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Resistencia dos Materiais - 1° BIM

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1� BIM/Flex�o.pdf
Flexão
Flexão
 Flexão é o estudo do efeitos do momento fletor nestas barras.
Deformação por Flexão
 O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um
momento fletor provoca o alongamento do material na parte
inferior e a compressão na parte superior. Entre essas duas regiões
existe uma superfície denominada superfície neutra, na qual não
ocorrerá mudança em seu comprimento.
Três Premissas
 1 – O eixo longitudinal x, que se encontra no interior da superfície neutra 
não sofre qualquer mudança no comprimento. O momento tenderá a 
deformar a viga de modo que a essa linha torna-se uma curva.
 2 – Todas as seções transversais da viga permanecem planas e 
perpendiculares ao eixo longitudinal durante a deformação
 3 – Qualquer deformação na seção transversal dentro do seu próprio 
plano será desprezada. 
A fórmula da Flexão
𝜎 = −
𝑀. 𝑦
𝐼
Para materiais homogêneos e lineares elásticos o
eixo neutro passa pelo centroide da área de seção
transversal.
σ tensão normal no elemento que ocorre em um ponto
M  momento interno resultante em uma determinada seção da 
barra
I  momento de inércia da área de seção transversal calculada em 
torno do eixo neutro
y  distância perpendicular do eixo neutro a um ponto qualquer.
Convenção de Sinal
 Eixo de coordenadas  regra da mão direita
 Y (+)  para cima
 X (+)  saindo da área de seção transversal
 Momento + (regra da mão direita) direção apontada pelo dedão
Tensão Máxima
𝜎 = −
𝑀. 𝑦
𝐼
Se y for o ponto mais afastado do eixo neutro 
obteremos a máxima tensão normal do elemento
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
𝑀. 𝑐
𝐼
Exemplo 1
 A viga tem seção transversal retangular e está sujeita a distribuição de 
tensão mostrada na figura. Determine o momento interno M na seção 
provocada pela distribuição de tensão.
Exemplo 2
 A viga simplesmente apoiada tem a área de seção transversal mostrada
na figura. Determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e
represente a distribuição de tensão na seção transversal nessa localização
Exemplo 3
 A viga mostrada tem área de seção transversal em forma de um canal. 
Determine a tensão de flexão máxima que ocorre na viga na seção a-a
Flexão Assimétrica - Momento 
Aplicado Arbitrariamente 
 As vezes um elemento pode ser carregado de tal modo que o momento 
interno resultante não aja e torno de um dos eixos principais. Quando isso 
ocorre o momento deve ser decomposto. E então a formula da flexão 
pode ser usada para determinar a tensão normal provocada por cada 
componente e assim somadas.
𝜎 = −
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
Exemplo 1
 A seção transversal retangular mostrada está sujeita a um momento fletor
M = 12 kNm. Determine a tensão normal desenvolvida em cada canto da 
seção
Exemplo 2
 Uma viga T está sujeita a um momento fletor de 15 kNm, como mostra a 
figura. Determine a tensão normal máxima na viga e a orientação do eixo 
neutro.
Força Axial Excêntrica 
 Além das tensões causadas pelos momentos em z e y a força axial 
causará uma tensão normal adicional, de tração ou compressão.
𝜎 = −
𝑀𝑧𝑦
𝐼𝑧
+
𝑀𝑦𝑧
𝐼𝑦
+
𝑁
𝐴
Exemplo 3 
 Uma carga vertical de 4,8 kN é aplicada como mostrada em um pedaço 
de madeira de área de seção transversal retangular de 80 x 120 mm.
Determine a tensão nos pontos A, B, C e D 
Módulo de Resistência a Flexão
 Como visto anteriormente, o dimensionamento à flexão normal, é feito
limitando-se os valores das tensões extremas aos valores das tensões
admissíveis. As tensões extremas são localizadas em pontos característicos
da seção transversal. Por exemplo, na seção da figura, quando o
momento “gira” a seção em torno do eixo y, as tensões extremas irão
ocorrer, sempre, nos pontos mais afastados da linha neutra, pontos A e B.
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑦𝑧𝐴
𝐼𝑦
+
𝑁
𝐴
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑀𝑦𝑧𝐵
𝐼𝑦
+
𝑁
𝐴
 Note que que a posição destes pontos independe do momento e da 
força aplicada. Ela é uma característica da seção. Podemos escrever a 
eq. Como:
 A relação Iy/z é uma característica da seção chamada de Módulo de 
Resistência a Flexão em relação ao eixo y e é indicada por Wy
𝜎𝑚á𝑥 =
𝑀𝑦
 
𝐼𝑦
𝑧𝐴
+
𝑁
𝐴
𝑊𝑦 =
𝐼𝑦
𝑧𝐴
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑀𝑦
 
𝐼𝑦
𝑧𝐵
+
𝑁
𝐴
𝑊𝑦 =
𝐼𝑦
𝑧𝐵
Exemplo 
 Para a seção representada na Figura, determine os módulos de resistência 
a flexão em relação aos eixos y e z.
Dados: Iy=13640 cm4 Iz = 3276 cm4
Exemplo
 Para atender uma travessa de pórtico de 3m de vão, de capacidade de 
carga igual a 20 kN, deve ser usado um perfil tipo C, feito de aço 
laminado que possui σe=540 MPa. Determine o menor tamanho de perfil 
que atende a um coeficiente de segurança ao escoamento igual a 3. 
1� BIM/Gabarito P1 - Resist�ncia dos Materiais - 2015.pdf
 
