Aula 6 Analise de circuitos

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Análise de Circuitos Elétricos 
 
 
 
 
Aula 6 
 
 
Prof. Juliano de Mello Pedroso 
 
CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
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Conversa Inicial 
Olá, seja bem-vindo à sexta aula de Análise de Circuitos Elétricos! 
Nesta rota, primeiramente estudaremos a análise de circuitos através de 
fasores – os métodos de análise de circuitos são generalizáveis à análise fasorial 
do regime forçado sinusoidal. Depois, contextualizaremos o domínio da 
frequência, que é importante em sinais com frequência. 
Também estudaremos e classificaremos os filtros e ruídos existentes nos 
circuitos em CA. Na sequência, veremos aplicações práticas de circuitos em CA, 
onde será demonstrado como são importantes esses circuitos na vida prática. 
E, por último, aprenderemos a usar uma ferramenta matemática chamada 
“Transformada de Laplace” para ajudar nos cálculos de circuitos no domínio da 
frequência. 
Contextualizando 
Veremos alguns conceitos e leis importantes para a análise de 
circuitos. Fique atento! 
É possível fazer a análise de circuitos em corrente contínua ou em 
corrente alternada, em regime estacionário (após decorrido um longo intervalo 
de tempo desde a ligação do circuito) ou em regime transiente (comportamento 
que se segue à ligação do circuito e que desaparece com o tempo). Em qualquer 
dos casos, os conceitos de Nó, Ramo e Malha são aplicáveis. Para a análise dos 
circuitos em AC, no regime estacionário, é costume introduzir o conceito de 
fasores, o que evita a necessidade de resolver sistemas de equações 
diferenciais mesmo para circuitos simples. Na análise de circuitos são usadas as 
Leis de Kirchhoff para a Eletricidade. Elas são as chamadas Lei dos Nós e Lei 
das Malhas. 
 
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Pesquise 
Análise de Fasores 
Já sabemos que podemos representar sinais de tensão e de corrente 
alternadas senoidais através das seguintes expressões matemáticas no 
chamado domínio do tempo ou domínio temporal, pois são função do tempo: 
 
Essas expressões matemáticas para tensões e correntes, na forma 
trigonométrica do domínio do tempo, não permitem métodos práticos para a 
análise de circuitos elétricos, pois não são fáceis de serem algebricamente 
operadas. 
Exemplo 1: 
Sabemos que potência elétrica é o produto da tensão pela corrente. 
Obtenha a equação da potência elétrica multiplicando a tensão instantânea 
𝑣(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(100𝑡) pela corrente elétrica 𝑖(𝑡) = 2𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 60°). 
Resolvendo, temos: 
𝑝(𝑡) = 𝑣(𝑡). 𝑖(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(100𝑡) . 2𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 60°) 
A questão é: como multiplicar os dois senos de ângulos diferentes? A 
resposta está no uso das chamadas identidades trigonométricas. Para o produto 
de senos temos: 
𝑠𝑒𝑛 𝛼 . 𝑠𝑒𝑛 𝛽 = 
1
2
 . [cos(𝛼 − 𝛽) − cos (𝛼 + 𝛽) 
Assim: 
𝑝(𝑡) = 20 𝑠𝑒𝑛 (100𝑡). 𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 60°)
=
1
2
[cos (100𝑡 − 100𝑡 +
𝜋
3
) − cos (100𝑡 + 100𝑡 +
𝜋
3
)]
=
1
2
[cos (
𝜋
3
) − cos (200𝑡 +
𝜋
3
)] = 0,5 [0,5 − cos (200𝑡 +
𝜋
3
)]
= −0,25cos (200𝑡 +
𝜋
3
) 
 
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A potência num circuito não é uma operação tão simples e evidente. 
Exemplo 2: 
Sabemos que numa malha de um circuito elétrico devemos somar as 
tensões. Some os dois sinais de tensão na forma trigonométrica e obtenha as 
formas de onda, sendo 𝑣1(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(100𝑡) 𝑒 𝑣2(𝑡) = 15𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 60°). Para 
somarmos algebricamente tensões senoidais e obtermos a forma de onda 
resultante uma solução pouco prática e trabalhosa seria fazer essa operação de 
soma ponto a ponto das curvas senoidais, ao longo do eixo das abscissas, como 
mostra a figura 1 a seguir. 
 
Figura 1 – soma de duas tensões 
Outra solução seria operarmos os sinais buscando alguma identidade 
trigonométrica. De ambas as formas, concluímos que essa tarefa não é simples, 
nem rápida e nem evidente. 
𝑣1(𝑡) + 𝑣2(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(100𝑡) + 15𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 60°) 
Sinais senoidais de tensões e correntes para que possamos fazer uma 
análise rápida e correta de circuitos elétricos. Pudemos perceber que os 
parâmetros mais importantes dos sinais de tensão e de corrente alternadas são: 
 
 
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• Valor de Pico: Vp e Ip 
• Valor Eficaz: Vef e Ief 
• Velocidade Angular: ω 
• Frequência: f 
• Período: T 
• Fase Inicial: θ 
Sabemos que todo o sistema elétrico do Brasil opera a uma mesma 
frequência (60Hz). O que diferencia em algumas regiões são as tensões (127V; 
220V; por exemplo). Da mesma forma, no método que será apresentado, se 
todas as fontes de tensão e de corrente de um circuito possuírem a mesma 
frequência angular ω poderemos omitir ω na representação da tensão “v” e da 
corrente “i”. Seja, por exemplo, o circuito da figura 2, 
 
Figura 2 – fontes com a mesma velocidade angular 
Com três fontes de tensão alternadas operando com mesmas frequências 
angulares ω=200rad/s, onde: 
𝑉1(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(200𝑡 + 0°) 
𝑉2(𝑡) = 5,0𝑠𝑒𝑛(200𝑡 + 45°) 
𝑉1(𝑡) = 20𝑠𝑒𝑛(200𝑡 + 90°) 
Todas as três fontes apresentam a mesma frequência angular ω = 200 
rad/s. Dessa forma, ω não diferencia as tensões e pode ser omitida na 
representação de v1, v2 e v3. A diferenciação entre essas tensões deverá ser 
feita, então, em função da tensão de pico Vp (ou da tensão eficaz Vef) e do 
ângulo de fase inicial θ de cada fonte. Será apresentado neste tema, um método 
 
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para representação de sinais senoidais, de mesma frequência, que permita 
facilidade nas operações algébricas necessárias à análise e cálculo de circuitos 
de corrente alternada. Esse método é chamado Representação Fasorial de 
Sinais Senoidais. 
Fasor 
Do estudo da Física, sabemos que um ponto se deslocando em um 
movimento circular uniforme (movimento harmônico) pode ser representado 
através de suas projeções num plano cartesiano formando uma senoide, como 
mostra a figura 3. A recíproca também é verdadeira, ou seja, uma senoide pode 
ser representada pelas projeções de seus pontos como um ponto girando em um 
movimento circular uniforme. Um movimento harmônico giratório pode ser 
descrito por uma senoide e vice-versa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3 – Projeções no plano cartesiano 
Cada ponto de uma senoide pode ser representado por um vetor de 
módulo constante numa posição diferente, como indicado na figura 3. À medida 
que a senoide é descrita, o vetor assume posições diferentes. Quando a senoide 
completa um ciclo, o vetor descreve um giro completo e se encontra na mesma 
posição inicial novamente. 
 
 
 
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Esse vetor é, portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senoide foi descrito 
num dado intervalo de tempo (período T), o vetor deu uma volta completa no 
mesmo período da senoide. Assim, podemos concluir que para uma dada 
frequência f do sinal senoidal, o movimento harmônico (giratório) do vetor possui 
a mesma frequência e, portanto, o vetor gira no sentido anti-horário com a 
mesma frequência ou velocidade angular ω da senoide. 
Analisando a figura 3, podemos observar que o ponto C, em qualquer 
posição angular do seu movimento giratório, forma um vetor radial girante cujo 
módulo é constante e igual ao valor de pico (amplitude) da senoide. Então, uma 
senoide pode ser descrita por um vetor radial girante com módulo igual à sua 
amplitude (valorde pico) e mesma frequência angular ω. A cada ciclo 
completado da senoide, o vetor radial girante volta à sua posição inicial. 
Se observarmos a projeção do valor da senoide no instante inicial t=0 ou 
na posição angular inicial α=ωt=0°, o vetor radial girante está posicionado a um 
determinado ângulo em relação ao eixo x. Após um período T (360°), o valor 
estará na mesma posição de partida. Podemos observar que esse ângulo 
corresponde ao ângulo de fase inicial θ da senoide. A cada período ou ciclo 
completado, o vetor radial girante está sempre na mesma posição angular inicial 
θ. Se o ciclo da senoide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial θ0 é positivo. 
Se o ciclo da senoide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial θ0 é negativo, 
conforme ilustra a figura 4 a seguir. 
 
