4.3 Ca´lculo da inversa empregando matrizes de blocos
Seja A uma matriz de ordem n× n da forma A =
 P Q
R S
, em que P tem ordem
k×k, S e´ de ordem (n−k)× (n−k), Q e´ de ordem k× (n−k) e R tem ordem (n−k)×k.
Supondo que P−1 e´ conhecida ou e´ facilmente determinada, pode mostrar que A−1 pode
ser obtida atrave´s de um procedimento eficiente utilizando somente A−1.
Considere que A−1 =
 X Y
Z W
, assim pode-se escrever:
 P Q
R S
 X Y
Z W
 =
 Ik 0
0 In−k

, em que Ik e In−k sa˜o respectivamente as matrizes identidade de ordem k e n−k, e tem-se
PX +QZ = Ik (1)
PY +QW = 0 (2)
RX + SZ = 0 (3)
RY + SW = In−k (4)
Isolando Y na equac¸a˜o (2) tem-se Y = −P−1QW que substituido em (4) resulta
W = (S −RP−1Q)−1.
Agora a partir de (1) escreve-se X = P−1 − P−1(QZ) e levado em (3) implica em
Z = WRP−1, assim:

W = (S −RP−1Q)−1
Y = P−1QW
Z = −WRP−1
X = P−1 − P−1(QZ)
.
Exemplo: Determine, empregando matrizes de blocos, a inversa de
A =

1 0 3 −1
0 0.5 4 −2
5 −3 −10 7
6 −4 −14 10.5
.
24
Tome: P =
 1 0
0 0.5
, Q =
 3 −1
4 −2
,R =
 5 −3
6 −4
 e S =
 −10 7
−14 10.5
.
Como P−1 =
 1 0
0 2
 escreve-se P−1Q =
 3 −1
8 −4

Empregando as relac¸o˜es deduzidas anteriormente, vem:
W = (S −RP−1Q)−1 =
 −1 0
0 2

Y = P−1QW =
 3 2
8 8

Z = −WRP−1 =
 5 −6
−12 16

X = P−1 − P−1(QZ) =
 −26 34
−88 114

assim,
A−1 =
 X Y
Z W
 =

−26 343 2
−88 114 8 8
5 −6 −1 0
−12 16 0 2
.
1.5 Exec´ıcios
1. Escreva em forma de tabela as seguintes matrizes:
(a) A2×3 = [aij] onde aij = i2 − j
(b) B3×3 = [bij] onde bij =
 1 , i = j0 , i 6= j
(c) C3×1 = [cij] onde cij = i+ j
(d) D1×4 = [dij] onde dij =
 i , i = j−j , i 6= j
2. Determine a matriz transposta de:
(a) D1×4 = [dij] onde dij =
 i , i = j−j , i 6= j
25
(b) I3×3 = [iij] onde iij =
 i , i = j0 , i 6= j
(c) E3×2 = [eij] onde eij =
 i+ j , i = j1− j , i 6= j
3. Resolva a equac¸a˜o matricial
 x y
8 z
 =
 3 x+ 1
8 x+ y

4. Determine x e y em
 x 2
1 0
+
 −1 7
4 3
 =
 −7 y
5 3

5. Dadas as matrizes A =
 y + 4 2
9 x2 + 4
 e B =
 12 2
9 53
 calcular x e y de
modo que A = B.
6. Dadas as matrizesA =

2 3 8
−5 9 −6
7 4 −1
, B =

−3 7 1
−4 2 5
0 9 4
 e C =

7 −8 3
4 −3 2
9 −5 1
.
Calcular:
(a) A+B
(b) C − A
(c) 3A− 2B + 4C
7. Fornec¸a um exemplo de uma matriz de ordem 3 × 3 que seja antisime´trica. (nota:
uma matriz e´ dita antisime´trica se AT = −A)
8. Seja A =

a b c
d e f
g h i
. Calcule:
(a) A− AT
(b) A+ AT
9. Dadas as matrizes A =
 1 2
4 −2
, B =
 2 −2
5 0
 e C =
 0 1
2 −1
, deter-
mine X tal que 3X +B = 2A− C.
26
10. Dadas as matrizes A =
 1 0
4 2
 e B =
 0 2
2 1
 resolva o sistema 2X + Y = 3A−BX − 2Y = 5A+ 2B .
11. Verifique se o produto A.AT e´ uma matriz sime´trica, sendo A =

−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1

12. Dadas as matrizes A =

4 −5
3 −7
−2 4
 e B =
 −4 6 −3
−3 5 8
. Calcule (AB)T e
BTAT verificando a igualdade (AB)T = BTAT
13. Verdadeiro ou falso? Se a afirmac¸a˜o for verdadeira prove, caso falsa deˆ um con-
traexemplo.
(a) A matriz nula O3×3 e´ uma matriz diagonal.
(b) A matriz identidade I3×3 e´ triangular inferior.
(c) Toda matriz escalar e´ triangular superior.
(d) O produto de duas matrizes quadradas sempre existe.
(e) Existem matrizes quadradas na˜o nulas que elevadas ao quadrado resultam na
matriz nula.
(f) AX = AY implica em X = Y para qualquer matriz A.
(g) (A−B)(A+B) = A2 −B2
(h) Se A e´ uma matriz triangular superior enta˜o AT e´ triangular inferior.
(i) Seja An×n enta˜o AAT e´ sime´trica.
(j) O produto de matrizes triangulares inferiores (superiores) de mesma ordem e´
outra matriz triangular inferior (superior) de mesma ordem.
(k) (A+B)2 = (A+B)(A+B)
(l) Uma matriz escalar de ordem m×m comuta com todas as matrizes de ordem
m×m.
27
14. Deˆ um exemplo de uma matriz nilpotente de ı´ndice 4.
15. Determine X na equac¸a˜o matricial AXB = C, sabendo que PA = BQ = I.
16. Dada a func¸a˜o f : R2×2 → R tal que f(x) = 2x2 − x + 4. Calcule f(A) sendo −1 2
3 1

17. Uma rede de comunicac¸a˜o tem cinco locais com transmissores de poteˆncias distin-
tas. Estabelecemos que aij = 1, na matriz a seguir, significa que a estac¸a˜o i pode
transmitir diretamente a` estac¸a˜o j, e aij = 0 significa que a transmissa˜o da estac¸a˜o
i na˜o alcanc¸a a estac¸a˜o j.
A =

0 1 1 1 1
1 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 0 1 0 1
0 0 0 1 0

(a) Qual o significado da diagonal principal ser nula.
(b) Calcule B = A2
(c) Qual o significado do elemento b13 = 2 em A
2
(d) Qual o significado da matriz A2
18. Existem treˆs marcas de automo´veis dispon´ıveis no mercado: o Jacare´, o Piranha e
o Urubu. O termo aij da matriz A, a seguir, e´ a probabilidade de que um dono de
carro da linha i mude para o carro da coluna j, quando comprar um carro novo.
0.7 0.2 0.1
0.3 0.5 0.2
0.4 0.4 0.2