Instituto de Ciências Exatas e Tecnológicas 
Resistência dos Materiais 
Nome: GABARITO 
Campus: 
Curso: Turma: 
RA: Data: 
 
Instruções 
 Leia as questões antes de respondê-las. A interpretação da questão faz parte da avaliação. 
 Não é permitido o uso de calculadora ou material adicional, bem como o empréstimo de 
material do colega. 
 Todo o material restante deve ser colocado sobre o tablado na frente da sala. Qualquer 
material solto sob as carteiras será considerado irregular e a prova retirada. 
 As respostas dos exercícios devem ser com tinta azul ou preta (prova com resposta a lápis 
será corrigida normalmente, mas não dará direito à arguição quanto à correção). 
Alternativas rasuradas ou com mais de uma resposta serão desconsideradas 
 Desligue o celular e observe o tempo disponível para resolução. 
 Tempo de prova: 180 minutos (tempo mínimo de permanência na sala de 60 minutos). 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1) A figura 1 representa a seção transversal de uma viga principal em um sistema de elevação e 
transporte de carga, onde o trilho padrão (TR37) está rigidamente fixado à mesa do perfil de 
abas largas W310X52. Estas vigas são normalmente regidas pela NBR 8400. Esta norma auxilia 
o projetista a localizar a seção crítica e a calcular as tensões nesta seção, que conduz à 
determinação do esforço crítico, considerando os pesos próprios, a carga movimentada, impacto 
e os efeitos desses esforços combinados na referida seção. Considere, porém, a figura 2, onde 
se representa uma configuração simplificada de carga aplicada nessa viga. Assim, avalie as 
seguintes grandezas e assinale as alternativas corretas. Para facilitar os cálculos, os valores 
foram arredondados. 
Obs:- A DIMENSÕES DA FIGURA 1 ESTÃO EM MILÍMETROS. 
10
10
10
1
6
0
z
3
0
0
165
1
2
0
5
6
 
 Figura 1 
3m 1m 3m
5 tf 5 tf
 
 
 
1.1 Centro de gravidade da seção. (0,5 ponto) 
a. 15cm 
b. 20cm 
c. 25cm 
d. 30cm 
e. 40cm 
 
1.2 Momento de Inércia da seção. (0,5 ponto) 
a. 15000cm4 
b. 20300cm4 
c. 25600cm4 
d. 30200cm4 
e. 40200cm4 
 
1.3 Tensão normal máxima de tração na seção de maior momento fletor. (0,5 ponto) 
a. 100MPa 
b. 150MPa 
c. 200MPa 
d. 300MPa
e. 400Mpa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) O momento de inércia da área é uma medida geométrica de resistência de um objeto à flexão 
e deflexão. Um objeto pode ter um comportamento diferente quando sujeito a flexão numa 
direção do que quando sujeito a flexão na outra, simplesmente devido ao fato de que os 
momentos de inércia da secção transversal da área relevantes podem ser diferentes. 
Nas vigas das Figuras 1 e 2 podemos ver o efeito do momento de inércia de um objeto. 
Cada uma das vigas tem um suporte fixo em uma extremidade e um suporte móvel na outra, o 
mesmo comprimento L, as mesmas reações de apoio e são carregadas de forma idêntica no 
meio dos vãos. 
 
 
 
 
A seção transversal de cada viga tem as mesmas dimensões de b x h. Para uma das vigas, 
b é a largura e h é a altura e para a outra viga, ao contrário, a altura é b e h é a largura. A 
única diferença entre estas vigas está na orientação da seção transversal de cada viga. Na 
Figura 1, a viga é orientada de tal modo que h é vertical, enquanto que na Figura 2, a viga é 
orientada de tal modo que a dimensão h é agora horizontal. 
Lembrando que para se calcular o momento de inercia de uma área é utilizado uma tabela 
onde sabemos que o momento de inercia para o eixo x é igual a base (b) vezes a altura (h) ao 
cubo dividido por doze. Enquanto que o momento de inercia para o eixo y é igual a altura (h) 
vezes a base (b) ao cubo dividido por doze (isto pode ser visto nos dados das tabelas da 
questão 3). 
Sob a carga indicada podemos afirmar que, em relação ao eixo, em torno do qual a seção 
gira (1 ponto): 
a) O momento de inercia da figura 1 é maior, que o da figura 2 e a flexão que ocorre é 
menor. 
Verdadeiro – pois h>b e com isto menor será a deformação da barra. 
b) O momento de inercia da figura 2 é maior que o da figura 1 e a flexão que ocorre é 
menor. 
Falso – b<h. 
c) O momento de inercia da figura 1 é igual ao da figura 2 e a flexão que ocorre é igual. 
Falso - b<h 
d) O momento de inercia da figura 1 é maior que o da figura 2 e a flexão que ocorre é 
maior. 
Falso – embora h>b e com isto o momento de inércia da figura 1 é maior que o da figura 
2, a deformação será menor. 
e) O momento de inercia da figura 2 é maior que o da figura 1 e a flexão que ocorre é 
maior. 
Falso - a deformação será menor. 
 