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Figura 4 – ângulo inicial do vetor girante a) adiantado b) atrasado 
Considerando que esse vetor radial: 
 • gira à mesma frequência angular ω constante da senoide de origem; 
• possui mesma frequência f e período que a senoide de origem; 
• a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao 
ângulo de fase inicial θ da senoide de origem; 
• possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senoide de 
origem. 
Então esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a 
senoide e, considerando uma dada frequência para defini-lo, basta o seu módulo 
e o seu ângulo de fase inicial. 
A esse vetor radial girante chamamos de Fasor – com frequência ω, com 
módulo igual ao valor de pico VP e com ângulo de fase inicial θ, que representa 
uma senoide de iguais parâmetros. Assim, os sinais senoidais de tensão e 
corrente também podem ser representados através de vetores girantes, 
chamados Fasor Tensão e Fasor Corrente, como indica a figura 4. Um fasor 
 
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pode ser entendido como um vetor preso em uma das suas extremidades e 
girando, como os ponteiros de um relógio, a uma velocidade angular ω dada em 
radianos por segundo. Se a extremidade presa do vetor girante for a origem de 
um plano cartesiano x-y, pode-se traçar as projeções x e y de cada instante do 
deslocamento de sua extremidade livre (ponta da seta) nesse plano, como 
mostra a figura 3. A projeção do fasor no eixo y é uma função seno que 
representa a amplitude instantânea da senoide resultante, como ilustra a figura 
5 a seguir. 
 
Figura 5 – diagrama fasorial 
A amplitude máxima (valor de pico) corresponderá ao módulo do fasor. 
Assim, a projeção y pode ser dada pela função senoidal: 
𝑦 = 𝑣(𝑡) = 𝑉𝑝 . 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 𝑜𝑢 𝑦 = 𝑣(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛𝛼 
E os valores instantâneos (amplitudes) podem ser calculados da seguinte 
forma: 
𝛼 = 0° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛0° = 0 
𝛼 = 30° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛30° = 0,5𝑉𝑝 
𝛼 = 60° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛60° = 0,866𝑉𝑝 
𝛼 = 90° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛90° = 1𝑉𝑝 
𝛼 = 120° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛120° = 0,866𝑉𝑝 
𝛼 = 150° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛150° = 0,5𝑉𝑝 
 
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𝛼 = 180° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛180° = 0 
𝛼 = 210° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛210° = −0,5𝑉𝑝 
𝛼 = 240° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝 . 𝑠𝑒𝑛240° = −0,866𝑉𝑝 
𝛼 = 270° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛270° = −1𝑉𝑝 
𝛼 = 300° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝 . 𝑠𝑒𝑛300° = −0,866𝑉𝑝 
𝛼 = 330° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛330° = −0,5𝑉𝑝 
𝛼 = 360° → 𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛360° = 0 
Os fasores são representados graficamente através de diagramas 
fasoriais, como mostra a figura 5. Se o diagrama fasorial representar apenas a 
posição do fasor no instante inicial, o seu módulo corresponde ao segmento OC 
na figura 5 e representa o valor de pico da senoide. O ângulo desse fasor 
corresponde ao ângulo de fase inicial θ da senoide. A projeção sobre o eixo y 
representa a amplitude da senoide no instante inicial t=0. Portanto, a função que 
esse fasor representa é: 
𝑉(𝛼) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝛼 ± 𝜃) 
Ou em função do tempo: 
𝑉(𝑡) = 𝑉𝑝. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 ± 𝜃) 
Exemplo: representar graficamente os sinais senoidais através do 
diagrama fasorial e de sua projeção senoidal: 
𝑣(𝑡) = 10𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 0°)𝑉 
𝑖(𝑡) = 5𝑠𝑒𝑛(100𝑡 + 45°)𝐴 
Solução: o fasor V correspondente ao sinal senoidal v(t) deve ser 
posicionado sobre o eixo x, pois o seu ângulo de fase inicial é θ=0°, e deve ter 
módulo igual a 10 unidades da escala adotada, como mostra a figura 6 a seguir. 
O fasor I correspondente ao sinal 9 senoidal i(t) deve ser posicionado a +45° a 
partir do eixo x e deve ter módulo de 5 unidades da escala adotada. Observe: 
 
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Figura 6 – exemplo1 
Operações Matemáticas com Fasores e Diagramas Fasoriais 
A representação fasorial é importante na análise de circuitos elétricos, 
pois permite realizar facilmente diversas operações matemáticas entre tensões, 
correntes e potências, sem usar a função do domínio do tempo (expressões 
trigonométricas) ou a representação gráfica da onda. A representação 
trigonométrica permite algumas operações matemáticas, usando equações 
chamadas identidades trigonométricas, mas dificultam os cálculos. 
Considerando que sinais senoidais de tensão e de corrente podem ser 
representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados 
por números complexos, podemos operá-los através da álgebra aplicável aos 
números complexos. Feito isso podemos converter novamente o fasor resultante 
para o domínio do tempo e encontrarmos novamente uma função senoidal. A 
figura 7 a seguir representa esse procedimento. 
Fasores podem ser operados através da álgebra dos números complexos. 
 
 
1 Um diagrama fasorial pode conter um ou vários Fasores (vários sinais senoidais) desde 
que sejam todos de mesma frequência. 
 
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Figura 7 – sequência para operações algébricas de sinais senoidais usando fasores2 
 
Figura 8 – transformação de polar em retangular e vice-versa 
O diagrama fasorial permite somente operações gráficas de adição e 
subtração. Elas podem ser realizadas pelo mesmo processo usado para soma e 
 
2 Na notação fasorial, a função seno é sempre a referência e a frequência não é 
representada. Portanto, a álgebra fasorial para sinais senoidais é aplicável somente para sinais 
de mesma frequência. A representação fasorial através de números complexos na forma 
retangular e na forma polar permite todas as operações matemáticas mais direta e facilmente e 
segue as mesmas regras para operações com números complexos estudados em matemática. 
É possível transformar números complexos da forma de polar para a forma retangular e vice-
versa. Por exemplo, podemos transformar um fasor tensão na forma polar para a forma 
retangular e vice-versa, como demonstrado na figura 8 (ver sequência). 
 
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subtração de vetores através do Método do Paralelogramo. Assim como para os 
vetores, podemos efetuar a soma de dois fasores de forma gráfica ou analítica, 
como mostra a figura 9 a seguir. 
 
Figura 9 – soma de fasores pelo método do paralelogramo 
Analiticamente, efetuamos a soma através da aplicação da equação 
trigonométrica: 
𝑉𝑅 = √𝑉1
2 + 𝑉2
2 + 2. 𝑉1. 𝑉2 . cos 𝛼 
O ângulo do fasor resultante pode ser dado por: 
𝜑 = 𝑡𝑎𝑛1 (
𝑉2𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑉1 + 𝑉2cos 𝛼
) 
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Para a videoaula deste tema, ver o material on-line. 
Domínio da Frequência 
Como vimos em capítulos anteriores, pode-se extrair um grande número 
de informações de sinais periódicos no domínio do tempo. 
 
 
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Para existir um mapeamento entre fenômenos analisados nos domínios 
do tempo e da frequência, o comportamento da grandeza no domínio do tempo 
deve ser periódico, ou seja, repetir-se em intervalos iguais a T, sendo o período 
de tempo que contém um ciclo do sinal de frequência f. 
Com isso se estabelece a regra básica de mapeamento entre os dois 
domínios: 𝑓 =
1
𝑇
 
Em análise de sinais, domínio da frequência designa a análise de funções 
matemáticas com respeito à frequência, em contraste com a análise no domínio 
do tempo. A representação no domínio da frequência pode também conter 
informações sobre deslocamentos de fase. 
Uma onda triangular no domínio do tempo (topo) e o gráfico de espectro 
correspondente (embaixo) pode ser visto na figura 1 a seguir. A frequência 
fundamental é de 220 Hz. Cada linha vertical indica a amplitude de uma das 
frequências componentes da onda. 
 
Figura 1 – representações no domínio da frequência e no domínio do tempo 
 
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O osciloscópio é uma ferramenta comumente usada para visualizar sinais 
do mundo real no domínio do tempo, enquanto um analisador de espectro é uma 
ferramenta usada para visualizar sinais no domínio da frequência. Falando não 
tecnicamente, um gráfico no domínio do tempo mostra como um sinal varia ao 
longo do tempo; em contraste, um gráfico no domínio da frequência, comumente 
chamado de espectro de frequências, mostra quanto do sinal reside em cada 
faixa de frequência. 
Representação no domínio do tempo 
 No domínio do tempo, é precisa definir explicitamente a função e 
os parâmetros que a caracterizam, por exemplo: 
𝑥(𝑡) = 𝐴. 𝑠𝑒𝑛(2𝜋𝑓𝑡 − 𝜑) 
 
Figura 2 – Representação de senoide no domínio do tempo 
Portanto, tem-se três parâmetros característicos (A, T, φ): 
A=amplitude 
𝑇 =
1
𝑓
=
2𝜋
𝜔
= 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 
φ= fase inicial 
No caso de sinal composto de k frequências, são 3k parâmetros além da 
função analítica (no caso a função seno) para caracterizar a sucessão de valores 
no domínio do tempo. 
 
