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MECÂNICA GERAL ENGENHARIA DE PRODUÇÃO UNIDADE I aula 1 operações vetoriais

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MECÂNICA GERAL
Curso: ENGENHARIA DE PRODUÇÃO/CIVIL
Professor:Wellington Cantanhede dos Santos
� Escalares e Vetores
• Escalar - qualquer quantidade física positiva
ou negativa que pode ser completamente
especificada por sua intensidade. Exemplos:
comprimento, massa e tempo;
• Vetor – qualquer quantidade física que requer
uma intensidade e uma direção para sua
completa descrição. Exemplos de vetores:
Força, Posição e Momento.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Operações vetoriais
• Multiplicação e divisão de um vetor por
um escalar
• Por um escalar positivo é aumentada por
essa unidade;
• Por um escalar negativo mudará o sentido
direcional do vetor;
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Operações vetoriais
• Adição de vetores
• Todas as quantidades vetoriais obedecem a lei
do paralelogramo da adição;
• Vetores A e B “resultante” R=A+B:
• Unir as origens;
• Linhas paralelas das extremidades de A e B,
interceptando-se em um ponto P;
• A diagonal que se estende até P forma R.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Adição de vetores
Caso especial da lei do paralelogramo;
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
Regra do triângulo
• Regra do triângulo – Adição de vetores é comutativa;
R=A+B=B+A
• Vetores A e B são colineares (ambos possuem a
mesma linha de direção);
� Operações vetoriais
• Subtração de vetores
• A resultante da diferença entre dois vetores A e
B é :
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
R`=A - B = A + (-B)
� Adição vetorial de forças
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Determinando uma força resultante
Aplicando a lei dos cossenos ou a lei dos senos para o
triângulo a fim de obter a intensidade da força resultante e
sua direção:
� Adição vetorial de forças
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Determinando uma força resultante
HIBBELER, R.C. Estática, Mecânica para 
Engenharia.São Paulo.
• Fa? 
• Fb?
• Fc?
decompor uma força
em duas componentes
para estudar seu efeito
de ‘empurrão’ ou
‘puxão’ em duas
direções específicas.
� Adição vetorial de forças
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Determinando uma força resultante
HIBBELER, R.C. Estática, Mecânica para 
Engenharia.São Paulo.
• Lei dos senos?
• Lei dos cossenos?
� Determinando as componentes de uma força
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
Trigonometria
� Redesenhe metade do paralelogramo para ilustrar a
adição triangular ‘extremidade-para-origem’ das
componentes.
� Por esse triângulo, a intensidade da força resultante é
determinada pela lei dos cossenos, e sua direção, pela
lei dos senos. As intensidades das duas componentes de
força são determinadas pela lei dos senos.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
Exemplo1: Duas lanchas rebocam um barco de
passageiros que se encontra com problemas em
seus motores. Sabendo-se que a força resultante
é igual a 30kN, encontre suas componentes nas
direções AC e BC.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
Exemplo1: Duas lanchas rebocam um barco de
passageiros que se encontra com problemas em
seus motores. Sabendo-se que a força resultante
é igual a 30kN, encontre suas componentes nas
direções AC e BC.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Exemplo2:
A caminhonete mostrada é rebocada por duas
cordas. Determine os valores de FA e FB de modo a
produzir uma força resultante de 950N oreintada no
eixo x positivo, considere θ = 50º.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Exemplo3:
Determine a intensidade da força resultante e
indique sua direção, medida no sentido anti-horário,
em relação ao eixo x positivo.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
Próxima Aula
� Sistemas de Forças Coplanares.
� Determinação de Força Resultante.
� Componentes de um Vetor Cartesiano.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Adição de um sistema de forças coplanares
• Pode-se decompor uma força em dois
componentes perpendiculares de forma que o
paralelogramo resultante é um retângulo . Fx e Fy
são chamados de componentes retangulares e
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Definimos então os vetores unitários
perpendiculares i e j que são paralelos aos eixo x
e y.
� Adição de um sistema de forças coplanares
• Notação escalar
• Como essas componentes formam um triângulo
retângulo, suas intensidades podem ser
determinadas por:
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
θcosFx F=
θFsen=yF
� Adição de um sistema de forças coplanares
• A direção de F também pode ser definida por um
pequeno triângulo da inclinação;
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
c
a
F
=
xF






=
c
bFyF
c
b
F
=
yF






=
c
aFxF
� Adição de um sistema de forças coplanares
• Os componentes de um vetor podem ser
expressos como produtos dos vetores unitários
pelas intensidades dos componentes do vetor.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• são chamados de componentes de
componentes escalares de F.
� Adição de um sistema de forças coplanares
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Adição de um sistema de forças coplanares
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
y
x
� Adição de um sistema de forças coplanares
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Os componentes x e y de qualquer número de
forças coplanares podem ser representados pela
soma algébrica dos componentes x e y de todas as
forças, ou seja :
� Adição de um sistema de forças coplanares
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• A intensidade de é dada por:
22
RF RyRx FF +=
• O ângulo θ, que especifica a orientação da força,
é determinado trigonometricamente:
Rx
Ry
F
F
tg 1−=θ
� Pontos Importantes :
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• Os componentes x e y da força resultante são
simplesmente a soma algébrica dos componentes
de todas as forças coplanares;
• A intensidade da força resultante é determinada
pelo teorema de Pitágoras e, quando os
componentes são traçados em um desenho
esquemático de eixos x e y, a direção é
determinada trigonometricamente.
� PROBLEMAS
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• EXEMPLO 1:
• Determine os componentes x
e y de F1 e F2 que atuam
sobre a lança mostrada na
figura. Expresse cada força
como vetor cartesiano.
� PROBLEMAS
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• EXEMPLO 2:
• O elo da figura está submetido a duas forças F1 e
F2.Determine a intensidade e a orientação da força
resultante.
� Pontos Importantes na Adição vetorial de
forças:
• Escalar é um número positivo ou negativo;
• Vetor é uma quantidade que tem grandeza,
direção e sentido;
• A multiplicação ou divisão de um vetor por um
escalar muda a intensidade do vetor. O sentido
muda se o escalar for negativo;
• No caso especial em que os vetores são
colineares, a resultante é formada pela adição
algébrica ou escalar dos vetores.
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
� Pontos Importantes Adição de um sistema de
forças coplanares
UNIDADE I - VETORES DE FORÇA
• A resultante de várias foças coplanares é
determinado se for estabelecido um sistema de
coordenadas x e y, e as forças forem
decompostas ao longo dos eixos;
• A direção de cada força é especificada pelo
ângulo que sua reta de ação forma com um dos
eixos ou pro um triângulo inclinado;
• A orientação dos eixos x e y é arbitrária e suas
direções positivas são especificadas pelos vetores
cartesianos unitários i e j;
MECÂNICA GERAL
Até a próxima aula!

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