3)Em geral, as vigas são elementos estruturais longos, retos e prismáticos que suportam cargas 
transversais, que são cargas que agem perpendicularmente ao eixo longitudinal do elemento. 
Dado um eixo para o sistema de transmissão apoiado por dois mancais, de forma a transferir as 
forças de uma polia para outra, determinar o coeficiente de segurança ao escoamento do eixo 
de 20 mm de diâmetro, que está submetido a forças concentradas, quando a tensão de 
escoamento é 120MPa. As buchas nos apoios A e B suportam apenas forças verticais. (3 pontos) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) A viga é constituída de perfil de abas largas com 6m de comprimento. Desprezando o peso 
próprio da viga, escolher na tabela anexa o perfil de menor massa linear, dimensionando a 
viga pelo momento fletor, que permite a utilização de um material que possui tensão admissível 
igual a 125 MPa. Note que este dimensionamento é apenas parte de uma verificação mais 
completa que envolveria outras questões como, por exemplo, flambagem na alma do perfil. 
(2 pontos) 
 
 
 
BITOLA 
 ESPESSURA EIXO X - X EIXO Y - Y 
A Massa 
Linear 
d bf d' h tw tf Ix Wx Rx Iy Wy ry 
Kg/m mm mm mm mm mm mm cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm cm2 
W 150 x 18,0 18,0 153 102 119 139 5,8 7,1 939 122,8 6,34 126 24,7 2,32 23,4 
W 200 x 19,3 19,3 203 102 170 190 5,8 6,5 1.686 166,1 8,19 116 22,7 2,14 25,1 
W 200 x 26,6 26,6 207 133 170 190 5,8 8,4 2.611 252,3 8,73 330 49,6 3,10 34,2 
W 250 x 17,9 17,9 251 101 220 240 4,8 5,3 2.291 182,6 9,96 91 18,1 1,99 23,1 
W 250 x 25,3 25,3 257 102 220 240 6,1 8,4 3.473 270,2 10,31 149 29,3 2,14 32,6 
W 250 x 32,7 32,7 258 146 220 240 6,1 9,1 4.937 382,7 10,83 473 64,8 3,35 42,1 
W 250 x 44,8 44,8 266 148 220 240 7,6 13,0 7.158 538,2 11,15 704 95,1 3,50 57,6 
W 310 x 23,8 23,8 305 101 272 292 5,6 6,7 4.346 285,0 11,89 116 22,9 1,94 30,7 
W 310 x 32,7 32,7 313 102 271 291 6,6 10,8 6.570 419,8 12,49 192 37,6 2,13 42,1 
W 310 x 44,5 44,5 313 166 271 291 6,6 11,2 9.997 638,8 13,22 855 103,0 3,87 57,2 
W 360 x 32,9 32,9 349 127 308 332 5,8 8,5 8.358 479,0 14,09 291 45,9 2,63 42,1 
W 360 x 44,0 44,0 352 171 308 332 6,9 9,8 12.258 696,5 14,58 818 95,7 3,77 57,7 
W 360 x 57,8 57,8 358 172 308 332 7,9 13,1 16.143 901,8 14,92 1.113 129,4 3,92 72,5 
W 360 x 72,0 72,0 350 204 288 320 8,6 15,1 20.169 1.152,5 14,86 2.140 209,8 4,84 91,3 
W 410 x 38,8 38,8 399 140 357 381 6,4 8,8 12.777 640,5 15,94 404 57,7 2,83 50,3 
W 410 x 53,0 53,0 403 177 357 381 7,5 10,9 18.734 929,7 16,55 1.009 114,0 3,84 68,4 
W 410 x 67,0 67,0 410 179 357 381 8,8 14,4 24.678 1.203,8 16,91 1.379 154,1 4,00 86,3 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
5) Os telhados apresentam os componentes, como os discriminados na figura 1 abaixo. Dentre 
eles existem as terças que são vigas paralelas à cumeeiras e ao frechal. Estas vigas são 
submetidas às cargas cuja orientação é inclinada em relação aos eixos centrais de inércia, que 
são paralelos às faces, como mostra a figura 2. Suponha que em uma destas vigas, o momento 
fletor de 2 kNm, mostrado na figura 2, seja aplicado no centro de gravidade de uma 
determinada seção. Para esta situação, determine a tensão normal em cada vértice da seção e 
determine a orientação do eixo neutro. (2,5 pontos) 
OBS – Caso necessário, use os dados das tabelas apresentadas na questão 3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
Considere 
 
Seção transversal 
da terça 
 
 
 
 
 
 
 
1� BIM/Lista 1 - RM 2015.pdf
Lista de Exercícios 1 – Resistência dos Materiais 
Professor: Fábio Kenji Suguimoto data de entrega: dia da prova 
 
NOME:________________________________________________TURMA_________ 
 
1) Um elemento com as dimensões mostradas deverá ser usado para resistir a um 
momento fletor interno M = 2kN.m. Determine a tensão máxima no elemento se 
o momento for aplicado (a) em torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Trace um 
rascunho da distribuição de tensão para cada caso. 
Resp: z: σ = 13,89 Mpa y: σ = 27,78 Mpa 
 
 
 
2) A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. 
Determine
a tensão de flexão máxima tanto de tração quanto de compressão na 
peça. 
Resp: σ = 6,71 Mpa 
 
 
3) Dimensionar a viga que deverá suportar o carregamento representado na figura. 
Utilizar σrup = 200 MPa um fator de segurança de 2 e h = 3b 
Resp: b = 40 mm h = 120 mm 
 
 
 
 
4) Determine o menor diâmetro admissível para o eixo que está sujeito as forças 
concentradas. Os mancais de luva em A e B suportam somente forças verticais, e 
a tensão de flexão admissível é σadm = 150 Mpa. 
Resp: d = 33,68 mm 
 
 
5) Se a viga tiver seção transversal mostrada na figura, determine a tensão de flexão 
máxima absoluta na viga. 
Resp: σ = 131,87 Mpa 
 