 
 
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Representação no Domínio da Frequência 
No domínio da frequência, esse mesmo sinal é representado apenas 
pelos seus parâmetros, ficando subentendida a função temporal (senoidal) 
escolhida como referência na decomposição: 
𝑥(𝑓) → [𝐴, 𝑓, 𝜑] 
 
Figura 3 – representação de senoide no domínio da frequência 
Uma vez que a função periódica de referência já está implícita no domínio 
da frequência, a caracterização do sinal decomposto em termos dessa referência 
necessita apenas dos parâmetros resultantes da decomposição conforme a 
figura 3. 
Nem todas as funções definidas no domínio do tempo apresentam 
período. Por exemplo, a função: 
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠𝜔1𝑡 + 𝑐𝑜𝑠𝜔2𝑡 
Será periódica apenas se a relação entre as frequências angulares for um 
número racional: 
𝜔1
𝜔2
=
𝑚
𝑛
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑒 𝑚 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 
 
Dessa forma, a função a seguir (figura 4) não é periódica, embora esteja 
descrita no domínio do tempo e seja composta por dois sinais periódicos. 
𝑓(𝑡) = 𝑐𝑜𝑠10𝑡 + cos(10 + 𝜋) 𝑡 
 
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Figura 4 – Forma de onda não periódica 
Transformação do domínio do tempo para o domínio da frequência 
Uma função pode ser convertida do domínio do tempo para o da 
frequência através de um operador matemático chamado genericamente de 
transformada integral. Um exemplo é a transformada de Fourier, que 
decompõe uma função na soma de um (potencialmente infinito) número de 
componentes senoidais, produzindo um espectro de frequências. A 
transformada inversa correspondente converte esse espectro de volta para o 
domínio do tempo, ou seja, para a função original. Existem ainda transformadas 
que permitem a conversão para um domínio misto do tempo e da frequência ao 
mesmo tempo, como é o caso da transformada de wavelet. 
Ao aplicar a transformada de Fourier, passa-se do domínio do tempo para 
o domínio da frequência real; nesse domínio, a informação a respeito de 
deslocamentos de fase do sinal em função da frequência desaparece. Em 
contraste, ao aplicar a transformada de Laplace, passa-se ao domínio da 
frequência complexa, no qual a informação a respeito de deslocamentos de fase 
do sinal é preservada. Devido a isso, no domínio da frequência real, é possível 
prever o comportamento de um sistema apenas em regime estacionário; no 
domínio da frequência complexa, é possível prever o comportamento também 
em regime transitório. 
 
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Outra diferença entre as diversas transformadas é que algumas trabalham 
a partir do domínio do tempo contínuo; outras, a partir do tempo discreto. As 
primeiras são adequadas para a análise de sinais analógicos e, as últimas, para 
a análise de sinais digitais. São exemplos do primeiro tipo a transformada de 
Fourier e a transformada de Laplace citadas anteriormente; exemplos do 
segundo tipo são a transformada Z e a transformada discreta de Fourier. 
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Filtros e Ruídos 
O filtro é um circuito que permite a passagem de sinais apenas em 
determinadas frequências. Ele pode ser classificado em: 
• Filtro Passa-Baixas (F.P.B.) 
• Filtro Passa-Altas (F.P.A.) 
• Filtro Passa-Faixa (F.P.F.) 
• Filtro Rejeita-Faixa (F.R.F.) 
Os filtros são considerados passivos quando são formados apenas por 
dispositivos passivos, como resistores, capacitores e indutores. Outra 
característica dos filtros passivos é o fato de o ganho de tensão ser sempre 
menor ou igual a 1 (ou 0db), já que não possuem nenhum dispositivo ativo capaz 
de amplificar os sinais. 
 Filtro Passa-Baixas 
Um filtro passa-baixa (F.P.B) ideal tem uma curva de resposta em 
frequência como mostrado na figura 1. 
 
Figura 1 – curva de resposta em frequência do filtro passa-baixa ideal 
 
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Para as frequências abaixo das frequências de corte (fc), o ganho é 
igual a um, isto é, a tensão de saída é igual a tensão de entrada. Para 
frequências acima da frequência de corte, o ganho é zero, ou seja, a tensão de 
saída será nula. Porém, na prática, não é possível construir um filtro com um 
corte tão brusco na resposta em frequência. 
Filtro Passa-Baixas com Circuito RL 
O circuito RL série, como mostrado na figura 2, funciona como um filtro 
passa-baixa, pois nas baixas frequências, o indutor comporta-se como uma 
resistência baixa (XL<<R), fazendo com que a maior parte da tensão recaia 
sobre o resistor de saída. 
Já nas frequências altas, o indutor comporta-se como uma resistência alta 
(XL>>R), fazendo com que a tensão no resistor de saída seja muito pequena. 
 
Figura 2 – filtro passa-baixa com Circuitos RL 
Nesse circuito, a expressão da tensão Vs (tensão no resistor) em função 
da tensão de entrada VE é dada por: 
𝐴𝑣 = 
𝑉𝑠
𝑉𝐸
=
𝑅
𝑅 + 𝑗𝜔𝐿
 
Dividindo-se o numerador e o denominador por R, tem-se: 
𝐴𝑣 =
1
1 + 𝑗(
𝜔𝐿
𝑅 )
 
A expressão do ganho de tensão deste filtro pode ser apresentada em 
função de sua frequência de corte:CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 
 
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Como podemos observar, o ganho de tensão é um número complexo e, 
portanto, possui um módulo e fase. Assim, o ganho de tensão será representado 
genericamente por um número na forma Av=Av∠ θ°. 
A partir da expressão do módulo do ganho em função da frequência, pode-
se esboçar a curva de resposta em frequência AvXf. Desse filtro, considerando 
que: 
f=0 → Av=1, 
f=fc → 𝐴𝑣 =
1
√2
= 0,707 
ω→∞ Av→0 
 
Figura 4 – resposta em frequência do F.P.B (módulo) 
 
A frequência de corte é também conhecida como frequência de meia 
potência, pois é nessa frequência que a potência de saída é a metade da 
potência de entrada. 
A partir da expressão da fase do ganho em função da frequência, pode-
se esboçar o gráfico αXf, considerando que: 
f=0 → α= -arctg0 = 0° 
f=fc →α=-arctg 1 =-45° 
ω→∞ ⇒ α→-90° 
 
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Figura 5 – Resposta em frequência do F.P.B. (fase) 
A curva de resposta em frequência (módulo) desse filtro pode, também, 
ser dada em decibel (dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por: 
𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20. 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑣 
Assim: 
f=0 → 𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20. log 1 = 0𝑑𝐵 
f=fc→ 𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20. 𝑙𝑜𝑔
1
√2
= −3𝑑𝐵 
𝜔 = 10. 𝜔𝑐 ⇒ 𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20. 𝑙𝑜𝑔
1
√1 + (
10𝜔𝑐
𝜔𝑐
)2 
≅ 20. 𝑙𝑜𝑔
1
√100
= −20𝑑𝐵 
𝜔 = 100. 𝜔𝑐 ⇒ 𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20. 𝑙𝑜𝑔
1
√1 + (
100𝜔𝑐
𝜔𝑐
)2 
≅ 20. 𝑙𝑜𝑔
1
√1002
= −20𝑑𝐵 
Pode-se, então, esboçar a curva de resposta em frequência (módulo) 
Av(dB)xf. 
 
Figura 6 – resposta em frequência 
 
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Pelos resultados obtidos, percebe-se que a partir da frequência de corte 
fc, cada vez que a frequência aumenta de um fator igual a 10, o ganho diminui 
em 20dB. 
Diagrama de bode 
Uma forma simples e prática de representar a curva de resposta em 
frequência de um filtro é através do diagrama de Bode. Esse diagrama 
representa o módulo do ganho Av(dB) em função da frequência, fazendo-se a 
aproximação por trechos de retas (assíntotas). 
A figura 7 a seguir mostra o Diagrama de Bode do filtro passa-baixas 
analisado anteriormente. 
 
