Calculo III Lista exercícios

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Lista I – Cálculo III 
 
1. Esboce a imagem das seguintes funções, que têm a forma : 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
 
2. Esboce a imagem das seguintes funções, que têm a forma : 
a) b) 
c) d) 
e) f) 
 
 
3. Seja F dada por . 
 
a) Determine o domínio de . 
b) Calcule 
 
 
 . 
 
4. Sejam e . Calcule 
a) b) 
c) d) 
 
5. Sejam , e três funções definidas em e a valores em . Verifique 
que 
 
a) b) 
 
 
6. Mostre que a curva com equações paramétricas , , 
está no cone e esboce tal curva. 
 
7. Sejam e duas funções de uma variável 
real a valores em e uma função de uma variável real a valores reais. 
Suponha que 
 , 
 e , em que 
 e e real. Prove que 
 a) 
 b) 
 , para 
 
8. Sejam , e contínuas em . Prove que , e 
 são contínuas em e se , também é contínua em . 
 
9. Calcule 
 
 
 e 
 
 
 para as funções a seguir 
 
a) 
b) 
 
 
c) 
 
 
10. Determine o vetor tangente unitário no ponto com valor do parâmetro 
dado. 
 
a) , 
b) , 
c) , 
 
11. Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas 
equações paramétricas abaixo, em cada ponto especificado. 
 
a) ; 
b) ; 
c) ; 
 
 
 
 
 
12. Seja . Calcule 
 a) b) 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
 
13. Seja 
 
 
. 
a) Determine o domínio da função. 
b) Calculo . 
 
14. Represente graficamente domínio da função nos seguintes casos: 
 a) b) 
 
 
 
 c) d) 
 
15. Desenhe as curvas de nível e esboce os gráficos das funções 
a) b) c) 
d) e) , e 
 
16. Suponha que represente uma distribuição de 
temperatura no plano : é a temperatura, que podemos supor em , 
no ponto . 
 
a) Desenhe a isoterma correspondente à temperatura de . 
b) Determine o ponto de mais baixa temperatura da reta . 
 
17. Calcule os limites, caso existam. 
 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 
c) 
 
 
 d) 
 
 
 
e) 
 
 
 f) 
 
 
 
18. Determine os pontos de descontinuidade das funções: 
a) 3 b) 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 d) 
 
 
 
 
 
 
19. Determine as derivadas parciais para cada componente das funções. 
a) 5 b) c) 
 
 
 
d) 
 e) f) 
 
 
 
20. Considere a função 
 
 
. Verifique que 
 
 
 
 
 
 . 
 
21. Considere a função 
 
 
. Verifique que 
 
 
 
 
 
 
 
22. Considere a função dada por , em que Admita que 
 
 
 
 
 e que para e . Calcule 
 
 
 
 
. 
 
23. Calcule as derivadas parciais: 
a) b) dada por 
c) d) 
 
 
 
 
24. Seja 
 
 
. Verifique que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
25. Calcule 
 
 
 , sendo dados 
a) e o versor de 
b) 
 e o versor de 
c) 
 
 
 e o versor de 
 
 
 
 
 
 
d) e o versor de 
 
26. Em que sentido as funções crescem mais rapidamente nos pontos dados? E em 
que sentido decrescem mais rapidamente? 
a) em 
b) em 
c) , em 
 
 
 
 
27. Admita que represente uma distribuição de 
temperatura no plano . Determine uma parametrização para a trajetória 
descrita por um ponto que se desloca, a partir do ponto , sempre na 
direção e sentido de máximo crescimento da temperatura. 
 
28. Verifique que as funções dadas são diferenciáveis: 
a) 
 
 b) 
c) d) 
e) 
 
29. Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da 
função dada, no ponto dado. 
a) em 
b) em 
c) 
d) 
 , em 
30. Seja . 
a) Expresse em termos das derivadas parciais de 
b) Calcule admitindo 
 
 
 
 
 
 
 
31. Expresse 
 
 
 em termos das derivadas parciais de , sendo e 
a) e 
b) e 
 
32. Suponha que, para todo , . 
a) Calcule 
 
 
 admitindo 
 
 
 
b) Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto 
 
33. Seja . Verifique que 
 
 
 
 
 
 
 
 
34. Mostre que define implicitamente pelo menos uma 
função diferenciável . Expresse 
 
 
 e 
 
 
 em termos de e . 
 
35. A função diferenciável é dada implicitamente pela função 
 
 
 
 
 
 
 real fixo , em que é supostadiferenciável e 
 
 
 . Verifique que 
 
 
 
 
 
 
 .