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GA - Caderno De Exercicios 3 - Retas com resolução

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4. Retas 
 
4.1 Equações da reta 
 
Equação cartesiana na forma reduzida: 
baxy 
 
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. 
 
 
 
Equação cartesiana na forma 
).( 00 xxmyy 
, onde 
AB
AB
xx
yy
m



 e 
) ,() ,( 00 AA yxyx 
 ou 
) ,() ,( 00 BB yxyx 
. 
 
 
 
Equação cartesiana na forma geral: 
0 cbyax
 
 
Equação vetorial: 
)direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr 
, 
Rt
 
 
Para retas em R2: 
),.(),()( BBAA yxtyxtr 
 
 
 
 
 
 
Para retas em R3: 
),,.(),,()( BBBAAA zyxtzyxtr 
 
 
 
 
Equações paramétricas da reta: 
 
Retas no R2: 





BA
BA
ytyy
xtxx
.
. 
 
Retas no R3: 








BA
BA
BA
ztzz
ytyy
xtxx
.
.
.
 
 
4.2 Ângulo entre retas, paralelismo e perpendicularismo 
 
Ângulo entre duas retas: 
 
||.||
|.|
cos
vu
vu



, com 
2
0

 
 
 
 
 
 
 
Retas ortogonais: 
0. 2121  vvrr

 onde 
1v

 e 
2v

 são as direções de 
1r
 e 
2r
, 
respectivamente. 
 
 
 
Se 
1r
 e 
2r
 são concorrentes, então 
1r
 e 
2r
 são perpendiculares. 
 
 
 
Obs.: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. 
 
Retas paralelas: Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. 
 
 
 
 
 
Intersecção de retas: Duas retas r1 e r2 possuem intersecção caso haja um ponto P 
comum às duas retas. 
 
 
 
 
 
1. Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre a equação da reta 
que passa pelos pontos A=(3, 1) e B=(4, 3). 
Resolução: 
A figura a seguir apresenta os pontos A e B. 
 
 
 
 
 
Um modo bastante prático de encontrarmos a equação da reta r que passa pelos 
pontos A e B é substituirmos as coordenadas de cada um desses pontos na 
equação y=ax+b. Com isso podemos obter os coeficientes a e b da equação da reta. 
Vamos considerar, inicialmente, o ponto A=(3, 1). Para esse ponto, temos x=3 e 
y=1. Precisamos, agora, substituir os valores de x e y na equação y=ax+b: 
1=a.3+b 
Multiplicando a por 3, temos 
1=3a+b 
ou, equivalentemente, 
3a+b=1 
que é a primeira equação. Como temos uma equação e duas variáveis, precisamos 
de mais uma equação para determinarmos os valores de a e b. A segunda equação 
pode ser obtida substituindo as coordenadas do ponto B=(4, 3) na equação y=ax+b. 
Nesse caso, x é igual a 4 e y é igual a 3. Portanto 
3=a.4+b 
Fazendo a.4 igual a 4a, temos 
3=4a +b 
que corresponde a 
4a +b=3 
Como temos duas variáveis e duas equações, podemos encontrar os valores de a e 
b. Vamos resolver o sistema 





34
13
ba
ba
. 
Temos alguns métodos destinados à resolução de sistemas lineares. Dentre esses 
métodos, vamos utilizar o método da adição. Relembrando, o método da adição 
consiste em multiplicarmos as duas equações por números convenientes de modo 
que, somando as duas equações, possamos obter uma nova equação com apenas 
uma variável. Calculando o valor dessa variável, basta substituí-la em uma das 
duas equações originais para que possamos obter o valor da outra variável. 
Em particular, no caso do sistema 





34
13
ba
ba
 
podemos multiplicar a primeira equação por -1. Essa multiplicação faz com que, ao 
somarmos as duas equações, seja possível obtermos uma nova equação contendo 
agora apenas a variável a. Veja como é fácil! 





