AP DE FUNDAMENTOS E ANALISES

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	Data: 23/09/2017 02:39:52 (Finalizada)
	
	 1a Questão (Ref.: 201603453431)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Identificando cada propriedade formal da adição de números naturais com seu nome, obtemos respectivamente,
(I) m+(n+p)=(m+n)+p
(II) n+m=m+n
(III) Dados m,n∈N, somente uma das três alternativas pode ocorrer: 
       m=n    ou
        ∃p∈N  tal que m=n+p   ou
        ∃p∈N  tal que  n=m+p   .
(IV) m+n=m+p⇒n=p
		
	
	(I) Associativa, (II) Lei do Corte, (III) Tricotomia e (IV) Comutativa.
	
	(I) Comutativa, (II) Associativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	 
	(I) Associativa, (II) Comutativa, (III) Tricotomia e (IV) Lei do Corte.
	
	(I) Tricotomia, (II) Comutativa, (III) Associativa e (IV) Lei do Corte
	
	(I) Lei do Corte, (II) Tricotomia, (III) Comutativa e (IV) Associativa.
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201603625189)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Seja a sequência {(3n3+1)/(2n2+n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	
	2/3
	 
	3/2
	
	2
	
	4
	
	3
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201603625048)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema:  
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
		
	 
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X  e q ∈X.  Como p ∈X   é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X  , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto,  p = q.                  
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que  q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X  é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único.
 
	
	 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X.  Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q  e  q ≤ p, ficamos com p = q.                  
	
	Como p ∈X  por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201603625046)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que prova corretamente por indução que ∀ a ∈N, a > 0, temos que Lnan = nLna.
		
	 
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
 Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.   Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna . P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna.  Mostramos que a propriedade foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna. P(1) é verdadeira, pois Lna = 1Lna , portanto, vale P(1). 
 Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna. Mostramos que a propriedade     foi verificada.
	
	Seja P(n): Lnan = nLna.   Hipótese de Indução: Supondo que vale P(k): Lnak = kLna
   Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).
Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna
	
	 Seja P(n): Lnan = nLna.  Etapa Indutiva: Vamos mostrar que vale P(k+1). Temos que Lnak+1 = Ln(aka).  Lnak+1 = Ln(aka) = Lnak + Lna = kLna + Lna = (k + 1)Lna. Mostramos que a propriedade foi verificada.
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201603453469)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	A desigualdade 1/(x+1) ≥ 0 é satisfeita se :
		
	
	x < 0
	 
	x > -1
	 
	x > 0
	
	x = -1
	
	x< -1
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201603624989)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere as afirmativas a seguir.
(I) Se X é um conjunto finito então todo subconjunto Y de X é finito.
(II) Não pode existir uma bijeção f: X-> Y de um conjunto finito X em uma parte própria Y C X.
(III) Seja A C In. Se existir uma bijeção f: In-> A, então A=In .
Com relação a elas, é correto afirmar
		
	
	II e III somente.
	
	II somente.
	
	I e II somente.
	
	I e III somente.
	 
	I, II e III.
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201603625054)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Existem duas operações binárias no conjunto dos números reais: adição e multiplicação. Estas operações satisfazem as propriedades a seguir:
		
	 
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
	
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva
	 
	axiomas da adição: fechamento,  comutativa,  associativa, elemento neutro, elemento simétrico.
axiomas da multiplicação: fechamento, comutativa, associativa, elemento neutro, inverso multiplicativo.
axioma da distributividade: distributiva.
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201603625058)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do resultado.
		
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + 0 = a
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, fech                 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
3. assoc               4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	 
 fech.                    1. a . (0 + 0) = a . 0   
1, distrib.             2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
fech                      3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0)
5, sim                   5. (a . 0) = 0
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201603625190)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞(2nn!).
		
	
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir que a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série diverge.
	 
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos concluir a série converge.
	
	Como o valor do limite encontrado é 0, podemos afirmar nada.
	 
	Como o valor do limite encontrado é 2, podemos concluir a série diverge.
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201603625055)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Marque a alternativa que mostra corretamente a demonstração do seguinte resultado: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
		
	 
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é par.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	 
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Seja a=2n+1. Seja a2 = (2n + 1)2 = 2(2n2 + 2n) + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 2n2 + 2n é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 2w + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  
	
	Vamos provar então que Se a é impar, então a2 é impar.
Supondo que a é impar, teremos que é da forma a=2n+1, n em Z.
Seja a2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 1. Como n é um elemento de Z, temos que w = 4n2 + 1 é um elemento de Z. Ficamos com a2 = 4w2 + 1, w em Z. Dessa forma, pela definição, a2 é um número ímpar.  Isso  equivale a dizer que: Se a é um número inteiro tal que a2 é par, então a é par.
	