6) A viga tem seção transversal retangular. Se estiver sujeita a um momento fletor 
M = 3500 N.m direcionado como mostra a figura, determine a tensão de flexão 
máxima na viga e a orientação do eixo neutro. 
Resp: σ = ±2,9 Mpa α = -66,6º 
 
7) A viga T está sujeita a um momento fletor M = 15 kN.m direcionado como mostra 
a figura. Determine a tensão de flexão máxima na viga e a orientação do eixo 
neutro. 
Resp: σ = 21,97 Mpa α = -63,91º 
 
 
8) O duto possui uma espessura de parede de 12 mm. Determine a tensão nos pontos 
A e B. 
Resp: σA = 31,5 Mpa σB = 10,39 Mpa 
 
 
9) Dimensionar a viga I com σesc = 180 MPa, para que suporte o carregamento 
representado na figura, atuando com uma segurança de 2. 
Resp: 12 x 5 1/4 CSN cujo módulo de resistência é Wx = 743cm3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1� BIM/P�ginas de Mec�nica T�cnica e Resist�ncia dos Materiais.pdf
Solução:
.c N
X
b
% [y2] E3'Jh2M = b - --7 M = - (I)x 2 x 8
o
A expressão da tensão de cisalhamento é:
QMe
1:=- (li)
Jb
substituindo a equação I na equação" tem-se que:
Qbh2 Qh2
1:=--=--
8Jb 8J
bh3
Como o momento de inércia da secção retangular é J, = -, tem-se que:12
Qh2 30
1:=--=-
bh3 2bh
8-12
A área da secção transversal retangular é dada por A = b x h.
Portanto, escreve-se que: I ,~%; I
A tensão do cisalhamento é máxima no centro de gravidade da secção, sendo 50% maior
que a tensão média que seria obtida através da relação Q/A.
Ex. 6 - Determinar a tensão máxima de cisalhamento e a tensão normal máxima que atuam
na viga de secção transversal retangular 6 x 16 [em] que suporta o carregamento
da figura.
Flexão' 269
600N
O,Sm I 1m
o----.J.I..I..lL1 ;el~
A
x
RsRA X'X
Q=RA
[KN]
Q=-Rs
ISO
Mmáx=S2SNm
O
Solução:
a) Reações nos apoios
2:MA = O
2Rs = 1200 x 1,5 + 600 x 0,5
Rs = 1800 + 300
2
2:Fv = O
RA + Rs = 1200 + 600
I Rs = 1050N I
RA = 1800 -1050
I RA = 750N I
b) Expressões de Q e M
O < x < 0,5
Q=RA=750N
M = RA . x
x=O~M=O
x = 0,5 ~ M = 375Nm
0,5 < x < 1,5
Q = RA = 600 = 150N
M =RA ·x-600(x-0,5)
x = 1,5 ~ M = 525 Nm
O < x' < 0,5
~1=tRA
1,-Rf~O~=t
1f-aQ = Rs = -1050N
M = Rs . x'
x'=O~M=O
'''+Mecânica'Técnica e-Resistência dos Materiais,
c) Tensões máximas
c.:1.) Tensão máxima de cisalhamento
3Q
't=--
2A
A força cortante máxima é de 1050N e atua no intervalo 1,5 < x < 2.
A área da secção transversal é: A= 6x16 = 96cm2
A = 96xl0-4m2
Tem-se então que:
3 1050
't --
- 2 . 96xl0-4
3 1050
't=-.----.,-
2 9600xl0-6
't = 0,16MPa
c.2) Tensão de flexão máxima
Como o módulo de resistência da secção retangular é:
bh2
W =-
x 6
6Mmax
escreve-se que: (J = t;h2
Transformando-se as unidades de b e h para [m], tem-se que:
6x525 6x525 6x525xl06
(Jmax = 2 = -2 2 -4 = 2
6 X 10-2 X (16 X 10-2) 6 x 10 x 16 x 10 6 x 16
(Jmax = 2,05MPa
Ex. 7-
Dimensionar a viga I de
qualidade comum CSN ABNT -
EB - 583 com ce = 180 MPa,
para que suporte o carrega-
mento representado na figura,
atuando com uma segurança
k ~ 2 . Desprezar o peso próprio
da viga.
1m 2m y1m
x
271
Solução:
a) Reações nos apoios
Como a carga é simétrica em relação aos apoios, conclui-se que:
I RA = Rs = 40kN I
b) Expressões de Q e M
0<x<1
Q=RA=40kN
~
jxt
M = RA . x
x=04M=0
x = 14 M = 40kNm
Como o carregamento é simétrico, basta analisar a metade da viga,
e automaticamente obter-se-á o resultado da outra metade.
1<x<2
Q = RA -40(x-1)
No ponto em que Q = 0, o M será máximo.
x - 1 = :~ x = :~ + 1 I x = 2m I
M=RAX-40(x-1)· (x-1) M=RAX-20(x-1)2--=:>
2 x = 24M = 60kNm
Por simetria, conclui-se que:
x = 34M = 40kNm
X=44M=0
c) Dimensionamento na viga
c.1) Tensão admissível
- a 180
a= ~ = -- = 90MPa
k 2
c.2) Módulo de Resistência da viga
W
x
= M~ax = 60000
a 90 x 106
Wx = 667 x 10-
6m3 I Wx = 667cm31
RA
(X-I)
40(X-I)t 2
X
A viga que deverá ser utilizada é1305 x 60,6 CSN cujo módulo de resistência é Wx = 743cm3.
A viga com o módulo de resistência mais próximo do valor calculado.
;MecânicaTécnica:e. Reslstêncla.dosMaterlaísss
1� BIM/P�ginas de resolu�ao em-portugues-Hibbeler.pdf
Flexão 
252 
Resolução: Steven Róger Duarte 
Capítulo 6 
Flexão 
Diagramas de força cortante e momento fletor 
 Elementos delgados que suportam carregamentos aplicados perpendicularmente a seu eixo 
longitudinal são denominados vigas. Em geral, vigas são barras longas e retas com área de seção 
transversal constante e classificadas conforme o modo como são apoiadas. 
 Por conta dos carregamentos aplicados, as vigas desenvolvem uma força de cisalhamento interna 
(força cortante) e momento fletor que, em geral, variam de ponto para ponto ao longo do eixo da viga. Para 
projetar uma viga corretamente, em primeiro lugar, é necessário determinar a força de cisalhamento e o 
momento máximos que agem na viga. Um modo de fazer isso é expressar V e M em função de uma 
posição arbitrária x ao longo do eixo da viga. Então, essas funções de cisalhamento e momento podem ser 
representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor. 
Deformação por flexão de um elemento reto 
 O comportamento de qualquer barra deformável sujeita a um momento fletor provoca o 
alongamento do material na parte inferior da barra e a compressão do material na porção superior da 
barra. Por consequência, entre essas duas regiões deve existir uma superfície, denominada superfície 
neutra, na qual não ocorrerá mudança nos comprimentos das fibras longitudinais do material. 
A fórmula da flexão 
 