Figura 7 – Diagrama de Bode do F.P.B 
Desses gráficos, podemos concluir que: 
a) A escala do ganho de tensão é linear, mas a escala de frequência é 
logarítmica. 
b) Na frequência de corte, o ganho de tensão é de -3dB em relação ao 
patamar. 
c) Acima da frequência de corte, o ganho diminui à taxa de 20dB por década. 
d) Usando a aproximação de retas (diagrama de bode), o maior erro 
cometido é de 3dB na frequência de corte. 
Por exemplo, dado o circuito da figura 8, pede-se (clique nos botões): 
 
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23 
 
Figura 8 – Exemplo de Filtro passa baixa 
a. Frequência de corte em rd/s e em Hz: 
𝜔𝑐 =
𝑅
𝐿
=
1. 103
100. 10−3
=
104𝑟𝑑
𝑠
 
𝑓𝑐 =
𝜔𝑐
2𝜋
=
104
2𝜋
= 1592𝐻𝑧 
b. Expressão complexa do ganho: 
𝐴𝑣 =
1
1 + 𝑗 (
𝜔𝐿
𝑅 )
=
1
1 + 𝑗 (
𝜔. 0,1
103
)
=
1
1 + 𝑗
𝜔
104
 
c. Expressão do módulo do ganho: 
𝐴𝑣 =
1
√1 + (
𝜔
𝜔2
)
2 
 
=
1
√1 + (
𝜔
104
)
2
 
d. Esboçar o gráfico do módulo do ganho em dB em função da 
frequência: 
 
e. A frequência quando a diferença de fase entre a entrada e a saída é -
45°: 
𝛼 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜔
𝜔𝑐
 
 
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24 
−45° = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔
𝜔
104
 
𝑡𝑔45° =
𝜔
104
 
1 =
𝜔
104
 
𝜔 =
104𝑟𝑑
𝑠
= 𝜔𝑐 
Filtro Passa-Alta 
 Um filtro passa-alta (F.P.A) ideal tem uma curva de resposta em 
frequência como mostrado na figura 9 a seguir. 
 
Figura 9 – curva de resposta em frequência do F.P.A 
Para frequências abaixo da frequência de corte (fc), o ganho é zero, isto 
é, a tensão de saída é nula. Para frequências acima da frequência de corte, o 
ganho é igual a um, isto é, a tensão de saída é igual à tensão de entrada. 
Porém, na prática, não é possível construir um filtro com um corte tão 
brusco na resposta em frequência. 
Filtro Passa-Alta com Circuito RC 
O circuito RC série, como mostrado na figura 10 a seguir, funciona como 
um filtro passa-alta, pois nas baixas frequências, o capacitor comporta-se como 
uma resistência alta (Xc>>R), fazendo com que a tensão sobre o resistor de 
saída seja muito pequena. 
 
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25 
Já nas altas frequências, o capacitor comporta-se como uma resistência 
baixa (XC<<R), fazendo com que a tensão de saída seja muito alta. 
 
Figura 10 – filtro passa-alta com circuito RC 
 Nesse circuito, a expressão da tensão de saída Vs (tensão no 
resistor) em função da tensão de entrada VE é dada por: 
𝑉𝑠 =
𝑅
𝑅 − 𝑗𝑋𝑐
. 𝑉𝐸 
 Dessa forma, o ganho de tensão de entrada VE é dada por: 
𝐴𝑣 =
𝑉𝑠
𝑉𝐸
=
𝑅
𝑅 − 𝑗𝑋𝐶
=
𝑅
𝑅 +
𝑖
𝑗𝜔𝐶
 
Dividindo-se o numerador e o denominador por R e simplificando a 
expressão, tem-se: 
𝐴𝑣 =
1
1 − 𝑗 (
𝑅
𝜔. 𝑅. 𝐶)
 
A expressão do ganho de tensão desse filtro pode ser apresentada em 
função de sua frequência de corte: 
 
 
 
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26 
Como se pode observar, o ganho de tensão é um número complexo e, 
portanto, possui módulo e fase. Assim, o ganho de tensão será representado 
genericamente por um número complexo na forma Av=Av∠ α. 
As expressões do módulo e da fase do ganho de tensão em função da 
frequência são dadas por: 
 
Como se vê, essas expressões são iguais às do filtro passa-altas com 
circuito RL analisado anteriormente, com a ressalva de que as frequências de 
corte são calculadas de forma diferentes, pois elas dependem dos dispositivos 
utilizados nos filtros (RL ou RC). 
Dessa forma, o esboço das curvas de resposta em frequência (módulo: 
AVxf e fase: αxf ) desse filtro, tem o mesmo aspecto que as do filtro anterior, 
conforme a figura 11ª seguir. 
 
Figura 11 – resposta em frequência do F.P.A a) módulo; b) fase 
A curva de resposta em frequência (módulo) desse filtro pode, também, 
ser dada em decibel (dB), calculando-se o módulo do ganho de tensão por: 
𝐴𝑣(𝑑𝐵) = 20𝑙𝑜𝑔𝐴𝑣 
Pode-se, então, esboçar a curva de resposta em frequência (módulo) 
Av(dB)Xf, na forma normal (figura 12a) e como diagrama de bode (figura 12b). 
 
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27 
 
Figura 12 – resposta em frequência do F.P.A a) módulo em dB b) Diagrama de bode 
Por exemplo, projetar um filtro passa-alta com fc=200Hz: 
 
 Adotando-se C=0,1 uF, tem-se: 
𝑓𝑐 =
1
2𝜋. 𝑅. 𝐶
 ⇒ 𝑅 =
1
2𝜋. 𝐶. 𝑓
=
1
2𝜋. 0,1. 10−6. 200
= 8𝑘Ω 
Usando o valor comercial mais próximo R=8k2Ω, a frequência de corte 
sofrerá uma pequena alteração, porém insignificante face às tolerâncias dos 
dispositivos, como pode ser observado a seguir. 
Filtro Passa-Faixa 
Os filtros passa-faixa ou passa-banda (band-pass) são utilizados em 
diversos tipos de aplicações que envolvem a seleção de sinais de determinadas 
frequências. Eles podem ser usados em telecom, eletrônica médica, aplicações 
de consumo e industriais. Conforme mostra a figura 13, a seguir, os filtros passa-
faixa ou passa-banda, deixam passar os sinais que estão dentro de uma 
determinada faixa de frequências, rejeitando os demais. 
 
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28 
 
Figura 13 – resposta em frequência do filtro passa-faixa 
 
O B é de Bandwith (largura de banda),quanto menor o B mais sintonizado 
o filtro será. A principal qualidade de um filtro desse tipo é a sua seletividade, 
dada pelo fator de qualidade ou fator Q. Um fator Q elevado significa que o filtro 
é capaz de rejeitar sinais numa faixa bastante estreita. Esses filtros, quando 
operam numa faixa muito estreita de frequências, também podem ser 
denominados filtros sintonizados. 
As aplicações para tais filtros são as mais diversas, indo desde o 
reconhecimento de um sinal de uma única frequência em um sistema de controle 
remoto, até a seleção de uma faixa completa de sinais, por exemplo, num 
sistema de telefonia ou de telecomunicações. 
Um exemplo desse filtro está na figura 14. 
 
Figura 14 – filtro passa-faixa 
 
 
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29 
Filtro Rejeita-Faixa 
Um filtro Passivo rejeita-faixa é um circuito que atenua, “impede” a 
passagem de sinais de tensão e corrente com frequências situadas numa faixa 
intermediária, “permitindo” a passagem de sinais com frequências acima ou 
abaixo dessa faixa. Essa faixa intermediária é delimitada por uma frequência de 
corte inferior (ωCI) e uma frequência de corte superior (ωCS). 
Para sinais de frequências intermediárias, ou seja, acima da frequência 
de corte inferior e abaixo da frequência de corte superior do filtro, o ganho é nulo, 
portanto, o módulo do sinal de saída é totalmente atenuado (zero). Para sinais 
de frequências abaixo da frequência de corte inferior ou acima da frequência de 
corte superior, o ganho do filtro é unitário, ou seja, o módulo do sinal de saída é 
igual ao de entrada. Na prática, porém, não é possível obter a resposta em 
frequência de um Filtro Rejeita-Faixa Ideal, como a apresentada na figura 15 a 
seguir. 
 
Figura 15 – resposta em frequência de um filtro rejeita-faixa 
Um circuito RLC como o apresentado na figura 16, a seguir, pode 
comportar-se com um filtro passivo rejeita-faixa real. 
 