34
)1( x 13
ba
ba
 
Multiplicando cada termo da primeira equação por (-1), temos 





34
13
ba
ba
 
Agora podemos somar, termo a termo, as duas equações, ou seja, vamos calcular 
os valores de -3a+4a, -b+b e -1+3. Sendo assim, temos 
20
34
13






a
ba
ba
 
Como a+0=2, temos que 
 
 
a=2 
Como já temos o valor de a, podemos calcular o valor de b substituindo esse valor 
em uma das duas equações. A escolha é feita de forma aleatória. Vamos substituir 
a=2 na primeira equação, 3a+b=1, para que possamos calcular o valor de b 
3(2)+b=1 
Multiplicando 3 por 2, temos 
6+b=1 
Para obtermos o valor de b, vamos subtrair 6 dos dois membros da equação 
6-6+b=1-6 
Fazendo 6-6=0 e 1-6=-5, temos 
0+b=-5 
Como 0+b é igual a b, temos 
b=-5 
Portanto, b=5. 
Logo, a equação cartesiana da reta, na forma reduzida, que passa pelos pontos A e 
B corresponde a y=2x-5. 
 
 
2. Determine a inclinação da reta r de equação y=2x-5. 
Resolução: 
Para facilitar a compreensão do exercício, temos a seguir o gráfico da reta y=2x-5. 
 
 
 
A inclinação da reta r é dada pelo coeficiente angular a, que é igual à tangente do 
ângulo de inclinação dessa reta. Como a=2, podemos obter a inclinação da reta 
através da equação 
2)(tg 
 
donde 
)2( tgarc
 
o que resulta em 
 43,63
 
Portanto, a inclinação da reta r é igual a 63,43°. Relembrando, o valor do arco 
tangente de 2 é obtido facilmente com o uso de uma calculadora científica. 
 
 
 
 
3. Verifique se o ponto P=(1, -3) pertence à reta r definida por y=2x-5 apresentada 
no exercício anterior. 
Resolução: 
É possível verificarmos se um determinado ponto pertence ou não a uma reta se, 
ao substituirmos as coordenadas desse ponto na equação da reta, a igualdade seja 
verificada. No caso do ponto P=(1, -3), basta substituirmos x por 1 e y por -3 na 
equação y=2x-5. 
-3=2(1)-5 
Multiplicando 2 por 1, temos 
-3=2-5 
Subtraindo -5 de 2, temos 
-3=-3 
Como a igualdade se verifica, podemos afirmar que o ponto P=(1, -3) pertence à 
reta de equação y=2x-5. O gráfico a seguir ilustra o fato. 
 
 
 
 
4. Considere a reta r dos Exercícios 1 e 2 cuja equação é y=2x-5. Verifique se o 
ponto Q=(2, 6) pertence à reta r. 
Resolução: 
Vamos substituir as coordenadas do ponto Q na equação y=2x-5. Nesse caso, x é 
igual a 2 e y é igual a 6. 
6=2(2)-5 
Efetuando a multiplicação de 2 por 2 
6=4-5 
Vamos agora subtrair -5 de 4 
6=-1 
Observe que a igualdade não se verifica, pois 6 não é igual a -1. Por isso é possível 
concluir que o ponto Q=(2, 6) não pertence à reta r. A figura a seguir apresenta a 
localização do ponto Q e da reta r no sistema de eixos coordenados. 
 
 
 
 
 
 
5. Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=2x-5 com o eixo y. 
Resolução: 
O ponto de intersecção da reta r com o eixo y ocorre quando x é igual a 0. Nesse 
caso, vamos substituir x por 0 na equação y=2x-5. 
y=2(0)-5 
O próximo passo é multiplicarmos 2 por 0 
y=0-5 
Vamos calcular o valor de 0-5, o que corresponde a -5 
y=-5 
Portanto o ponto de intersecção procurado tem coordenadas (0, -5). Vamos chamar 
esse ponto de A, ou seja, A=(0, -5). 
Note que, quando x é igual a 0, o valor de y coincide com o valor de b da equação 
y=ax+b. No nosso caso, tanto b quanto y são iguais a -5. O gráfico abaixo ilustra 
esse fato. 
 
