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Lista de Otimização - UFPE

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Universidade Federal de Pernambuco
Centro Acadêmico do Agreste
Matemática I - Professor: Klebson Moura
Terceira Lista de Exercícios
10 de outubro de 2017
Essa lista compreende questões referentes a otimização univariada e multivariada. As res-
postas devem ser entregues até o dia 01/11/2017. Todas as anotações de aula, slides e listas
podem ser encontradas em https://sites.google.com/view/klebsonmoura/
home.
Questões
1. Encontre a derivada da função h definida
∀x, dada pela fórmula h(x) = 8x
3x2 + 4
, note
que h(x)→ 0 quando x→ ±∞. Use a vari-
ação de sinal de h′(x) para encontrar os pon-
tos extremos de h(x)
2. Encontre os possíveis pontos extremos
para g(x) = x3 lnx, com x ∈ (0,∞)
3. Encontre os possíveis pontos extremos
para f(x) = e3x − 6ex, com x ∈ (−∞,∞)
4. Uma firma produz Q = 2
√
L unidades
de uma commodity quando L unidade de tra-
balho são utilizadas. Se o preço obtido por
unidade vendida é de R$ 160,00, e o preço
da unidade de trabalho é de R$ 40,00, qual
valor de L maximiza os lucros pi(L)?
5. Encontre o máximo e o mínimo de cada
uma das seguintes funções sobre o intervalo
indicado:
f(x) = −2x− 1, com x ∈ [0, 3]a)
f(x) = x3 − 3x+ 8 com x ∈ [−1, 2]b)
f(x) =
x2 + 1
x
, com x ∈ [1/2, 2]c)
6. Um clube planeja fretar um avião e cobrar
aos membros 10% de comissão sobre o preço
que eles pagam para comprar assentos. Esse
preço é organizado pela companhia de via-
gens e a tarifa padrão para cada passageiro é
de R$ 800. Para cada pessoa adicional acima
de 60, todos os viajantes (incluindo os pri-
meiros 60) obtêm um desconto de RS$ 10. O
avião pode levar no máximo 80 passageiros.
Qual é a comissão quando há 61, 70,
80 e 60 + x passageiros? (dica: defina
uma função)
a)
Encontre o número de passageiros que
maximiza a comissão total obtida pelo
clube
b)
7. Suponha que R(Q) = 10Q − Q2, e ainda
C(Q) = 500 + 2Q com Q ∈ [0, 10.000]. En-
contre o valor de Q que maximiza os lucros.
1
8. Determine possíveis pontos extremos lo-
cais e valores que a função assume nesses
pontos para as seguintes funções:
f(x) = x5 − 5x3a)
f(x) = x3 + 3x2 − 2b)
9. Seja f definido para todo x por f(x) =
x3 + 32x2 − 6x+ 10.
Encontre os pontos estacionários de
f e determine os intervalos onde f
aumenta.
a)
Encontre o ponto de inflexão para f.b)
10. Seja f(x, y) = x+ 2y. Encontre f(0, 1),
f(2,−1), f(a, a) e f(a+ h, b)− f(a, b)
11. Seja f(x, y) = xy2. Encontre f(0, 1),
f(−1, 2), f(104, 10−2), f(a, a), f(a+h, b) e
f(a, b+ k)− f(a, b)
12. Seja f(x, y) = 3x2− 2xy+ y3. Encontre
f(1, 1), f(−2, 3), f(1/x, 1/y) e
p =
f(x+ h, y)− f(x, y)
h
q =
f(x, y + k)− f(x, y)
k
13. Seja f(x) = x2 + 2xy + y2. Responda:
Encontre f(−1, 2), f(a, a) e f(a +
h, b)− f(a, b)
a)
Mostre que f(2x, 2y) = 22f(x, y)b)
Mostre que f(tx, ty) = t2f(x, y) para
todo t
c)
14. Seja F (K,L) = 10K1/2L1/3,
para K ≥ 0 e L ≥ 0. Encon-
tre F (1, 1), F (4, 27), F (9, 1/27), F (3,
√
2),
F (100, 1000), e F (2K, 2L).
