Prova- Equação ordinária C2

Prévia do material em texto

Universidade de Brasília – UnB Faculdade UnB Gama – FGA 
Cálculo 2 Prof. Ricardo Fragelli 
Semestre: 1º/2017 
Data: 17/05/2017 
 
PROVA 02 
 
 
Aluno _____________________________________ Matrícula ___________________ 
 
 
Questão 01 O primeiro contato que tivemos com equações diferenciais foi por meio de um enigma que 
envolvia o cálculo do tempo de morte de um sujeito. Para tanto, utilizamos a lei de resfriamento de Newton e 
uma condição inicial. Um PVI semelhante ao que resolvemos está representado abaixo, encontre a 
Temperatura (𝑇) em função do tempo (𝑡) (1,0 ponto): 
 𝑑𝑇𝑑𝑡 = −0,4   𝑇 − 20𝑇 0 = 𝑇! = 36,5º𝐶 
 
 
 
 
Questão 02 No estudo das equações diferenciais, trabalhamos exemplos de aplicação e técnicas para 
resolução de EDO. Dentre as ferramentas para auxiliar na aprendizagem, existem os mapas conceituais que 
são gráficos de correlações entre conceitos. Alguns dos conceitos estudados estão abaixo, adicione mais 
“caixas” (pelo menos, quatro) e os correlacione formando um mapa sobre a matéria de EDO (1,0 ponto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações	
  Diferenciais	
   Exemplo:	
  y’+senx	
  y+cosx=0	
   EDO	
  
EDP	
  Equações	
  Exatas	
  
M+Ny’=0	
  
Exemplo:	
  y’+senx	
  y=0	
  
Variáveis	
  Separáveis	
  
Exemplo:	
  y’	
  secx	
  =	
  xy	
  
Crescimento	
  populacional	
  
Sistema	
  massa-­‐mola	
  Sistema	
  massa-­‐mola-­‐
amortecedor	
  
Problema	
  do	
  Uno	
  
Subaquático	
  
Problema	
  do	
  
Sherlock	
  Holmes	
  
F(x,y)	
  =	
  C	
  
Fator	
  integrante	
  
PVI	
  
y’=f(x,y)	
  
y(x0)=y0	
  
y’=f(x,y,y’)	
  
y(x0)=y0	
  
y’(x0)=v0	
  
Equação	
  característica	
  
ar2+br+c=0	
  
y=erx	
  
Análise	
  do	
  sinal	
  de	
  ∆	
  
Equação	
  Homogênea	
  
Equação	
  não	
  homogênea	
  
Homogênea	
  associada	
  
Coeficientes	
  a	
  determinar	
  
EDO	
  2ª	
  Ordem	
  com	
  
coeficientes	
  constantes	
  
EDO	
  1ª	
  Ordem	
  
Exemplo:	
  x	
  +	
  seny	
  +	
  x	
  cosy	
  y’=0	
  
Exemplo:	
  x	
  +	
  seny	
  +	
  x	
  cosy	
  y’=0	
  
Exemplo:	
  y’’+y’-­‐6y	
  =	
  cosx	
  
 
 
Questão 03 Apenas uma das equações abaixo é exata. Diga qual é e encontre a solução geral. (1,00 ponto) 
 
a) 𝑦''− 2  𝑦'+ 4  𝑦 = 0 b) 𝑦''+  𝑦' = 𝑒! 
c) 𝑦'+ 𝑠𝑒𝑛𝑥  𝑦 = 0 d) 𝑥  𝑦'+ 𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 
e) 𝑥!  𝑦'+ 2𝑥𝑦! + 1 = 0 f) 𝑐𝑜𝑠𝑦  𝑦'+ 2𝑥  𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 04 Invente uma EDO não linear de 2ª ordem em que 𝑦 = 𝑒!! seja uma solução possível (1,00 
ponto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 05 Encontre a solução geral das seguintes EDOs: (4,00 pontos) 
 
a) 𝑦'+ 𝑠𝑒𝑛𝑥  𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑦''+ 2𝑦'− 8𝑦 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑦''− 4𝑦'+ 4𝑦 = 𝑒!! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝑦''+ 2𝑦'+ 2𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06 Um carro do tipo Uno de massa igual a 800kg está preso a uma mola com constante igual a 
800N/m e a um amortecedor com constante igual a 1600Ns/m. Encontre a equação horária desse corpo 
sabendo que ele foi inicialmente solto com velocidade inicial igual a zero e no ponto x=1m, o eixo x foi 
determinado como sendo positivo para a direita e o ponto x=0 é aquele em que o veículo está em equilíbrio 
(1,0 ponto). Informe se é um movimento com amortecimento crítico, subamortecido ou superamortecido (0,50 
ponto). O que seria necessário para que esse sistema produzisse o fenômeno da ressonância (0,50 ponto)? 
 
 
Figura 1 Sistema Uno-mola-amortecedor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Boa prova!