	
	 1a Questão (Ref.: 201603453446)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere o conjunto dos números naturais:  N = {1, 2, 3, 4, 5,...} Podemos deduzir a teoria dos números naturais dos 4 axiomas de Peano.
O segundo dos axiomas de Peano é P2.
P2: s:N→N, é injetiva. Dados m,n∈N, temos que   s(m)=s(n)⟹m=n
Com relação aos axiomas de Peano, é somente correto afirmar que
(I) Dois números que têm o mesmo sucessor, são iguais.
(II) Números naturais diferentes possuem sucessores diferentes.
(II) Existe um número natural que não possui um sucessor.
		
	 
	(I) e (II)
	
	(II) e (III)
	
	(II)
	
	(III)
	
	(I) e (III)
		
	
	
	 2a Questão (Ref.: 201603625174)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Seja a sequência {n.sen(π/n)}. Marque a alternativa que indica o limite da sequência quando n tende ao infinito.
		
	 
	π
	
	3π/2
	
	2π
	
	π/2
	
	3π
		
	
	
	 3a Questão (Ref.: 201603625060)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que enuncia corretamente o Teorema (Princípio da Boa Ordenação)
		
	
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um maior elemento.
	
	Todo conjunto possui um menor elemento.
	 
	Todo subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
	
	Alguns conjuntos possuem um menor elemento.
	
	Nenhum subconjunto não-vazio A contido em  N possui um menor elemento.
		
	
	
	 4a Questão (Ref.: 201603625048)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Marque a alternativa que apresenta corretamente a demonstração do Teorema:  
Se p é elemento mínimo de X, então esse elemento é único.
		
	 
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X  e q ∈X.  Como p ∈X   é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X , temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X  , temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	Como p ∈X  por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X. q ∈X é elemento máximo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q e q ≤ p, ficamos com p = q.                                    
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X . Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que  q ∈X temos que p = q. Da mesma forma, q ∈X  é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos então esse elemento é único.
 
	
	 Dado X contido em N, suponhamos por absurdo que existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X.  Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é maior do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p ≤ q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto, como temos p ≤ q  e  q ≤ p, ficamos com p = q.                  
	
	Dado X contido em N, suponha existirem dois elementos mínimos para X: p ∈X e q ∈X. Como p ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que q ∈X, temos que p > q. Da mesma forma, q ∈X é elemento mínimo de X, por definição, ele é menor do que qualquer elemento de X, e já que p ∈X, temos que q ≤ p. Portanto,  p = q.                  
		
	
	
	 5a Questão (Ref.: 201603453476)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Se a e b são números reais positivos e a.a > b.b , então:
		
	 
	a > b
	
	a é par
	
	a = b
	
	a < b
	
	a é ímpar
		
	
	
	 6a Questão (Ref.: 201603624996)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Considere as afirmativas a seguir.
(I) Dizemos que um conjunto A é enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção f:N->A.
(II) Quando existe uma bijeção f:N->A, dizemos que A é um conjunto infinito enumerável. 
(III) Todo conjunto finito A contém um subconjunto infinito enumerável.
Com relação a elas, é correto afirmar
		
	 
	I e II somente.
	
	I somente.
	
	I, II e III.
	
	I e III somente.
	
	II e III somente.
		
	
	
	 7a Questão (Ref.: 201603453473)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Se |x| = |y| então é correto afirmar que
		
	
	y < 0
	 
	x = y e x = -y
	
	x = -y
	
	x = y
	
	x > 0
		
	
	
	 8a Questão (Ref.: 201603625058)
	Acerto: 0,0  / 1,0
	Considere o resultado: Seja um elemento arbitrário a ∈ R , então a ∙ 0 = 0. Marque a alternativa que apresenta a demonstraçãocorreta do resultado.
		
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, fech                 3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
3. assoc               4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	
	 
 fech.                    1. a . (0 + 0) = a . 0   
1, distrib.             2. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
fech                      3. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                4. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0)
5, sim                   5. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) - (a . 0)] = (a . 0) - (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
	
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + (a . 0) = a . 0
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] - (a . 0) = (a . 0) - (a . 0)
4, sim                   5. (a . 0) = 0
	 
	Suponhamos     1. 0 + 0 = 0
1, fech.                2. a . (0 + 0) = a . 0   
2, distrib.             3. (a . 0) + 0 = a
3, fech                  4. [(a . 0) + (a . 0)] +(a . 0) = (a . 0) + (a . 0)
4. assoc                5. (a . 0) + [(a . 0) +(a . 0)] = (a . 0) + (a . 0)
5, sim                    6. (a . 0) = 0
		
	
	
	 9a Questão (Ref.: 201603625169)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞(-1)n(ln(n+1))n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
		
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será zero,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será ∞,  portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será -3,  portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 3,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
		
	
	
	 10a Questão (Ref.: 201603625200)
	Acerto: 1,0  / 1,0
	Analise a convergência da série ∑n=1∞n22n .
Determine o limite de an quando n tende ao infinito e se a série converge ou diverge.
		
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 2,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/3,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	 
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/2,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1/2,  portanto a série diverge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série diverge.
	
	O limite de an quando n tende a infinito será 1,  portanto a série converge absolutamente  pelo teste da razão e consequentemente podemos dizer que a série converge.