 
 
 
σmáx = tensão normal no elemento, que ocorre em um ponto na área da seção transversal mais afastada 
do eixo neutro. 
M = momento interno resultante, determinado pelo método das seções e pelas equações de equilíbrio e 
calculado em torno do eixo neutro da seção transversal 
I = momento de inércia da área da seção transversal calculada em torno do eixo neutro 
c = distância em torno do eixo neutro a um ponto perpendicular do eixo neutro a um ponto mais afastado 
do eixo neutro, onde σmáx age. 
Vigas compostas 
 Vigas construídas com dois ou mais materiais diferentes são denominados vigas compostas. 
Citamos como exemplos as de madeira com tiras de aço nas partes superior e inferior ou as mais comuns, 
vigas de concreto reforçadas com hastes de aço. Os engenheiros projetam essas vigas de propósito, para 
desenvolver um meio mais eficiente de suportar cargas aplicadas. 
Vigas de concreto armado 
 Todas as vigas sujeitas a flexão pura devem resistir a tensões de tração e compressão. Porém, o 
concreto é muito suscetível a fratura
quando está sob tração, portanto, por si só, não seria adequado para 
resistir a um momento fletor. Para contornar essa deficiência, os engenheiros colocam hastes de reforço 
de aço no interior das vigas de concreto no local onde o concreto está sob tração. 
 
Flexão 
253 
 
PROBLEMAS 
6.1. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais 
em A e B exercem somente reações verticais no eixo. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 0,8RB + 24 x 0,25 = 0 RA + RB – 24 = 0 
 RB = 7,5 kN RA = 31,5 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 1 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
254 
 
6.2. Um dispositivo é usado para suportar uma carga. Se a força aplicada ao cabo for 250 N, determine as 
tensões T1 e T2 em cada extremidade da corente e, então, represente graficamente os diagramas de força 
cortante e momento para o braço ABC. 
 
 
Resolução 
 
 
 0,3 x 250 – 0,075T2 = 0 T1 + T2 – 250 = 0 
 T2 = 1 kN T1 = 1,25 kN 
 Seção AB ( ) Seção BC ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
255 
 
 6.3. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletror para o eixo. Os mancais 
em A e D exercem somente reações verticais sobre o eixo. A carga é aplicada às polias em B, C e E. 
 
 
Resolução 
 
 
 -0,35 x 400 – 0,85 x 550 + 1,225RD – 1,525 x 175 = 0 RA + RD – 400 – 550 – 175 = 0 
 RD = 713,775 N RA = 411,23 N 
 Seção AB ( ) Seção BC ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção CD ( ) Seção DE ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
256 
 
*6.4. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Resolução 
 
 
 - 10 x 1 – 10 x 2 – 10 x 3 – 10 x 4 + 5R2 = 0 R1 + R2 – 40 = 0 
 R2 = 20 kN R1 = 20 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 3 ( ) Seção 4 ( ) Seção 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
257 
 
6.5. Um suporte de concreto armado é usado para apoiar as longarinas da plataforma de uma ponte. 
Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento para o suporte quando submetido à 
carga das longarinas mostradas na figura. Considere que as colunas A e B exercem somente reações 
verticais no suporte. 
 
Resolução 
 
 
 60 x 1 – 35 x 1 – 35 x 2,5 – 35 x 4 + 5RB – 60 x 6 = 0 RA + RB – 225 = 0 
 RB = 112,5 kN RA = 112,5 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 4 ( ) Seção 5 Seção 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
258 
 
6.6. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo. Os mancais 
em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. Expresse também a força cortante e o 
momento no eixo em função de x dentro da região 125 mm < x < 725 mm. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - 800 x 0,125 – 1.500 x 0,725 + 0,8RB = 0 RA + RB – 800 – 1.500 = 0 
 RB = 1.484,38 N RA = 2.300 N 
 Seção 1 ( )
Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
259 
 
6.7. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o eixo e determine a 
força cortante e o momento em todo o eixo em função de x. Os mancais em A e B exercem somente 
rações verticais sobre o eixo. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - 4 x 0,9 + 1,5RB – 2,5 x 1,95 = 0 RA + RB – 6,5 = 0 
 RB = 5,65 kN RA = 0,85 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
260 
 
*6.8. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o tubo. A 
extremidade rosqueada está sujeita a uma força horizontal de 5 kN. Dica: As reações no pino C devem ser 
substituídas por cargas equivalentes no ponto B no eixo do tubo. 
 