Figura 16 – circuito de um filtro rejeita-faixa série 
 
 
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30 
Ruídos 
Circuitos eletrônicos são suscetíveis a ruído de três formas principais: o 
ruído pode ser recebido com o sinal que se deseja tratar, o ruído pode ser gerado 
internamente no circuito ou ele se deve a uma interferência externa, devido a 
fatos naturais como raios ou a fontes artificiais como circuitos chaveados, 
motores, fontes de potência, entre outros. Para a análise completa do problema 
é necessário o uso das leis de Maxwell, porém é possível simplificar a análise do 
problema em muitos casos, empregando componentes passivos (R, L e C) para 
modelar a forma como a interferência se propaga. Essa aproximação é válida se 
considerarmos que todo o campo elétrico está dentro dos capacitores, os 
campos magnéticos estão concentrados nos indutores e as dimensões do 
circuito são muito menores que as dos comprimentos de onda em análise. 
Com essa aproximação é possível determinar as formas de propagação 
para os ruídos e interferências. Elas podem, então, ocorrer por acoplamento 
resistivo, indutivo ou capacitivo. O acoplamento resistivo ocorre quando circuitos 
ruidosos e não ruidosos estão interconectados por resistências comuns aos dois 
circuitos. Na verdade, este não é um problema meramente resistivo, pois as 
interconexões comuns aos dois circuitos são, na verdade, uma impedância 
complexa. O acoplamento capacitivo ocorre sempre que existirem dois 
condutores com campo elétrico entre eles, ao passo que o acoplamento indutivo 
existe sempre que indutâncias mútuas e espiras forem formadas nos circuitos. 
Essa análise nem sempre resulta em valores numéricos confiáveis, mas a 
compreensão dos fenômenos envolvidos pode ser mais facilmente alcançada e 
as técnicas de análise utilizadas em circuitos podem ser utilizadas livremente. 
 As fontes de ruído na rede de energia são a principal causa de danos em 
equipamentos eletrônicos pela sua capacidade de afetar principalmente 
dispositivos semicondutores. No entanto, para se evitar que componentes 
delicados sejam prejudicados, é preciso que se conte com recursos apropriados 
para sua eliminação, onde o uso desses dispositivos é determinado basicamente 
pela identificação das fontes de ruído. 
 
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31 
Os surtos e transientes consistem nas maiores causas de falhas em 
equipamentos eletrônicos sensíveis, tanto pelo fato de poderem queimar 
dispositivos eletrônicos sensíveis quanto por poderem induzir os equipamentos 
a um funcionamento errático. 
A utilização de filtros como os TVS (Transient Voltage Suppressors), filtros 
EMI, é uma das soluções que pode ser adotada em muitos casos, mas ela não 
é a única. A adoção da solução correta está diretamente ligada ao tipo de ruído 
que está causando problemas. 
Assim, para se escolher a solução a ser adotada, deve-se antes identificar 
a forma como o ruído (surto ou transiente) está se propagando até o receptor. 
Existem, então, as quatro formas básicas segundo as quais o ruído se propaga 
e que são mostradas na figura 17 a seguir. 
 
Figura 17 – tipos de propagação do ruído 
Conforme podemos ver, os ruídos podem se propagar por condução (a), 
radiação (b), condução e radiação (c) e radiação e condução (d). 
O tipo de solução a ser adotada dependerá do modo como o ruído se 
propaga, sendo os dispositivos que evitam os problemas instalados, tanto na 
fonte de ruídos quanto no receptor dos ruídos. Temos, então, as seguintes 
possibilidades: 
a) Condução – nesse caso podem ser colocados filtros EMI ou dispositivos 
TVS junto à fonte de ruído e também junto ao receptor. 
 
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32 
b) Quando o ruído é irradiado, a solução consiste em se dotar os pontos 
sensíveis de blindagens, quer estejam eles na fonte de ruído, quer 
estejam no receptor dos ruídos. 
c) Em situações onde o ruído é conduzido e depois irradiado, colocam-se 
filtros EMI ou dispositivos TVS na fonte produtora de ruído e dota-se o 
receptor de blindagens. 
d) No caso em que o ruído é irradiado e depois conduzido, a solução está 
na blindagem da fonte de ruído e na colocação de filtros EMI e dispositivos 
TVS no receptor. 
As principais fontes de transientes e surtos estão ligadas ao 
armazenamento de energia em certos dispositivos, a qual é liberada quando 
esses dispositivos são comutados. Isso ocorre principalmente com cargas 
indutivas, mas existem outras causas como as seguintes: curtos-circuitos, ESD, 
descargas atmosféricas (raios), flutuações da rede, abertura e fechamento de 
contatos, distúrbios acoplados via cabo. 
Um ponto crítico de entrada de ruídos em muitos equipamentos é o 
conector I/O que proporciona o interfaceamento. Esse é um ponto importante 
para se colocar o dispositivo de proteção. 
Mas existem as fontes de ruído na própria placa, as quais devem ser 
localizadas e nelas devem ser colocados os dispositivos que evitem a irradiação 
dos ruídos, ou ainda sua propagação até pontos sensíveis dos equipamentos. 
Pontos de geração de ruído são os circuitos comutadores de potência ou 
de lógica de alta velocidade, as fontes chaveadas, os circuitos de clock e, 
principalmente, os circuitos que acionam cargas de potência indutivas (relés, 
motores e solenoides). 
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33 
Aplicações Práticas de Circuitos em CA 
Elementos de circuitos, tais como resistores e capacitores, estão 
comercialmente disponíveis tanto na forma discreta quanto na formade circuitos 
integrados (CIs). Ao contrário dos capacitores e resistores, os indutores com 
indutância apreciável são difíceis de serem construídos em substratos de CIs. 
Portanto, os indutores normalmente são utilizados na forma discreta e 
geralmente são maiores e mais caros. Por essa razão, não são tão versáteis 
quanto os capacitores e resistores, sendo suas aplicações mais limitadas. 
Entretanto, existem diversas aplicações nas quais os indutores não possuem 
substitutos práticos. Eles são normalmente utilizados em relés. 
Um relé é um simples switch eletromecânico formado por um eletroímã e 
um conjunto de contatos. Os relés estão escondidos em todo tipo de dispositivos. 
Os primeiros computadores utilizavam relés para implementar funções 
booleanas. Podemos considerar o funcionamento dos Relés bem simples, eles 
trabalham da seguinte forma: quando uma corrente circula pela bobina, esta cria 
um campo magnético que atrai um ou uma série de contatos fechando ou abrindo 
circuitos. 
Ao cessar a corrente da bobina, o campo magnético também cessa, 
fazendo com que os contatos voltem para a posição original. Os relés podem ter 
diversas configurações quanto aos seus contatos: podem ter contatos NA, NF 
ou ambos, nesse caso, com um contato comum ou central (C). Os contatos NA 
(normalmente aberto) são os que estão abertos enquanto a bobina não está 
energizada e que fecham, quando a bobina recebe corrente. 
 
 
 
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34 
Os NF (normalmente fechado) abrem-se quando a bobina recebe 
corrente, ao contrário dos NA. O contato central ou C é o comum, ou seja, 
quando o contato NA fecha é com o C que se estabelece a condução e o 
contrário com o NF. 
Sensores indutivos 
Um Sensor indutivo é um dispositivo eletrônico que é capaz de reagir à 
proximidade de objetos metálicos, esses dispositivos exploram o princípio da 
impedância de uma bobina de indução. Quando um objeto metálico passa pelo 
campo magnético da bobina do sensor indutivo, liberando, assim, a passagem 
da corrente elétrica. 
Isso ocorre, pois, o objeto absorve parte do campo magnético gerado pela 
bobina do sensor, essa variação é detectada pelo circuito e em seguida produz 
um sinal de saída, podendo ser a atuação de um contato NA ou NF para corrente 
alternada ou contínua, um transistor ou ainda um sinal variável de tensão ou de 
corrente (saída analógica). 
 
 
 
 
 
 
Um sensor indutivo é composto por quatro partes, sendo: 
 Um oscilador, que verifica as mudanças de corrente contínua (DC) para 
corrente alternada (AC). 
 Um núcleo de ferro envolto em fios ou em uma bobina, responsável pela 
criação do campo magnético que será afetado pela presença do objeto 
metálico. 
 
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35 
 Os dispositivos de sensoriamento que monitoram o campo magnético por 
meio de um circuito, e as mudanças de campo causadas por metais 
passando nas proximidades. 
 Um processador de saída, que leva a informação ao circuito do sensor e 
envia um sinal para outros equipamentos. 
Temporizadores RC 
Um Temporizador de retardo é um circuito que após acionado leva algum 
tempo até que a carga seja efetivamente acionada. 
A Figura 1, a seguir, mostra o diagrama de blocos de nosso projeto. Nele 
podemos notar a existência de dois grandes blocos, sendo o primeiro 
responsável pela temporização do circuito e o segundo pelo acionamento da 
carga. A ideia do circuito é aplicarmos uma tensão Vcc no bloco temporizador 
que levará algum tempo até que seja capaz de ativar o bloco acionador da carga. 
 
Figura 1 – diagrama de blocos do circuito temporizador 
Na figura 2 a seguir, tem-se um circuito simples usando esse tipo de 
temporização, assim que completar o tempo de carga no capacitor VC registra o 
valor da tensão necessária. 
 
