Parte2 Ex (1)

Prévia do material em texto

Lista de exercı´cio
1. Ache o aˆngulo entre os seguintes pares de vetores:
(a) 2
−→
i +
−→
j e
−→
j −−→k ;
(b)
−→
i +
−→
j +
−→
k e −2−→j − 2−→k ;
(c) 3
−→
i + 3
−→
j e 2
−→
i +
−→
j − 2−→k
2. Dados os pontos A(1, 2, 3), B = (−6,−2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor (ou seja, o vetor
unita´rio) do vetor projec¸a˜o de
−−→
BA sobre
−−→
BC.
3. Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1,−1) sa˜o ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo. Em
qual dos ve´rtices esta´ o aˆngulo reto?
4. Ache −→x tal que −→x × (−→i +−→k ) = 2(−→i +−→j −−→k e ‖−→x ‖ = √6.
5. Sabe-se que o vetor −→x e´ ortogonal a −→i +−→j e a −−→i +−→k , tem norma√3 e sendo θ o aˆngulo entre −→x
e
−→
j , tem-se cos θ > 0. Ache −→x .
6. a) Determine as equac¸o˜es parameˆtricas da reta r1 que passa por A(−1, 0, 1) e tem vetor diretor−→v1 = (−2, 1, 0).
b) Determine as equac¸o˜es sime´tricas da reta r2 que passa por B(3,−1, 0) e tem vetor diretor−→v2 = (1,−3, 1).
c) Determine as equac¸o˜es reduzidas da reta que e´ simultaneamente ortogonal a r1 e r2. E passa por
(x1, x2, x3).
7. Sejam r1 e r2 duas retas
r1 :
{
y = 3x+ 1
z = −2x− 1 e r2 :
 x = −1 + 2ty = 3− t
z = 5t
Determine as equac¸o˜es reduzidas da reta que e´ simultaneamente ortogonal a r1 e r2 e passa por
(x1, x2, x3).
8. Determinar as equac¸o˜es sime´tricas da reta que passa pelo ponto A(3, 6, 4) e teve vetor direto−→v = (1, 0, 0).
9. Considere as retas
r1 :
{
x = 3
y = 4
e r1 :
{ x = 3− t
y = 4− 2t
z = 1 + t
Verifique a posic¸a˜o relativa das mesmas.
10. Sejam −→v e −→w vetores quaisquer. Demonstre
(a) 14
(‖−→v +−→w ‖2 − ‖−→v −−→w ‖2) = 〈−→v ,−→w 〉
(b) 12
(‖−→v +−→w ‖2 + ‖−→v −−→w ‖2) = ‖−→v ‖2 + ‖−→w ‖2
11. a) Estabelecer as equac¸o˜es da reta que passa pelos pontos A(1, 0, 9) e B(4, 8, 9).
b) Considere a reta
r :
{
y = 3
z = −2 .
Verifique se a reta da letra (a) e a reta r sa˜o ortogonais.
12. Os vetores−→a = (2,−1,−3),−→b = (−1, 1,−4) e−→c = (m+1,m,−1) determinam um paralelepı´pedo
de volume 42. Calcule o valor de m.
1