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Universidade Federal de Pernambuco Centro Acadêmico do Agreste Matemática I - Professor: Klebson Moura Terceira Lista de Exercícios 10 de outubro de 2017 Essa lista compreende questões referentes a otimização univariada e multivariada. As res- postas devem ser entregues até o dia 01/11/2017. Todas as anotações de aula, slides e listas podem ser encontradas em https://sites.google.com/view/klebsonmoura/ home. Questões 1. Encontre a derivada da função h definida ∀x, dada pela fórmula h(x) = 8x 3x2 + 4 , note que h(x)→ 0 quando x→ ±∞. Use a vari- ação de sinal de h′(x) para encontrar os pon- tos extremos de h(x) 2. Encontre os possíveis pontos extremos para g(x) = x3 lnx, com x ∈ (0,∞) 3. Encontre os possíveis pontos extremos para f(x) = e3x − 6ex, com x ∈ (−∞,∞) 4. Uma firma produz Q = 2 √ L unidades de uma commodity quando L unidade de tra- balho são utilizadas. Se o preço obtido por unidade vendida é de R$ 160,00, e o preço da unidade de trabalho é de R$ 40,00, qual valor de L maximiza os lucros pi(L)? 5. Encontre o máximo e o mínimo de cada uma das seguintes funções sobre o intervalo indicado: f(x) = −2x− 1, com x ∈ [0, 3]a) f(x) = x3 − 3x+ 8 com x ∈ [−1, 2]b) f(x) = x2 + 1 x , com x ∈ [1/2, 2]c) 6. Um clube planeja fretar um avião e cobrar aos membros 10% de comissão sobre o preço que eles pagam para comprar assentos. Esse preço é organizado pela companhia de via- gens e a tarifa padrão para cada passageiro é de R$ 800. Para cada pessoa adicional acima de 60, todos os viajantes (incluindo os pri- meiros 60) obtêm um desconto de RS$ 10. O avião pode levar no máximo 80 passageiros. Qual é a comissão quando há 61, 70, 80 e 60 + x passageiros? (dica: defina uma função) a) Encontre o número de passageiros que maximiza a comissão total obtida pelo clube b) 7. Suponha que R(Q) = 10Q − Q2, e ainda C(Q) = 500 + 2Q com Q ∈ [0, 10.000]. En- contre o valor de Q que maximiza os lucros. 1 8. Determine possíveis pontos extremos lo- cais e valores que a função assume nesses pontos para as seguintes funções: f(x) = x5 − 5x3a) f(x) = x3 + 3x2 − 2b) 9. Seja f definido para todo x por f(x) = x3 + 32x2 − 6x+ 10. Encontre os pontos estacionários de f e determine os intervalos onde f aumenta. a) Encontre o ponto de inflexão para f.b) 10. Seja f(x, y) = x+ 2y. Encontre f(0, 1), f(2,−1), f(a, a) e f(a+ h, b)− f(a, b) 11. Seja f(x, y) = xy2. Encontre f(0, 1), f(−1, 2), f(104, 10−2), f(a, a), f(a+h, b) e f(a, b+ k)− f(a, b) 12. Seja f(x, y) = 3x2− 2xy+ y3. Encontre f(1, 1), f(−2, 3), f(1/x, 1/y) e p = f(x+ h, y)− f(x, y) h q = f(x, y + k)− f(x, y) k 13. Seja f(x) = x2 + 2xy + y2. Responda: Encontre f(−1, 2), f(a, a) e f(a + h, b)− f(a, b) a) Mostre que f(2x, 2y) = 22f(x, y)b) Mostre que f(tx, ty) = t2f(x, y) para todo t c) 14. Seja F (K,L) = 10K1/2L1/3, para K ≥ 0 e L ≥ 0. Encon- tre F (1, 1), F (4, 27), F (9, 1/27), F (3, √ 2), F (100, 1000), e F (2K, 2L). 