(a) Calcule A2
(b) Qual o significado da matriz A2
19. Determine An, para:
(a) A =
 1 0
0 2

28
(b) B =

1 0 0
0 −1 0
0 0 3

(c) R =
 cos(x) −sen(x)
sen(x) cos(x)

20. Determine, se existir, uma matriz A tal que:
(a) A2 =
 −5 −4
6 −5

(b) A2 =
 0 1
0 0

21. Determine todas as matrizes A2×2 tais que AB = BA para B =
 2 0
−1 1

22. Dada uma matriz An×n = [aij], enta˜o o trac¸o de A, denotado tr(A), e´ definido como
a soma de todos os elementos da diagonal principal de A, isto e´, tr(A) =
i=n∑
i=1
aii.
Mostre que:
(a) tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
(b) tr(AT ) = tr(A)
(c) tr(ATA) ≥ 0
23. Calcule o trac¸o de uma matriz escalar de ordem n× n.
24. Se A e´ uma matriz n× n e A4 = 0, verifique que (In − A)−1 = In + A+ A2 + A3.
25. Sendo A =
 2 0
0 3
 calcule A2, A3, · · · An.
26. Seja A =
 1 12
0
1
3
. Usando o Octave, calcule a sequencia A, A2, A3, . . . , An, . . .
. Descreva o comportamento dessa sequencia matricial.
29
27. Uma matriz real sime´trica A e´ positiva definida de para todo vetor (coluna) x
tem-se xTAx e´ positivo. Verifique se as matrizes A =

1 0 −2
0 2 −2
−2 −2 7
, B =

1 0 1
0 1 2
1 2 3
 e C =

4 −2 12
−2 10 −3
12 −3 41
 sa˜o positiva definidas.
28. Uma matriz real S e´ ortogonal se STS = SST = I.
Mostre que S =

1/9 8/9 −4/9
4/9 −4/9 −7/9
8/9 1/9 4/9
 e´ ortogonal.
29. Descreva como determinar´ıamos somente o elemento p7,4 da matriz P = AB, onde
A23×12 e B12×9.
30. Considere a matriz S =

2 −1 −1
−1 2 −1
−1 −1 2
, mostre que Sn+1 = 3nS para todo n
inteiro positivo.
31. Encontre todas as matrizes
 x y
z t
 que comutam com
 1 1
0 1
.
32. Verifique se a matriz X =

1
2
1
 e´ soluc¸a˜o da equac¸a˜o matricial AX = 2X com
A =

3 −2 0
−2 3 0
0 5 5
.
33. Determine uma matriz na˜o nula de ordem 2× 2 tal que B2 = 0.
34. Resolva o sistema de equac¸o˜es
 X + Y = A+BX − Y = −A+ C , em que A =

3 −2
−2 3
0 5
,
30
B =

0 0
3 0
5 5
 e C =

1 −2
−2 1
4 2
.
35. Prove que se A e B sa˜o matrizes sime´tricas enta˜o AB sera´ sime´trica se e somente
se AB = BA.
36. Calcule BA sendo A =

2 −3 0 0 0 0
1 3 0 0 0 0
0 0 0 1 −4 7
0 0 0 1 1 −2
 e B =

2 −3 0 0
1 3 0 0
0 0 −1 4
0 0 1 −1
.
37. Dada a matriz A =
 1 2
3 6
. Determine uma matriz na˜o nula B2×3 tal que
AB = 0.
38. Confirme as respostas encontradas utilizando o software Octave.
39. Verificar se a matriz A =

−1 −1 0
0 −1 −1
1 −1 −3
 e´ a inversa de B =

−2 3 −1
1 −3 1
−1 2 −1
.
40. Determine m e n para que a matriz B =
 5 22
2 9
 seja a inversa de A = m −22
−2 n

41. Determine a inversa das seguintes matrizes, se existirem: ,
31
(a) A =

1 2 1
0 1 3
1 2 3
 (b) B =

1 1 1
0 1 2
2 3 4
 (c) C =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 −2 0

(d) D =

1 2 1
0 1 1
1 1 1
 (e) E =

1 2 1
2 1 1
1 −1 0
 (f) F =

i 3 2 −i
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1

(g) G =

1 0 0 0
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
 (h) H =

a 0 0 0
0 b 0 0
0 1 c 0
0 0 0 d
 (i)I =
 cos(θ) sen(θ)
−sen(θ) cos(θ)

(j) J =
 12(ex + e−x) 12(ex − e−x)
1
2
(ex − e−x) 1
2
(ex + e−x)

42. Uma maneira para codificar uma mensagem e´ atrave´s da multiplicac¸a˜o de matri-
zes. Vamos associar as letras do alfabeto aos nu´meros, segundo a correspondeˆncia
seguinte:
A B C D E F G H I J L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Suponhamos que a nossa mensagem seja ”PUXA VIDA”. Podemos formar uma
matriz 3× 3 assim:

P U X
A − V
I D A
, queusando a correspondeˆncia nume´rica fica:
M =

15 20 23
1 0 21
9 4 1

Agora seja C uma matriz qualquer 3× 3 na˜o singular, por exemplo:
C =

1 0 1
−1 3 1
0 1 1

Multiplicamos nossa matriz da mensagem por C, obtendo M.C,
32

15 20 23
1 0 21
9 4 1
 .

1 0 1
−1 3 1
0 1 1
 =

−5 83 58
1 21 22
5 13 14
. Transmitimos esta nova
matriz(na pra´tica, envia-se a cadeia de nu´meros−5, 83, 58, 1, 21, 22, 5, 13, 14). Quem
recebe a mensagem decodifica-a atrave´s da multiplicac¸a˜o pela inversa(M.C).C−1 =
M e posterior transcric¸a˜o dos nu´meros por letras. C e´ chamada matriz chave para
o co´digo.
(a) Voceˆ recebeu a mensagem: −12, 48, 23,−2, 42, 26, 1, 42, 29. Utilizando a mesma
matriz chave traduza a mensagem.
(b) Acontece que o inimigo descobriu sua chave. O seu comandante manda voceˆ
substituir a matriz chave por