 
 
 
6. Considere a reta 
123  xy
. Determine o coeficiente angular e o coeficiente 
linear dessa reta. 
Resolução: 
O coeficiente angular corresponde ao escalar que multiplica x. Logo, esse 
coeficiente é igual a 3. Podemos dizer, então, que 
3a
. Em relação ao coeficiente 
linear, temos 
12b
. Veja o gráfico a seguir. 
 
 
 
Observe que a reta de equação y=3x+12 corta o eixo-y no ponto onde x é igual a 0 
e y é igual a 12. Para representarmos graficamente a reta, atribuímos dois valores 
aleatórios para a variável x e em seguida calculamos os valores de y substituindoesses valores na expressão 
123  xy
. 
 
 
7. Utilizando a expressão 
).( 00 xxmyy 
, determine a equação da reta s que 
passa pelos pontos A=(2, 5) e B=(4, 3). 
 
 
Resolução: 
Abaixo temos a representação gráfica dos pontos A e B. 
 
 
 
O primeiro passo é determinarmos o valor de m. Para isso, vamos utilizar a fórmula 
AB
AB
xx
yy
m



. Os pontos A=(2, 5) e B=(4, 3) serão necessários para que possamos 
calcular o valor de m. Os valores de xA e de yA correspondem, respectivamente, a 2 
e 5 e os valores de xB e de yB correspondem, respectivamente, a 4 e 3. 
Substituindo xA, yA, xB e y, na expressão 
AB
AB
xx
yy
m



 
temos 
24
53


m
 
Vamos calcular os valores de 3-5 e 4-2, o que resulta em 
2
2
m
 
Finalmente, dividindo -2 por 2, temos 
1m
 
Com isso, podemos afirmar que o coeficiente angular da reta s é igual a -1. 
Agora que temos o valor de m, para encontrarmos a equação da reta s, precisamos 
definir os valores de x0 e de y0. Como x0 e y0 precisam ser pontos sobre a reta, 
podemos considerar tanto o ponto A quanto o ponto B. Vamos escolher o ponto 
A=(2, 5). Sendo assim, x0=2 e y0=5. Como já sabemos os valores de m, x0 e y0, 
podemos encontrar a equação da reta s substituindo esses valores na expressão 
).( 00 xxmyy 
. 
Vamos então substituir m por -1, x0 por 2 e y0 por 5. 
)2.(15  xy
 
Aplicando a propriedade distributiva, vamos multiplicar -1 por x e também -1 por 2, 
o que resulta em 
25  xy
 
Para que possamos isolar y, vamos somar 5 nos dois membros da igualdade 
 
 
5255  xy
 
O que resulta em 
70  xy
 
Como y+0 é igual a y, temos 
7 xy
 
Sendo assim, a equação da reta s é dada por 
7 xy
. A figura a seguir ilustra a 
reta s. 
 
 
 
 
8. Considere a reta t representada na figura abaixo. 
 
 
 
Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida da reta t. 
Resolução: 
Note que nesse caso temos a inclinação da reta t em relação ao eixo x e o ponto de 
intersecção da reta com o eixo y. Sabemos que a equação reduzida de uma reta 
corresponde a 
baxy 
 
 
 
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Sendo assim, conhecendo 
os valores de a e de b podemos encontrar a equação desejada. 
O coeficiente angular a corresponde à inclinação da reta t com o eixo x. Sabemos 
que essa inclinação é igual a 30°. Como 
 30tga
 
e como 
3
3
30tg 
 
temos que 
3
3
a
. 
O coeficiente linear b é igual a 4, pois esse é o valor de y no ponto de intersecção 
da reta t com o eixo y. Como já temos os valores de a e de b, podemos escrever a 
equação reduzida da reta t como sendo 
4
3
3
 xy
. 
 
