A teoria da matriz insumo produto (Texto e Exercícios)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ 
FACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAÇÃO, ATUÁRIA E CONTABILIDADE 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA 
DISCIPLINA: ANÁLISE MACROECONÔMICA 
 
Matriz de Insumo-Produto (Desagregação das Contas Nacionais) 
 
Introdução 
 
Wassily Leontief foi responsável pela publicação da primeira tabela de relações intersetoriais para uma economia nacional. As 
idéias básicas foram publicadas em 1936 no artigo “Quantitative Input-Output Relations in the Economic System of the United States”, e, em 
1941, publicou um livro contendo a matriz de insumo-produto da economia americana para os anos 1919 a 1929. Em 1949, construiu uma 
matriz com 500 diferentes ramos de atividades. Após a Segunda Grande Guerra, a técnica da matriz de insumo produto foi usada nos 
programas de reconstrução da Noruega, Holanda e Itália, assim como nos programas de desenvolvimento em vários países da África, Ásia 
e América Latina. A matriz de insumo-produto é particularmente útil como instrumento de programação econômica. 
 
 A matriz de Insumo-Produto é uma desagregação, por setores, das contas básicas do sistema de contabilidade social. A técnica 
de desagregação é aplicada, essencialmente, na Conta de Produção mostrando os fluxos de transações intermediárias entre os diversos 
setores produtivos da economia. As relações interindustriais mostram as aquisições de insumo que cada setor faz de si mesmo e dos 
restantes setores. A partir das estimativas das demandas intermediárias intersetoriais, estimamos a matriz dos coeficientes técnicos que 
mostra a estrutura das relações técnicas entre os diferentes setores da economia. A matriz de insumo produto permite que se estime os 
insumos necessários para a produção bruta de cada setor da economia. Por outro lado, a matriz de insumo produto permite a estimacão 
dos insumos necessários, diretos e indiretos, por unidade de demanda final. Desta forma, uma modificação na demanda final de um ou 
mais setores é refletida em todo o sistema de produção. Na matriz de insumo-produto, os vetores coluna contabilizam as transações a 
débito dos setores, ou seja, aquisições de insumos, importações, pagamentos pelo uso de fatores de produção, pagamento de tributos 
indiretos líquidos e a depreciação do capital fixo. Os vetores linhas contabilizam as transações a crédito dos setores, ou seja, transações 
intermediárias, que são as vendas para o próprio setor e para os restantes setores, e demanda final, que é a soma dos bens finais de 
consumo, investimento e exportações das contas nacionais. 
 
Modelo Completo da Matriz de Insumo-Produto 
 
 No quadro 1 é apresentado o modelo genérico da matriz de insumo-produto, onde : 
 
 Yn total da demanda final atendida pelo setor n (a soma do consumo, pessoal e do governo, investimento, setor privado e 
governo, e exportações). 
Xn valor bruto da produção do setor n (igual a soma das demandas intermediárias e finais dos bens e serviços produzidos pela 
indústria n). 
 Cn gastos de consumo de bens e serviços finais produzidos pelo setor n. 
 In gastos de investimento de bens finais produzidos pelo setor n. 
 Xn exportações de bens produzidos pela indústria n. 
VAB valor agregado bruto 
VBP valor bruto da produção 
 
Quadro 1: Modelo da Matriz de Insumo-Produto 
 
Destinação origem Demanda Intermediária Demanda Final VBP 
1 2 ... N Subt C I Exp. Y 
Setor 1 x11 X12 ... x1n Γx1j C1 I1 E1 Y1 X1 
Setor 2 x21 X22 ... x2n Γx2j C2 I2 E2 Y2 X2 
................ ... ... ... .... ..... .... ... ... ... ... 
Setor n xn1 Xn2 xnn Γxnj Cn In En Yn Xn 
Sub total Γxi1 
 
Γxi2 
 
... Γxin 
 
Γxij C I E Y X 
Importações M1 M2 ... Mn M 
Subtotal Γxi1+ M1 
 
Γxi2 + M2 
 
... Γxin+ Mn Γxij+ Mn 
VAB Rem.Fat. 
Prod. 
S1 S2 ... Sn S 
T.I. líq. T1 T2 ... Tn T 
Dep. D1 D2 ... Dn D 
Subt. VA1 VA2 ... VAn VA 
VBP X1 Xn ... Xn X 
 2 
 