1 1 −1
1 1 0
0 0 2
. Voceˆ transmite a mensagem
”CRETINO...”a ele. Por que na˜o sera´ poss´ıvel a ele decodificar sua mensagem?
(c) Escolha uma matriz chave que de para codificar palavras ate´ 16 letras. Codi-
fique e descodifique a` vontade! Se possuir algum software que fac¸a o produto
de matrizes, o utilize neste ı´tem.
43. Verdadeiro ou falso? Se a afirmac¸a˜o for verdadeira prove, caso falsa deˆ um con-
traexemplo.
(a) Se a matriz A possui uma linha nula enta˜o AB tambe´m tem uma linha de
elementos nulos.
(b) Se a matriz A possui uma coluna nula enta˜o AB tambe´m tem uma coluna de
elementos nulos.
(c) Se A e B sa˜o matrizes diagonais n× n enta˜o AB = BA.
(d) Se AAT = 0 enta˜o A = 0.
(e) A inversa de uma matriz triangular superior e´ uma matriz triangular inferior.
(f) Se tr(AAT ) = 0 enta˜o A = 0.
(g) Sejam duas matrizes A e B de ordem n × n equivalentes por linhas. A e´
invers´ıvel se e somente se B e´ invers´ıvel.
(h) Se A, B e C sa˜o matrizes n× n, enta˜o (ABC)−1 = C−1A−1B−1.
33
(i) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (A−1)−1 = A.
(j) Se A e´ invers´ıvel enta˜o (kA)−1 = kA−1.
(k) Na˜o existem matrizes A2×2, diferente da matriz identidade, que seja auto-
inversa, isto e´, tal que A = A−1.
(l) Se uma matriz A e´ invers´ıvel enta˜o A2 sempre sera´ invers´ıvel.
(m) Se as matrizes An×n e Bn×n sa˜o invers´ıveis enta˜o A+B tambe´m e´ invers´ıvel.
(n) Seja A invers´ıvel, enta˜o se AB = AC tem-se B = C.
(o) Seja A uma matriz quadrada tal que I − A e´ invers´ıvel enta˜o A(I − A)−1 =
(I − A)−1A.
44. Suponha que A e B sa˜o matrizes quadradas e que AB = 0. Se B e´ invers´ıvel calcule
a matriz A.
45. As operac¸o˜es elementares
op1. L2 → L2 − 2L1
op2. L3 → L3 − 4L1
op3. L3 → L3 + L2
op4. L3 → −L3
op5. L2 → L2 + L3
op6. L1 → L1 − 2L3
praticadas na ordem em que esta˜o escritas deixam a matriz A3×3 equivalente por
linhas a` matriz identidade. Determine as matrizes A e A−1.
46. Explique, utilizando os teoremas vistos em sala, o procedimento pra´tico para a
determinac¸a˜o da matriz inversa, isto e´, [A
... I] escalonado se torna [I
... A−1].
47. Se A−1 =

1 3 0
0 1 1
1 −1 4
 e B−1 =

2 1 1
0 0 −2
1 1 −1
. Calcule (AB)−1.
48. Dada a matriz A =

0 1 2
1 2 1
−1 3 8
, resolva a equac¸a˜o A−1.X.AT = A, sem substi-
tuir X por uma matriz gene´rica.
34
49. Resolva as seguintes equac¸o˜es matriciais, sendo A invers´ıvel:
(a) AX = B
(b) XA = B
(c) X−1A = B
(d) AX−1 = B
(e) AXB = BA
(f) (AX)T = B
(g) (AX)−1 = B
(h) ((AX)−1B)T = A
(i) AX = AT + I
50. Mostre que a inversa deA =
 cos(x) sen(x)
−sen(x) cos(x)
 e´A−1 =
 cos(x) −sen(x)
sen(x) cos(x)
.
51. Resolva, novamente, os exerc´ıcios 39, 40, 41, 42, 47 e 48 utilizando o Octave.
35
Cap´ıtulo 2
Determinantes
2.1 Definic¸o˜es
Definic¸a˜o: Seja S = {1, 2, 3, . . . , n} o conjunto de todos os nu´meros inteiros de 1
a n, dispostos em ordem crescente. Uma outra ordem j1, j2, . . . , jn dos elementos de S
e´ chamada uma permutac¸a˜o de S.
Definic¸a˜o: Uma permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jn de Sn = 1, 2, 3, . . . , n tem uma inversa˜o
se um inteiro jr precede um inteiro menor js. Uma permutac¸a˜o e´ denominada par se o
nu´mero total de inverso˜es e´ par. Uma permutac¸a˜o e´ denominada ı´mpar se o nu´mero total
de inverso˜es e´ ı´mpar.
Exemplo 1: Seja S4 = {1, 2, 3, 4}. A permutac¸a˜o (4, 1, 3, 2), que representaremos
por 4132, tem 4 inverso˜es: o 4 antes do 1, o 4 antes do 3, o 4 antes do 2, o 3 antes do 2.
Portanto, a permutac¸a˜o 4132 de S4 e´ uma permutac¸a˜o par, pois tem um nu´mero par de
inverso˜es.
Exemplo 2: Seja S2 = {1, 2}. A permutac¸a˜o 12 na˜o tem nenhuma inversa˜o. Logo,
e´ uma permutac¸a˜o par. Ja´ a permutac¸a˜o 21 e´ uma permutac¸a˜o ı´mpar, pois tem apenas
uma inversa˜o, o 2 antes do 1.
Definic¸a˜o: Seja Am×m uma matriz quadrada, define-se como determinante de A, de-
36
notado por det(A) ou |A|, como det(A) =∑(±)a1j1 .a2j2 .a3j3 . . . amjm , onde o somato´rio
e´ tomado sobre todas as permutac¸o˜es j1, j2, . . . , jm do conjunto Sm = 1, 2, 3, . . . , m. O
sinal do termo correspondente a` permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jm e´ + se ela for par e sera´ − se
for ı´mpar.
Pode-se constatar que cada termo do det(Anxn) e´ um produto de n elementos de A,
contento exatamente um elemento de cada linha e um elemento de cada coluna. Os ı´ndices
relativos a`s linhas esta˜o na sua ordem natural (1, 2, 3, . . . , n), enquanto que os ı´ndices
relativos a`s colunas esta˜o na ordem j1, j2, . . . , jn . Como a permutac¸a˜o j1, j2, . . . , jn
consiste nos nu´meros de 1 a n em uma ordem diferente da usual, ela na˜o tem repetic¸a˜o.
Assim, o det(A) tem n! termos.
Exemplo: Calcule, usando a definic¸a˜o, o determinante da matriz A =