15. Encontre ∂z/∂x e ∂z/∂y para as seguin- tes funções: z = 2x+ 3ya) z = x2 + y3b) z = x3y4c) z = (x+ y)2d) z = exye) z = ex/yf) z = ln(x+ y)g) 16. Encontre f ′1(x, y), f ′2(x, y), and f ′′12(x, y) para as seguintes funções: f(x, y) = x7 − y7a) f(x, y) = x5lnyb) f(x, y) = (x2− 2y2)5c) 17. Encontre todas as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes fun- ções: z = x5 − 3x2y + y6a) z = (x− y) (x+ y) b) z = √ x2 + y2c) 18. Mostre que x2 + y2 = 6 é uma curva de nível de f(x, y) = √ x2 + y2 − x2 − y2 + 2 19. Mostre que x2 + y2 = 6 é uma curva de nível de f(x, y) = ex2e−y2 +x4−2x2y2+ y4 para todos os valores da constante c. 20. A demanda por moeda M nos Estados Unidos para o período 1929-1952 foi esti- mada por: M = 0, 14Y + 76.03(r − 2)−0,84 (r > 2) 2 onde Y é a renda nacional anual, e a taxa de juros é r% por ano. Encontre ∂M/∂Y e ∂M/∂r. 21. A demanda por um produto depende do preço p do produto e do preço q cobrado pelo um produtor concorrente. Isto é: D(p, q) = a− bpq−α onde a, b e α são constantes positivas com α < 1. Encontre D′p(p, q) eD ′ q(p, q) e ava- lie se os sinais das derivadas parciais fazem sentido de acordo com a teoria econômica. 22. Use a fórmula da inclinação de um curva de nível com F (x, y) = 2x2 + 6xy + y2 e c = 18 para ecnontrar y′ quando y é definida implicitamente por 2x2 + 6xy + y2 = 18 23. Use a fórmula da inclinação de um curva de nível para encontrar y′ para as seguintes curvas de nível. x2y = 1a) x− y + 3xy = 2b) y5 − x6 = 0c) 24. A função f , definida para todo (x, y) por f(x, y) = −2x2 − y2 + 4x+ 4y − 3 tem um máximo. Econtre os valor de x e y corres- pondentes a esse máximo. 25. A função f , definida para todo (x, y) por f(x, y) = x2 + y2 − 6x + 8y + 35 tem um ponto de mínimo. Encontre-o. 26. Para uma firma, os lucros anuais (em mi- lhões) são dados por: P (x, y) = −x2 − y2 + 22x+ 18y − 102 Onde x é a quantidade gasta em pesquisa (em milhões), e y é o gasto em propaganda (em milhões). Encontre os lucros quando (x, y) = (10; 8) e quando (x, y) = (12; 10) a) Encontre os únicos valores possíveis de x e y que podem maximizar os lu- cros, encontre o valor desse lucro. b) 27. Uma firma produz dois tipos diferentes (A e B) de uma commodity. O custo diário de produzir x unidades de A e y unidade de B é: C(x, y) = 2x2 − 4xy + 4y2 − 40x− 20y + 514 Suponha que a firma venda toda a produção a um preço de $24 por unidade de A e $12 por unidade de B. Encontre a produção diária de x e y que maximiza os lucros. 28. Use o método de Lagrange para encontrar a única solução possível para o problema: maxxy s.a x+ 3y = 24 29. Use o método de Lagrange para resolver o seguinte problema min−40Q1 +Q21 − 2Q1Q2 − 20Q2+ Q22 s.a Q1 +Q2 = 15 30. Resolva os seguinte problemas: min f(x, y) = x2 + y2 sujeito a g(x, y) = x+ 2y = 4 a) min f(x, y) = x2 + 2y2 sujeito a g(x, y) = x+ y = 12 b) min f(x, y) = x2 + 3xy + y2 sujeito a g(x, y) = x+ y = 100 c) 3
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