Figura 2 – circuito temporizador RC 
 
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36 
Motores elétricos 
A rotação inerente aos motores elétricos é a base do funcionamento de 
muitos eletrodomésticos. Por vezes, esse movimento de rotação é óbvio, como 
nos ventiladores ou batedeiras de bolos, mas, frequentemente, permanece um 
tanto disfarçado, como nos agitadores das máquinas de lavar roupas ou nos 
“vidros elétricos” das janelas de certos automóveis. 
Motores elétricos são encontrados nas mais variadas formas e tamanhos, 
cada qual apropriado à sua tarefa. Não importa quanto torque ou potência um 
motor deva desenvolver, com certeza, você encontrará no mercado aquele que 
lhe é mais satisfatório. 
Na figura 3 a seguir, temos a visão explodida de um motor monofásico 
onde podemos ver o uso de bobinas (indutores) e capacitores (partida). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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37 
Transformada de Laplace 
Qual a importância da transformada de Laplace dentro do contexto 
de nossos estudos? 
É que ela reduz a solução de equações diferenciais à solução de 
equações algébricas. Para isso, a transformada associa a uma função no 
domínio do tempo (definida para t>0) outra função no domínio da frequência. 
Adicionalmente, a transformada de Laplace trata do conceito de função 
de rede. Como essas funções de rede podem ser obtidas experimentalmente 
utilizando-se medidas em regime permanente senoidal, a transformada de 
Laplace costuma ser mais intuitiva do que respostas ao impulso. 
Nossa análise no domínio da frequência esteve limitada a circuitos com 
entradas senoidais. Em outras palavras, nós assumimos excitações variantes no 
tempo senoidais para todos os nossos circuitos não CC. Neste momento, 
apresentamos a transformada de Laplace como uma ferramenta muito poderosa 
para a análise de circuitos com entradas senoidais ou não senoidais. 
Quando utilizamos fasores para a análise de circuitos, transformamos os 
circuitos do domínio do tempo para o domínio fasorial ou domínio da frequência. 
Uma vez que tenhamos obtido o resultado fasorial, transformamos de volta para 
o domínio do tempo. O método da transformada de Laplace segue o mesmo 
processo: ela é utilizada para transformar o circuito do domínio do tempo em 
domínio da frequência: obtém-se solução e aplica-se a transformada inversa de 
Laplace ao resultado para transformá-la de volta para o domínio do tempo. 
A transformada de Laplace é importante por diversas razões: primeiro, ela 
pode ser aplicada a uma variedade maior de entradas do que a análise fasorial; 
segundo, ela fornece uma maneira mais fácil de resolver problemas de circuitos 
que contenham condições iniciais, pois permitem que trabalhemos com 
equações algébricas em vez de equações diferenciais; terceiro, a transformada 
de Laplace é capaz de nos fornecer, em uma única operação, a resposta total 
do circuito, contendo tanto a resposta natural quanto a resposta forçada. 
 
 
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38 
Matematicamente, a transformada de Laplace pode ser obtida como: 
𝐹(𝑠) = ∫ 𝑓(𝑡). 𝑒−𝑠.𝑡𝑑𝑡
∞
0
 
𝐹(𝑠) = 𝐿[𝑓(𝑡)] 
Propriedades básicas da transformada de Laplace 
 Unicidade: 
Uma função no tempo fica univocamente determinada por sua 
transformada de Laplace 
 Linearidade: 
𝐿[𝑐1. 𝑓1(𝑡) + 𝑐2. 𝑓2(𝑡)] = 𝑐1. 𝐿[𝑓1(𝑡)] + 𝑐2. 𝐿[𝑓2(𝑡)] 
 Regra da derivada: 
𝐿[𝑓´(𝑡)] = 𝑠. 𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑓(0) 
𝐿[𝑓´´(𝑡)] = 𝑠2. 𝐿[𝑓(𝑡)] − 𝑠. 𝑓(0) − 𝑓´(0) 
 Regra da integral 
𝐿 [∫ 𝑓(𝑡 ´). 𝑑𝑡 ´
𝑡
0
] =
1
𝑠
. 𝐿[𝑓(𝑡)] Deslocamento no tempo 
𝐿[𝑢(𝑡 − 𝜏). 𝑓(𝑡 − 𝜏)] = 𝑒−𝑠𝜏 . 𝐹(𝑠) 
 Convolução 
𝐿 [∫ ℎ(𝑡 − 𝜏). 𝑒(𝜏). 𝑑𝜏
𝑡
0
] = 𝐻(𝑠). 𝐸(𝑠) 
 
 
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39 
Tabela de transformadas (tabela 01) 
F(t) F(s) Frequência natural 
𝛿(𝑡) 1 
𝛿𝑛(𝑡) 𝑠𝑛 
𝑢(𝑡) 1
𝑠
 
s1=0 
t 1
𝑠2
 
 
𝑡𝑛 𝑛!
𝑠𝑛+1
 
 
𝑡𝑛
𝑛!
 
1
𝑠𝑛+1
 
s1,2,...,n=0 
𝑒−𝑎.𝑡 1
𝑠 + 𝑎
 
S1=-a 
𝑡𝑛
𝑛!
. 𝑒−𝑎.𝑡 
1
(𝑠 + 𝑎)𝑛+1
 
s1,2,...,n=-a 
cos(𝛽. 𝑡) 𝑠
𝑠2 + 𝛽2
 𝑠1,2 = ±𝑗𝛽 
𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑡) 𝛽
𝑠2 + 𝛽2
 
𝑠1,2 = ±𝑗𝛽 
𝑒−𝛼.𝑡. cos(𝛽. 𝑡) 𝑠 + 𝛼
(𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽2
 
𝑠1,2 = 𝛼 ± 𝑗𝛽 
𝑒−𝛼.𝑡 . 𝑠𝑒𝑛(𝛽. 𝑡) 𝛽
(𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽2
 
𝑠1,2 = 𝛼 ± 𝑗𝛽 
𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑡 + 𝜃) 𝑠. 𝑠𝑒𝑛𝜃 + 𝛽𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠2 + 𝛽2
 
 
𝑐𝑜𝑠 (𝛽𝑡 + 𝜃) 𝑠. 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝛽𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠2 + 𝛽2
 
 
 
Propriedades de redes lineares 
Para qualquer rede linear invariante, a resposta completa é a soma da 
resposta ao estado zero com a resposta à excitação zero. Igualmente, pela 
linearidade da transformada de Laplace, o mesmo é válido para as 
correspondentes funções no domínio da frequência. 
A função de rede é, por definição, a função de s que, quando multiplicada 
pela transformada de Laplace da excitação, dá a transformada de Laplace da 
resposta ao estado zero. A função de rede também pode ser chamada de função 
 
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40 
de transferência. Para qualquer rede concentrada linear invariante, qualquer de 
suas funções de rede é uma função com coeficientes reais. 
Para qualquer rede linear invariante, as condições iniciais exigidas para 
obter o valor de qualquer variável de rede são completamente especificadas 
pelas tensões iniciais nos capacitores e correntes iniciais nos indutores. 
Impedância 
Observe que o mesmo resultado poderia ter sido encontrado se a 
transformada de Laplace tivesse sido aplicada aos elementos do circuito, 
individualmente, antes de qualquer cálculo. Assim, capacitor e indutor 
apresentariam impedâncias semelhantes as estudadas em regime permanente 
senoidal. As condições iniciais, por outro lado, seriam substituídas por fontes de 
tensão em degrau (no capacitor) ou corrente em degrau (no indutor). 
𝑉𝐿 = 𝐿.
𝑑𝑖
𝑑𝑡
 após a transformada de Laplace corresponde a 𝑉𝐿(𝑠) = (𝐿. 𝑠). 𝐼(𝑠) 
𝑉𝐶 =
1
𝐶
∫ 𝑖. 𝑑𝑡 após a transformada de Laplace corresponde a 𝑉𝐶 (𝑠) = (
1
𝐶.𝑠
) . 𝐼(𝑠) 
𝑉𝑅 = 𝑅. 𝑖 após a transformada de Laplace corresponde a 𝑉𝑅(𝑠) = (𝑅). 𝐼(𝑠) 
Observe que as parcelas 𝐿. 𝑠,
1
𝐶.𝑠
 𝑒 𝑅, correspondem as impedâncias do 
indutor, capacitor e resistor respectivamente. 
Transformada inversa de Laplace 
Dada a função F(s), como transformaremos de volta para o domínio do 
tempo e obteremos a função f(t) correspondente? Uma das alternativas é 
procurando na Tabela 01 para determinar f(t). 
Suponha que F(s) tenha a forma geral de: 
𝐹(𝑠) =
𝑁(𝑠)
𝐷(𝑠)
 
Onde N(s) é um numerador polinomial e D(s) é um denominador 
polinomial. As raízes de N(s)=0 são chamadas de zeros de F(s), enquanto que 
as raízes de D(s)=0 são polos de F(s). Utilizaremos a expansão em frações 
 