a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

Pela definic¸a˜o de determinante temos:
det(A) =
∑
(±)a1j1 .a2j2 .a3j3
Como S3 = 1, 2, 3, enta˜o as permutac¸o˜es sa˜o 123, 132, 213, 231, 312, 321 com,
respectivamente, 0, 1, 1, 2, 2, 3 inverso˜es. Assim,
det(A) = a11a22a33 − a11a23a32 − a12a21a33 + a12a23a31 + a13a21a32 − a13a22a31
2.2 Propriedades
(i) det(AT ) = det(A)
(ii) Se B e´ uma matriz obtida permutando-se duas linhas (ou duas colunas) de A, enta˜o
.det(B) = −det(A),
(iii) Se A possui duas linhas ou duas colunas iguais ou, ainda, se A possui uma linha ou
uma coluna nula, enta˜o det(A) = 0.
37
(iv) Se Be´ uma matriz obtida multiplicando-se uma linha (ou coluna) de A por um
nu´mero real k, enta˜o det(B) = kdet(A). Consequentemente, det(kB) = kndet(A)
se An×n.
(v) Se substituirmos uma linha r (ou coluna r) pela soma dos elementos de r com os corre-
spondentes elementos de uma linha s (ou coluna s) multiplicada por uma constante
k na˜o nula, com r 6= s, obtendo-se assim uma matriz B, enta˜o det(B) = det(A).
(vi) Se A e´ uma matriz triangular superior ou inferior, enta˜o det(A) = a11.a22. . . . .ann,
isto e´, o determinante de A e´ igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
(vii) det(AB) = det(A).det(B).
(viii) det(A−1) =
1
det(A)
, se A e´ invers´ıvel.
(ix) det(λA) = λndet(A), onde A tem ordem n× n.
2.3 Desenvolvimento por Laplace
Seja Am×m uma matriz quadrada enta˜o:
det(A) =
m∑
j=1
aij(−1)i+jdet(Aij) ,
onde det(Aij) e´ o determinante da submatriz Aij obtida a partir de A suprimindo-se
a i-e´sima linha e a j-e´sima coluna.
Exemplo. Calcule o determinante da matriz A =

3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2

det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
38
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
−1 0 2 −1
3 2 1 2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ L3 → L3 + 2L1L4 → L4 + L1
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 −1 2
1 1 0 1
5 2 0 3
6 3 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
31 −1 2
1 1 0 1
5 2 0 3
6 3 0 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) = (−1)(−1)1+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 1 1
5 2 3
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + (0)(−1)
2+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
5 2 3
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ + 0(−1)
3+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
1 1 1
6 3 4
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ +
0(−1)4+3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
3 1 2
1 1 1
5 2 3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
det(A) = (−1)(8 + 15 + 18− 12− 9− 20)
det(A) = 0
39
2.4 Exec´ıcios
1. Quantas inverso˜es de 1, 2, 3, 4, 5 existem nos conjuntos:
(a) 3, 5, 4, 1, 2
(b) 2, 1, 4, 3, 5
(c) 5, 4, 3, 2, 1
2. Calcule o valor do determinante da matriz A =

1 2 3
−1 1 −1
−1 4 1
 pela definic¸a˜o.
Depois confirme o resultado utilizando a regra de Sarrus e o Octave.
3. Dadas as matrizes A =
 1 2
1 0
 e B =
 3 −1
0 1
, calcule:
(a) det(A) + det(B)
(b) det(A+B)
4. Sejam A e B matrizes de ordem n×n. Se a afirmac¸a˜o for verdadeira justifique, caso
falsa deˆ um contra-exemplo.
(a) det(AB) = det(BA)
(b) det(AT ) = det(A)
(c) det(2A) = 2det(A)
(d) det(A2) = (det(A))2
(e) Se det(A) = 1 enta˜o A−1 = A
(f) det(ATBT ) = det(A).det(BT ).
(g) Se A = A−1 enta˜o det(A) e´ somente igual a 1.
5. Calcule o determinante das seguintes matrizes:
(a) A =

3 −1 5 0
0 2 0 1
2 0 −1 3
1 1 2 0

40
(b) B =

i 3 2 −1
3 −i 1 i
2 1 −1 0
−i i 0 1

(c) C =

1 0 0 0 0
3 −2 0 0 0
2 1 −1 0 0
−2 4 0 1 0
−3 5 8 −4 2

6. Qual o valor do determinante de uma matriz ortogonal A?
7. Sendo A =

1 2 −1
1 0 1
4 −4 5
 determine os valores λ tais que det(A− λI) = 0.
41
Cap´ıtulo 3
Sistemas de equac¸o˜es lineares
3.1 Conceitos
Um sistema de m equac¸o˜es lineares com n inco´gnitas x1, x2, · · · , xn e com coeficientes
aij e termos independentes bk, definidos sobre um corpo F e´ escrito de seguinte forma:
S :

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + · · · + a3nxn = b3
· · ·
am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · · + amnxn = bm
Sistemas lineares e matrizes
Se no sistema S anterior fizermos Am×n = [aij], XT = [x1, x2, · · · , xn] e bT =
[b1, b2, · · · , bm] teremos a forma matricial:
Ax = b
Quando a matriz b = 0 o sistema sera´ chamado de sistema linear homogeˆneo.
Soluc¸a˜o de um sistema linear
Chama-se soluc¸a˜o de um sistema linear S a uma matriz x que verifique simultanea-
42
mente todas as equac¸o˜es de S : Ax = b. Conceitua-se que resolver um sistema linear e´
determinar todas as suas soluc¸o˜es, enquanto que discutir um sistema e´ discutir sob quais
condic¸o˜es este sistema tera´ ou na˜o soluc¸o˜es.
Equivaleˆncia de sistemas lineares
Dois sistemas lineares S1 e S2 sera˜o chamados de equivalentes se e somente se possu´ırem
as mesmas soluc¸o˜es, ou seja, toda soluc¸a˜o de S1 tambe´m e´ soluc¸a˜o de S2 e vise-versa.
Assim torna-se claro que para determinarmos a soluc¸a˜o de um sistema linear S deveremos
encontrar um sistema S1 equivalente a S mas que possua uma soluc¸a˜o mais vis´ıvel. Como
por exemplo:
S :
 2x + y = 9−2x + 2y = 0 e S1 :
 2x + y = 9+ 3y = 9
Veja que no sistema S1 a soluc¸a˜o e´ facilmente encontrada, x = y = 3.
Teorema: Se as matrizes [A
...B] e [A1
...B1] forem equivalentes por linhas enta˜o os siste-
mas A1x = B1 e Ax = B sera˜o equivalentes.
Posto
Chama-se posto de uma matriz Am×n, denotado por p(A), ao nu´mero de linhas na˜o
nulas de uma matriz escalonada equivalente por linhas a A.
Nulidade
Chama-se nulidade de uma matriz Am×n a n− p(A).
Teorema:
Dado um sistema de equac¸o˜es lineares Ax = b, com Am×n.
(i) Se p(Ab) > p(A) o sistema sera´ incompat´ıvel.
(ii) Se p(Ab) = p(A) < n o sistema sera´ poss´ıvel e indeterminado, apresentando mais de
uma soluc¸a˜o.
(iii) Se p(Ab) = p(A) = n o sistema sera´ poss´ıvel e determinado, apresentando uma u´nica
soluc¸a˜o.
43
Exemplos
1. Resolver os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
a)

x + 2y − 3z = −3
2x − y + z = 3
−x − y − z = −4
2x − 3z = −4
1 2 −3 −3
2 −1 1 3
−1 −1 −1 −4
2 0 −3 −4


