Estrutura da Matéria e Mecânica Quântica

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Reitor 
Prof. Ms. Stefano Barra Gazzola 
 
Gestão da Educação a Distância 
Prof. Ms. Wanderson Gomes de Souza 
 
Design Instrucional e Diagramação 
Diógenes Caxin 
Victor Rocha 
 
Coord. do Núcleo Pedagógico 
Prof.ª Ms. Terezinha Nunes Gomes Garcia 
Prof.ª Dr.ª Gleicione Aparecida Dias Bagne de Souza 
 
Revisão ortográfica / gramatical 
Erika de Paula Sousa 
 
 
 
 
4 
Autores 
DIOGO AMARAL DE MAGALHÃES 
Licenciado em Física pela UNIFEI. Mestre em Ciências em Física 
e Matemática Aplicada pela UNIFEI (2009). 
 
DÉBORAH REIS ALVARENGA 
Bacharel em Física pela UFMG (2004). Mestre em Física pela 
UFMG (2006). Doutora em Física pela UFMG, na modalidade 
SWE, com estágio na Universidade Técnica de Viena (2011). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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530.12 
M188E MAGALHÃES, Diogo Amaral de 
Guia de Estudo - Estrutura da Matéria. Diogo 
Amaral de Magalhães. Varginha: GEaD-
UNIS/MG, 2009. 124p 
1. Estrutura da Matéria. 2. Mecânica Quântica. 
3. Formalismo de Schroedinger. I. Título. 
 
 
 
6 
Sumário 
1-RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK ................................................................... 15 
1.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 16 
1.2 A TEORIA DA RADIAÇÃO DE CORPOS NEGROS DE PLANCK............................................. 18 
1.2.1 A Dedução da Energia Média de Planck ..................................................................................... 28 
1.1.2 Recuperando o Clássico........................................................................................................................ 31 
2-PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO .................................................................... 33 
2.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 34 
2.2 O ANO DE 1905 E O EFEITO FOTOELÉTRICO ............................................................................. 37 
2.3 EFEITO COMPTON ....................................................................................................................................... 44 
2.4 PRODUÇÃO E ANIQUILAÇÃO DE PARES E SIMETRIA CROSSING ................................... 49 
2.4.1 Partículas e Antipartículas ..................................................................................................................... 49 
2.4.2 Aniquilação de Um Par Elétron – Pósitron Em Dois Fótons .............................................. 52 
2.4.3 Simetria de Crossing: Um Sabor de Teoria Quântica de Campos ................................ 52 
3-PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS ................................................................. 59 
3.1 As ondas de De Broglie.............................................................................................................................. 60 
4-SOBRE O ÁTOMO ............................................................................................................................................. 66 
4.1 O MODELO DE BOHR ................................................................................................................................. 67 
4.2 LINHAS ESPECTRAIS DO HIDROGÊNIO .......................................................................................... 74 
4.3 OS FORMALISMOS DA TEORIA QUÂNTICA ................................................................................... 78 
4.4 PRINCIPIOS DA CMPLEMENTARIEDADE E INCERTEZA ........................................................ 80 
4.4.1 O Princípio da Complementaridade ............................................................................................... 80 
4.4.2 O Princípio da Incerteza ......................................................................................................................... 82 
5.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................................. 90 
5.2 A EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER ....................................................................................................... 92 
5.3 – APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER ............................................................... 104 
5.3.1 – A Partícula Livre ..................................................................................................................................... 104 
 
 
 
7 
 5.3.2 – O Poço de Potencial Infinito .................................................................................................... 107 
5.4 – O EFEITO TUNEL ............................................................................................................................... 115 
REFERÊNCIAS ................................................................................................................................................ 123 
Básica .................................................................................................................................................................. 123 
Complementar ............................................................................................................................................... 123 
 
 
 
 
 
8 
EMENTA 
Radiação de corpos negros; Teoria de Planck. Dualidade onda-
partícula; Efeito Fotoelétrico e Compton; Produção e Aniquilação 
de Pares; Onda de matéria de-Broglie. O Modelo de Bohr para o 
Átomo. Princípio da Exclusão de Pauling. Princípios da 
Complementaridade e Incerteza; Interpretação de Copenhague. 
Formalismo de Schroedinger; Valor Esperado; Interpretação 
Probabilística de Born. Aplicações da Teoria de Schroedinger, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caro (a) aluno (a) 
A disciplina Estrutura da Matéria é seu primeiro contato com a 
Mecânica Quântica, uma teoria que fornece a descrição do 
“mundo dos átomos”, ou seja, dos sistemas físicos cujas 
dimensões são da ordem ou menores que a escala atômica, tais 
como moléculas, átomos, elétrons, prótons. Embora leve em 
conta o aspecto microscópico da matéria, a teoria descreve 
também fenômenos macroscópicos. 
 
 
 
11 
A Mecânica Quântica recebe esse nome devido a fenômeno 
físico chamado quantização. No “mundo dos átomos” a energia 
de um elétron orbitando um núcleo é quantizada, ou seja, 
apenas alguns estados de energia são permitidos para o 
elétron, os outros, são proibidos. No nosso mundo clássico isso 
é algo que não podemos imaginar. A Teoria Quântica descreve 
também fenômenos como a dualidade onda-partícula do 
comportamento da luz e explica os princípios da interação da 
energia com a matéria. 
Nas Unidades 1, 2 e 3 são introduzidos os vários fenômenos do 
princípio da Mecânica Quântica, são desenvolvidas as ideias 
essências que deram origem a teórica quântica. Nesta 
abordagem, resolve-se primeiro o problema da radiação de 
corpos negros, que inclui a proposta de quantização da energia. 
A dualidade onda-partícula vem na sequência. Finalmente, é 
introduzida a interpretação de Copenhague e os princípios da 
incerteza e complementaridade. Naunidade 4 é apresentado o 
modelo de Bohr para o átomo. Na Unidade 5 estudaremos a 
 
 
 
12 
Teoria de Schroedinger, que especifica quais as leis do 
movimento ondulatório que as partículas obedecem, porém, na 
mecânica quântica, o movimento das partículas é descrito por 
uma função de onda. Será apresentado um panorama breve da 
equação de Schroedinger e como interpretá-la segundo Born. 
Em seguida, esta é aplicada para resolver alguns exemplos não 
muito sofisticados. 
Espero que o mundo mágico da Mecânica Quântica consiga 
encantar vocês! Nunca se esqueçam da fala do nosso colega 
de profissão Albert Einstein “Uma mente que se abre a uma 
nova ideia jamais voltará a seu tamanho original”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
META 
Após ter cursado esta disciplina o aluno deverá ser capaz de: 
- Relatar os principais fenômenos físicos que, no início do século XX, 
não puderam ser descritos apropriadamente pelos modelos da Física 
clássica e apontar as dificuldades e inconsistências desses modelos 
clássicos quando utilizados para tais descrições; 
- Distinguir os fenômenos que requeiram uma descrição ondulatória, 
quanto-mecânica, dos que permanecem sendo bem descritos pela 
física clássica; 
- Interpretar as regras de quantização dos fenômenos microscópicos; 
- Justificar a formulação ondulatória da mecânica quântica; 
- Distinguir a interpretação causal e determinística da mecânica 
clássica da interpretação probabilística dos resultados da mecânica 
quântica; 
- Resolver e interpretar a equação de Schroedinger para sistemas 
físicos simples. 
 
OBJETIVOS GERAIS 
Adquirir uma visão conceitual sobre os princípios da Mecânica 
Quântica. 
 
 
 
14 
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 
Transmitir ao aluno conhecimentos necessários para a compreensão 
do seguintes fenômenos e conceitos: 
- Radiação Térmica e o Postulado de Planck; 
-O Efeito Fotoelétrico; 
-Teoria Quântica de Einstein; 
- Efeito Compton; 
- Natureza Dual da Radiação; 
- O Postulado de De Broglie; 
- Propriedades Ondulatórias das Partículas da Radiação: Onda e 
Matéria, Dualidade Onda-Partícula; 
- O Princípio da Incerteza e suas conseqüências; 
- O Modelo de Bohr para o Átomo; 
- A Teoria de Schroedinger da Mecânica Quântica. 
 
 
 
 
 
 
15 
1-RADIAÇÃO TÉRMICA E O POSTULADO DE PLANCK 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
1.1 INTRODUÇÃO 
A Física Quântica estuda o comportamento dos corpos de 
pequenas dimensões. Assim como a velocidade da luz c, 
caracteriza a relatividade, a chamada constante de Planck h, 
caracteriza a física quântica. Esta descoberta foi publicada em 
1900, pelo brilhante físico alemão Max Planck. Juntamente com 
a constante de Planck estava um conceito quântico 
extremamente importante que é o fato de que a energia não é 
uma grandeza contínua, como era aceito até fim do século XIX, 
mas sim discreta. Em princípio, Planck buscava explicações 
para a radiação emitida por corpos aquecidos. Apesar de 
resultados que batiam com a experiência, seu trabalho não foi 
muito bem aceito pela comunidade científica da época; até 
mesmo ele admitia não possuir bases teóricas convincentes 
que justificasse seus resultados. 
Como veremos, apesar de não vincular e nem basear sua 
pesquisa com a hipótese que levou Planck à quantização da 
energia, Albert Einstein e suas unidades indivisíveis de energia 
 
 
 
17 
localizadas em pontos do espaço se mostraram eficazes para 
explicar fenômenos como o efeito fotoelétrico, a ionização de 
gases pela radiação ultravioleta e o fato que o calor específico 
de sólidos cai e se torna praticamente nulo quando estes são 
resfriados próximos à temperatura do zero absoluto; estes dois 
últimos a posterior. Entretanto, nem tudo foram flores belas e 
perfumadas... 
A hipótese de Einstein não era capaz de esclarecer 
fenômenos como a difração e a interferência. Foi absolutamente 
estranho e um tanto indigesto admitir que a radiação 
eletromagnética apresentara comportamento dual. Mas o pior, 
ou o melhor, ainda estava por vir... Louis de Broglie foi além da 
imaginação “normal” e colocou uma infinidade de pulgas atrás 
das orelhas dos cientistas, postulando em sua tese, em 1924, 
que a dualidade aplicava-se não só à radiação, mas também à 
matéria... 
 