 
9. Considere a reta t apresentada no exercício anterior. Encontre a equação 
reduzida de t utilizando a expressão 
).( 00 xxmyy 
. 
Resolução: 
Para que possamos determinar a equação reduzida da reta t, precisamos do 
coeficiente angular m e de um ponto qualquer 
) ,( 00 yx
. Observe que 
 30tgam
, 
ou seja, 
3
3
m
, pois 
3
3
30tg 
. 
O ponto 
) ,( 00 yx
 pode ser o ponto 
)4 ,0(
, o que corresponde à intersecção da reta t 
com o eixo y, pois quando x=0, temos que y=4. Substituindo m por 
3
3
, x0 por 0 e 
y0 por 4 na expressão 
).( 00 xxmyy 
 
temos 
)0.(
3
3
4  xy
 
Vamos aplicar a propriedade distributiva para resolvermos a expressão 
)0.(
3
3
x
. 
Basta multiplicarmos 
3
3 por x e multiplicarmos 
3
3 por 0. Fazendo isso, temos 
0
3
3
4  xy
 
donde 
xy
3
3
4 
 
Vamos agora somar 4 nos dois membros da igualdade para que possamos isolar y 
no primeiro membro. 
 
 
4
3
3
44  xy
 
Como -4+4 é igual a 0 e y-0 é igual a y, temos 
4
3
3
 xy
 
que é a equação reduzida da reta t. 
 
 
10. Seja a reta r definida pela equação reduzida 
115  xy
. Escreva a equação de 
r no formato geral. 
Resolução: 
A forma geral da equação da reta é dada por 
0 cbyax
. Considerando a 
equação 
115  xy
, vamos fazer algumas operações simples para escrevermos a 
equação reduzida na forma geral. Inicialmente, vamos adicionar -5x nos dois 
membros da equação reduzida 
11555  xxyx
 
Como -5x+5x é igual a 0, temos 
1105  yx
 
que corresponde a 
115  yx
 
O próximo passo é adicionar -11 nos dois membros 
1111115  yx
 
donde 
0115  yx
 
Logo, a equação no formato geral da reta r é igual a 
0115  yx
. É importante 
ressaltar que podemos ter diversas equações distintas, mas equivalentes entre si, 
na forma geral, para uma mesma reta. 
 
 
11. Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos pontos M=(2, 4) e 
N=(5, 3). 
Resolução: 
A figura a seguir apresenta os pontos M e N. 
 
 
 
 
Utilizando os pontos M e N, precisamos definir um vetor posição e um vetor direção 
para podermos encontrar uma equação vetorial da reta r. Temos diferentes 
possibilidades de escolhas. Vamos fazer 
)4 ,2(OM
 o vetor posição e 
MN
 o vetor 
direção. Para encontrarmos as componentes de 
MN
, vamos fazer 
)4 ,2()3 ,5( MN
. 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 
)43 ,25( MN
 
Logo 
)1 ,3( MN
 
Como a equação vetorial de r corresponde a 
)direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr 
 
temos 
)1- 3,()4 ,2()( ttr 
 
onde 
Rt
. Na imagem a seguir, temos a representação dos vetores 
OM
 e 
MN
 e 
também da reta r. 
 