1 2 −3 −3
2 −1 1 3
−1 −1 −1 −4
2 0 −3 −4

L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1
L4 → L4 − 2L1
1 2 −3 −3
0 −5 7 9
0 1 −4 −7
0 −4 3 2

L2 ↔ L3

1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 −5 7 9
0 −4 3 2
 L3 → L3 + 5L2
L4 → L4 + 4L2
1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 0 −13 −26
0 0 −13 −26

L4 → L4 − L3
44

1 2 −3 −3
0 1 −4 −7
0 0 13 26
0 0 0 0

⇒ x+ 2× 1− 3× 2 = −3⇒x = 1
⇒y − 4× 2 = −7⇒ y = 1
⇒13z = 26⇒z = 2
b)

x + 2y − 3z + w = −3
2x − y + z − 2w = 3
x − 8y + 11z − 7w = 9
1 2 −3 1 −3
2 −1 1 −2 3
1 −8 11 −7 9


1 2 −3 1 −3
2 −1 1 −2 3
1 −8 11 −7 9
 L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 − L1
1 2 −3 1 −3
0 −5 7 −4 9
0 −10 14 −8 12

L3 → L3 − 2L2

1 2 −3 1 −3
0 −5 7 −4 9
0 0 0 0 −6
 ⇒ 0w = −6⇒ Sistema incompat´ıvel
45
c)

3x + 2y − z − w = −3
2x − y + z − 2w = 3
−x − 3y + 2z − w = 6
3 2 −1 −1 −3
2 −1 1 −2 3
−1 −3 2 −1 6


3 2 −1 −1 −3
2 −1 1 −2 3
−1 −3 2 −1 6
 L2 → L2 − L1

3 2 −1 −1 −3
−1 −3 2 −1 6
−1 −3 2 −1 6

L3 → L3 − L2
3 2 −1 −1 −3
−1 −3 2 −1 6
0 0 0 0 0
 L2 → 3L2 + L1

3 2 −1 −1 −3
0 −7 5 −4 15
0 0 0 0 0
 ⇒ −7y + 5z − 4w = 15⇒ y = 5z − 4w − 157
3x+ 2y − z − w = −3 ⇒ 3x+ 25z − 4w − 15
7
− z − w = −3 ⇒ x = −z + 5w + 3
7
2. Discutir os seguintes sistemas de equac¸o˜es lineares:
a)

x − y − z = 1
2x − y + bz = 3
−x − y − z = a
1 −1 −1 1
2 −1 b 3
−1 −1 −1 a

46

1 −1 −1 1
2 −1 b 3
−1 −1 −1 a
 L2 → L2 − 2L1
L3 → L3 + L1
1 −1 −1 1
0 1 b+ 2 1
0 −2 −2 a+ 1

L3 → L3 + 2L2
1 −1 −1 1
0 1 b+ 2 1
0 0 2b+ 2 a+ 3

⇒ (2b+ 2)z = a+ 3
• Sistema poss´ıvel e determinado: 2b+ 2 6= 0 ⇒ b 6= −1
• Sistema poss´ıvel e indeterminado: 2b+ 2 = 0 e a+ 3 = 0 ⇒ b = −1 e a = −3
• Sistema incompat´ıvel: 2b+ 2 = 0 e a+ 3 6= 0 ⇒ b = −1 e a 6= −3
b)

x + y + a2z = 1
bx + y + abz = 1
b2x + by − a3z = ab
1 1 a2 1
b 1 ab 1
b2 b −a3 ab


1 1 a2 1
b 1 ab 1
b2 b −a3 ab
 L2 → L2 − bL1
L3 → L3 − bL2
1 1 a2 1
0 1− b ab− a2b 1− b
0 0 −a3 − ab2 ab− b
 ⇒

1 1 a2 1
0 1− b ab(1− a) 1− b
0 0 −a(a2 + b2) b(a− 1)

• Sistema poss´ıvel e indeterminado: −a(a2 + b2) = 0 e b(a − 1) = 0 ou 1 − b = 0 e
ab(1 − a) = 0 e 1 − b = 0 ⇒ b = 1, isto e´, a = 0 e b = 0 ou a = b = 1 ou a = 0 e
b = 1.
47
• Sistema incompat´ıvel: −a(a2 + b2) = 0 e b(a− 1) 6= 0 ou 1− b = 0 e ab(1− a) = 0
e 1− b 6= 0 ⇒ b 6= 1, isto e´, a = 0 e b 6= 0.
• Sistema poss´ıvel e determinado: Nos casos contra´rios.
3.2 Exerc´ıcios
1. Determine todas as soluc¸o˜es, se existirem, dos seguintes sistemas de equac¸o˜es linea-
res.
a)

x + 2y + 3z = 9
2x − y + z = 8
3x − z = 3
b)

x + y + 2z − 5t = 3
2x + 5y − z − 9t = −3
2x + y − z + 3t = −11
x − 3y + 2z + 7t = −5
c)

x + 2y + 3z + 4w = 5
x + 3y − 5z + 7w = 11
x − z − 2w = −6
d)

x + 2y + 2z = 0
−x + 3y + 2z = 0
2x + y − 2z = 0
e)

x + 2y + z + w = 0
x + w = 0
x + y + z = 0
f)
 x + 2y = 0−x − 2y = 0
g)
 1 1 1
2 5 −2
 .

x
y
z
 =
 4
3

h)

1 3 2 3 −7
2 6 1 −2 5
1 3 −1 0 2
 .

x1
x2
x3
x4
x5

=

14
−2
−1

2. Resolva os sistemas anteriores usando o comando \ do Octave.
3. Resolva os sistemas anteriores usando o comando rref do Octave.
484. Resolva por escalonamento e tambe´m com o Octave o sistema
x + = 1
+ 0.001y = 0.001
+ 0.0001z = 0.0001
x + 0.001y + 0.0001z = 1.0011
5. No exerc´ıcio 3 anterior substitua a matriz de termos independentes por b =

