Aproximações lineares. Plano Tangente e Diferencial

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Cálculo II - Lista de Exercícios 3 
Aproximações lineares: Plano Tangente e Diferencial 
 
 
1) Calcule o plano tangente à função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 4 − 𝑥2 − 𝑦2em (𝑥0, 𝑦0) = (0,1). 
2) Calcule o plano tangente à função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒−𝑥
2−𝑦2+2𝑥+𝑦. (−2𝑦 +
1) 𝑒𝑚 (𝑥0, 𝑦0) = (0,0). 
3) Calcule a diferencial da função 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥𝑦2). 
4) Suponha que não dispomos de calculadora ou de outro instrumento de 
cálculo e precisamos resolver os seguintes problemas: 
a. Se 𝑇 (𝑥, 𝑦) = 𝑥. 𝑒𝑥𝑦representa a temperatura num ponto (𝑥, 𝑦) numa 
certa região do plano. Calcule a temperatura em 𝑇(1.0023 , 0.00012). 
b. Se 𝛽 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑙𝑛(√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²) representa a densidade num ponto 
 (𝑥, 𝑦, 𝑧)numa certa região do espaço que não contem a origem. Determine 
𝛽 (1.005, 0.007, 1.01). 
5) Uma empresa, cuja produção é modelada por 𝑃 = 𝐾0,6𝐿0,4 , onde 𝐾 
representa capital e 𝐿 trabalho (ambos em milhões), tem 1 milhão de 
reais investidos em capital e 1 milhão gastos em trabalho. 
a. Calcule ∆𝑃 = 𝑃(1 + ∆𝐾, 1 + ∆𝐿) − 𝑃(1,1). 
b. Calcule 𝑑𝑃 = 𝑃𝑘𝑑𝐾 + 𝑃𝐿𝑑𝐿, em (1,1). 
c. Suponha que você precise estimar qual o efeito sobre a produção de 
um investimento extra de 200mil em capital e 100mil em trabalho. 
Qual será o resultado calculado? 
Gabarito 
1) 𝑍 = −2𝑦 + 5 
2) 𝑍 = 1 + 2𝑥 + 𝑦 
3) 𝑑𝑓 = 𝑦0
2𝑐𝑜𝑠(𝑥0𝑦0
2)𝑑𝑥 + 2𝑥0𝑦0𝑐𝑜𝑠(𝑥0𝑦0
2)𝑑𝑦 
4) a) 𝑥 . 𝑒𝑥𝑦 ≅ 𝑥 + 𝑦 
b) 𝑙𝑛(√𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧²) ≅
𝑥+𝑧+𝑙𝑛2
2
− 1 
5) c) 160 mil reais