 
Resolução 
 Cy = RA = 1 kN 
 0,4Cy – 0,08Cx = 0 Cy - RA = 0 Cx – 5 = 0 CX = 5 kN 
Seção AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
261 
 
6.9. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Dica: A carga 
de 100 KN deve ser substituída por cargas equivalentes no ponto C no eixo da viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 Bx = 100 kN 
 - 75 x 1 + 100 x 0,25 + 3By = 0 RA + By - 75 = 0 Bx – 100 = 0 By = 16,67 kN 
RA = 58,33 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
262 
 
6.10. O guindaste de motores é usado para suportar o motor que pesa 6 kN. Represente graficamente os 
diagramas de força cortante e momento fletor da lança ABC quando ela está na posição horizontal 
mostrada. 
 
 
Resolução 
 
 Ax = - 12 kN 
 1,2 x 0,6RB – 2,4 x 6 = 0 
 
 
 = 0 
 
 
 Ay = - 10 kN 
RB = 20 kN 
 Seção AB ( ) Seção BC ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
263 
 
6.11. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta. 
Ela é suportada por uma chapa lisa em A, que desliza no interior de uma ranhura e, por isso, não pode 
suportar uma força vertical, embora possa suportar momento e carga axial. 
 
Resolução 
 
 
 MA – Pa + 3a x 2P – 4a x P= 0 FC – 2P = 0 
 MA = - Pa FC = 2P 
 Seção AB ( ) Seção BC ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção CD ( ) 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
264 
 
*6.12. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta 
interligada por um pino em B. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 30 x 1 – 40 x 2,5 + 3,5Cy = 0 Ay + Cy – 70 = 0 
 Cy = 20 kN Ay = 50 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
Inserir DMF e DEC 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
265 
 
6.13. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - M0 – M0 + M0 + 3aRB = 0 Ay + RB = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( )
Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
266 
 
6.15. A viga está sujeita ao momento uniforme distribuído m (momento/comprimento). Represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
Resolução 
 
 
MA = - M0 = - mL 
Seção AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
267 
 
*6.16. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 Seção 1 ( ) 
 MA – (10 x 2,5) x 1,25 + (10 x 2,5) x 3,75 = 0 
 
 MA = - 62,5 kN.m 
 
 
 
Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
268 
 
6.17. Um homem de massa 75 kg está sentado no meio de um barco com largura uniforme e peso de 50 
N/m. Determine o momento fletor máximo exercido sobre o barco. Considere que a água exerce uma 
carga distribuída uniforme para cima na parte inferior do barco. 
 
 
 
Resolução 
 
 
5w – 750 – 50 x 5 = 0 
w = 200 N/m 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
269 
 
6.18. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Ela é 
suportada por uma chapa lisa em A que desliza no interior de uma ranhura e, por isso, não pode suportar 
uma força vertical, embora possa suportar momento e carga axial. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 MA – (wL) x 
 
 
 + FBL= 0 - wL + FB = 0 
 
 
 
 FB = wL 
Seção AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
270 
 
6.19. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 (30 x 1,5) x 0,75 – 45 + 3FB = 0 FA + FB – 45 = 0 
 FA = 41,25 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 3 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
271 
 
*6.20. Determine os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a força 
cortante e o momento em toda a viga em função de x. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 M – (30 x 2,4) x 1,2 – 50 x 2,4 – 40 x 3,6 - 200 = 0 - 30 x 2,4 + F – 50 - 40 = 0 
 M = 550,4 kN.m F = 162 kN 
 Seção 1 ( ) Seção 2 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
272 
 
6.21. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a 
força cortante e momento na viga em função de x, 1,2 m < x < 3 m. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 300 – (2,5 x 1,8) x 0,9 + 1,8FB – 300 = 0 FA + FB – 4,5 = 0 
 FB = 2,25 kN FA = 2,25 kN 
 Seção1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
273 
 
6.22. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga composta. Os 
três segmentos estão interligados por pinos em B e E. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 3 x 1 - 3FA = 0 3 x 2 - 4FA – (0,8 x 4) x 1 – 3 x 4 + 6FF +2 FD= 0 
 FA = 1 kN FD = 3,6 kN 
Seção 1 Seção 2 Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 4 Seção 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 6 Seção 7
Flexão 
274 
 
6.23. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 (30 x 1,5) x 0,75 – 30 – (30 x 1,5) x 2,25 + 3FB = 0 FA + FB – 90 = 0 
 FB = 32,5 kN FA = 57,5 kN 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
275 
 
*6.24. A viga está parafusada ou presa por pino em A e repousa sobre um coxim em B que exerce uma 
carga uniformemente distribuída na viga ao longo de seu 0,6 m de comprimento. Represente graficamente 
os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga se ela suportar uma carga uniforme de 30 
kN/m. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 (0,6w) x 3 – (30 x 2,4) x 1,5 = 0 Ay + 0,6w – 72 = 0 
 w = 60 kN/m Ay = 36 kN 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
276 
 
6.25. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. Os dois 
segmentos estão interligados em B. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 2,4FC – (5 x 2,4) x 1,2 = 0 FA + FC – 52 = 0 MA + 40 x 1,5 – 2,4FA = 0 
 FC = 6 kN FA = 46 kN MA = 50,4 kN.m 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
277 
 