1.01
0.011
−0.0099
1.0021

e resolva novamente por escalonamento e tambe´m pelo Octave. Compare as soluc¸o˜es.
O que sera´ que aconteceu com o software?
6. Sabe-se que uma alimentac¸a˜o dia´ria equilibrada em vitaminas deve constar de 170
unidades de vitamina A, 180 unidades de vitamina B, 140 unidades de vitamina
C, 180 unidades de vitamina D e 350unidades de vitamina E. Com o objetivo de
descobris como devera´ ser uma refeic¸a˜o equilibrada, foram estudados 5 alimentos.
Fixada a mesma quantidade (1g) de cada alimento, determinou-se que:
i) O elemento I tem 1 unidade de vitamina A, 10 unidades de vitamina B, 1 unidade
de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
ii) O elemento II tem 9 unidade de vitamina A, 1 unidades de vitamina B, 0 unidade
de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 1 unidade de vitamina E.
iii) O elemento III tem 2 unidades de vitamina A, 2 unidades de vitamina B, 5
unidades de vitamina C, 1 unidade de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
iv) O elemento IV tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1
unidade de vitamina C, 2 unidades de vitamina D e 13 unidades de vitamina
E.
v) O elemento V tem 1 unidade de vitamina A, 1 unidade de vitamina B, 1 unidade
de vitamina C, 9 unidades de vitamina D e 2 unidades de vitamina E.
Quantos gramas de cada um dos alimentos I, II, III, IV e V devemos ingerir para
que nossa alimentac¸a˜o seja equilibrada?
49
7. Discutir os seguintes sistemas:
a)

ax + y − az = 0
ax + y − z = 2− a
x + ay − z = −a
b)

x + y + z = 1
x + ay + z = 1
x + y + az = 1
c)

ax + 2y = 6
3x − y = −2
x + y = 0
d)

x + ay − z = a
x − y + az = −a2
ax + y + z = ab
f)

x − 4y + a2z = a2
2x + 2y − 2az = ab
4x − y + 4z = b2
g)

x + y − z = 1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
8. Resolva o sistema na˜o linear

2sen(α) + cos(β) = 1
7sen(α) + 6cos(β) − tg(γ) = 1
4sen(α) + 4cos(β) − tg(γ) = 0
, para os
aˆngulos inco´gnitos α, β e γ, em que 0 ≤ α ≤ 2pi, 0 ≤ β ≤ 2pi e 0 ≤ γ ≤ pi.
9. Determine o polinoˆmio p(x) = ax3 + bx2 + cx + d tal que p(0) = −3, p(1) = −5,
p(2) = −5 e p(3) = 9
10. Sejam U e V matrizes-colunas soluc¸o˜es do sistema linear homogeˆneo Ax = 0.
(a) Mostre que U + V e´ uma soluc¸a˜o
(b) Mostre que U − V e´ uma soluc¸a˜o
(c) Mostre que rU e´ uma soluc¸a˜o qualquer que seja o escalar r.
(d) Mostre que rU + sV e´ uma soluc¸a˜o quaisquer que sejam os escalares r e s.
(e) Deˆ exemplos nume´ricos para ilustrar este exerc´ıcio
11. Dada a matriz
 a b
c d
. Mostre que A e´ equivalente por linhas a I2 se e somente
se ad− bc 6= 0.
12. Dada a matriz A =