 Na matriz de insumo-produto as transações podem ser contabilizadas a débito e a crédito do aparelho de produção. O valor bruto 
da produção dos n setores pode ser contabilizado a débito e a crédito do aparelho de produção. As transações contabilizadas a débito do 
aparelho de produção são : a) aquisições de bens e serviços intermediários, b) importações, c) remuneração dos fatores de produção, d) 
tributos indiretos líquidos, e e) depreciação, enquanto são contabilizadas a crédito do aparelho de produção: a) fornecimento de bens e 
serviços intermediários, b) fornecimento para a demanda final, c) consumo (pessoal e do governo), d) investimento (privado e do governo), 
e) exportações. O total das transações contabilizadas a débito e a crédito são iguais ao total do valor bruto da produção. Excluindo-se das 
contas a débito e a crédito, respectivamente, as aquisições e os fornecimentos de bens e serviços intermediários obtêm-se as transações 
contabilizadas na conta de produção do sistema de contas nacionais. 
 
Quadro 2. Conta de Produção do Sistema de Contas Nacionais 
 
 Débito Crédito 
 . Produto Interno Líquido .Consumo 
 a custo de fatores pessoal 
 . Tributos Indiretos Líquidos governo 
 . Depreciação . FBCF 
 . Importações empresas 
 governo 
 . Variação de Estoques 
 . Exportações 
 Total Oferta de Bens e Serviços Total Demanda de Bens e Serviços 
 
 Desta forma, no modelo genérico da matriz de insumo-produto o valor agregado bruto VA é igual ao PIB, enquanto o total da 
demanda final Y tem que ser subtraido do total das importações M para se chegar ao PIB. 
 
 Sabendo-se a estrutura da matriz de insumo-produto, pode-se usar álgebra matricial para saber os efeitos de mudanças na 
demandas finais dos setores sobre o sistema de produção. Para sabermos os requisitos diretos e indiretos por unidade de demanda final é 
necessário saber a matriz dos coeficientes técnicos da matriz de insumo-produto. A forma matricial genérica do valor bruto da produção de 
cada setor, sob a ótica da demanda, inclui as demandas intermediárias e finais. 
 
 X1 = x11 + x12 + ... + x1n + Y1 
 X2 = x21 + x22 + ... + x2n + Y1 
 .............. 
 ............. 
 Xn = xn1 + xn2 + ... + xnn + Yn 
 
 Dividindo-se cada uma das demandas intermediárias da matriz Xij pelo valor bruto da produção do setor, obtem-se a matriz dos 
coeficientes técnicos de insumo-produto aij onde aij = xij \ Xj. Assim sendo, por exemplo, o coeficiente a23 = x23 \ X3 define o grau de 
interdependência entre o setor 2 que fornece e o setor 3 que utiliza. Em outras palavras, mostra quanto a produção X3 da indústria 3 
depende do insumo x23 fornecido pela indústria 2, e, por outro lado, indica a proporção do valor bruto da produção X2 da indústria 2 que é 
destinada à indústria 3 como transação intermediária. 
 
 Portanto, a matriz dos coeficientes técnicos A é dada por: 
 
 
 
 
a11=x11/X1 
 
 
a12=x12/X2 
 
 
....... 
 
a1n=x1n/Xn 
 
 
[A] = 
 
a21=x21/X1 
 
 
a22=x22/X2 
 
 
....... 
 
a2n=x2n/Xn 
 
 ............... ............... ....... .............. 
 
an1=xn1/X1 
 
 
an2=xn2/X2 
 
 
........ 
 
ann=xnn/Xn 
 
 
 
 Como aij = xij /Xj , temos que xij = aij . Xj , e portanto 
 
 X1 = a11 . X1 + a12 . X2 + ... + a1n . Xn + Y1 
 
 3 
 X2 = a21 . X1 + a22 . X2 + ... + a2n . Xn + Y2 
.................. 
 .................. 
 Xn= an1 . X1 + an2 . X2 + ... + ann . Xn + Yn 
 
 Explicitando as demandas finais Y1, Y2 ... Yn e colocando em evidência X1, X2, .... Xn nas equações acima obtêm-se: 
 
(1- a11 )X1 - a12 . X2 - ... - a1n . Xn = Y1 
-a21 . X1 + (1- a22 .).X2 - ... - a2n . Xn = Y2 
................ 
................ 
-an1 . X1 - an2 . X2 - ... +(1- ann ). Xn = Yn 
 