6.27. Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do 
momento seja um mínimo. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para 
essa condição. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 aFB – wL x 0,5L = 0 FA + FB – wL = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
278 
 
*6.28. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a barra. Somente 
reações verticais ocorrem em suas extremidades A e B. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Seção AB 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
279 
 
6.29. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
280 
 
6.30. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
281 
 
6.31. A viga T está sujeita ao carregamento mostrado. Represente graficamente os diagramas de força 
cortante
e de momento fletor. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 Seção 1 Seção 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Seção 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
282 
 
*6.32. O esqui suporta o peso de 900 N ( 90 kg) do homem. Se a carga de neve em sua superfície 
inferior for trapezoidal, como mostra a figura, determine a intensidade w e, então, represente graficamente 
os diagramas de força cortante e momento fletor para o esqui. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 w = 600 N/m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
283 
 
6.33. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - 112,5 x 1,5 – 112,5 x 7,5 + 9FB = 0 FA + FB – 225 = 0 
 FB = 112,5 kN FA = 112,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
284 
 
6.34. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga de madeira e 
determine a força cortante e o momento fletor em todo o comprimento da viga em função de x. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 1 x 1 – (2 x 1,5) x 0,75 + 1,5FB – 1 x 2,5 = 0 FA + FB – 5 = 0 
 FB = 2,5 kN FA = 2,5 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
285 
 
6.35. O pino liso está apoiado em duas chapas A e B e sujeito a uma carga de compressão de 0,4 kN/m 
provocada pela barra C. Determine a intensidade da carga distribuída w0 das chapas agindo sobre o pino e 
represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para o pino. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
286 
 
*6.36. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - 2,25 + 3,6FB – 4,05 x 4,2 = 0 FA + FB – 4,05 = 0 
 FB = 5,35 kN FA = 1,3 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
287 
 
6.37. A viga composta consiste em dois segmentos interligados por um pino em B. Represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor se ela suportar a carga distribuída mostrada 
na figura. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
288 
 
6.38. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 MB + 9 x 1 - 36 x 1,5 = 0 FB – (18 + 12) x 1,5 = 0 
 MB = 63 kN.m FB = 45 kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
289 
 
6.39. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga e determine a 
força cortante e o momento em função de x. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 - 600 x 4,5 – 300 x 5 + 6FB = 0 FA + FB – (400 + 200) x 1,5 = 0 
 FB = 700 N
FA = 200 N 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
290 
 
*6.40. Determine a distância de colocação a do suporte de rolete de modo que o maior valor absoluto do 
momento seja um mínimo. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para 
essa condição. 
 
Resolução 
 
 0,5PL + aFB - PL = 0 FA + FB – 2P = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a = 0,866L 
 
Flexão 
291 
 
6.41. Represente graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a viga. 
 
 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MA = 0,5 kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
292 
 
6.42. O caminhão será usado para transportar a coluna de concreto. Se ela tiver um peso uniforme de w 
(força/comprimento), determine a colocação dos apoios a distâncias a iguais em relação às extremidades, 
de modo que o momento fletor absoluto máximo na coluna seja o menor possível. Além disso, represente 
graficamente os diagramas de força cortante e momento fletor para a coluna. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 F1 + F2 – wL = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ; para x = 0,5L, temos 
4a² + 4La – L² = 0; resolvendo a equação do segundo grau, temos: 
a = 0,207L 
Flexão 
293 
 
PROBLEMAS 
6.43. Um elemento com as dimensões mostradas na figura deverá ser usado para resistir a um momento 
fletor interno M = 2 kN.m. Determine a tensão máxima no elemento se o momento for aplicado (a) em 
torno do eixo z e (b) em torno do eixo y. Trace um rascunho da distribuição de tensão para cada caso. 
 
Resolução 
(a) Em torno do eixo z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 13,89 MPa 
(b) Em torno do eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 27,78 MPa 
 
*6.44. A haste de aço com diâmetro de 20 mm está sujeita a um momento interno M = 300 N.m. 
Determine a tensão criada nos pontos A e B. Além disso, trace um rascunho de uma visão tridimensional 
da distribuição de tensão que age na seção transversal. 
 
Resolução 
 
 
 
 
yA = c ; yB = csen(θ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Flexão 
294 
 
6.45. A viga está sujeita a um momento M. Determine a porcentagem desse momento à qual resistem as 
tensões que agem nas pranchas superior e inferior A e B da viga. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6.46. Determine o momento M que deve ser aplicado à viga de modo a criar uma tensão de compressão 
no ponto D σD = 30 MPa. Além disso, trace um rascunho da distribuição de tensão que age na seção 
transversal e calcule a tensão máxima desenvolvida na viga. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 40 MPa 
Flexão 
295 
 
6.47. A peça de mármore, que podemos considerar como um material linear elástico frágil, tem peso 
específico de 24 kN/m³ e espessura de 20 mm. Calcule a tensão de flexão máxima na peça se ela estiver 
apoiada (a) em seu lado e (b) em suas bordas. Se a tensão de ruptura for σrup = 1,5 MPa, explique as 
consequências de apoiar a peça em cada uma das posições. 
 
