fundamentos da matematica1 lista 07

Prévia do material em texto

7a. lista de Fundamentos de Matemática 1
1. Obtenha o ângulo em graus
(a) 2 rad
(b)
pi
3
rad
(c) e2 rad
(d) 90 rad
2. Obtenha o ângulo em radianos
(a) 60◦
(b) 120◦
(c) pi◦
(d)
√
2
◦
3. Usando o circulo trigonométrico, reduza em primeiro quadrante
(a) sen
(
7pi
4
)
(b) cos (130◦)
(c) cos
(−3pi
2
)
(d) sen (−210◦)
4. Usando o circulo trigonométrico, obtenha
(a) sen 0◦, cos 0◦, sen 90◦ e cos 90◦.
(b) sen 30◦ e cos 30◦.
(c) sen 45◦ e cos 45◦.
(d) sen 60◦ e cos 60◦.
5. Usando os valores nos arcos notáveis (obtidos na questão 4), obtenha
(a) sen 180◦, cos 180◦, sen 270◦ e cos 270◦.
(b) sen 135◦ e cos 135◦.
(c) sen 120◦ e cos 120◦.
(d) sen 330◦ e cos 330◦.
(e) sen(−30◦) e cos(−30◦).
(f) sen(−135◦) e cos(−135◦).
(g) sen(−120◦) e cos(−120◦).
(h) sen(−330◦) e cos(−330◦).
6. Usando o círculo trigonométrico, prove que
1
(a) cos (−t) = cos t e sen (−t) = − sen t
(b) cos
(
t+ pi
2
)
= − sen t e sen (t+ pi
2
)
= cos t
(c) cos
(
pi
2
− t) = sen t e sen (pi
2
− t) = cos t
(d) cos (t+ pi) = − cos t e sen (t+ pi) = − sen t
(e) cos (pi − t) = − cos t e sen (pi − t) = sen t
(f) cos (t+ 2pi) = cos t e sen (t+ 2pi) = sen t.
7. Prove que
(a) cos2 t+ sen2 t = 1
(b) cos (α + β) = cosα cos β − senα sen β
(c) sen (α + β) = senα cos β + cosα sen β
8. Prove que
(a) cos (α− β) = cosα cos β + senα sen β
(b) sen (α− β) = senα cos β − cosα sen β
(c) cos(2t) = (2 cos2 t)− 1
(d) sen(2t) = 2 cos t sen t
(e) cos
(
t
2
)
= ±
√
1+cos t
2
(f) sen
(
t
2
)
= ±
√
1−cos t
2
9. Usando a fórmula de soma e de diferença, prove os itens da questão 6.
10. Mostre que
(a) cos a+ cos b = 2 cos
(
a+b
2
)
cos
(
a−b
2
)
(b) cos a− cos b = −2 cos (a+b
2
)
cos
(
a−b
2
)
(c) sen a+ sen b = 2 sen
(
a+b
2
)
cos
(
a−b
2
)
(d) sen a− sen b = 2 sen (a−b
2
)
cos
(
a+b
2
)
11. Elimine o produto, transformando em soma ou diferença.
(a) sen(3x) senx
(b) −3cos(5a) cos(2a)
(c) 2 sen(6t) cos(4t)
(d) cos(6x) sen(4x)
12. Transforme em produto
(a) sen(3x) + sen x
2
(b) cos(5a) + cos(2a)
(c) sen(6x) + sen(4x) + sen(5x) + sen(3x)
(d) cos(6x) + cos(4x) + cos(5x) + cos(3x)
13. Prove
(a) O lei do cosseno para ângulo agudo
(b) O lei do cosseno para ângulo obtuso
(c) O lei do seno para ângulo agudo
(d) O lei do seno para ângulo obtuso
(e) Que soma e produto de seno com cosseno é periódico de período 2pi
14. Calcule
(a) Obter a, dado que b = 2, c = 3 e ∠A = 30◦.
(b) Obter c, dado que a = 2, b = 3 e ∠A = 30◦.
(c) Obter a, dado que b = 2, ∠B = 45◦ e ∠A = 30◦.
(d) Obter cos (∠C), dado que a = 6, b = 4 e c = 3.
(e) Obter sen (∠A), sen (∠B) e sen (∠C), sendo dado a = 6, b = 4 e c = 3.
(f) Obter a e b, sendo dados c = 2, ∠A = 45◦, ∠B = 60◦.
15. Nos casos dados, descreva o procedimento para obter seus lados e ângulos.
(a) Dado os três lados.
(b) Dados dois lados e o ângulo entre esses dois lados.
(c) Dados dois ângulos e lado entre eles.
(d) Dados dois lados e um ângulo que não sejam entre eles.
16. Quem é
(a) Domínio e imagem de seno.
(b) Domínio e imagem de cosseno.
17. Esboce o gráfico de
(a) seno.
(b) cosseno.
3