 
 
12. Encontre uma equação vetorial para a reta r passando pelos pontos A=(1, 2, 1) 
e B=(2, 3, 3). 
Resolução: 
Podemos visualizar os pontos A e B na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Para escrevermos uma equação vetorial para a reta r, precisamos de um vetor 
posição e de um vetor direção. Temos várias possibilidades de definirmos esses 
vetores. Podemos considerar o vetor 
OA
 como sendo o vetor posição e o vetor 
AB
 
como sendo o vetor direção. Note que o vetor 
OA
 corresponde à tripla ordenada 
(1, 2, 1). Em relação ao vetor 
AB
, suas componentes correspondem a 
(2, 3, 3)-(1, 2, 1). 
As componentes de 
AB
 correspondem a 
(2-1, 3-2, 3-1) 
Logo 
)2 ,1 ,1(AB
 
Agora que já temos um vetor posição e um vetor direção, podemos obter a 
equação vetorial de r. Sabemos que 
)direçãovetor ()posiçãovetor ()( ttr 
 
Sendo assim 
)2 1, 1,()1 ,2 ,1()( ttr 
 
com 
Rt
. 
A figura abaixo apresenta os vetores 
OA
 e 
AB
 e a reta r. 
 
 
 
 
 
 
13. Considere o Exercício 11. Obtenha as equações paramétricas da reta r. 
Resolução: 
A partir dos pontos M=(2, 4) e N=(5, 3), obtivemos a equação vetorial 
)1- 3,()4 ,2()( ttr 
. 
Tendo a equação vetorial, facilmente podemos obter as equações paramétricas da 
reta r. 
Como r está no R2, as equações paramétricas são 





BA
BA
ytyy
xtxx
.
. 
onde 
) ,( AA yx
 é o vetor posição e 
) ,( BB yx
 é o vetor direção. 
Como 
)(tr
 é um vetor da forma 
) ,( yx
, ou seja, 
) ,()( yxtr 
, podemos obter as 
equações paramétricas através da substituição de xA por 2, yA por 4, xB por 3 e yB 
por -1 nas equações 





BA
BA
ytyy
xtxx
.
. 
Sendo assim, temos 





)1.(4
3.2
ty
tx
 
ou, equivalentemente, 





ty
tx
4
32
 
que são as equações paramétricas de r. 
 
 
14. Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 
 
 







tz
ty
tx
r
32
41
23
:1
 e 








tz
ty
tx
r
4
52
31
:2
 
Resolução: 
Os vetores diretores de r1 e r2 são, respectivamente, 
)3 ,4 ,2( u

 e 
)1 ,5 ,3(v

. 
Para determinarmos qual é o ângulo 

 entre as retas r1 e r2 vamos utilizar esses 
vetores. Sabemos que o ângulo 

 pode ser calculado através da relação 
||.||
|.|
cos
vu
vu



 
Vamos substituir os vetores 
u
 e 
v
 por 
)3 ,4 ,2( 
 e 
)1 ,5 ,3(
. Logo 
|)1 ,5 ,3(|.|)3 ,4 ,2(|
|)1 ,5 ,3).(3 ,4 ,2(|
cos



 
Relembrando, 
212121. zzyyxxvu 

 e 
222|| zyxv 
 . Sendo assim 
222222 153.)3(42
|x1)3(x543x2|
cos



 
Efetuando as multiplicações do numerador e as potências do denominador, temos 
1259.9164
|)3(206|
cos



 
Vamos agora calcular as somas que aparecem no numerador e no denominador 
35.29
|23|
cos 
 
Multiplicando as raízes de 29 e de 35 e calculando o módulo de 23, temos 
1015
23
cos 
 
O próximo passo é calcularmos a raiz quadrada de 1015, donde 
8591,31
23
cos 
 
que resulta em 
7219,0cos 
 
Para calcularmos o valor de 

, vamos utilizar a função arco cosseno que pode ser 
facilmente encontrada em uma calculadora científica. 
 
Vamos usar a calculadora: 
 
Assim como no cálculo do arco tangente, para calcularmos o arco cosseno (arc 
cos), vamos utilizar uma calculadora científica. 
 
 
 
 
Precisaremos utilizar as teclas e . 
 
Vamos digitar o valor do cosseno de 

. Nesse caso, 0,7219. Depois precisamos 
pressionar a tecla [SHIFT] e em seguida a tecla [cos-1]. Em alguns outros modelos, 
primeiro pressionamos a tecla [SHIFT], em seguida a tecla [cos-1] e depois 
digitamos o valor 0,7219. 
 