Resolução 
 
(a) Em seu lado 
 
W = ρV = 360 N 
 
 
 
 = 2,0833 x 10-4 m4 
 Mmáx + 0,375P – 0,5W x 0,75 = 0 
 
 
 = 0,081 MPa 
 Mmáx = 67,5 N.m 
(b) Em suas bordas 
 
 
 
 
 = 3,333 x 10-7 m4 
 
 
 = 2,025 MPa 
σmáx > σrup ; logo, a peça quebra nessa posição 
Flexão 
296 
 
*6.48. A peça de mármore, que podemos considerar como material linear elástico frágil, tem peso 
específico de 24 kN/m³. Se for apoiada nas bordas como mostrado em (b), determine a espessura mínima 
que ela deve ter para não quebrar. A tensão de ruptura é σrup = 1,5 MPa. 
 
 
 
Resolução 
 
W(t) = ρV =
(18.000t) N 
 
 
 
Mmáx + 0,5W(t) x 0,375 – 0,5W(t) x 0,75 = 0 
Mmáx = (3.375t) N.m 
 
 
 
 
 
 
 
 m4 
 
 
 27 mm 
Flexão 
297 
 
6.49. A viga tem seção transversal mostrada na figura. Se for feita de aço com tensão admissível σadm = 
170 MPa, determine o maior momento interno ao qual pode resistir se o momento for aplicado (a) em torno 
do eixo z e (b) em torno do eixo y. 
 
 
 
Resolução 
 
(a) Em torno do eixo z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 5,41 x 10-6 m4 
 
 
 
 
 
(b) Em torno do eixo y 
 
 
 
 
 
 
 
 
= 1,44125 x 10-6 m4 
 
 
 
 
Flexão 
298 
 
6.50. Foram apresentadas duas alternativas para o projeto de uma viga. Determine qual delas suportará 
um momento de M = 150 kN.m com a menor quantidade de tensão de flexão. Qual é essa tensão? Com 
que porcentagem ela é mais efetiva? 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 2,1645 x 10-4 m4 
 
 
 = 114,34 MPa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 3,6135 x 10-4 m4 
 
 
 = 74,72 MPa 
 
 
 
 = 53% 
A seção (b) terá a menor quantidade de tensão de flexão. Porcentagem de maior eficácia = 53% 
6.51. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determine a tensão de 
flexão criada nos pontos B e C da seção transversal. Trace um rascunho dos resultados sobre um 
elemento de volume localizado em cada um desses pontos. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 32,5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
I = 3,6333 x 10-7 m4 
 
 
 
 = 3,61 MPa 
 
 
 = 1,55 MPa 
Flexão 
299 
 
*6.52. A peça de máquina feita de alumínio está sujeita a um momento M = 75 N.m. Determine as tensões 
de flexão máximas tanto de tração quanto de compressão na peça. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 32,5 mm 
 
 
 
 
 
 
 
I = 3,6333 x 10-7 m4 
 
 
 
 = 3,6 MPa 
 
 
 = 6,71 MPa 
6.53. A viga é composta por quatro peças de madeira coladas como mostra a figura. Se o momento que 
age na seção transversal for M = 450 N.m, determine a força resultante que a tensão de flexão produz na 
peça superior A e na peça lateral B. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 1,316 x 10-4 m4 = 0 kN 
 
 
 
 = 0,41033 MPa 
 
 
 = 0,341876 MPa 
 
 
 
 = 1,5 kN 
Flexão 
300 
 
6.54. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao 
momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão que age nos pontos A e B e mostre os resultados em 
elementos de volume localizados nesses pontos. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 1,7813 x 10-5 m4 
 
 
 
 = 49,4 MPa (C) 
 
 
 = 4,49 MPa (T) 
6.55. A área da seção transversal da escora de alumínio tem forma de cruz. Se ela for submetida ao 
momento M = 8 kN.m, determine a tensão de flexão máxima na viga e faço o rascunho de uma vista 
tridimensional da distribuição de tensão que age em toda a seção transversal. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 1,7813 x 10-5 m4 
 
 
 
 = 49,4 MPa 
Flexão 
301 
 
*6.56. A viga é composta por três tábuas de madeira pregadas como mostra a figura. Se o momento que 
age na seção transversal for M = 1,5 kN.m, determine a tensão de flexão máxima na viga. Faça um 
rascunho de uma vista tridimensional da distribuição de tensão que age na seção transversal. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 216,3 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = 4,74038 x 10-4 m4 
 
 
 
 
 
 = 0,6844 MPa 
6.57. Determine a força resultante que as tensões de flexão produzem na tábua superior A da viga se M = 
1,5 kN.m. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 216,3 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = 4,74038 x 10-4 m4 
 
 
 
 
 
 = 0,50534 MPa 
 
 
 
 
 
 
 = 0,3851 MPa 
 
 
 
 = 4,23 kN 
Flexão 
302 
 
6.58. A alavanca de controle é usada em um cortador de grama de empurrar. Determine a tensão de 
flexão máxima na seção a-a da alavanca se uma força de 100 N for aplicada ao cabo. A alavanca é 
suportada por um pino em A e um cabo em B. A seção a-a é quadrada, 6 mm por 6 mm. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 M + 100 x 0,05 = 0 
 
 
 
 
 
 = 138,89 MPa 
 M = 5 N.m 
6.59. Determine a maior tensão de flexão desenvolvida no elemento se ele for submetido a um momento 
fletor interno M = 40 kN.m. 
 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 = 143,411 mm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I = 4,464 x 10
-5
 m
4 
 
 
 
 
 
 
 = 129 MPa (T) 
Flexão 
303 
 
*6.60. A peça fundida cônica suporta a carga mostrada. Determine a tensão de flexão nos pontos A e B. A 
seção transversal na seção a-a é dada na figura. 
 
Resolução 
 
 
 
 750 x 375 + 750 x 500 – 875 x F1 = 0 M – 0,25F1 = 0 
 F1 = 750 N

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