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41 
parciais para separar F(s) em termos simples, cujas transformadas inversas são 
obtidas através da tabela 01. 
Portanto, a determinação da transformada inversa de Laplace de F(s) 
envolve dois passos. 
1. Decomponha F(s) em termos simples, usando a expansão em frações 
parciais 
2. Determine a transformada inversa de cada termo, utilizando a tabela 
01. 
Vamos considerar três possíveis formas que F(s) pode assumir e como 
aplicar os dois passos em cada forma. 
 Polos Simples 
 Lembre-se que polo simples é um polo de primeira ordem. Se F(s) 
possui apenas dois polos simples, então D(s) se torna o produto de fatores, logo: 
𝐹(𝑠) =
𝑁(𝑠)
(𝑠 + 𝑝1)(𝑠 + 𝑝2) … (𝑠 + 𝑝𝑛)
 
Onde s=-p1, -p2, ..., -pn são polos simples de e p1 ≠ pj para todo i≠j (isto é, 
os polos são distintos). Considerando que o grau de N(s) é menor que o grau de 
D(s), utilizamos a expansão em frações parciais para decompor F(s) da equação 
anterior assim: 
𝐹(𝑠) =
𝑘1
(𝑠 + 𝑝1)
+
𝑘2
(𝑠 + 𝑝2)
+ ⋯ +
𝑘𝑛
(𝑠 + 𝑝𝑛)
 
Os coeficientes k1, k2, ..., kn da expansão são chamados de resíduos 
deF(s). Existem diversas formas de se determinar os coeficientes da expansão. 
Uma delas é utilizar o método do resíduo. Se nós multiplicarmos os dois lados 
da equação decomposta por (s + p1), iremos obter: 
(𝑠 + 𝑝1)𝐹(𝑠) = 𝑘1 +
(𝑠 + 𝑝1)𝑘2
𝑠 + 𝑝2
+ ⋯ +
(𝑠 + 𝑝1)𝑘𝑛
𝑠 + 𝑝𝑛
 
 
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Como p1 ≠ pj, se estabelecermos s = -p1, todos os termos do lado direito 
da equação se anularão, menos k1, logo: 
(𝑠 + 𝑝1)𝐹(𝑠)|𝑠=𝑝1 = 𝑘1 
Portanto: 
𝑘𝑖 = (𝑠 + 𝑝1)𝐹(𝑠)|𝑠=𝑝𝑖 
Isto é chamado de teorema Heaviside. Uma vez que os valores de k i 
tenham sido determinados, procedemos na determinação da inversa de F(s). 
Como a transformada inversa de cada termo da equação é obtida através da 
tabela 01: 
𝑓(𝑡) = (𝑘1𝑒
−𝑝1𝑡 + 𝑘2𝑒
−𝑝2𝑡 + ⋯ + 𝑘𝑛𝑒
−𝑝𝑛𝑡) 
 Polos Repetidos 
Suponha que F(s) possua n polos repetidos em s=-p. Podemos então 
representar F(s) por: 
𝐹(𝑠) =
𝐾𝑛
(𝑠 + 𝑝)𝑛
+
𝐾𝑛−1
(𝑠 + 𝑝)𝑛−1
+ ⋯ +
𝐾2
(𝑠 + 𝑝)2
+
𝐾1
𝑠 + 𝑝
+ 𝐹1(𝑠) 
Onde F1(s) é a parte restante e F(s) que não possui um pólo em s=-p. 
Determina-se os coeficientes kn da expansão por: 
𝑘𝑛 = (𝑠 + 𝑝1)
𝑛𝐹(𝑠)|𝑠=−𝑝 
Como feito anteriormente. Para determinar kn-1, multiplicamos cada termo 
da equação F(s) por (s+p)n e diferenciamos para eliminar kn. Logo após, 
calculamos o resultado de s=-p para eliminar os outros coeficientes, exceto kn-1. 
Portanto obtemos: 
𝑘𝑛−1 =
𝑑
𝑑𝑠
(𝑠 + 𝑝1)
𝑛𝐹(𝑠)|
𝑠=−𝑝
 
Repetindo, teremos: 
𝑘𝑛−2 =
1
2!
𝑑2
𝑑𝑠2
(𝑠 + 𝑝1)
𝑛𝐹(𝑠)|
𝑠=−𝑝
 
 
 
 
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O m-ésimo termo se torna 
𝑘𝑛−𝑚 =
1
𝑚!
𝑑𝑚
𝑑𝑠𝑚
(𝑠 + 𝑝1)
𝑛𝐹(𝑠)|
𝑠=−𝑝
 
Onde m=1, 2, ..., n-1. Pode-se esperar que a diferenciação seja difícil de 
ser determinada com o aumento de m. Uma vez que tenhamos obtido os valores 
de k1, k2, ..., kn pela expansão de frações parciais, aplicamos a transformada 
inversa. 
𝐿−1 [
1
(𝑠 + 𝑎)𝑛
] =
𝑡𝑛−1𝑒−𝑎𝑡
(𝑛 − 1)!
 
A cada termo do lado direito da equação F(s), obtendo: 
𝑓(𝑡) = 𝑘1𝑒
−𝑝𝑡 + 𝑘2𝑡𝑒
−𝑝𝑡 +
𝑘3
2!
𝑡2𝑒−𝑝𝑡 + ⋯ +
𝑘𝑛
(𝑛 − 1)!
𝑡𝑛−1𝑒−𝑝𝑡 + 𝑓1(𝑡) 
 Polos complexos 
Um par de polos complexos é simples quando não é repetido. Ele será 
um polo duplo ou múltiplo se for repetido. Polos complexos simples podem ser 
trabalhados da mesma forma que polos reais simples, mas como seria utilizada 
a álgebra complexa, o resultado é sempre mais difícil de ser obtido. Uma 
abordagem mais simples é um método conhecido como completando o 
quadrado. A ideia é expressar cada par de polo complexo (ou termo quadrático) 
em D(s) como uma forma quadrática completa tal como (s+α)2+β2 e, então, 
utilizar a tabela 01 para determinar a transformada inversa do termo. 
Como N(s) e D(s) sempre possuem coeficientes reais e sabemos que 
raízes complexas de polinômios com coeficientes reais devem acontecer em 
pares conjugados, F(s) pode assumir a seguinte forma geral: 
𝐹(𝑠) =
𝐴1𝑠𝐴2
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏
+ 𝐹1(𝑠) 
Onde F1(s) é a parte restante de F(s) que nãopossui este par de polos 
complexos. Se nós completarmos a forma quadrática considerando: 
𝑠2 + 𝑎𝑠 + 𝑏 = 𝑠2 + 2𝛼𝑠 + 𝛼2 + 𝛽2 = (𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽2 
 
 
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E tivermos: 
𝐴1𝑠 + 𝐴2 = 𝐴1(𝑠 + 𝛼) + 𝐵1𝛽 
Então, temos: 
𝐹(𝑠) =
𝐴1(𝑠 + 𝛼)
(𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽2
+
𝐵1𝛽
(𝑠 + 𝛼)2 + 𝛽2
+ 𝐹1(𝑠) 
A partir da Tabela 01 a transformada inversa é: 
𝑓(𝑡) = 𝐴1𝑒
−𝛼𝑡𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡 + 𝐵1𝑒
−𝛼𝑡𝑠𝑒𝑛𝛽𝑡 + 𝑓1(𝑡) 
Aplicação em Circuitos 
Depois de aprender como obter a transformada de Laplace e sua inversa, 
estamos agora preparados para utilizar a transformada de Laplace na análise de 
circuitos. Para isso, normalmente seguimos três passos: 
1. Transforme o circuito do domínio do tempo para o domínio s. 
2. Resolva o circuito usando a análise nodal, análise de malha, 
transformação de fontes, superposição ou qualquer técnica de análise 
que você conheça. 
3. Determine a transformada inversa da solução e, assim, obtenha a 
solução no domínio do tempo. 
Como nós fizemos na análise fasorial, transformamos o circuito no 
domínio do tempo para o domínio da frequência ou domínio s aplicando a 
transformada de Laplace a cada termo do circuito. 
Para o resistor, a relação tensão-corrente no domínio do tempo é: 
𝑣(𝑡) = 𝑅𝑖(𝑡) 
Efetuando a transformada de Laplace, teremos: 
𝑉(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) 
Para um indutor: 
𝑣(𝑡) = 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
 
 
 
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Efetuando a transformada nos dois lados, teremos: 
𝑉(𝑠) = 𝐿[𝑠𝐼(𝑠) − 𝑖(0−) = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) − 𝐿𝑖(0−) Ou 𝐼(𝑠) =
1
𝑠𝐿
𝑉(𝑠) +
𝑖(0−)
𝑠
 
Os equivalentes no domínio s são mostrados na figura 1, sendo que as 
condições iniciais são modeladas como fontes de tensão ou corrente. 
 
Figura 1 – representação de um indutor: a) no domínio do tempo, b) c) equivalentes no domínio s 
Para o capacitor: 
𝑖(𝑠) = 𝐶
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
 
A qual é transformada para o domínio s como: 
𝐼(𝑠) = 𝐶[𝑠𝑉(𝑠) − 𝑣(0−)] = 𝑠𝐶𝑉(𝑠) − 𝐶𝑣(0−) 
Ou 
𝑉(𝑠) =
1
𝑠𝐶
𝐼(𝑠) +
𝑣(0−)
𝑠
 
Os equivalentes no domínio s são mostrados na figura 2. 
 