As equações acima podem ser colocadas em forma matricial, 
 
 
1- a11 - a12 ... - a1n X1 Y1 
 - a21 1- a11 ... - a2n X2 = Y2 
 x…….. …….. … ….. … … 
......... .......... ... ...... .... .... 
 - an1 - an1 ... 1- a11 Xn Yn 
 
 A primeira matriz é igual a matriz unitária [I] de ordem nxn menos a matriz dos coeficientes técnicos e pode ser denotada como [I-
A] enquanto os vetores colunas do valor bruto da produção e da demanda final pode ser denotados, respectivamente, por X e Y. 
Conhecendo-se as matrizes dos coeficientes técnicos [A] e do valor bruto da produção X chega-se à demanda final Y. Para fins de 
programação econômica, a questão é saber qual o valor bruto da produção necessário para atender uma dada programação da demanda 
final. Como [I-A] .X = Y, então X = [I-A]-1 .Y é a matriz dos requisitos diretos e indiretos para a satisfação da demanda final Y. 
 
Anexo 1. Exercícios. 
 
1. Uma determinada economia fechada, composta por três setores de produção, apresentou no ano t0 a seguinte matriz de insumo-
produto. 
 
Destino 
 
Origem 
Demanda intermediária Demanda 
Final 
Valor 
da 
produção 
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Subtotal 
Setor 1 
Setor 2 
Setor 3 
Subtotal 
30 
60 
0 
90 
160 
400 
96 
656 
10 
140 
0 
150 
200 
600 
96 
896 
100 
1.000 
904 
2.004 
300 
1.600 
1.000 
2.900 
Valor 
agregado 
bruto 
 
 
210 
 
 
944 
 
 
850 
 
 
2.004 
 
Valor 
da 
produção 
 
300 
 
 
1.600 
 
1.000 
 
 
2.900 
 
 
Sabendo-se que o determinante de (I – A) é igual a 0,6473, pede-se: 
 
a) a matriz de coeficientes técnicos; 
b) a matriz de requisitos diretos e indiretos por unidade de demanda final; 
c) a matriz-coluna do valor da produção da economia no período t5, após uma expansão de 20%, 25% e 28%, respectivamente, na 
demanda final dos setores 1, 2 e 3. 
 
2. Supondo dois setores de atividade (setor A e setor B), e dados (R$ bilhões): 
 
 
! Vendas de A para B: 100 
! Vendas de B para A: 80 
! Vendas de A para A: 90 
! Vendas de B para B: 50 
 4 
! Importações de A: 10 
! Importações de B: 20 
! Demanda Final de A: 200 
! Demanda Final de B: 300 
 
Pede-se: 
 
a) Montar a Matriz de Insumo-Produto; 
b) Calcular o PIB; 
c) Calcular a matiz de coeficientes técnicos e os coeficientes de importação; 
d) Se houver um aumento das vendas de B em $ 20 milhões, quanto este setor deve demandar de A, numa primeira etapa ? E 
quanto B deve importar ? 
 
3. Sobre a Matriz de Insumo-Produto: 
 
a) Qual a diferença da Matriz com o Sistema de Contas Nacionais ? 
b) Conceitue Coeficiente Técnico da Produção; 
c) De que são constituídas a Demanda Intermediária e a Demanda Final da Matriz ? 
 
4. Considere a seguinte matriz de transações intermediárias, expressa em unidades monetárias, e referente a uma economia constituída 
por quatro diferentes indústrias: 
 
Destino 
 
Origem 
Transações intermediárias 
Indústria 1 Indústria 2 Indústria 3 Indústria 4 
 
Indústria 1 
Indústria 2 
Indústria 3 
Indústria 4 
 
80 
200 
220 
60 
 
20 
50 
110 
140 
 
 
110 
90 
30 
160 
 
 
230 
120 
40 
240 
 
Calcule a matriz A dos coeficientes técnicos de produção, sendo dados os seguintes valores brutos da produção de cada indústria, 
expressos em unidades monetárias: 
 
Indústrias $ 
1 
2 
3 
4 
600 
600 
400 
1.000 
 
5. Complete a seguinte matriz de insumo-produto, referente a uma economia constituída por três setores de produção: 
 
Destino 
 
Origem 
Demanda intermediária Demanda 
Final 
Valor 
da 
produção 
Setor 1 Setor 2 Setor 3 Subtotal 
Setor 1 
Setor 2 
Setor 3 
Subtotal 
 
 
 
110 
 
 
 
100 
 
 
 