Veja como é simples: 
 
1° Caso: [0,7219] [SHIFT] [cos-1] 
 
2° Caso: [SHIFT] [cos-1] [0,7219] [=] 
 
Logo 
7219,0cos arc
 
que resulta em 
 43,7884
 
Portanto, o ângulo 

 entre as retas r1 e r2 é igual a 43,7884°. É importante 
ressaltar que utilizamos quatro casas decimais nos cálculos realizados. Se 
utilizarmos mais casas decimais, pode haver uma pequena diferença no resultado 
obtido. Essa diferença é matematicamente aceitável e conhecida como erro de 
arredondamento. 
 
 
15. Mostre que as retas r e s dadas por 
 








tz
ty
tx
r
31
4
21
:
 e 








tz
y
tx
s
21
5
32
:
 
são ortogonais. 
 
 
Resolução: 
A ortogonalidade entre duas retas pode ser mostrada facilmente. Basta calcularmos 
o produto interno entre os vetores direção 
u
 e 
v
 das retas r e s. Se 
vu

.
 for igual a 
0, as retas r e s são ortogonais. Em particular, 
)3 ,1 ,2(u

 e 
)2 ,0 ,3( v

. Vamos 
calcular o produto 
vu

.
. 
)2 ,0 ,3).(3 ,1 ,2(. vu

 
Como já sabemos, o produto interno é dado pela soma do produto das respectivas 
componentes de cada vetor, ou seja 
)2(x30x13x2. vu

 
Efetuando as devidas multiplicações, temos 
606. vu
 
Agora vamos somar 6+0-6, o que resulta em 
0. vu
 
Como o produto interno 
vu

.
 foi igual a 0, as retas r e s são ortogonais. 
Uma outra alternativa para mostrarmos a ortogonalidade de r e s é calcularmos o 
ângulo formado entre as retas r e s utilizando a relação 
||.||
|.|
cos
vu
vu



. Se o 
ângulo 

 for igual a 90°, as retas são ortogonais. 
 
 
16. Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais g=(1, 9, 6)+t.(3, -2, 
4) e h=(0, 3, -5)+t.(-6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. 
Resolução: 
Vamos utilizar a relação 
||.||
|.|
cos
vu
vu



 para podermos mostrar que as retas g e h 
são paralelas. Para isso, basta mostrarmos que o ângulo 

 formado entre elas é 
igual a 0°. Os vetores direção de g e h são, respectivamente, 
)4 ,2 ,3( u

 e 
)8 ,4 ,6( v

. 
Inicialmente precisamos substituir os vetores 
u
 e 
v
 por 
)4 ,2 ,3( 
 e 
)8 ,4 ,6( 
. 
Fazendo isso, temos 
|)8 ,4 ,6(|.|)4 ,2 ,3(|
|)8 ,4 ,6).(4 ,2 ,3(|
cos



 
Como 
212121. zzyyxxvu 

 e 
222|| zyxv 
 , temos 
222222 )8(4)6(.4)2(3
|x(-8)4x4)2()6(x3|
cos



 
Efetuando as multiplicações do numerador e as potências do denominador, temos 
641636.1649
|)32()8(18|
cos



 
Vamos agora calcular as somas que figuram no numerador e no denominador, o 
que resulta em 
116.29
|58|
cos


 
Agora precisamos calcular o módulo de -58, que é igual a 58 e também a 
multiplicação das raízes de 29 e de 116 
3364
58
cos 
 
 
 
 
 
Calculando a raiz de 3364, temos 
58
58
cos 
 
que resulta em 
1cos 
 
Sabemos que 
10cos 
. Logo 
 0
 
Portanto, as retas r1 e r2 são paralelas, pois o ângulo entre elas é igual a 0°. 
 