Figura 2 – representação de um capacitor a) no domínio do tempo; (b,c) equivalentes 
no domínio s 
 
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Se observarmos as equações da corrente no indutor e a tensão no 
capacitor, poderemos ver que as condições iniciais são partes da transformação. 
Essa é uma das vantagens de se utilizar a transformada de Laplace na análise 
de circuitos. Outra vantagem é que a resposta completa – transitória e de regime 
permanente – de um circuito é obtida diretamente. 
Se assumirmos condições iniciais nulas para o indutor e capacitor, as 
equações são reduzidas para: 
Resistor: 𝑉(𝑠) = 𝑅𝐼(𝑠) 
Indutor: 𝑉(𝑠) = 𝑠𝐿𝐼(𝑠) 
Capacitor: 𝑉(𝑠) =
1
𝑠𝐶
𝐼(𝑠) 
Definimos a impedância s como a razão entre a tensão transformada pela 
corrente transformada, considerando condições iniciais como nulas, ou seja: 
𝑍(𝑠) =
𝑉(𝑠)
𝐼(𝑠)
 
Portanto, as impedâncias dos três elementos de circuito são 
Resistor: 𝑍(𝑠) = 𝑅 
Indutor: 𝑍(𝑠) = 𝑠𝐿 
Capacitor:𝑍(𝑠) =
1
𝑠𝐶
 
A admitância no domínio s é a recíproca da impedância: 
𝑌(𝑠) =
1
𝑍(𝑠)
=
𝐼(𝑠)
𝑉(𝑠)
 
A utilização de transformada de Laplace na análise de circuitos facilita a 
utilização de várias fontes de sinal, tais como impulso, degrau, rampa, 
exponencial e senoidal. 
Por exemplo, determine v0(t) no circuito a seguir, considerando condições 
iniciais nulas. 
 
 
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Solução: inicialmente, transformamos o circuito do domínio do tempo para 
o domínio s. 
𝑢(𝑡) ⇒ 
1
𝑠
 
1𝐻 ⇒ 𝑠𝐿 = 𝑠 
1
3
𝐹 ⇒
1
𝑠𝐶
=
3
𝑠
 
O circuito resultando no domínio s é: 
 
Aplica-se, agora, análise de malha. Para malha 1: 
1
𝑠
= (1 +
3
𝑠
) 𝐼1 −
3
𝑠
𝐼2 
Para a malha 2: 
0 = −
3
𝑠
𝐼1 + (𝑠 + 5 +
3
𝑠
) 𝐼2 
Ou 
𝐼1 =
1
3
(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 
Substituindo na equação da malha1, temos: 
1
𝑠
= (1 +
3
𝑠
)
1
3
(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 −
3
𝑠
𝐼2 
Multiplicando os termos por 3s, teremos: 
1
𝑠
. 3𝑠 = (1 +
3
𝑠
)
1
3
. 3𝑠(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 −
3
𝑠
. 3𝑠𝐼2 
3 = (1 +
3
𝑠
) 𝑠(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 − 9𝐼2 
 
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3 = (1 +
3
𝑠
) 𝑠(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 − 9𝐼2 
3 = (
𝑠 + 3
𝑠
) 𝑠(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 − 9𝐼2 
3 = (𝑠 + 3)(𝑠2 + 5𝑠 + 3)𝐼2 − 9𝐼2 
3 = (𝑠3 + 5𝑠2 + 3𝑠 + 3𝑠2 + 15𝑠 + 9)𝐼2 − 9𝐼2 
3 = (𝑠3 + 8𝑠2 + 18𝑠)𝐼2 
𝐼2 =
3
𝑠3 + 8𝑠2 + 18𝑠
 
𝑉0(𝑠) = 𝑠𝐼2 = 𝑠(
3
𝑠3 + 8𝑠2 + 18𝑠
) 
𝑉0(𝑠) = (
3
𝑠2 + 8𝑠 + 18
) 
𝑉0(𝑠) =
3
√2
√2
(𝑠 + 4)2 + (√2
2
)
 
Determinando a transformada inversa: 
𝑉0(𝑡) =
3
√2
𝑒−4𝑡𝑠𝑒𝑛√2𝑡 𝑉, 𝑡 ≽ 0 
Tem conteúdo extra no material on-line. 
Para a videoaula deste tema, ver o material on-line. 
Trocando Ideias 
Chegou o momento de participar com os colegas! 
A corrente alternada surgiu com Nicola Tesla, que foi contratado para 
construir uma linha de transmissão entre duas cidades de Nova York. Naquela 
época, Thomas Edison tentou desacreditar Tesla de que isso daria certo, mas o 
sistema que Tesla fez acabou sendo adotado e muito utilizado desde então. 
Pesquise mais a respeito e compartilhe suas descobertas com os seus amigos. 
Participe no fórum! 
 
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Na Prática 
Após instalar o som, ou até mesmo antes de comprar um, você já deve 
ter ouvido falar de um tal de crossover. E é a partir daí que surge muitas dúvidas, 
por isso vamos expor algumas informações para que fique por dentro do assunto, 
afinal: para que serve crossover automotivo? 
Primeiro, você precisa saber que o som possui diversas frequências. 
”Basicamente” são as ”’agudas”, ”médias” e ”graves”. E cada reprodutor de 
áudio, reproduz uma faixa de frequência melhor, sendo eles: super tweeters 
(agudo altas), cornetas titânio (agudo alto e agudo baixo), cornetas (agudo 
baixo), mid bass (médio), Woofers (médio grave) e Subwoofers (grave). 
Quando o sinal de áudio é enviado do CD player aos módulos 
amplificadores, todas as frequências estão sendo enviadas ao amplificador, 
independentemente do que o amplificador está reproduzindo. 
Por isso um alto falante Woofer perde rendimento ao reproduzir todas as 
frequências por exemplo, pois ele é feito para reproduzir somente os médios 
graves. É aí que o crossover entra, ele pega todas as frequências enviadas do 
CD Player e as filtra, separando elas em canais para que possam ser enviadas 
aos reprodutores correspondentes (no caso, para os amplificadores dos 
reprodutores). Ou seja, no caso do woofer, ele filtra todas as frequências que 
não são ”médias graves”, fazendo com que este renda o esperado, além de 
diminuir a chance de queimar o alto-falante. 
Você pode ainda pensar: então, se vários módulos já possuem um 
crossover embutido, por que tenho que utilizar um outro crossover? 
Vamos explicar: qual a diferença do crossover embutido do módulo 
amplificador e do crossover (separado)? 
Precisão e potência nos cortes de frequência, e regulagem. Ou seja, cada 
crossover possui uma qualidade de corte de frequência melhor que a do módulo, 
e uma regulagem mais ampla (dependendo do tipo). Outro diferencial é a 
possibilidade de ajuste de ganho em cada via em um único local, tendo mais 
controle do sistema. 
 
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Síntese 
Chegamos ao fim de nossa aula! 
Gerações de físicos e engenheiros têm se utilizado das transformadas, 
principalmente da transformada de Laplace, como atalhos para solução de 
problemas e para estudo de fenômenos transitórios e permanentes. Mas seria a 
transformada de Laplace mesmo de Laplace? Mais do que simplesmente uma 
técnica, a história que permeia seu desenvolvimento pode ser vista como uma 
verdadeira saga de quase 200 anos. 
Seu nome rende homenagens ao grande matemático francês Pierre-
Simon de Laplace, mas isso não é tudo. Na tentativa de responder a essa 
questão e estimular o interesse pelo estudo das técnicas de transformação, em 
geral, são apresentados alguns traços históricos e inovações que fizeram dessa 
extraordinária ferramenta uma verdadeira obra de engenharia. 
Referências 
BOYLESTAD, R. Introdução à Análise de Circuitos. 12ª ed. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2012. 
BOYLESTAD, R.; NASHELSKY, L. Dispositivos Eletrônicos e Teoria de 
Circuitos. 11ª ed. São Paulo: Pearson, 2013. 
BURIAN JR., Y.; LYRA, A. C. C. Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2006. 
LEONARDI, F. Controle Essencial. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2011. 
OGATA, K. Engenharia de Controle Moderno. 4ª Ed. São Paulo: Prentice Hall, 
2003. 
MARIOTTO, P. Análise de Circuitos Elétricos. São Paulo: Pearson Prentice 
Hall, 2003. 
NAGLE, R. K.; SAFF, E. B.; SNIDER, A. D. Equações Diferenciais. 8ª ed. São 
Paulo: Pearson, 2012. 
NILSSON, J; RIEDEL, S. Circuitos Elétricos. 8ª ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2009.