110 
90 
140 
90 
320 
50 
10 
40 
100 
140 
150 
130 
420 
Valor 
agregado 
bruto 
 
 
30 
 
 
50 
 
 
20 
 
 
100 
 
Valor 
da 
produção 
 
 
140 
 
 
150 
 
 
130 
 
 
420 
 
Para preenchimento da matriz central da demanda intermediária, é dada a seguinte matriz M dos coeficientes técnicos de produção: 
 
 
 A = 
 
 
0,143 0,400 0,077 
0,357 0,067 0,615 
0,286 0,200 0,154 
 5 
 
Anexo 1. Método de Inversão de uma Matriz usando Matriz Adjunta e Determinante da Matriz. 
 
Utilizando-se o exemplo abaixo, são demonstradas as operações para a obtenção da matriz inversa usando as estimações da 
matriz adjunta e do determinante da matriz. 
 
 1 2 3 
A= -1 0 4 
 0 2 2 
 
O determinante de uma matriz 3x3 pode ser obtido usando o desenvolvimento de Sarrus que aplicado ao exemplo acima resulta 
em det A = 0 - 6 + 0 –0 (0 +8 - 4) = -10. 
 
É possível também calcular o det A usando a forma genérica de expandir o determinante pelos elementos de uma linha ou 
coluna. Em particular, expandindo det A pelos elementos da primeira coluna, tem-se: 
 
det A = (-1)1+1 B - (-1)2+1 C + 0 
 
onde as matrizes B e C são: 
 
B = 0 4 
 2 2 
 
C = 2 3 
 2 2 
 
Resolvendo, temos que det A = (0 – 8) + (4 -6) = -10 
 
Em seguida, obtem-se a matriz adjunta calculando a transposta da matriz C dos cofatores, 
 
C11 = (-1)1+1 0 4 = 0 - 8 =-8 
 2 2 
 
C12 = (-1)1+2 -1 4 = -(-2 + 0) = 2 
 0 2 
 
C13 = (-1)1+3 -1 0 = -2 + 0 = -2 
 0 2 
 
C21 = (-1)2+1 2 3 = -(4 – 6) = 2 
 2 2 
 
C22 = (-1)2+2 1 3 = 2+0 = 2 
 0 2 
 
 
C23 = (-1)2+3 1 2 = -(2 + 0) = -2 
 0 2 
 
 
C31 = (-1)3+1 2 3 = 8 + 0 = 8 
 0 4 
 
C32 = (-1)3+2 1 3 = -(4 + 3) = -7 
 -1 4 
 
 
C33 = (-1)3+3 1 2 = 0 + 2 = 2 
 -1 0 
 
A matriz adjunta Adj A é a transposta de C: 
 
 
 6 
 -8 2 8 
adjA = (Cij)’= 2 2 -7 
 -2 -2 2 
 
Sabendo-se a matriz adjunta de A e o determinante de A calcula-se a matriz inversa: 
 
 
 4/5 -1/5 -4/5 
A-1 = 1 . adjA = -1/5 -1/5 7/10 
 detA 1/5 1/5 -1/5 
 
A matriz inversa de A somente existe se o determinante de A for diferente de zero. No exemplo acima det A = -10. 
 
Bibliografia: 
 
1) Branson, William H. , "Macroeconomic Theory and Policy", New York: Harper and Row, Publishers, Third Edition, 1989, cap.2., pp.15-34. 
2) Rossetti, Jose Paschoal, "Contabilidade Social", São Paulo: Editora Atlas S. A., Sétima Edição, 1994, caps. 3, 4 , 5. 
3) Montoro Filho, André F., "Contabilidade Social, Uma Introdução à Macroeconomia@, São Paulo: Editora Atlas S. A. Segunda Edição, 
1994, caps. 2, 3. 
4) Dornbush, Rudiger e Stanley Fisher, "Macroeconomia", São Paulo: Editora McGraw-Hill Ltda. e Makron Books do Brasil Editora Ltda. 
Quinta Edição, 1991, cap. 2, pp. 37-74. 
5) Samuelson, Paul A. and William D. Nordhaus, "Economics", Singapore: McGraw-Hill International Editions, Thirteenth Edition, 1989, cap. 
6, pp. 102-122. 
6) De Luca, Márcia Martins Mendes , “Demonstração do Valor Adicionado: do Cálculo da Riqueza Criada pela Empresa ao Valor do PIB”, 
São Paulo, Editora Atlas S.A., 1998.