Lista 12 - Cálculo 1

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Lista 12
Assuma o seguinte resultado:
Teorema 1 (Fo´rmula de Taylor com resto de Lagrange) Considere f : I ⊂ R →
R que seja n+1 vezes diferencia´vel em I. Dados x, x0 ∈ I, com x 6= x0, enta˜o existe pelo
menos um nu´mero ξ entre x0 e x tal que
f(x) =
n∑
j=0
f (j)(x0)
j!
(x− x0)
j
︸ ︷︷ ︸
Tn(x)
+
f (n+1)(ξ)
(n+ 1)!
(x− x0)
n+1
︸ ︷︷ ︸
En(x)
.
Ale´m disso, lim
x→x0
En(x)
(x− x0)n
= 0
O polinoˆmio Tn(x) e´ chamado de polinoˆmio de Taylor de ordem n de f em torno de x0.
Ja´ En(x) e´ chamado de erro cometido ao aproximarmos f por Tn. Este erro tambe´m e´
dito o resto de Lagrange.
1. Determine o polinoˆmio de Taylor de ordem 4 em volta de x0 dado
(a) f(x) = sen(x), com x0 = 0.
(b) f(x) = x−1, com x0 = 1.
2. (a) Mostre que para todo x ∈ R vale
ex = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · ·+
xn
n!
+ En(x),
com |En(x)| ≤ e
|x||x|(n+1)/(n+ 1)!.
(b) Justifique que a soma
1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+
x4
4!
+ · · ·+
xn
n!
,
para um n grande o suficiente e´ uma boa aproximac¸a˜o para ex.
(c) Calcule aproximac¸o˜es para e2 e e−1.
3. (a) Verifique que se t 6= 1, enta˜o
1 + t+ t2 + · · ·+ tn =
1− tn+1
1− t
.
(b) Conclua que se |t| < 1, enta˜o uma boa aproximac¸a˜o para 1/(1− t) e´ a soma
1 + t+ t2 + · · ·+ tn,
para n grande o suficiente.
(c) Verifique que
1− t+ t2 − t3 + · · ·+ (−1)ntn
e´ o polinoˆmio de Taylor de ordem n de 1/(1 + t) em torno de 0.