15. Encontre ∂z/∂x e ∂z/∂y para as seguin-
tes funções:
z = 2x+ 3ya)
z = x2 + y3b)
z = x3y4c)
z = (x+ y)2d)
z = exye)
z = ex/yf)
z = ln(x+ y)g)
16. Encontre f ′1(x, y), f ′2(x, y), and f ′′12(x, y)
para as seguintes funções:
f(x, y) = x7 − y7a)
f(x, y) = x5lnyb)
f(x, y) = (x2− 2y2)5c)
17. Encontre todas as derivadas parciais de
primeira e segunda ordem das seguintes fun-
ções:
z = x5 − 3x2y + y6a)
z =
(x− y)
(x+ y)
b)
z =
√
x2 + y2c)
18. Mostre que x2 + y2 = 6 é uma curva de
nível de f(x, y) =
√
x2 + y2 − x2 − y2 + 2
19. Mostre que x2 + y2 = 6 é uma curva de
nível de f(x, y) = ex2e−y2 +x4−2x2y2+ y4
para todos os valores da constante c.
20. A demanda por moeda M nos Estados
Unidos para o período 1929-1952 foi esti-
mada por:
M = 0, 14Y + 76.03(r − 2)−0,84 (r > 2)
2
onde Y é a renda nacional anual, e a taxa
de juros é r% por ano. Encontre ∂M/∂Y e
∂M/∂r.
21. A demanda por um produto depende do
preço p do produto e do preço q cobrado pelo
um produtor concorrente. Isto é:
D(p, q) = a− bpq−α
onde a, b e α são constantes positivas com
α < 1. Encontre D′p(p, q) eD
′
q(p, q) e ava-
lie se os sinais das derivadas parciais fazem
sentido de acordo com a teoria econômica.
22. Use a fórmula da inclinação de um curva
de nível com F (x, y) = 2x2 + 6xy + y2 e
c = 18 para ecnontrar y′ quando y é definida
implicitamente por 2x2 + 6xy + y2 = 18
23. Use a fórmula da inclinação de um curva
de nível para encontrar y′ para as seguintes
curvas de nível.
x2y = 1a)
x− y + 3xy = 2b)
y5 − x6 = 0c)
24. A função f , definida para todo (x, y) por
f(x, y) = −2x2 − y2 + 4x+ 4y − 3 tem um
máximo. Econtre os valor de x e y corres-
pondentes a esse máximo.
25. A função f , definida para todo (x, y) por
f(x, y) = x2 + y2 − 6x + 8y + 35 tem um
ponto de mínimo. Encontre-o.
26. Para uma firma, os lucros anuais (em mi-
lhões) são dados por:
P (x, y) = −x2 − y2 + 22x+ 18y − 102
Onde x é a quantidade gasta em pesquisa (em
milhões), e y é o gasto em propaganda (em
milhões).
Encontre os lucros quando (x, y) =
(10; 8) e quando (x, y) = (12; 10)
a)
Encontre os únicos valores possíveis
de x e y que podem maximizar os lu-
cros, encontre o valor desse lucro.
b)
27. Uma firma produz dois tipos diferentes
(A e B) de uma commodity. O custo diário
de produzir x unidades de A e y unidade de
B é:
C(x, y) = 2x2 − 4xy + 4y2 − 40x− 20y + 514
Suponha que a firma venda toda a produção a
um preço de $24 por unidade de A e $12 por
unidade de B. Encontre a produção diária de
x e y que maximiza os lucros.
28. Use o método de Lagrange para encontrar
a única solução possível para o problema:
maxxy s.a x+ 3y = 24
29. Use o método de Lagrange para resolver
o seguinte problema
min−40Q1 +Q21 − 2Q1Q2 − 20Q2+ Q22
s.a Q1 +Q2 = 15
30. Resolva os seguinte problemas:
min f(x, y) = x2 + y2 sujeito a
g(x, y) = x+ 2y = 4
a)
min f(x, y) = x2 + 2y2 sujeito a
g(x, y) = x+ y = 12
b)
min f(x, y) = x2 + 3xy + y2 sujeito a
g(x, y) = x+ y = 100
c)
3

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