 
17. Sejam as retas 








tz
ty
tx
w
23
33
52
:
 e 








hz
hy
hx
s
41
23
21
:
 
Verifique se w e s são concorrentes. Em caso afirmativo, determine o ponto P de 
intersecção dessas retas. 
Resolução: 
Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre elas. Caso 
haja um ponto de intersecção entre as retas w e s, então existe um valor de h e um 
valor de t tal que as equações paramétricas de w e de s podem ser igualadas em 
relação aos termos x, y e z. Veja como é simples! 








ht
ht
ht
4123
2333
2152
 
Os termos que possuem as variáveis t e h devem estar no primeiro membro e os 
termos independentes no segundo membro 








3142
3323
2125
ht
ht
ht
 
que corresponde a 








442
023
125
ht
ht
ht
 
Agora precisamos resolver esse sistema de equações lineares. Note que temos três 
equações e duas variáveis. Sistemas assim são chamados de sistemas 
sobredeterminados. Uma maneira de verificarmos se há uma solução para esse 
sistema é resolvermos, por exemplo, as duas primeiras equações e, em seguida, 
verificarmos se a solução obtida satisfaz a terceira equação. Considerando apenas 
as duas primeiras equações, temos 





023
125
ht
ht
 
Para podermos resolver o sistema pelo método da adição, vamos multiplicar a 
segunda equação por -1 





)1( x023
125
ht
ht
 
o que resulta em 
 
 





023
125
ht
ht
 
Vamos agora somar os termos correspondentes dessas equações 
102
023
125






t
ht
ht
 
Para resolvermos a equação 
102 t
 
vamos somar 2t com 0 
12 t
 
Para que possamos obter o valor de t, precisamos agora dividir os dois termos da 
equação por 2 
2
1
2
2 

t
 
donde 
2
1
t
 
ou, na forma decimal, t=-0,5. 
Vamos agora encontrar o valor de h. Para que possamos encontrar o valor de h, 
vamos substituir t=-0,5 em uma das duas equações do sistema que acabamos de 
resolver. A escolha é feita aleatoriamente. Substituindo t por -0,5 na equação 
125  ht
 
temos 
12)5,0(5  h
 
Multiplicando 5 por -0,5, temos 
125,2  h
 
Vamos agora somar 2,5 nos dois membros 
5,2125,25,2  h
 
o que resulta em5,120  h
 
que é igual a 
5,12  h
 
Dividindo os dois membros por -2, temos 
2
5,1
2
2



 h
 
Dividindo -2 por -2 e 1,5 por -2, temos 
75,0h
 
Agora que já calculamos os valores de t e de h, precisamos verificar se esses 
valores também satisfazem a terceira equação do sistema original. Para isso, 
vamos substituir os valores de t e de h na equação 
442  ht
 
Como t=-0,5 e h=-0,75, temos 
4)75,0(4)5,0(2 
 
Multiplicando 2 por -0,5 e 4 por -0,75, temos 
431 
 
Somando -1 com -3 
44 
 
Como a igualdade se verificou, t=-0,5 e h=-0,75 correspondem à solução do sistema 
 
 








442
023
125
ht
ht
ht
 
Nesse caso, podemos concluir então que as retas w e s são concorrentes. Vamos 
agora determinar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas. As 
coordenadas do ponto de intersecção podem ser obtidas com a substituição de t 
nas equações paramétricas de w ou com a substituição de h nas equações 
paramétricas de s. A escolha é aleatória. Vamos substituir t=-0,5 nas equações de w 








)5,0(23
)5,0(33
)5,0(52
z
y
x
 
Multiplicando os respectivos valores, temos 








13
)5,1(3
)5,2(2
z
y
x
 
O próximo passo é realizar a somas indicadas 








2
5,1
5,0
z
y
x
 
Logo, o ponto de intersecção das retas w e s corresponde a P=(-0,5, 1,5, 2).

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