1 0 5
1 1 1
0 1 −4
. Determine a soluc¸a˜o dos sistemas (A+4I)X = 0
50
e (A− 2I)X = 0.
13. Considere Am×n e Bm×1 6= 0. Mostre que se X1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema AX = B e
Y1 e´ uma soluc¸a˜o do sistema associado AX = 0 enta˜o X1+Y1 e´ soluc¸a˜o de AX = B.
14. Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz n ×m, com n < m. Mostre que AB
na˜o e´ invers´ıvel. (Dica: Mostre que o sistema (AB)X = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial,
isto e´, e´ indeterminado.)
51
Cap´ıtulo 4
Vetores
4.1 Conceitos
4.1.1 Segmento orientado
Dada uma reta r e dois pontos A e B pertencentes a esta reta. Ao se admitir um
sentido para o segmento AB tem-se um segmentos orientado AB, em que A e´ chamado
de origem e B de extremidade do segmento orientado, ou BA. Todo segmento orientado
e´ composto por treˆs ı´tens:
• Direc¸a˜o: E´ a mesma de sua reta suporte.
• Sentido: E´ definido da origem para a extremidade do segmento.
• Mo´dulo: E´ dado pela distaˆncia do ponto A ao ponto B e, sera´ representado por
|AB|.
4.1.2 Segmentos equipolentes
Dois segmentos orientados AB e CD sa˜o chamados de equipolentes se possuirem a
mesma deirec¸a˜o, o mesmo sentido e o mesmo mo´dulo e, sera˜o denotados por AB ∼ CD.
52
Propriedades
(i) Reflexiva: AB ∼ AB.
(ii) Sime´trica: Se AB ∼ CD enta˜o CD ∼ AB.
(iii) Transitiva: AB ∼ CD e CD ∼ EF enta˜o AB ∼ EF
(iv) Dados um segmento orientado AB e um ponto C, enta˜o existe um u´nico ponto D
tal que AB ∼ CD.
(v) Se AB ∼ CD enta˜o BA ∼ DC.
(vi) Se AB ∼ CD enta˜o AC ∼ BD.
(vii) Todos os segmentos nulos sa˜o equipolentes entre si.
4.1.3 Classe de equivaleˆncia
Pela propriedade (iv) anterior, existem infinitos segmentos orientados equipolentes
a um segmento
−→
AB dado. Este conjunto recebe o nome de classe de equivaleˆncia do
segmento orientado
−→
AB.
4.2 Vetor
O vetor determinado por um segmento orientado AB e´ o conjunto de todos os seg-
mentos orientados equipolentes a AB e, sera´ denotado por −→v , isto e´, vetor e´ um elemento
gene´rico de uma classe de equivaleˆncia. E´ importante concluir, a partir desta definic¸a˜o,
que um vetor −→v na˜o esta´ fixo em um determinado ponto do espac¸o ao qual ele pertence.
Assim, pode-se escrever:
A+−→v = B, ou ainda, −→v = B − A.1
Exemplos:
1Veja que este conceito e´ consequeˆncia da propriedade (iv)
53
1. Determine o vetor −→v = −→AB em que A(1, 2, 4) e B(0, 3, 1).
2. Determine o mo´dulo do vetor
−→
AB em que A(0, 5, 0) e B(2,−1, 3).
4.2.1 Vetor nulo
E´ um vetor que possui mo´dulo igual a zero.
4.2.2 Vetor unita´rio
Um vetor −→v e´ unita´rio se |−→v | = 1.
4.2.3 Versor
Dado um vetor −→v na˜o nulo, seu versor, denotado por vers−→v , e´ o vetor unita´rio de
mesma direc¸a˜o e mesmo sentido de −→v .
4.2.4 Vetor oposto
Dado um vetor
−→
AB seu vetor oposto sera´ dado por
−→
BA.
4.3 Operac¸o˜es com vetores
4.3.1 Adic¸a˜o de vetores
1. Definic¸a˜o: Dados dois vetores −→u e −→v chama-se vetor soma de −→u e −→v , denotado
por −→u +−→v , ao vetor obtido por meio do seguinte procedimento: Dado um ponto A
qualquer determine o ponto B tal que B = A+−→u e o ponto C tal que C = B+−→v .
nestas condic¸o˜es, tem-se −→u +−→v = C − A.
2. Propriedades Dados os vetores −→u , −→v e −→w , enta˜o:
54
• Associativa. (−→u +−→v ) +−→w = −→u + (−→v +−→w )
• Comutativa: −→u +−→v = −→v +−→u
• Elemento neutro. −→u +−→0 = −→u
• Elemento oposto: −→u + (−→−u) = −→0
• Lei do cancelamento: Se −→u +−→v = −→u +−→w enta˜o −→v = −→w
Prova da propriedade comutativa.
O
A
P
B
V2
V1
V2
V1
V1+V2
V2+V1
Figura 4.1: Propriedade comutativa da adic¸a˜o de vetores.
Como
 O +
−→v1 = A ⇒ −→v1 = A−O
A+−→v2 = P ⇒ −→v2 = P − A
Logo −→v1 +−→v2 = P −O. (1)
E como
 O +
−→v2 = B ⇒ −→v2 = B −O
B +−→v1 = P ⇒ −→v1 = P −B
vem −→v2 +−→v1 = P −O. (2)
Comparando (1) e (2) resulta −→v1 +−→v2 = −→v2 +−→v1
4.3.2 Multiplicac¸a˜o por escalar
1. Definic¸a˜o: Dados um vetor −→v e um escalar K. Chama-se multiplicac¸a˜o do escalar
K pelo vetor −→v , denotado por k−→v , ao vetor k−→v tal que:
• −→v e K−→v possuem a mesma direc¸a˜o.
• −→v e K−→v tera˜o mesmo sentido se K > 0 e tera˜o sentidos contra´rios se K < 0.
55
• |K−→v | = |K||−→v |
2. Propriedades: Dados os escalares α e β e os vetores −→u e −→v enta˜o:
• Propriedade comutativa. α−→v = −→v α
• Propriedade associativa em relac¸a˜o ao produto de escalares. α(β−→u ) = (αβ)−→u
• Propriedade distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de escalares. (α+ β)−→u = α−→u +
β−→u
• Propriedade distributiva em relac¸a˜o a` adic¸a˜o de vetores. α(−→u +−→v ) = α−→u +α−→v
4.3.3 Subtrac¸a˜o de vetores
1. Definic¸a˜o: Dados dois vetores −→u e −→v , define-se diferenc¸a entre −→u e −→v , nesta
ordem, denotado por −→u −−→v , ao vetor −→u −−→v = −→u + (−−→v ).4.3.4 Exemplos
1. Determine o mo´dulo da soma e o mo´dulo da diferenc¸a de dois vetores −→v e −→w que
formam um aˆngulo de 60o, |−→v | = 4 e |−→w | = 6.
O
A
V1
V1+V2
P
V1−V2
V2
−V2
Figura 4.2: Soma e subtrac¸a˜o de vetores.
56
A partir da lei dos cosenos a2 = b2+ c2− 2bccos(θ), e da figura 4.2 pode-se escrever:
|−→v +−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(180o − θ)
Assim |−→v +−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(120o).
Logo |−→v +−→w |2 = 16 + 36 + 24, assim |−→v +−→w | = √76.
Analogamente,
|−→v −−→w |2 = |−→v |2 + |−→w |2 − 2|−→v ||−→w |cos(θ)
Assim |−→v −−→w |2 = 42 + 62 − 2.4.6.cos(60o).
Logo |−→v −−→w |2 = 16 + 36− 24, assim |−→v −−→w | = √28.
2. Dados dois vetores perpendiculares de mo´dulo igual a 12 e 5, determine o mo´dulo
da soma e o mo´dulo da diferenc¸a desses vetores.
3. Demonstre, vetorialmente, que o segmento determinado pelos pontos me´dios de dois
lados de um triaˆngulo e´ paralelo ao terceiro lado e tem comprimento igual a` metade
deste terceiro lado. Do triaˆngulo ABC da figura 4.3 vem (B−A) = (C−A)+(B−C).
A B
C
M N
Figura 4.3: Exemplo 3.
(3)
Do triaˆngulo MNC da figura 4.3 vem (N −M) = (C −M) + (N − C). (4)
Mas (C − A) = 2(C − M) e (B − C) = 2(N − C), assim (3) fica (B − A) =
2(C −M) + 2(N − C)
(B − A) = 2(N −M) ⇒ −→AB = 2−−→MN
57
4.4 Expressa˜o cartesiana de um vetor
Considere um sistema cartesiano ortogonal de eixos Ox, Oy e Oz e os repectivos
versores destes eixos
−→
i ,
−→
j e
−→
k .
P
O j
k
C
v
i
A
x
y
B
z
