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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 – Me´todos Determin´ısticos I – 2017-2 Questa˜o 4 (2,5 pontos) Um aumento de a% em um valor representa uma multiplicac¸a˜o deste por 1 + a 100 , i .e. o valor final e´ o valor inicial multiplicado por 1 + a 100 . Por exemplo, um aumento de 30% sobre R$ 120,00 transforma este valor em 120, 00 · ( 1 + 30 100 ) = 120 · 130 100 = 15600 100 = 156, 00 A partir disto, responda: (a) Um aumento de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor? (b) Dois aumentos consecutivos de 12% sobre R$ 131,00 resulta em que valor? (c) Dois aumentos consecutivos de a% sobre o prec¸o P resulta em que valor? (d) O prec¸o de um produto sofreu dois reajustes sucessivos de mesmo percentual 11%, e tornou-se R$ 133,10. Qual era o prec¸o inicial? (e) Apo´s dois aumentos consecutivos de a%, um produto que custava R$ 210,00 passou a custar R$ 302,40. Qual o valor de a? (f) Um valor V sofreu um aumento de 15% e depois 3 aumentos sucessivos de 12%. Deˆ a expressa˜o do valor final em func¸a˜o do valor V inicial. Soluc¸a˜o: (a) De acordo com a observac¸a˜o, um aumento de 12% em um valor representa uma multiplicac¸a˜o deste por 1 + 12 100 . Portanto, um aumento de 12% sobre 131, 00 transforma este valor em 131, 00 · ( 1 + 12 100 ) = 131, 00 · 112 100 = 14672 100 = 146, 72. (b) Conforme visto no item (a), apo´s o primeiro aumento de 12% sobre R$ 131,00, o novo valor, que chamaremos de V1, passa a ser V1 = 131, 00 · ( 1 + 12 100 ) = 131, 00 · 112 100 = 14672 100 = 146, 72. Um segundo aumento de 12%, tambe´m representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + 12 100 sobre o valor anterior, que e´ igual a V1. Sendo assim ,temos que V2 = V1 · ( 1 + 12 100 ) = 131, 00 · ( 1 + 12 100 ) · ( 1 + 12 100 ) = 131, 00 · ( 1 + 12 100 )2 = 131, 00 · ( 112 100 )2 = 131, 00 · 12.544 10000 ≈ 164, 33 Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 2 (c) Apo´s o primeiro aumento de a% sobre um valor P , o novo valor, que chamaremos de P1, passa a ser P1 = P · ( 1 + a 100 ) . Um segundo aumento de a%, tambe´m representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + a 100 sobre o valor anterior, que e´ igual a P1, resultando em P2 = P1 · ( 1 + a 100 ) = P · ( 1 + a 100 ) · ( 1 + a 100 ) = P · ( 1 + a 100 )2 . (d) Apo´s o primeiro aumento de 11% sobre um valor P , o novo valor, que chamaremos de P1, passa a ser P1 = P · ( 1 + 11 100 ) = P · 111 100 . Um segundo aumento de 11%, tambe´m representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + 11 100 sobre o valor anterior, que e´ igual a P1, resultando em P2 = P1 · ( 1 + 11 100 ) = P · ( 1 + 11 100 ) · ( 1 + 11 100 ) = P · ( 1 + 11 100 )2 = P · ( 111 100 )2 = P · 12.321 10000 . Se P2 = 133, 10, para descobrirmos P , precisamos resolver a equac¸a˜o 133, 10 = P · 12.321 10000 . Desta forma, temos que P = 133, 10 · 10000 12.321 = 1.331.000 12.321 ≈ 108, 03. (e) Pelo item (c), apo´s dois aumentos de a%, o prec¸o de um produto com prec¸o inicial P sera´ dado por P2 = P · ( 1 + a 100 )2 . Sendo P = 210, 00 e P2 = 302, 40, para descobrirmos a, precisamos resolver a equac¸a˜o 302, 40 = 210, 00 · ( 1 + a 100 )2 . Desta forma, temos que ( 1 + a 100 )2 = 302, 40 210, 00 = 1, 44. ⇒ ( 1 + a 100 ) = √ 1, 44 = 1, 2 ⇒ a 100 = 1, 2− 1 = 0, 2 ⇒ a = 0, 2 · 100 = 20 Cada aumento foi, portanto, de 20%. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ Me´todos Determin´ısticos I Gabarito da Questa˜o 4 da AD 1 3 (f) Vamos esquematizar os aumentos a seguir. • Valor inicial: valor V . • Primeiro aumento: 15%. O primeiro aumento, que e´ de 15% sobre o valor V , representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + 15 100 , sobre o valor inicial V . O novo valor, apo´s este aumento, que chamaremos de V1, passa a ser enta˜o V1 = V · ( 1 + 15 100 ) = V · 115 100 . • Segundo aumento: 12%. Um segundo aumento, de 12%, representa agora uma multiplicac¸a˜o por 1 + 12 100 , sobre o valor anterior, que e´ igual a V1, resultando em V2 = V1 · ( 1 + 12 100 ) = V · ( 1 + 15 100 ) · ( 1 + 12 100 ) = V · 115 100 · 112 100 = V · 115 100 · 112 100 . • Terceiro aumento: 12%. Um terceiro aumento de 12%, tambe´m representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + 12 100 sobre o valor anterior, que e´ igual a V2, resultando em V3 = V2 · ( 1 + 12 100 ) = V · ( 1 + 15 100 ) · ( 1 + 12 100 ) · ( 1 + 12 100 ) = V · ( 1 + 15 100 ) · ( 1 + 12 100 )2 = V · ( 115 100 ) · ( 112 100 )2 . • Quarto aumento: 12%. Um quarto aumento de 12%, tambe´m representa uma multiplicac¸a˜o por 1 + 12 100 , sobre o valor anterior, que e´ igual a V3, resultando em V4 = V3 · ( 1 + 12 100 ) = V · ( 1 + 15 100 ) · ( 1 + 12 100 )2 · ( 1 + 12 100 ) = V · ( 1 + 15 100 ) · ( 1 + 12 100 )3 = V · ( 115 100 ) · ( 112 100 )3 . Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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