 
 
 
18 
1.2 A TEORIA DA RADIAÇÃO DE CORPOS NEGROS 
DE PLANCK 
À temperatura ambiente, a maioria dos corpos não emite 
luz; eles apenas refletem a luz incidente sobre eles. Sabemos 
que não é possível ver uma barra de ferro num quarto escuro. 
Aquecendo-a gradualmente, passamos a senti-la antes de 
sermos capazes de enxergá-la. Continuando com o 
aquecimento da barra, observamos que ela toma cor 
avermelhada, além de continuarmos sentindo o calor emitido 
por ela. Com o aumento da temperatura, sua coloração passa 
até tornar-se branco-azulada. Em suma, corpos aquecidos 
irradiam em várias faixas do espectro eletromagnético ao 
mesmo tempo e, como veremos em seguida, para cada 
temperatura do corpo, a emissão de radiação é dada 
preferencialmente numa dada região, cuja frequência na qual a 
radiação é emitida aumenta. 
O espectro da radiação emitida por um corpo depende de 
sua composição e forma. Estamos interessados num grupo cujo 
 
 
 
19 
espectro de emissão é o mesmo para uma dada temperatura. 
Tais corpos são denominados corpos negros, e suas superfícies 
absorvem toda radiação incidente sobre eles. Abaixo, segue um 
gráfico que mostra que a radiância espectral de um corpo 
negro em função da frequência da radiação para algumas 
temperaturas. Tal grandeza expressa a energia emitida por 
unidade de tempo cuja frequência de emissão está 
compreendida no intervalo , por unidade de área da 
superfície do corpo que está a uma temperatura absoluta T. 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1.1: Radiância espectral de um corpo negro em função da frequência da 
radiação, mostrada para temperaturas de 900 K, 1200K e 1500 K. Observa-se que a 
frequência na qual a radiância máxima ocorre aumenta linearmente com a 
temperatura e a potência total emitida (área sob a curva), aumenta muito 
rapidamente com a temperatura. 
 
 
 
 
20 
Duas leis físicas estão ligadas à análise destes dados 
experimentais. Uma é a lei de Wien, a qual diz que a frequência 
em que a energia irradiada é máxima varia linearmente com a 
temperatura absoluta da superfície do corpo. Levando em conta 
a relação entre comprimento de onda (dado em metros), 
frequência e velocidade da luz, a lei de Wien pode ser expressa 
por: 
 
 
A outra é a lei de Stefan-Boltzmann; esta estipula que a 
potência total P emitida por unidade de área, ou ainda a integral 
da radiância total sobre todas as frequências, vai com a quarta 
potência da temperatura absoluta, isto é, 
 
No final do século XIX, Rayleigh e Jeans obtiveram a 
fórmula para a teoria da radiação de corpos negros1. Como 
mostra o esboço abaixo, a teoria concorda com a experiência 
 
1
 Para mais detalhes veja “Recuperando o caso clássico”. 
2
 No sentido de não tratar de maneira contínua, mas sim discreta. 
3 A energia cinética é kT/2 e a energia potencial tem o mesmo valor, o que nos leva a energia total 
 
 
 
21 
no limite de baixas frequências. No entanto, ocorre a chamada 
catástrofe do ultravioleta à medida que as frequências vão 
crescendo. Pelo gráfico vemos também que a energia emitida 
não diverge, como prevê a fórmula clássica de Rayleigh e Jean. 
E foi aí que entrou a genialidade de Max Planck...Figura 2.1: A previsão de Rayleigh- Jeans, linha azul, em comparação com os 
resultados experimentais, linha vermelha para a densidade de energia de 
uma cavidade de corpo negro, mostrando a famosa chamada catástrofe 
do ultravioleta 
 
 
 
 
22 
Indo direto ao ponto, a grande sacada dele foi “modificar” 2 
a lei de equipartição de energia clássica, que atribuía uma 
energia média3 kT para ondas estacionárias, onde k é a 
constante de Boltzmann. Planck supôs que a energia distribuída 
para cada partícula que compunha a rede cristalina de um 
sólido deveria ser dividida em quantidades mínimas, os quanta 
de energia. Dessa forma, foi necessário associar uma frequência 
 para os minúsculos osciladores, as partículas em vibração, tal 
que essa energia mínima fosse diretamente proporcional a , de 
tal forma que sua energia média total tendesse a zero quando a 
frequência tendesse ao infinito e que também conservasse o 
resultado clássico para baixas frequências.4 A fórmula que 
 
2
 No sentido de não tratar de maneira contínua, mas sim discreta. 
3 A energia cinética é kT/2 e a energia potencial tem o mesmo valor, o que nos leva a energia total 
média igual a kT. 
 
4 No curso de Eletromagnetismo, você estudará com detalhes como a radiação 
eletromagnética interage com um átomo. Quando a onda eletromagnética incide 
sobre um átomo, tanto o campo elétrico como o campo magnético interagem com os 
elétrons livres do átomo. Para uma onda plana, sendo v a velocidade do elétron, a 
interação magnética é v/c vezes a interação elétrica. Portanto, para velocidades não 
relativísticas (v<<c), o efeito do campo magnético pode ser desprezado. Em regiões 
do espaço que são pequenas quando comparadas ao comprimento de onda, onde 
 
 
 
23 
Planck obteve para a densidade de energia u (por unidade de 
volume) foi5 
 
 
 
 
 
 
A radiância espectral fica escrita como 
 
 
 
 
 
 
 
A constante de proporcionalidade h, a famosa constante 
de Planck, foi calculada em seguida, cujo valor é h = 6,63 x 10 -34 
J s. De acordo com sua suposição inicial, a energia de vibração 
do elétron no sólido era , 2 , 3 , etc.; ou seja, a energia total 
dos osciladores seria distribuída em quantidades finitas . 
Assim, a diferença entre dois níveis consecutivos de energia é 
 
as variações são desprezíveis, o campo elétrico pode ser escrito, em módulo, como 
 . Dessa forma, um elétron livre com carga e que interage com um 
campo dessa forma experimenta uma força de módulo , executando uma 
oscilação forçada. Se não houvesse interação com o campo, ele permaneceria com 
 , que é a freqüência natural do oscilador, isto é, não amortecida. Podemos concluir 
que o elétron absorverá toda radiação incidente sobre ele quando , ou seja, na 
ressonância de energia. 
 
 
 
 
24 
sempre Em suma, Planck obteve que os possíveis 
estados de energia6, os estados quânticos, onde o número 
inteiro n é chamado número quântico principal, são 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – A TEORIA DA RADIAÇÃO DOS 
CORPOS NEGROS DE PLANCK 
Obtenha a densidade de energia de Planck em termos do 
comprimento de onda . 
Resolução 
Basta substituir em 
 
 
 
 
 
 Isso nos 
leva a 
 
 
 
 
 
 
 
 
Supondo que a superfície do sol se comporta como um corpo negro tal 
que emita radiação cujo comprimento de onda máximo observado seja 
 
 . Calcule sua temperatura e a seguir sua radiância 
irradiada por metro quadrado. 
 
6
 Uma explicação desse termo ficará mais clara em “Modelo de Bohr”. 
 
 
 
25 
Resolução 
Para calcular a temperatura da superfície do sol, 
utilizamos a lei de Wien, a qual nos fornece . Em 
seguida, a partir da lei de Stefan, obtemos trivialmente que a 
radiância irradiada por metro quadrado é . 
 
 
Mostre que a razão entre a radiância espectral e a 
densidade de energia de Planck é c/4. 
Resolução 
Basta tomar o quociente entre as duas últimas equações 
da aula. O resultado é imediato. 
 
 
 
 
 
26 
Obtenha o comportamento da densidade de energia de 
Planck para o limite de altas energias. 
Resolução 
No limite de altas energias, temos que , o que nos 
leva a desprezar o segundo termo do denominador em 
 
 
 
 
 
. Portanto, nesse regime, 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Escreva a radiância espectral de Planck em função do 
comprimento de onda . A seguir, integrando a radiância sobre 
todos os seus valores possíveis, escreva a constante da fórmula 
de Stefan-Boltzmann em função de constantes universal: 
 
 
 
 
 
 
 
27 
2. Considerando que a superfície do sol tem área de 
aproximadamente , estime a energia total irradiada por 
unidade de tempo por metro quadrado. 
3. Deduza a lei de Wien a partir da equação de Planck. 
4. Supondo que a superfície de uma estrela se comporta como 
um corpo negro tal que emita radiação cujo comprimento de 
onda máximo observado seja á , calcule sua 
temperatura e a seguir sua radiância irradiada por metro 
quadrado. 
5. Suponha que a área superficial de um corpo humano de 
altura h pode ser aproximada para um cilindro também de altura 
h e raio R = h/15. Calcule a potência irradiada por metro 
quadrado de um indivíduo de altura h=1,7m tal que seu corpo 
esteja em equilíbrio térmico com o ambiente, estimado que o 
corpo emita radiação com comprimento de onda até 0,00001 m. 
(Lembre-se de que a temperatura deve estar em K.) Compare 
esse valor com o obtido para o sol, por exemplo! 
 
 
 
 
28 
1.2.1 A Dedução da Energia Média de Planck 
 
Na seção “A teoria da radiação de corpos negros de 
Planck”, numa nota de rodapé, foi comentado sobre a lei 
clássica da equipartição de energia. Olhando com atenção para 
as fórmulas de Rayleigh-Jeans e Planck para a radiação de 
corpos negros, nota-se que a energia média do caso 
clássico, foi substituída por . O objetivo dessa aula 
é mostrar como fazer essa dedução. 
Uma quantidade média pode ser obtida tomando-se a 
soma de todas as quantidades possíveis multiplicadas cada 
uma por sua respectiva probabilidade de ocorrer e dividindo-a 
pela soma de todas as probabilidades possíveis. Ou seja, para 
calcular a energia média de Planck, tomemos 
 
 
 
 
 
 
 
29 
Da distribuição de Boltzmann da teoria cinética clássica, é 
possível deduzir que 
 
 
 
 
Levando em conta que , como propôs Planck, 
recebemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com a substituição , tal que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
segue que 
 
 
 
 
 
 
 
Mas, 
 
 
 
30 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Finalmente, chegamos à 
 
 
 
 
Note que quando foi dito que Planck “modificou” a lei da 
equipartição de energia, esta expressão foi usada para ressaltar 
que a energia clássica para cada ente contido na cavidade, a 
onda estacionária eletromagnética, não era mais , resultado 
oriundo do eletromagnetismo clássico. Agora, a energia média 
do conjunto de osciladores que constituem o corponegro deve 
ser dada pela fórmula acima. 
 
 
 
31 
1.1.2 Recuperando o Clássico 
A fórmula clássica para a radiação de corpos negros foi 
proposta por Rayleigh-Jeans. Como você já sabe, ela era 
inconsistente para o limite de baixas frequências; tal fato é 
conhecido como “catástrofe do ultravioleta”. Entretanto, a 
fórmula de Planck (3 da seção “A teoria da radiação de corpos 
negros de Planck”) corrige este erro, concordando totalmente 
com a experiência. 
Ao invés de deduzirmos a fórmula de Rayleigh-Jeans 
utilizando as leis do eletromagnetismo clássico, vamos tomar o 
limite na própria fórmula de Planck, com , tendo 
consciência da ordem histórica que as coisas aconteceram. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A ideia utilizada para deduzir era considerar o resultado 
da teoria eletromagnética clássica de que a radiação existente 
 
 
 
32 
dentro de um corpo negro deveria existir na forma de ondas 
eletromagnéticas estacionárias com nós em suas paredes. 
Contando-se o número dessas ondas dentro de um intervalo de 
frequências, é possível, com o suporte da teoria cinética 
clássica, obter sua energia total, claro, com o sistema em 
equilíbrio térmico, a qual depende da temperatura absoluta T do 
corpo. Logo, multiplicando-se a quantidade de ondas pela 
energia total média e dividindo pelo volume do corpo, obtém-se 
a fórmula acima. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33 
2-PROPRIEDADES CORPUSCULARES DA RADIAÇÃO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
34 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
Nessa unidade estudaremos processos de interação entre 
a radiação a matéria. O efeito fotoelétrico, o efeito Compton e a 
produção de pares envolvem absorção ou espalhamento de 
radiação pela matéria. O efeito bremsstrahlung e a aniquilação 
de pares envolvem a produção de radiação. Em cada caso é 
mostrado que a radiação se comporta como uma partícula 
quando interage com a matéria e isso é diferente do seu 
comportamento ondulatório, apresentado quando se propaga. 
Antes de atacarmos a dualidade onda-partícula, lembremo-nos 
de como os conceitos de onda e partícula são definidos na 
Física clássica. 
Quando falamos em onda, talvez a primeira coisa que nos 
vêm à mente é o mar. Ele e suas ondas são fontes de inspiração 
dos mais macios amores e das mais ardentes paixões; de lá 
surgem nossas sereias e canções, como “Azul da cor do mar”, 
de Tim Maia, “É doce morrer no mar” e “O mar”, de Dorival 
 
 
 
35 
Caymmi, dentre outras. Emoções à parte, fisicamente as ondas 
são propagações de energia e quantidade de movimento que 
ocorrem no espaço, em associação com a vibração das 
moléculas e/ou átomos que o compõem7. As ondas não 
descrevem um percurso, uma trajetória; elas são espalhadas, 
não se localizam em um ponto do espaço. Elas, ainda, são 
indivisíveis, no sentido de não podermos parti-las e obtermos 
mais delas. Em geral, as ondas se caracterizam em fenômenos 
como a difração e a interferência. Respectivamente, consistem 
grosseiramente no seu espalhamento quando passam por 
obstáculos da ordem de grandeza de seu comprimento de onda 
e na soma ou subtração de suas amplitudes quando duas ou 
mais ondas se encontram. 
As partículas podem ser definidas como qualquer objeto 
cujas dimensões espaciais podem ser desprezadas quando em 
comparação com as do sistema. Por meio da segunda lei de 
Newton, é possível descobrir todo o passado e ainda prever o 
 
7
 Ondas eletromagnéticas podem se propagar no vácuo. 
 
 
 
36 
futuro de uma partícula, dadas certas condições iniciais. 
Lembre-se de que por passado e futuro designamos sua 
trajetória, a qual é descrita por uma curva bem definida no 
espaço-tempo; é possível, portanto, localizar pontualmente uma 
partícula. 
Relembradas as definições de onda e partícula, vamos ao 
que interessa. 
A natureza mostra que é impossível que um fenômeno 
seja corpuscular e ondulatório ao mesmo tempo. Como 
veremos, algumas experiências evidenciam o caráter 
corpuscular da radiação e outras o comportamento ondulatório 
da partícula. É certo que isso gera estranheza! 
Em outras palavras, a dualidade onda-partícula diz que 
DEPENDENDO DO ARRANJO EXPERIMENTAL, O SISTEMA 
QUÂNTICO OU SE MANIFESTA CORPUSCULARMENTE OU 
EXIBE SEU ASPECTO ONDULATÓRIO, EMBORA NUNCA 
AMBOS AO MESMO TEMPO. 
 
 
 
37 
Mas como assim? A natureza manifesta caráter corpuscular ou 
ondulatório; de que evidências vem isso? E onde será que entra 
a quantização da energia nessa estranha história? 
No decorrer da leitura, serão encontradas respostas a esses 
questionamentos. 
2.2 O ANO DE 1905 E O EFEITO FOTOELÉTRICO 8 
 
No seu trabalho de 1905, “Sobre um ponto de vista 
heurístico a respeito da produção e transformação da luz”, Albert 
Einstein essencialmente explorou a ideia de que a luz pudesse 
ser constituída por partículas, indagando-se por que a radiação 
deveria ser contínua, preenchendo o espaço em forma de 
ondas. Mais tarde, quando obteve a famosa relação entre 
massa e energia (E=mc²) avigorou ainda mais sua busca por 
uma teoria corpuscular para a luz. 
 
8
 Propõe-se como atividade a pesquisa sobre fotocélulas. 
 
 
 
38 
Primeiramente, então, concentrou-se em analisar a 
radiação dos corpos negros. Entretanto, Einstein não se baseou 
na ideia de Planck, como alguns livros apontam; lembre-se de 
que Planck quantizou a energia dos osciladores, e não da 
radiação incidente! Foi inspirado pela relação de Wien, fazendo 
uma análise estatística da radiação, que Einstein provou que a 
luz se comportara como um gás de partículas independentes, 
concluindo que a energia de cada partícula era diretamente 
proporcional à frequência da radiação. Com o êxito alcançado, 
ele dispôs dessa relação para tentar explicar fenômenos que a 
teoria ondulatória era incapaz de fazer, como o efeito 
fotoelétrico. 
Esse efeito foi observado pela primeira vez por Heinrich 
Hertz e consiste na emissão de elétrons por uma superfície 
metálica devido à incidência de luz sobre ela. Referindo-se aos 
quanta de luz como pacotinhos indivisíveis de energia, os quais 
mais tarde vieram a ser chamados de fótons, Einstein supôs 
 
 
 
39 
que a energia de cada fóton era expressa pela relação 
(onde C é uma constante a ser determinada). 
 
 
Figura 2.1: Emissão de elétrons por uma superfície metálica devido à incidência de luz sobre ela. 
Segundo Einstein, o elétron tem sua energia cinética 
aumentada devido à incidência do fóton sobre a superfície 
metálica, o qual transfere toda sua energia a ele. A experiência 
mostra que existe certo valor máximo para a energia cinética 
adquirida pelo elétron, que é igual a . Na relação 
anterior, e é a carga e V0 é a diferença de potencial limiar 
aplicada ao elétron. 
Elétrons 
ejetados 
Superfíci
e 
metálica 
Radiação 
incidente 
 
 
 
40 
Em geral, quando há a emissão de um elétron, sua 
energia cinética é a diferença entre a energia do fóton incidente 
e o potencial atrativo da placa, superando as perdas de energia 
devido às colisões internas com outros elétrons: 
(onde w é o trabalho necessário para remover o elétron do 
metal). Fazendo w0 o trabalho mínimo para desprender o elétron, 
sua energia cinética será máxima e, utilizando o resultado 
experimental, obtém-se que . 
A explicação da Física clássica previa que o aumentoda 
intensidade da luz (o módulo do vetor campo elétrico cresce) 
faria a energia cinética máxima crescer, aumentando a corrente 
fotoelétrica. Einstein mostrou que aumentando a intensidade da 
luz, somente seria maior o número de fótons incidentes, o que 
não mudaria a energia associada, que é . Outra falha da 
teoria clássica é que ela não explicava a existência de uma 
frequência limiar característica de cada superfície. Einstein 
facilmente demonstrou que se K = 0, o fóton transferiria ao 
 
 
 
41 
elétron uma energia responsável somente por sua 
ejeção, sem nenhuma sobra de energia cinética. 
Apesar da majestosa beleza e precisão do trabalho, a 
ideia de Einstein somente prosperou em 1907, quando ela foi 
capaz de explicar a ionização de gases pela radiação 
ultravioleta e formular uma teoria para o calor específico de 
sólidos a baixas temperaturas. No entanto, isto é assunto para 
outra hora. 
*Ainda não sabemos quem é a constante ! Ela será calculada 
num exercício resolvido. 
 
Um fóton nada mais é do que um pacote indivisível que 
contém energia hν e momentum h⁄λ. 
 
O efeito fotoelétrico manifesta o comportamento corpuscular da 
radiação; o conceito de fóton sugere que a radiação 
 
 
 
42 
eletromagnética interage como uma partícula quando em 
colisão com um elétron, transferindo a este toda sua energia e 
quantidade de movimento. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – EFEITO FOTOELÉTRICO 
Escreva uma expressão para o potencial aplicado ao elétron 
de uma rede em termos da frequência do fóton da radiação 
incidente. 
Resolução 
Sabemos que . Logo, dividindo ambos os 
lados da equação pela carga do elétron, é imediato que 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabe-se que o limiar de frequência para o sódio (um dos 
resultados de experiências realizadas por Millikan) é 
 
 
 
43 
 . Estime o valor da constante , tendo que, para as 
frequências e , o potencial vale, 
respectivamente, e . 
 
Resolução 
Reescrevendo a equação para acima, recebemos 
 
 
 
 
Para o primeiro dos casos, temos 
 
 
 
 
 
Faça você o segundo e verifique que o resultado é coerente. 
 
 
Considerando os dados do sódio acima, verifique se um fóton 
de cor violeta, cuja frequência vale , fornece 
 
 
 
44 
energia suficiente para arrancar um elétron da superfície nessa 
experiência. 
Resolução 
É imediato que sim, pois . 
 
2.3 EFEITO COMPTON 
No início da década de 20 do século passado, o físico 
americano A. H. Compton observou e analisou o efeito 
denominado como efeito Compton, o qual consiste no 
espalhamento de radiação eletromagnética por elétrons livres. 
Tal como o efeito fotoelétrico, ele mostra o comportamento de 
partícula da radiação, desde que este espalhamento seja visto 
como uma colisão entre o fóton incidente e o elétron. Assim, o 
fóton transfere tanto energia como momento para o elétron 
durante a colisão, o que, pela conservação da energia, requer 
que o fóton espalhado tenha energia menor do que o fóton 
incidente. Acesse o link abaixo para visualizá-lo. 
 
 
 
45 
http://www.unb.br/iq/kleber/EaD/Fisica-4/Aulas/Aula-
19/fig19-1c.gif 
 
 
 
 
 
Sabendo que a massa de repouso do fóton é nula, sua energia 
antes da colisão é e depois . Por outro lado, o 
elétron antes da colisão tem energia cinética nula e, portanto, 
energia total igual à sua energia de repouso, isto é, 
 
 ; depois, . Logo, pela 
conservação da energia, temos 
 
 
 
 
 
 
 
46 
Agora, pela conservação da quantidade de movimento ao longo 
da horizontal, recebemos e, pela vertical, 
 . Elevando ambas ao quadrado e em seguida 
somando-as 
 
 
 
 
Levando em conta a equação relativística para o elétron, 
proposta por Paul Dirac em 19279, temos 
 
 
 
 
Desse modo, substituindo as duas primeiras equações nesta 
anterior e, em seguida, realizando uma álgebra simples, 
concluímos que o deslocamento Compton é 
 
 
 
 
onde o comprimento de Compton é definido por 
 
 
. Note 
que a constante de Planck pode ser calculada da relação acima 
 
9
 A energia relativística do elétron é 
 
 . Como , segue a relação 
acima. 
 
 
 
47 
também! De fato, com a confirmação experimental, a hipótese 
do pacotinho concentrado de energia é assegurada mais uma 
vez. 
Compreendido este efeito, brinque um pouco no link abaixo: 
http://www.if.ufrgs.br/~betz/iq_XX_A/efCompt/apsEC/ec_10_
08_05.swf 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – EFEITO COMPTON 
A energia cinética transferida ao elétron é . 
Reescreva-a em termos do deslocamento Compton e do 
comprimento de onda da radiação incidente. 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
48 
Vimos que, no efeito fotoelétrico, o elétron está ligado à 
superfície, e que, se o fóton incidente não tem energia suficiente 
para removê-lo, ele continua ligado, tendo sua energia cinética 
aumentada. Lembrando que o efeito Compton foi observado 
apenas para elétrons livres, discorra acerca disto. 
Resolução 
Note que na expressão do deslocamento Compton, o termo do 
denominador leva em conta a massa de repouso do elétron. Se 
este está ligado a uma estrutura maior e mais pesada (um 
átomo), é imediato que o deslocamento passa a ser desprezível, 
notado que o (1-
uma ideia da ordem de grandeza envolvida, para o carbono, por 
exemplo, a massa de repouso do elétron é cerca de 22000 vezes 
menor do que a do átomo, o que gera um deslocamento de 
cerca de um milionésimo de angstrom. 
 
 
 
 
49 
2.4 PRODUÇÃO E ANIQUILAÇÃO DE PARES E 
SIMETRIA CROSSING 
 
2.4.1 Partículas e Antipartículas 
Como veremos, aniquilação de pares é outro fenômeno 
que evidencia o caráter corpuscular da radiação. Mas, antes de 
o tratarmos quantitativamente, é importante ter o conceito de 
antipartícula entendido, o qual é fundamental para tal análise. 
Vejamos como esta ideia surgiu. 
No desenvolvimento da teoria relativística do elétron, um 
gigante da Física, Paul Dirac, em 1927, chegou a um resultado 
bastante curioso: , o qual admitia uma 
solução positiva e outra negativa para a energia do elétron. A 
primeira tentativa para contornar a existência dos estados de 
energia negativa foi a própria modificação da teoria ou a 
introdução à mão de algum postulado ou condição que os 
proibisse. Entretanto, ele percebeu que esse não era o caminho 
 
 
 
50 
correto e passou, portanto, a aceitá-los, procurando então por 
alguma interpretação física para eles. 
Levando em conta o princípio de exclusão de Pauling10, 
que diz que dois elétrons não podem existir num sistema cujo 
estado quântico é o mesmo, Dirac observou que, se os elétrons 
possuem todas as energias negativas permitidas do sistema, os 
que tivessem energia positiva não poderiam sofrer nenhum tipo 
de transformação, emitir radiação eletromagnética e ocupar 
uma vaga com energia negativa, pois isto violaria o princípio da 
exclusão. Daí surgiu a ideia do mar de elétrons! Essa hipótese 
era necessária, pois o Universo seria preenchido por esse mar, o 
qual não observamosporque está em toda parte, tal que seus 
buracos (falta de elétrons), caso existissem, deveriam ser 
preenchidos pelos elétrons com carga positiva, os quais 
deveriam ser observados experimentalmente. Mas havia um 
problema com essa proposta: na época só se conheciam 
elétrons e prótons, cuja massa era da ordem de 10³ vezes maior 
 
10
 Será contemplado na Unidade 2. 
 
 
 
51 
do que a do primeiro. Logo, devido à grande diferença, o próton 
não poderia ser a “antipartícula” do elétron, como Weyl observou 
a Dirac. Somente anos depois, a antipartícula do elétron foi 
observada, a qual foi batizada por pósitron, cuja representação é 
 . Atualmente, em linguagem moderna, a extensão do mar de 
elétrons de Dirac para outras partículas pode ser expressa 
como: 
 
PARA CADA PARTÍCULA CORRESPONDE UMA 
ANTIPARTÍCULA DE MESMA MASSA, PORÉM DE CARGAS 
ELÉTRICAS IGUAIS EM MÓDULO E DE SINAL CONTRÁRIO. 
 
 
 
 
 
 
 
52 
2.4.2 Aniquilação de Um Par Elétron – Pósitron Em 
Dois Fótons 
Considere um par elétron-pósitron tal que eles estejam a 
uma distância suficiente para que haja interação. 
Antes Depois 
Considerando que o par estava em repouso antes da 
interação, a conservação da quantidade de movimento nos leva 
a concluir imediatamente que . Logo, é trivial que 
 . Então, pela conservação da energia, recebemos que 
a energia de cada fóton vale a energia de repouso do elétron 
(ou do pósitron, se preferir, afinal eles têm a mesma massa de 
repouso!), isto é . 
2.4.3 Simetria de Crossing: Um Sabor de Teoria 
Quântica de Campos 
No nível prático, a simetria de crossing pode ser 
entendida da seguinte forma: dado que o processo 
 ocorre, é possível torcer/girar a partícula de um lado para o 
 
 
 
53 
outro da reação, desde que ela seja trocada, substituída por sua 
antipartícula . Assim, desde que todos os princípios de 
conservação sejam satisfeitos, é permitido, por exemplo, que 
ocorram também os processos e 
Em geral, a simetria de crossing se manifesta na 
igualdade abaixo, onde , a grosso modo, é 
uma amplitude de probabilidade de que se ocorra o processo 
da partícula de momento interagindo com outras partículas 
e dando como resultado, em geral, outras. 
 
Ou seja, a amplitude de espalhamento para qualquer 
processo que envolva inicialmente uma partícula com momento 
 é a mesma que para o processo “torcido e/ou girado” com sua 
antipartícula com momento – no estado final; o que, segundo a 
interpretação de Feynman, significa que a antipartícula viaja 
para o passado com momento igual em módulo, porém com 
sentido contrário ao momento da partícula. Nesse contexto, é 
 
 
 
54 
possível dizer que o efeito Compton é o mesmo processo que a 
aniquilação de pares, embora sejam fenômenos totalmente 
diferentes. Vejamos como essa simetria se aplica para o Efeito 
Compton e para a aniquilação de pares. 
Como você já deve ter ouvido falar, existem quatro forças 
fundamentais na natureza: as forças nucleares forte e fraca, cujo 
domínio está no núcleo da matéria; a gravitacional, que é 
descrita pela teoria da gravitação de Newton e sua 
generalização é a teoria da relatividade geral de Einstein; e a 
eletromagnética, descrita classicamente pelas equações de 
Maxwell e, a nível quântico, pela TQC, a qual foi elaborada por 
grandes nomes da Física, como Richard Feynman. Cada uma 
delas é intermediada pelo que os físicos chamam de partícula 
mediadora. A nuclear forte é intermediada por glúons, enquanto 
a fraca, por bósons W e Z; a gravitação, por grávitons, e a 
eletrodinâmica pelos nossos velhos conhecidos fótons. 
Feynman propôs uma forma muito interessante e 
acessível de se representar essas interações, através dos 
 
 
 
55 
diagramas de Feynman. Vejamos como representar o efeito 
Compton (esquerda) e a aniquilação do par elétron-pósitron 
(direita) segundo esse formalismo. 
 
As linhas sólidas representam elétrons; as onduladas, 
fótons. No primeiro diagrama o elétron de momento interage 
com o fóton de momento , dando como resultado um elétron 
de momento e um fóton de momento . No seguinte 
diagrama, é a quantidade de movimento do pósitron, a 
antipartícula do elétron, viajando para o passado, que interage 
com o elétron de momento , tal que elas produzem um par de 
fótons, com momento e . Por convenção, o tempo flui no 
sentido vertical de baixo para cima. 
 
 
 
56 
Sem entrarmos em nenhum detalhe sobre como calcular 
a amplitude de espalhamento deste processo, limitemo-nos em 
ver a cara de seu resultado, o qual é dado basicamente por11 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, a amplitude para o processo de aniquilação 
elétron-pósitron é 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se torcermos o segundo vértice do diagrama que 
representa a aniquilação, recebemos um diagrama semelhante 
ao primeiro (confirme você). Note agora que, se fizermos neste 
“novo diagrama” do efeito Compton as substituições abaixo, 
 
 
 
 
 
11
 Optei por manter a consistência tensorial da fórmula. Não se preocupe em entendê-la, 
mas somente como fazer as substituições mencionadas acima. 
 
 
 
57 
que é o que diz a primeira fórmula desta secção, a nova 
amplitude para esse processo é basicamente igual à 
amplitude da aniquilação ! Assim, verifica-se que as regras 
de Feynman contêm a simetria de crossing. Além disso, 
podemos abusar um pouco e dizer que apesar desses dois 
fenômenos serem totalmente diferentes no laboratório, eles “são 
o mesmo processo”! Quem sabe você não toma gosto por isso 
e já começa a traçar planos para uma Pós em Física de 
partículas?! 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PARTÍCULAS, 
ANTIPARTÍCULAS E SIMETRIA DE CROSSING 
Na aniquilação do par elétron-pósitron resolvido no texto, 
calcule qual o comprimento de onda associado ao fóton com 
 . 
Resolução 
 
 
 
 
 
 
 
58 
Considerando o arranjo da questão anterior, discuta sobre 
os comprimentos de onda dos fótons. 
Resolução 
Sendo o sistema configurado como dito, a energia do par 
antes da aniquilação é somente de repouso. Entretanto, 
havendo alguma energia cinética K, a energia E seria maior e, 
portanto, os comprimentos de onda dos fótons seriam menores. 
No resultado anterior, por exemplo, os fótons emitidos se 
encontram na região do infravermelho; logo, não 
conseguiríamos enxergá-los. 
 
 
 
 
 
 
 
 
59 
3-PROPRIEDADES ONDULATÓRIAS DAS PARTÍCULAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
3.1 As ondas de De Broglie 
Depois do Efeito Fotoelétrico e Efeito Compton, não 
restava dúvida de que de fato ondas poderiam se comportar 
como partículas em certas situações. Apesar disso, até meados 
da terceira década do século passado, era confuso e divergente 
o entendimento acerca do comportamento dualístico da 
radiação. 
 Inicialmente envolvido em estudos sobre a natureza dos 
raios X, os irmãos Louis e Maurice de Broglie estavam certos da 
necessidade de uma teoria que conciliasse ambos os aspectos. 
Em 1924, Louis de Broglie defendeu umas das mais 
importantes teses de doutoramento do século passado. O 
coração de sua ideia foiassociar uma espécie de sombra que 
acompanha a partícula. Essa sombra é uma onda que está 
ligada à probabilidade da partícula produzir efeitos observáveis, 
como a interferência, por exemplo. Em outras palavras, de 
Broglie postulou que partículas têm natureza ondulatória, 
associando a elas um comprimento de onda E: 
 
 
 
61 
 . 
mv) o caráter ondulatório da matéria só seria perceptível para 
massas extremamente pequenas. Ou seja, seria um absurdo 
propor que se atirássemos inúmeras bolas de tênis numa fenda 
única, haveria difração. 
A interpretação para sua onda ainda não estava nem 
próxima de ser bege em suas publicações (dizer clara seria tão 
extravagante quanto a própria ideia de De Broglie para a 
época). Somente em 1927, ele apresentou o que chamou de 
“onda piloto” como tentativa de clarear seu postulado: sua ideia 
permitia compreender como um elétron se comportava como 
onda quando se movia e como partícula quando é emitido ou 
absorvido. Essa interpretação era consistente com seu modelo, 
pois ele associava dois tipos de ondas diferentes ao elétron: 
uma onda concentrada em torno de um ponto que localizava a 
energia da partícula e outra espalhada pelo espaço que dirigiria 
seu movimento. 
 
 
 
62 
A hipótese de De Broglie foi comprovada em 1927 (3 anos 
após a data em que De Broglie fez sua proposta), por Davisson 
e Germer ao estudarem a natureza da superfície de um cristal 
de Níquel. Eles perceberam que ao incidirem um feixe de 
elétrons (partículas) contra a superfície, ao invés de haver 
reflexão difusa, houve uma reflexão similar à observada na 
incidência de raios X. A incidência de raios X num cristal gera 
uma forte reflexão a certo ângulo de tal maneira que haja 
interferência construtiva e um reforço seja perceptível. 
Analisando os ângulos nos quais isso acontecia para o Raio X e 
os ângulos nos quais isso acontecia para os elétrons, percebeu-
se que nessas situações os elétrons possuíam o exato 
comprimento de onda proposto por De Broglie. Ora, então De 
Broglie estava certo! A interferência construtiva observada nos 
cristais NUNCA ocorreria de acordo com a teoria corpuscular do 
elétron. Isto rendeu um Nobel para Louis de Broglie em dois 
anos, confirmando a existência das ondas de matéria. 
 
 
 
63 
Nos exercícios resolvidos, ficará claro porque é impossível para 
nós percebermos o nosso próprio comportamento de onda! Isto 
está ligado ao valor da constante de Planck. De fato, ele impõe 
um limite entre o nosso mundo e o microscópico. 
 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – ONDAS DE MATÉRIA 
Qual o comprimento de onda do seu/sua amado (a) quando 
ele/ela corre para os seus braços? Para calcular esta 
quantidade, estime sua massa em kg e suponha que sua 
velocidade de corrida seja 5 m/s. 
Resolução 
Se minha namorada pesa 55 kg, correndo a 7 m/s, sua 
quantidade de movimento será 
 . 
E do/da seu/sua? 
 
 
 
64 
 
Seja um elétron com energia cinética igual a 100 eV. Qual seu 
comprimento de onda? Compare esse valor com o obtido no 
exercício anterior. 
Resolução 
O momento de um elétron com energia cinética T é . 
Então, 
 
 
 
 
Assim, 
 
 
 
 
Isso nos leva a concluir que nosso comprimento de onda 
de De Broglie é extremamente pequeno quando comparado ao 
do elétron. Perceba o poder da constante de Planck. O mundo 
microscópico vive coisas que não estão ao nosso alcance, mas 
 
 
 
65 
somente da nossa capacidade de abstração na tentativa de 
entendermos o mundo em que vivemos! 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1. Uma arma dispara um projétil de 20 g a uma velocidade 
de 500 m/s . Determine o comprimento de onda de De 
Broglie associado ao projétil e explique por que o caráter 
ondulatório não é aparente nessa situação. 
2. Um microscópio eletrônico pode resolver estruturas de 
pelo menos 10 vezes o comprimento de onda de De 
Broglie do elétron. Qual é a menor estrutura que pode ser 
resolvida num microscópio eletrônico, usando elétrons 
com energia cinética de 10000 eV? 
 
 
 
 
 
 
66 
4-SOBRE O ÁTOMO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
67 
4.1 O MODELO DE BOHR 
 
Os pioneiros na investigação da estrutura da matéria foram os 
filósofos gregos, os quais utilizaram a palavra átomo para 
designar o indivisível, a mínima parte, o quantum da matéria. 
Hoje sabemos que, menor do que ele existem os quarks, os 
glúons, os elétrons, dentre outras tantas, ditas elementares. 
Dando um grande salto na história, passando pelo calórico 
pudim de passas de Thompson, chegamos ao modelo do 
átomo de Rutherford, inspirado no modelo planetário. A ideia era 
bastante sofisticada para a época (1900): um átomo com um 
núcleo pequeníssimo e pesado, detentor de cargas positivas, tal 
que girando em torno dele havia os elétrons, cujas cargas eram 
negativas. 
Mas para que pouca complicação se era possível complicar 
mais? Niels Bohr interessou-se por tentar explicar o espectro 
descontínuo dos gases, que emitiam luz em determinadas 
frequências (o que sugeria que a vibração dos elétrons dentro 
 
 
 
68 
do átomo deve ser dada em determinadas frequências – 
perceba a semelhança com a sugestão de Planck para os 
corpos negros), e inspirado no modelo de Rutherford, Bohr 
postulou o seguinte: 
i. só é possível ao átomo permanecer em forma estável em 
um conjunto descontínuo de valores de energia, ditos 
estados estacionários. Assim, uma mudança de um para 
qualquer valor dessa série deve acontecer de maneira 
completa, incluindo emissão e absorção de radiação 
eletromagnética; 
ii. a relação define que a energia da 
radiação (absorvida ou emitida) mediante uma transição 
completa entre dois estados, “a” e “b”, é proporcional à 
frequência desta radiação, onde e são as respectivas 
energias em cada estado. 
No fundo o primeiro postulado, quantiza o momento angular do 
elétron, dizendo que ele é um múltiplo inteiro da constante de 
 
 
 
69 
 
 
 
 , o qual deve ser 
constante para cada estado, ou órbita (não significa que são 
sinônimos!), visto que a força que atua neste sistema é central, a 
força de Coulomb. Note que ele também viola a Física clássica, 
pois, como você já estudou num curso de eletromagnetismo, 
toda carga acelerada irradia, desde que essas órbitas 
estacionárias que os elétrons percorrem tenham sentido 
clássico12, isto é, são circunferências com raio bem definido (isso 
será deduzido a seguir). Portanto, desde o momento angular, a 
energia, a velocidade da órbita e o raio sejam quantizados, é 
imediato que os espectros dos átomos também o são. 
Já o segundo postulado diz que quando um elétron cai da órbita 
“a” para uma “b” de menor raio, é emitida radiação com tal 
energia. Por outro lado, se o elétron recebe certa energia, ela 
deve ser suficiente para que vença o potencial de ligação com o 
núcleo e chegue até o raio de órbita maior; do contrário, ele 
somente adquire mais energia cinética de rotação, não 
 
12
 Entender isso fisicamente não é tão simples quanto dizer. Ao longo do curso você 
perceberá... 
 
 
 
70 
mudando, portanto, seu raio de órbita. Um ponto importante a 
ser percebido é que as frequências associadas à transição de 
estados e ao movimento do elétron não são as mesmas em 
princípio! Outra curiosidade é que Bohr não utilizou o termo 
quantumde luz, como Einstein o fez; no entanto, utilizamos essa 
denominação... o fóton nos persegue! 
 
 
 
 
 
 
Como será visto nas próximas seções, os resultados de 
Bohr foram divisores de água na pesquisa da Física, tanto 
teórica quanto experimental. E apesar de seus resultados não 
serem aplicáveis a estruturas mais complexas, isto não tira 
 
 
 
71 
nenhum mérito deste genial físico! Veremos também como 
Sommerfeld o refinou. 
Discussão Quantitativa do Modelo de Bohr 
A segunda lei de Newton aplicada ao elétron levando em 
conta a condição de estabilidade do átomo (isso contraria a 
Física clássica, no sentido de que toda carga acelerada deve 
irradiar), algo inegável, nos fornece. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então a energia cinética do elétron vem dada por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por outro lado, a energia potencial, considerando que ela 
é nula quando o elétron está muito longe do núcleo, o que é 
 
 
 
72 
razoável, já que a força de Coulomb vai com o inverso do raio 
ao quadrado, será 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde o sinal negativo indica que o potencial é atrativo. 
Isolando a velocidade na expressão do momento angular, 
obtendo r, e substituindo-a na segunda lei, chegamos a. 
 
 
 
 
com . 
Logo, desde que a energia total seja , e 
substituindo em e , concluímos que o espectro da energia 
vem dado por 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
73 
para . 
Para o átomo de hidrogênio (Z=1), a energia do estado 
fundamental (n=1) é -13,6 eV. À medida que o número quântico 
principal n aumenta de valor a energia, se aproxima cada vez 
mais de zero negativamente. Veja como representar isso num 
diagrama. 
 
Níveis de energia para H. 
Visite essa simulação abaixo! 
http://www.walter-fendt.de/ph14br/bohrh_br.htm 
 
 
 
74 
4.2 LINHAS ESPECTRAIS DO HIDROGÊNIO 
Na época já era bem conhecido o espectro do hidrogênio, 
entretanto, nem o modelo de Bohr foi capaz de explicar a sua 
estrutura fina. Em outras palavras, ainda não se sabia como 
explicar o fato de algumas linhas do espectro estarem muito 
próximas umas das outras. Veja a Figura abaixo – aparelhagem 
usualmente utilizada para se medir espectros. 
 
 
Lembre-se de que Newton foi o primeiro a observar que a luz 
branca do sol se dividia em várias outras cores ao passar por 
um prisma? Talvez você consiga observar também somente 
com uma fresta deixada pela cortina. 
De maneira empírica, Balmer conseguiu escrever uma fórmula 
para a série do hidrogênio, tal que corresponde à faixa de 
 
 
 
75 
comprimentos de onda na região do visível e também próximo 
ao ultravioleta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
De forma análoga, Lyman, para a região do ultravioleta e 
Paschen, para o infravermelho obtiveram que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sommerfeld, ao tentar aprimorar o modelo de Bohr, 
utilizou a relatividade restrita ao invés da mecânica puramente 
 
 
 
76 
clássica13, substituindo as órbitas circulares por elípticas. Assim 
sendo, ele conseguiu explicar a existência da tal estrutura fina. 
Voltaremos a falar dela mais adiante do nosso curso, quando 
resolvermos a equação de Schroedinger em coordenadas 
esféricas, de tal forma que os números quânticos apareçam 
naturalmente (o número quântico principal n já vem da 
quantização da energia), incluindo o princípio de exclusão de 
Pauling. 
Até esse momento, vemos que conceitualmente a teoria 
quântica precisa ser mais desenvolvida, pois ela ainda mistura 
aspectos clássicos e estes novos princípios e resultados que 
temos visto ao longo de nossos estudos. Na próxima aula, 
vamos tentar começar a organizar as coisas. 
 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – SOBRE O ÁTOMO 
 
13
 Deixo para um trabalho de fim de curso o estudo das contribuições de Sommerfeld, 
incluindo as regras de seleção e seu modelo atômico. 
 
 
 
77 
Utilizando a fórmula de Bohr, calcule a energia de ligação (em J 
e eV) para os níveis de 1 até 5. Lembre-se de que 
 . Em seguida, calcule os comprimentos de onda 
do fóton emitido na queda da órbita do quarto nível para o 
terceiro, segundo e primeiro (fundamental). 
Resolução 
Em joules, para o átomo de Hidrogênio (Z=1), a energia 
fica ; em eV, . Então em joules 
de n=1 até n=4, temos, respectivamente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Isto é 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
78 
 
 
 
 
Como , segue que 
 
 
 
 
 
Verifique você que a fórmula de Balmer é satisfatória para 
a transição 4,2! Utilize a de Lyman para 4,1 e a de Paschen para 
4,3 e veja a mágica que eles fizeram! 
4.3 OS FORMALISMOS DA TEORIA QUÂNTICA 
 
A década de 20 do século passado foi crucial para o 
desenvolvimento da Teoria Quântica. Em 1926, Erwin 
Schroedinger, tendo estudado a tese de De Broglie, com uma 
sequência de artigos publicados, chegou à famosa Equação de 
onda de Schroedinger. Basicamente, ele modificou a ideia de 
que os elétrons descreviam órbitas circulares bem definidas 
propondo que estes não poderiam ser bem localizados, 
 
 
 
79 
ocupando todo o espaço em torno do núcleo em forma de uma 
nuvem, um mar em 3D, algo semelhante às ondas sonoras em 
um tubo. Com esta equação, Erwin recuperou os resultados de 
Bohr para o átomo de hidrogênio e também resolveu (mas não 
foi o único) o oscilador harmônico simples. 
Em paralelo com mecânica ondulatória de Schroedinger, 
mas de forma independente, outros grandes físicos 
desenvolviam outra abordagem para a Teoria Quântica: a 
mecânica matricial. Werner Heisenberg, Max Born e Pascual 
Jordan se apoiavam na hipótese de que a Física devesse 
trabalhar com grandezas observáveis e mensuráveis. A 
construção desse formalismo nem sequer questionara sobre a 
estrutura dos átomos, mas buscava por quantidades que 
deveriam ser básicas na teoria. 
Apesar de muito diferentes tanto nos aspectos conceituais 
como no formalismo matemático, ambas as teorias levavam a 
alguns resultados iguais, como o espectro do oscilador 
 
 
 
80 
harmônico simples. Portanto, surge uma pergunta chave: ambas 
as descrições da natureza são compatíveis? 
A resposta é sim: a Teoria Quântica é uma só, e ambas são 
maneiras diferentes de se descrever a mesma coisa. A Teoria 
Quântica é sustentada e blindada por dois princípios 
fundamentais: 
i. o princípio da complementaridade de Bohr, anunciado em 
setembro de 1927; 
ii. o princípio da incerteza de Heisenberg, publicado em março 
de 1927. 
4.4 PRINCIPIOS DA CMPLEMENTARIEDADE E 
INCERTEZA 
 
4.4.1 O Princípio da Complementaridade 
 
Neste intrigante cenário em que os físicos mais se 
bagunçavam do que organizavam e ligavam os fatos, Bohr teve 
 
 
 
81 
papel de retalhador. Vimos anteriormente que a radiação possui 
propriedade de partícula quando em interação, pois podemosassociar a ela uma energia que viaja no espaço em forma de 
pacotinhos concentrados, os fótons, os quais transferem toda 
essa energia em uma colisão. Lembre-se de que Einstein não 
procurou por uma onda que regesse o movimento da radiação 
no espaço, e sim explicou a emissão de elétrons devido à 
incidência da luz sobre numa placa metálica, onde os elétrons 
estavam inicialmente tranquilos, sossegadinhos. Por outro lado, 
a evidência de que os elétrons possuam uma forma de onda 
que evidenciasse efeitos típicos de onda, como sua difração 
observada por Thompson em 1927, constituía o outro lado da 
moeda. 
Assim sendo, onda e partícula são faces complementares e 
excludentes da natureza. Logo, a totalidade da compreensão 
de um ente físico só é possível quando levamos em conta esses 
dois aspectos. De fato, como disse Niels Bohr, isso nos mostra o 
quão limitada é nossa linguagem: ela só serve para descrever 
 
 
 
82 
coisas que estão ao nosso alcance, o que não ocorre com o 
mundo microscópico. Nossa maneira de representar o mundo 
em que vivemos é confinada por nossa incapacidade de 
abordar descrições que aparentemente são contraditórias, mas 
que na verdade são complementares e necessárias. Não há 
paradoxo nenhum, como erroneamente alguns livros 
introdutórios sobre o assunto mencionam; o que existe é um 
comportamento dual de tudo o que existe na natureza: a 
matéria e a radiação. É nesta interpretação a respeito da 
dualidade que consiste o princípio da complementaridade. 
4.4.2 O Princípio da Incerteza 
 
No mundo quântico, a palavra fenômeno passa a ter um 
significado especial: ao contrário do usual, que significa 
qualquer coisa que possa ser observada, agora ela tem em sua 
acepção o seguinte: 
 o ente físico; 
 
 
 
83 
 o arranjo experimental, incluindo a 
aparelhagem e o observador; 
 o experimento realizado, seguido de seu 
registro e interpretação macroscópicos. 
O que está por trás do princípio da incerteza de Heisenberg é 
que todo fenômeno observado é essencialmente diferente do 
não observado. A incerteza de uma medição é inevitável, é algo 
intrínseco à própria medida. Por exemplo, quando examinamos 
o movimento de uma partícula de poeira, é necessário luz para 
podermos enxergá-la. Então a incidência do fóton de luz 
fatalmente altera sua posição, pois lhe será transferida energia. 
Perceba o quão profundo conceitualmente ele é. 
Werner Heisenberg foi um cientista alemão que se propôs a 
mostrar, ou exprimir matematicamente, sua tese de que a 
posição e velocidade do elétron em torno do núcleo do átomo 
são impossíveis de precisar simultaneamente. Para medir 
experimentalmente a posição do elétron precisamos de 
 
 
 
84 
instrumentos de medidas (um dos métodos conhecidos na 
época consistia de incidir um tipo de radiação sobre o mesmo). 
Os instrumentos de medida, por sua vez possuem incertezas de 
medição. Quanto menor a incerteza, mais precisa é a 
localização do elétron. Suponha uma partícula que move 
retilineamente e que você mede seu momento p com uma 
incerteza . Segundo Heisenberg, não é possível determinar 
sua posição com mais precisão do que . Isto significa 
que as grandezas físicas são expressas por probabilidades, o 
que é totalmente contrário à Física clássica. Note que não há 
restrição quanto à precisão da medida de ou : há restrição 
quanto ao produto numa medida simultânea. Heisenberg 
enunciou que o produto da incerteza da posição pela incerteza 
do momento linear de um elétron não pode ser inferior (em 
ordem de grandeza) à metade da constante de Planck reduzida. 
Ou seja: 
A conclusão é que o elétron não está bem definido na sua 
órbita do átomo. Quanto mais preciso soubermos sua posição, 
 
 
 
85 
menos preciso para nós será sua velocidade, tornando assim 
impossível descrever o elétron em cada instante. Esse 
enunciado é conhecido como Princípio da Incerteza de 
Heisenberg 
Palavras Finais sobre o Começo 
O objeto que era manipulado na equação de 
Schroedinger, a função de onda , possuía uma dificuldade 
natural na sua interpretação, pois ela era dotada ao mesmo 
tempo de parte real e imaginária (estudaremos isso adiante). As 
partículas são representadas por funções de onda que nos 
dizem qual a probabilidade de encontrá-la em algum lugar do 
espaço ou de possuir certa velocidade ou certa energia. 
Segundo essa interpretação, a noção de trajetória, oriunda da 
Física clássica, perde totalmente sentido (você acha que Bohr 
estava errado na hipótese das órbitas estacionárias de seu 
modelo atômico? – assunto para o fórum!). Agora, as partículas 
podem estar em qualquer lugar do espaço a qualquer instante. 
 
 
 
86 
Evidente que ocorreram inúmeras discussões. O principal 
protagonista das batalhas intelectuais dos titãs da nova Física 
foi Bohr. Ele, de um lado, liderava o crescente movimento à 
adesão da interpretação de Copenhague. De outro, não havia 
um movimento, mas um grupo de brilhantes físicos que eram 
contrários à ideia da complementaridade. 
Einstein não acreditava na descrição probabilística da 
natureza, posição refletida com sua ilustre frase: “A Mecânica 
Quântica é de fato imponente. Porém, uma voz dentro de mim 
diz que ainda não é a verdadeira coisa. A teoria diz muito, mas 
não nos leva mais perto do segredo do Velho. Eu, de qualquer 
forma, estou convencido de que Ele não joga dados”. Em 
contrapartida, defensor da interpretação probabilística 
(Copenhague), Bohr a rebateu: “Pare de dizer a Deus o que ele 
deve fazer!” 
Talvez seja o mais significativo movimento científico com as 
mentes mais fantásticas que o mundo já presenciou, como 
Bohr, Schroedinger, De Broglie, Einsten, Heisenberg, Planck, 
 
 
 
87 
Dirac, Pauli, dentre outros. Essa migração não foi só modinha da 
época. Essa trilha culminou em uma das mais fascinantes 
teorias já formuladas: a Mecânica Quântica. E, talvez, por meio 
dela, a natureza, o Cara lá de cima nos mostra nossa pequeneza 
perante o todo, o cosmos: não devemos nos preocupar com as 
respostas que ela nos dará, mas em quais perguntas podemos 
fazer. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS – PRINCÍPIO DA 
INCERTEZA 
De fato, a constante de Planck impõe uma barreira entre o 
mundo microscópico e o nosso. Verifique por sua vez que o 
princípio da incerteza de Heisenberg não impõe limites acerca 
da determinação da precisão na localização de um automóvel 
de Fórmula 1 de massa 680 kg (com piloto) que se move a 300 
km/h, cuja incerteza na medida é de 1%. 
Resolução 
 
 
 
88 
 
Pelo princípio da incerteza, . Logo, 
 
Isto significa que este princípio não restringe nada no processo 
de medição de objetos macroscópicos. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1- Num experimento, foi de 5,0 x 10³ m/s a velocidade de um 
elétron, medida com precisão de 0,003%. Calcule a incerteza na 
determinação da posição do elétron, sendo conhecidos: massa 
do elétron 9,1 x10-31 kg e constante de Planck reduzida 1,1x10-34 Js. 
Resposta: A incerteza mínima é de, aproximadamente, 0,04 % 
 
 
 
 
89 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
90 
5.1 INTRODUÇÃO 
 
Nos capítulos anteriores, apresentamos evidências que as 
partículas microscópicas, como os elétrons, não se movem de 
acordo com as leis da mecânica clássica, dadas pelas Leis de 
Newton. Essas partículas se movem de acordo com as leis de 
algum tipo de movimento ondulatório com a propagação de 
ondas. Isso ficou claro pelo padrão de interferência criado 
quando um feixe de elétrons atravessa uma fendadupla. Nesta 
unidade, iniciaremos um estudo quantitativo da dinâmica 
dessas pequenas partículas, por meio de seus postulados e de 
uma formulação matemática precisa. Afinal, quais são as leis 
que regem o movimento das partículas microscópicas? A teoria 
de Schroedinger da Mecânica Quântica nós dá essas leis. 
Vamos analisar uma partícula microscópica (por exemplo, 
um elétron) que está livre para se movimentar nas três 
dimensões. Vamos considerar, como postulado, que o estado 
dessa partícula, em um instante de tempo t, é definido por um 
 
 
 
91 
parâmetro complexo chamada função de onda, e indicada pelo 
símbolo Ψ(x,y,z,t), em que (x,y,z) são as coordenadas espaciais e 
t a coordenada temporal. 
A teoria quântica especifica quais as leis do movimento 
ondulatório que regem o movimento das partículas de qualquer 
sistema microscópico. Para isto, cada sistema tem especificada 
a equação que rege o comportamento da função de onda, e 
também a relação entre esse comportamento e o 
comportamento da partícula. A teoria é uma extensão do 
postulado de De Broglie. Além disso, há uma relação íntima 
entre ela e a teoria de Newton para o movimento de partículas 
em sistemas macroscópicos. A teoria de Schroedinger é uma 
generalização, que inclui a teoria de Newton como um caso 
especial, no limite macroscópico, assim como a teoria da 
relatividade do Einstein é uma generalização que inclui a teoria 
de Newton como um caso especial (no limite de baixas 
velocidades). Vamos desenvolver os pontos essenciais da teoria 
 
 
 
92 
quântica de Schroedinger e utilizá-los para tratar esses sistemas 
microscópicos. 
5.2 A EQUAÇÃO DE SCHROEDINGER 
 
Conforme vimos nos capítulos anteriores, a noção de 
dualidade (onda partícula) trouxe uma série de consequências 
para as ideias de radiação e matéria. No entanto, ainda havia 
muita coisa no ar após as propostas de Einstein para o fóton e a 
de De Broglie para as “ondas-guia” das partículas. Faltava um 
formalismo que fosse suficientemente abrangente, uma 
sustentação semelhante ao que são as leis de Newton para a 
mecânica clássica ou as equações de Maxwell para o 
eletromagnetismo. 
Werner Heisenberg, em 1925, formulou uma abordagem 
que ficou conhecida como mecânica das matrizes. Nesta 
abordagem, variáveis como posição, momento linear e energia 
são representadas através de matrizes, operadores não 
 
 
 
93 
comutativos. Esta característica dá suporte a aspectos 
quânticos, como as próprias relações de incertezas, que foram 
discutidas no capítulo anterior. 
Outra formulação foi proposta por um físico austríaco, 
Erwin Schroedinger. Esta formulação, que é um pouco mais 
acessível matematicamente, baseia-se numa equação 
diferencial de segunda ordem, cuja solução é a famosa função 
de onda . Esta função de onda é uma expressão matemática 
que rege o caráter ondulatório de uma partícula, algo que se 
buscava como vimos, desde a proposta de De Broglie. O próprio 
Schroedinger mostrou que esta formulação era equivalente à 
mecânica das matrizes, o que consolidou os esforços teóricos 
dos pioneiros dos quanta. Daqui para frente, analisaremos 
apenas a formulação baseada na equação da função de onda. 
A partir da equação de Schroedinger, podemos obter 
soluções ondulatórias que nos fornecem informações cruciais 
sobre o comportamento de uma partícula-onda. São 
contempladas influências de forças externas, o que indica 
 
 
 
94 
claramente o quão mais profunda é a concepção de 
Schroedinger em relação às ondas-guia de De Broglie. 
A equação de Schroedinger tem um papel análogo, na 
Mecânica Quântica, ao desempenhado pela segunda lei de 
Newton na Mecânica Clássica, que relaciona, através de uma 
equação diferencial, força e posição de uma partícula. Resolver 
esta equação diferencial significava conhecer o presente, 
passado e futuro de uma partícula ou de um sistema de várias 
partículas. Do mesmo modo, resolver a equação de 
Schroedinger significa conhecer a equação da onda associada 
a uma partícula qualquer. No entanto, não significa o que seria 
contraditório com o princípio da incerteza, conhecer 
arbitrariamente qualquer grandeza associada à partícula. 
Conhecer a expressão da função de onda, como veremos, é 
uma fonte de grande informação estatística sobre o estado de 
uma partícula qualquer. 
 
 
 
95 
Schroedinger não utilizou a expressão “ondas-piloto” ou 
“ondas-guia”, mas sim um termo mais conservador de “função 
de onda”, terminologia que adotaremos para . 
Bom, o primeiro problema que temos não é como resolver essa 
equação diferencial e sim, como encontrar essa equação. Aqui 
não será apresentada uma dedução da equação, mesmo 
porque a equação foi obtida através de um postulado. 
Apresentaremos apenas argumentos que façam com que a 
equação parece bastante razoável. Começamos nosso 
argumento fazendo uma lista de 4 hipótese: 
1- Ela deve ser consistente com os postulados de Broglie- 
Einstein: 
h/p e E / h (6-1) 
2- Deve ser consistente com a equação: 
E = p2 /2m + V (6-2) 
que relaciona a energia total de uma partícula de massa m com 
sua energia cinética e potencial V. 
 
 
 
96 
3- Deve ser linear em x,t) ou seja, se x,t) e x,t) são 
soluções da equação, então qualquer combinação linear 
c1x,t) + c2x,t) dessas duas equações também será uma 
solução. Assim, permite-se uma superposição de funções de onda, 
o que fornece uma explicação para padrões de interferência já 
observados nos experimentos. 
4- A energia potencial V é uma função de x e até mesmo do 
tempo mas, existe um caso especial onde V é constante: 
V (x, t) = Vo 
Esse é o caso da partícula livre. 
Como lidamos com ondas, também é muito razoável buscar uma 
equação que forneça soluções com componentes senoidais que 
contêm o caráter oscilatório inerente à própria noção ondulatória 
Para que possamos continuar é preciso relembrar duas 
grandezas: 
 
k = 2e(6-3) 
 
 
 
97 
onde k é o número de onda,  é a frequência angular e  
frequência linear. 
Usando as equações (6-1) da hipótese 1 e em seguida as 
relações acima (6-3) para escrever a equação (6-2) da hipótese 
2 teremos: 
 
 
 (6-4) 
 
Onde . 
A partir dessas hipóteses pode ser postulada a seguinte equação 
diferencial: 
 
 
 
 
 
 
 
 (6-5) 
 
sendo, m a massa da partícula, V(x,t) a energia potencial, i a raiz 
de -1 e (x,t) a desejada função de onda. 
 
 
 
98 
Assim, conhecer V(x,t) é o ponto crucial: a partir dele, 
recorremos a (6-5) para obter a função de onda, da mesma 
forma que na mecânica clássica precisávamos conhecer a força 
exercida sobre a partícula para conhecer sua posição em todos 
os momentos que desejássemos. 
Vamos supor que a função de onda é composta por uma 
função dependente apenas da posição e outra função 
dependente apenas do tempo, ou seja: 
 (6-6) 
A função (t) deve ser solução de uma equação de primeira 
ordem do tipo e, sendo assim, tem solução do tipo: 
(t) = exp(-2iCt/h) (6-7) 
sendo C um valor a determinar. 
A função (t) mostrou uma dependência simples com relação 
ao tempo. Falta ainda determinar (x), o que fazemos através da 
equação de Schroedinger independente do tempo: 
 
 
 
99 
 
 
 
 
 
 (6-8) 
sendo E a energia total da partícula (cinética