Figura 4.4: Expressa˜o cartesiana de um vetor
Observando a figura 4.4 e considerando P (x, y, z) pode-se escrever:
−→v = −→OP = −→OA+−−→OB +−→OC
Mas como:
−→
OA = x
−→
i ,
−−→
OB = y
−→
j e
−→
OC = z
−→
k vem
−→v = −→OP = x−→i + y−→j + z−→k
que e´ a expressa˜o de um vetor −→v = (x, y, z).
4.4.1 Expressa˜o cartesiana do versor de um vetor
Dado o vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k pode-se escrever:
vers(−→v ) =
−→v
|−→v | =
x
−→
i + y
−→
j + z
−→
k√
x2 + y2 + z2
vers(−→v ) = x√
x2 + y2 + z2
−→
i +
y√
x2 + y2 + z2
−→
j +
z√
x2 + y2 + z2
−→
k
58
4.4.2 Operac¸o˜es com vetores na forma cartesiana
1. Adic¸a˜o: Dados os vetores −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e −→v2 = x2−→i + y2−→j + z2−→k tem-se
−→v1 +−→v2 = (x1 + x2)−→i + (y1 + y2)−→j + (z1 + z2)−→k .
2. Produto de um vetor por um escalar: Dado o vetor −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e o
escalar α tem-se α−→v1 = αx1−→i + αy1−→j + αz1−→k
4.4.3 Exerc´ıcios
1. Dados os vetores −→v1 = 2−→i − 3−→j +−→k e −→v2 = 2−→i +−→j − 2−→k determine:
a) −→v1 +−→v2
b) 2−→v1 + 3−→v2
2. Determine m, n e p tais que m−→v1 + n−→v2 + p−→v3 = O
3. Determine os escalares a e b tais que −→u = a−→v + b−→w , em que −→u = −−→i + −→j ,
−→v = −→i + 5−→j + 2−→k e −→w = −→i + 2−→j +−→k .
4. Determine o valor de a para que o vetor −→w = 3a−→i + a−→j +3−→k tenha mo´dulo igual
a 7.
4.5 Paralelismo de vetores
Dois vetores −→u e −→v sera˜o chamados de paralelos se possuirem a mesma direc¸a˜o, logo
pelo fato desses vetores possuirem a mesma reta suporte, eles ira˜o diferir ou pelo sentido
ou pelo mo´dulo, assim pode-se enunciar:
Teorema 4.1 Dois vetores −→u e −→v , na˜o nulos, sera˜o paralelos se e somente se existir um
escalar K tal que
−→u = K−→v
.
59
Corola´rio 4.2 Dois vetores −→v1 = x1−→i + y1−→j + z1−→k e −→v2 = x2−→i + y2−→j + z2−→k sera˜o
paralelos se somente se suas coordenadas homoˆnimas forem proporcionais, isto e´,
x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
2
4.5.1 Exerc´ıcios
1. Determine a e b para que os vetores −→u = −→i + 2−→j − 3−→k e −→v = a−→i + 4−→j + b−→k
sejam paralelos.
2. Dados os pontos A(3,−1, 2) e B(−3, 1,−1), determine:
a) O vetor
−→
AB
b) O vetor −→w paralelo a −→AB e tal que |−→w | = 14
3. Verifique se os pontos A(2,−1, 0), B(3, 1,−1) e C(3, 3,−2) sa˜o colineares.
4. Mostre que os pontos A(4, 0, 1), B(5, 1, 3), C(3, 2, 5) e D(2, 1, 3) sa˜o ve´rtices de um
paralelogramo.
5. Determine o ponto sime´trico de A(3, 1,−2) em relac¸a˜o ao ponto B(−1, 0,−3).
6. Os vetores −→v1 = 2−→i − 3−→j +6−→k e −→v2 = −−→i +2−→j − 2−→k esta˜o aplicados no mesmo
ponto A. Determine as coordenadas do vetor
−→
AB de mo´dulo 3
√
42 e cuja direc¸a˜o e´
a direc¸a˜o da bissetriz do aˆngulo formado pelos vetores −→v1 e −→v2 .
7. Demonstre que as diagonais de um paralelogramo se interseptam em seus pontos
me´dios.
8. O segmento que une os pontos me´dios dos lados na˜o paralelos de um trape´zio e´
paralelo a`s bases e igual a sua semi-soma.
9. Demonstre vetorialmente que o baricento G de um triaˆngulo ABC e´ dado por G =
A+B+C
3
.
2A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do numerador correspondente.
60
4.6 Coplanaridade de vetores
Treˆs vetores −→u , −→v e −→w sera˜o coplanares se possuirem imagens geome´tricas paralelas
ao mesmo plano.
av
vu
wbw
Figura 4.5: Coplanaridade de treˆs vetores
Teorema 4.3 Os vetores −→u , −→v e −→w sera˜o coplanares se e somente se existirem escalares
a e b tais que −→u = a−→v + b−→w 3 .
Corola´rio 4.4 Treˆs vetores −→u = (x1, y1, z1), −→v = (x2, y2, z2) e −→w = (x3, y3, z3) sera˜o
coplanares se e somente se ∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.
4.6.1 Exerc´ıcios
1. Verificar se os vetores −→u = (3,−1, 2), −→v = (1, 2, 1) e −→w = (−2, 3, 4) sa˜o coplanares.
2. Verifique se os pontos A(1, 1, 1), B(−2,−1,−3), C(0, 2,−2) e D(−1, 0,−2) sa˜o co-
planares.
3. Determine o valor de m para que os pontos A(m, 1, 2), B(2,−2,−3), C(5,−1, 1) e
D(3,−2,−2) sejam coplanares.
61
Figura 4.6: Cosenos diretores de um vetor
4.7 Cosenos diretores de um vetor
Chamam-se aˆngulos diretores de um vetor −→v = x−→i + y−→j + z−→k aos aˆngulos α, β e γ
que o vetor −→v forma com os vetores −→i , −→j e −→k , respectivamente.
Os cosenos dos aˆngulos diretores sa˜o chamados de cosenos diretores do vetor −→v , ou
seja, cos(α), cos(β) e cos(γ) e, sa˜o dados por:
cos(α) =
x
|−→v | , cos(β) =
y
|−→v | e cos(γ) =
z
|−→v | ,
e satisfazem a
cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1 .
4.7.1 Exerc´ıcios
1. Determine os cosenos diretores do vetor −→v = (−2, 3, 6).
2. Determinar o aˆngulo diretor α de um vetor −→v , sendo β = 45o e γ = 60o.
3. Prove que cos2(α) + cos2(β) + cos2(γ) = 1.
3Nesta expressa˜o (−→u = a−→v + b−→w ) diremos que −→u e´ uma combinac¸a˜o linear de −→v e −→w .
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4.8 Produto escalar ou interno
4.8.1 Definic¸a˜o
Dados dois vetores −→u e −→v , chama-se produto escalar ou interno de −→u e −→v , denotado
por −→u .−→v , ao nu´mero real
−→u .−→v = |−→u ||−→v |cos(θ) , (4.1)
em que 0 ≤ θ ≤ pi e´ o aˆngulo formado por −→u e −→v .
A partir da definic¸a˜o (4.1)) observa-se:
1. Sinal do produto escalar. Tem-se −→u .−→v > 0 quando cos(θ) > 0, ou seja, quando
o aˆngulo entre os dois vetores for agudo e, −→u .−→v < 0 quando cos(θ) < 0, isto e´,
quando o aˆngulo for obtuso.
2. Nulidade do produto escalar. O produto interno −→u .−→v sera´ nulo se:
(i) Um dos dois vetores for o vetor nulo.
(ii) O vetores forem ortogonais.
3. Mo´dulo de um vetor. Dado um vetor −→u , tem-se
−→u .−→u = |−→u ||−→u |cos(0)
−→u .−→u = |−→u |2
|−→u | =
√−→u .−→u
4.8.2 Interpretac¸a˜o geome´trica
Sejam dados os vetores −→u e −→v que formam um aˆngulo θ, conforme a figura 4.7.
Do triaˆngulo OP ′P da figura 4.7 pode-se escrever:
cos(θ) =
|−−→OP ′|
|−→v | ou |
−−→
OP ′| = |−→v |cos(θ) (4.2)
em que
−−→
OP ′ e´ o vetor projec¸a˜o de −→v sobre −→u ,
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Figura 4.7: Interpretac¸a˜o geome´trica do produto escalar.
mas da definic¸a˜o (4.1)) pode-se escrever |−→v |cos(θ) =
−→u .−→v
|−→u | ,
assim (4.2) fica:
|−−→OP ′| = |
−→u .−→v |
|−→u |
4.8.3 Propriedades
Dados os vetores −→v1 , −→v2 e −→v3 e os escalares a e b tem-se: